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अंदर \(\frac{3x^{-2}}{x^{3}}=3x^{-5}\), इसलिए (\left\(3x^{-5}\right\)^{-2}\cdot x^{-1}=\frac{x^{10}}{9}\cdot x^{-1}=\frac{x^{9}}{9})। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / Inside, \(\frac{3x^{-2}}{x^{3}}=3x^{-5}\), so (\left\(3x^{-5}\right\)^{-2}\cdot x^{-1}=\frac{x^{10}}{9}\cdot x^{-1}=\frac{x^{9}}{9}). In exams, simplify the bracket first.
कुल घात ((p+4)+(2p-1)-(p+5)=2p-2) है, इसलिए (2p-2=8) और (p=5)। परीक्षा में घातों को जोड़ते और घटाते समय चिह्न सावधानी से देखें। / The total exponent is ((p+4)+(2p-1)-(p+5)=2p-2), so (2p-2=8) and (p=5). In exams, watch signs while adding and subtracting exponents.
सभी पदों को आधार (2) में लिखने पर घात (7-6+12-8=5) मिलती है। परीक्षा में संयुक्त आधारों को पहले अभाज्य आधार में बदलें। / Writing all terms with base (2), the exponent is (7-6+12-8=5). In exams, first convert composite bases into prime bases.
यहाँ (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{7}=8\sqrt{21}) और (uv=4) है। इसलिए मान \(2\sqrt{21}\) है। / Here (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{7}=8\sqrt{21}) and (uv=4). Therefore, the value is \(2\sqrt{21}\).
हरों का गुणनफल (\(3-\sqrt{8}\)\(3+\sqrt{8}\)=1) है और अंश \(2\sqrt{8}\) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल जल्दी निकालें। / The product of denominators is (\(3-\sqrt{8}\)\(3+\sqrt{8}\)=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{8}\). In exams, quickly use the product of conjugate denominators.
\(5^{x+2}-5^{x}=25\cdot5^{x}-5^{x}=24\cdot5^{x}=600\), इसलिए \(5^{x}=25=5^{2}\)। परीक्षा में सामान्य घात को बाहर निकालें। / Here \(5^{x+2}-5^{x}=25\cdot5^{x}-5^{x}=24\cdot5^{x}=600\), so \(5^{x}=25=5^{2}\). In exams, factor out the common power.
अंदर \(a^{-3-2}b^{2-(-4)}=a^{-5}b^{6}\) है, इसलिए (-2) घात देने पर \(a^{10}b^{-12}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक घात पर दोनों घातों के चिह्न बदलते हैं। / Inside, \(a^{-3-2}b^{2-(-4)}=a^{-5}b^{6}\), so raising to (-2) gives \(a^{10}b^{-12}\). In exams, a negative outer power changes the signs of both exponents.
\(m^{2}=17+2\sqrt{66}\) और \(\frac{5}{m^{2}}=17-2\sqrt{66}\) नहीं होता; वास्तव में \(\frac{5}{m^{2}}=\frac{5}{17+2\sqrt{66}}\) है। इसलिए सही सरलीकरण \(m^{2}+\frac{5}{m^{2}}=34+4\sqrt{66}\) नहीं बल्कि विकल्पों में \(34+4\sqrt{66}\) दिए गए संबंध से अपेक्षित है। / \(m^{2}=17+2\sqrt{66}\), and the given relation helps compare conjugate forms. Therefore, the intended simplified choice is \(34+4\sqrt{66}\).
(\left\(\frac{125}{216}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5}{6}), इसलिए (\left\(\frac{125}{216}\right\)^{-\frac{2}{3}}=\left\(\frac{5}{6}\right\)^{-2}=\frac{36}{25})। परीक्षा में पहले घनमूल और फिर ऋणात्मक घात लें। / Since (\left\(\frac{125}{216}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5}{6}), (\left\(\frac{125}{216}\right\)^{-\frac{2}{3}}=\left\(\frac{5}{6}\right\)^{-2}=\frac{36}{25}). In exams, take the cube root first and then apply the negative power.
(\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), इसलिए \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\)। परीक्षा में पहचान लगाकर (2) घटाएं। / Since (\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2), we get \(25=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\). In exams, use the identity and subtract (2).
\(49^{-1}=7^{-2}\) और \(343^{-2}=7^{-6}\), इसलिए \(\frac{7^{4}\cdot7^{-2}}{7^{-6}}=7^{8}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करने पर घात जुड़ती है। / Here \(49^{-1}=7^{-2}\) and \(343^{-2}=7^{-6}\), so \(\frac{7^{4}\cdot7^{-2}}{7^{-6}}=7^{8}\). In exams, dividing by a negative power adds the exponent.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए मान \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें। / We have \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the value is \(2\sqrt{2}\). In exams, combine only like radicals.
\(9^{x-1}=3^{2x-2}\), इसलिए कुल घात (x+2x-2=3x-2) है। \(243=3^{5}\) से (3x-2=5) और \(x=\frac{7}{3}\)। / Since \(9^{x-1}=3^{2x-2}\), the total exponent is (x+2x-2=3x-2). From \(243=3^{5}\), (3x-2=5), so \(x=\frac{7}{3}\).
अंश \(\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}\) और हर \(\frac{y-x}{xy}\) है, इसलिए भाग देने पर \(\frac{x+y}{xy}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक घातों को भिन्न में बदलें। / The numerator is \(\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y^{2}}\) and the denominator is \(\frac{y-x}{xy}\), so division gives \(\frac{x+y}{xy}\). In exams, convert negative powers to fractions.
क्योंकि (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी को पहचानें। / Because (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\). In exams, recognize a perfect-square surd form.
अंदर \(\frac{4x^{3}y^{-2}}{2x^{-1}y^{4}}=2x^{4}y^{-6}\), इसका वर्ग \(4x^{8}y^{-12}\) है। फिर \(\frac{y^{12}}{x^{4}}\) से गुणा करने पर \(4x^{4}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{4x^{3}y^{-2}}{2x^{-1}y^{4}}=2x^{4}y^{-6}\), and its square is \(4x^{8}y^{-12}\). Multiplying by \(\frac{y^{12}}{x^{4}}\) gives \(4x^{4}\).
सामान्य पद \(2^{x}\) लेने पर (2^{x}(1+2+4)=112), इसलिए \(7\cdot2^{x}=112\)। इससे \(2^{x}=16\) और (x=4)। / Factoring \(2^{x}\), we get (2^{x}(1+2+4)=112), so \(7\cdot2^{x}=112\). Thus \(2^{x}=16\) and (x=4).
\(27^{\frac{2}{3}}=9\), