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Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
In conjugate fractions, clear the denominator first. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें।
In (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2), the middle irrational terms cancel and the value is (2(5+2)=14).
Step 3
Exam Tip
When adding squares of conjugates, the middle terms vanish. चरण 1: (x) और (y) संयुग्मी रूप में हैं। चरण 2: (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2) में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं और मान (2(5+2)=14) मिलता है। चरण 3: दो संयुग्मी वर्गों का योग लेते समय बीच वाले पद नहीं बचते।
Write \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator is \(5\sqrt{3}\), so \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Combine like surds before division. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) लिखें। चरण 2: ऊपर का योग \(5\sqrt{3}\) है, इसलिए \(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5\)। चरण 3: भाग से पहले समान मूल वाले पदों को जोड़ें।
Their sum is (3+4=7), so this pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
To get an integer sum, first check the perfect-square options. चरण 1: \(\sqrt{9}=3\) और \(\sqrt{16}=4\) हैं। चरण 2: इनका योग (3+4=7) है, इसलिए यह युग्म शर्त पूरी करता है। चरण 3: पूर्णांक योग पाने के लिए पहले पूर्ण वर्ग वाले विकल्प जाँचें।
Hence \(x+\frac{1}{x}=4\), so \(x^2+\frac{1}{x^2}=4^2-2=14\).
Step 3
Exam Tip
Finding \(x+\frac{1}{x}\) first saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x+\frac{1}{x}=4\), अतः (x-2+\frac{1}{x-2}=(4)2-2=14)। चरण 3: पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना लंबी गणना बचाता है।
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
This decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
The number of zeros keeps changing, so no fixed repeating block is formed.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is irrational. चरण 1: यह दशमलव समाप्त नहीं होता। चरण 2: इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती समूह नहीं बनता। चरण 3: असांत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है।
\(a-b=2\sqrt{2}\) and \(a+b=2\sqrt{6}\), so the product is \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Identities make the solution quicker and cleaner. चरण 1: (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) लगाएँ। चरण 2: \(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{6}\), इसलिए गुणन \(4\sqrt{12}=8\sqrt{3}\) है। चरण 3: पहचान सूत्र से हल तेज और साफ होता है।
Its reciprocal is \(3-\sqrt{8}\), because (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1). Hence the sum is (6), which is rational.
Step 3
Exam Tip
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is easy to identify. चरण 1: \(3+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(3-\sqrt{8}\) है, क्योंकि (\(3+\sqrt{8}\)\(3-\sqrt{8}\)=1)। इसलिए योग (6) परिमेय है। चरण 3: जिन संयुग्मियों का गुणन (1) हो, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल सकता है।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Keep the signs carefully while adding or subtracting coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: चिह्नों को ध्यान से रखकर गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
Do not forget the negative sign of the middle term in the square of a difference. चरण 1: ((a-b)2=a-2-2ab+b-2) का प्रयोग करें। चरण 2: \(x^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}\)। चरण 3: अंतर के वर्ग में बीच वाले पद का ऋण चिह्न न भूलें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}).
Step 3
Exam Tip
Recognize the pattern of perfect-square factors. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)। चरण 2: योग ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}) है। चरण 3: गुणनखंडों में पूर्ण वर्गों का क्रम पहचानें।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor is the key contradiction in the proof. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है।
Both numbers are positive, so compare their squares.
Step 2
Why this answer is correct
(\(4\sqrt{3}\)2=48) and (\(3\sqrt{5}\)2=45), so \(4\sqrt{3}\) is greater.
Step 3
Exam Tip
Squaring is safe for comparing positive surds. चरण 1: दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए वर्ग करके तुलना करें। चरण 2: (\(4\sqrt{3}\)2=48) और (\(3\sqrt{5}\)2=45), इसलिए \(4\sqrt{3}\) बड़ा है। चरण 3: धनात्मक मूलों की तुलना में वर्ग करना सुरक्षित रहता है।
Therefore \(x^2-18=2\sqrt{77}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In the square of a sum of different surds, the middle term is the key. चरण 1: \(x^2=11+7+2\sqrt{77}=18+2\sqrt{77}\)। चरण 2: इसलिए \(x^2-18=2\sqrt{77}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: दो अलग मूलों के योग का वर्ग करते समय बीच वाला पद मुख्य होता है।
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check the nature of the sum and product separately. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें।
A. (x) अपरिमेय है और \(x^2\) परिमेय है/(x) is irrational and \(x^2\) is rational
Step 1
Concept
\(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\), which is irrational because \(\frac{3}{2}\) is not a perfect square of a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=\frac{3}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can sometimes be rational. चरण 1: \(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\) है, जो अपरिमेय है क्योंकि \(\frac{3}{2}\) परिमेय पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: \(x^2=\frac{3}{2}\), जो परिमेय है। चरण 3: किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (5-2=3), so the form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
For a sum of two surds, the conjugate changes the sign between them. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (5-2=3) बनता है, इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। चरण 3: दो मूलों के योग में संयुग्मी का चिह्न बदलता है।
In the square of three terms, pairwise products appear along with individual squares.
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
While squaring a sum of many surds, write all pairwise products. चरण 1: तीन पदों के वर्ग में अलग-अलग वर्गों के साथ दो-दो पदों के गुणन भी आते हैं। चरण 2: इसलिए \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\) होगा। चरण 3: कई मूलों के योग का वर्ग करते समय सभी जोड़ीदार गुणन लिखें।
\(\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
For a rational sum, check both square roots separately. चरण 1: (25) और (49) दोनों पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: \(\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\), जो परिमेय है। चरण 3: परिमेय योग के लिए दोनों वर्गमूलों को अलग-अलग जाँचें।
Using the identity \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\), we get \(x^4-10x^2+1=0\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, recognize the relation between (x) and its conjugate reciprocal. चरण 1: \(x^2=5+2\sqrt{6}\) है। चरण 2: \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\) की पहचान से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में (x) और उसके संयुग्मी व्युत्क्रम का संबंध पहचानें।
For (a=6,b=15), (ab=90), which is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, the key check is whether the product inside the root is a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। चरण 2: (a=6,b=15) पर (ab=90), जो पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में अंदर का गुणनफल पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह मुख्य जाँच है।
Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
C. अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Multiplying an irrational number by a non-zero rational number gives an irrational number
Step 1
Concept
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
If the product were rational, the irrational number would become rational, a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय मानें, तो अपरिमेय संख्या परिमेय बन जाएगी, जो विरोध है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं वाले हमेशा वाले कथनों से सावधान रहें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=5\sqrt{2}\), so \(\frac{x}{\sqrt{2}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Division is easier after combining like surds. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(x=5\sqrt{2}\), इसलिए \(\frac{x}{\sqrt{2}}=5\)। चरण 3: समान मूल वाले पदों को जोड़ने के बाद भाग देना आसान होता है।
Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), the sum \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\) is greater than \(2\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For comparison, convert what you can and use positivity. चरण 1: सभी पद धनात्मक हैं और \(\sqrt{6}>0\)। चरण 2: \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\), \(\sqrt{3}\) से बड़ा है और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है; संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) से बड़ा है। चरण 3: तुलना में समान मूल में बदलना और धनात्मकता देखना मदद करता है।
\(a-6=\sqrt{5}-3\), so (a(a-6)=\(3+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-3\)=5-9=-4).
Step 3
Exam Tip
Recognize the hidden conjugate form. चरण 1: (a-2-6a=a(a-6)) है। चरण 2: \(a-6=\sqrt{5}-3\), इसलिए (a(a-6)=\(3+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-3\)=5-9=-4)। चरण 3: छिपे हुए संयुग्मी रूप को पहचानें।
B. यह अपरिमेय है क्योंकि दशमलव असांत और अनावर्ती है/It is irrational because the decimal is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
Reappearance of a digit alone is not recurrence unless a fixed block repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Here the number of zeros changes, so the decimal is non-recurring.
Step 3
Exam Tip
Identify a non-terminating non-recurring decimal as irrational. चरण 1: केवल एक अंक का बार-बार आना आवर्तन नहीं कहलाता, जब तक निश्चित समूह न दोहराए। चरण 2: यहाँ शून्यों की संख्या बदल रही है, इसलिए दशमलव अनावर्ती है। चरण 3: असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें।
In such forms, identify the difference of squares before expanding. चरण 1: यह संयुग्मी गुणन है। चरण 2: (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=13-12=1)। चरण 3: ऐसे रूपों में विस्तार करने से पहले अंतर के वर्ग को पहचानें।
A simple way to get a rational difference is to use square roots of perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{9}=3\) हैं। चरण 2: अंतर (5-3=2) परिमेय है। चरण 3: परिमेय अंतर पाने का सरल तरीका पूर्ण वर्गों के वर्गमूल लेना है।
After squaring, cancel like irrational terms. चरण 1: (x-2=\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6})। चरण 2: इसमें से \(2\sqrt{6}\) घटाने पर (5) बचता है। चरण 3: वर्ग करने के बाद समान अपरिमेय पदों को काटें।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(3\sqrt{3}\), so division gives (3).
Step 3
Exam Tip
Subtract first, then divide by the denominator. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) हैं। चरण 2: ऊपर का अंतर \(3\sqrt{3}\) है, इसलिए भाग देने पर (3) मिलता है। चरण 3: घटाव के बाद ही हर से भाग दें।
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is immediate. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), क्योंकि (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1)। चरण 2: इसलिए (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5})। चरण 3: जहाँ संयुग्मी गुणन (1) दे, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है।
(5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Non-perfect squares between two square numbers give such pairs. चरण 1: \(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। चरण 2: (5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। चरण 3: बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं।
Do not forget to rationalize the denominator at the end. चरण 1: \(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{3}\)। चरण 2: \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)। चरण 3: अंत में हर को परिमेय बनाना न भूलें।
For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The product is (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational. चरण 1: (a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: गुणन (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है।
Simplify inside the bracket before expanding the square. चरण 1: \(x-\sqrt{2}=\sqrt{5}\) है। चरण 2: इसलिए (\(x-\sqrt{2}\)2=\(\sqrt{5}\)2=5)। चरण 3: पूरे वर्ग को फैलाने से पहले कोष्ठक के अंदर सरल करें।
Therefore \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) is its reciprocal.
Step 3
Exam Tip
In reciprocals, keep the order and sign of the conjugate carefully. चरण 1: (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1)। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) इसका व्युत्क्रम है। चरण 3: व्युत्क्रम में संयुग्मी का क्रम और चिह्न सावधानी से रखें।
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, because assuming it rational and squaring would force \(\sqrt{6}\) to be rational.
Step 3
Exam Tip
Check sums of different surds carefully. चरण 1: \(x-1=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, क्योंकि इसे परिमेय मानने पर वर्ग करने से \(\sqrt{6}\) परिमेय निकलने का विरोध आता है। चरण 3: अलग-अलग मूलों का योग सावधानी से जाँचें।
\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), so the correct value is \(3\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
Match the options with your simplified result carefully. चरण 1: \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)। चरण 2: \(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), इसलिए सही मान \(3\sqrt{6}\) है। चरण 3: विकल्प मिलाते समय अपनी सरल गणना से मिलान करें।
\(\sqrt{5}\) cancels and \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) remains, which is irrational.
Step 3
Exam Tip
After like terms cancel, check the nature of the remaining surds. चरण 1: (y-x=\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\)-\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\))। चरण 2: \(\sqrt{5}\) कट जाता है और \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) बचता है, जो अपरिमेय है। चरण 3: समान पद कटने के बाद बचे हुए मूलों की प्रकृति देखें।
A. दोनों अपरिमेय हैं और उनका गुणनफल परिमेय है/Both are irrational and their product is rational
Step 1
Concept
\(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) both contain an irrational part, so both are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is (9-2=7), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Conjugate irrational numbers can have a rational product. चरण 1: \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) दोनों में अपरिमेय भाग है, इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणनफल (9-2=7) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है।
The denominator \(x^2-2=0\), so the fraction is undefined.
Step 3
Exam Tip
Before evaluating a fraction, always check whether the denominator becomes zero. चरण 1: \(x=\sqrt{2}\) होने पर \(x^2=2\)। चरण 2: हर \(x^2-2=0\) हो जाता है, इसलिए भिन्न अपरिभाषित है। चरण 3: भिन्न का मान निकालने से पहले हर शून्य तो नहीं, यह जरूर जाँचें।
The difference is \(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, subtract only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) है। चरण 2: अंतर \(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक घटाएँ।
Thus \(x^2-7=2\sqrt{10}\), and its square is (40).
Step 3
Exam Tip
First isolate the irrational part, then square it. चरण 1: \(x^2=5+2+2\sqrt{10}=7+2\sqrt{10}\)। चरण 2: इसलिए \(x^2-7=2\sqrt{10}\), और इसका वर्ग (40) है। चरण 3: पहले परिमेय भाग अलग करें, फिर वर्ग करें।
A prime number is not a perfect square, so \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For the square root of a prime, use the non-perfect-square idea directly. चरण 1: (11) अभाज्य संख्या है। चरण 2: कोई अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या के वर्गमूल पर सीधे अपूर्ण वर्ग का विचार लगाएँ।
In the sum of squares of conjugates, irrational terms cancel. चरण 1: (x) और (y) संयुग्मी हैं। चरण 2: (x-2+y-2=2\(4^2+15\)=2(31)=62)। चरण 3: संयुग्मी वर्गों के योग में अपरिमेय पद कट जाते हैं।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
The product is (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}).
Step 3
Exam Tip
Before applying an identity directly, substitute the given value of (x) carefully. चरण 1: ((x-2)=\sqrt{7}) और ((x+2)=\sqrt{7}+4)। चरण 2: गुणन (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}) है। चरण 3: सीधे सूत्र लगाने से पहले (x) का दिया हुआ मान ध्यान से रखें।
In long surd expressions, write the coefficients separately and add them. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)। चरण 2: \(1\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: लंबे मूल वाले प्रश्न में गुणांक अलग लिखकर जोड़ना आसान रहता है।
In cube-type questions, finding \(x+\frac{1}{x}\) first is the easier method. चरण 1: (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=1), इसलिए \(\frac{1}{x}=\sqrt{6}-\sqrt{5}\)। चरण 2: \(x+\frac{1}{x}=2\sqrt{6}\), अतः (x-3+\frac{1}{x-3}=\(2\sqrt{6}\)3-3\(2\sqrt{6}\)=42\sqrt{6})। चरण 3: घन वाले प्रश्नों में पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना आसान तरीका है।
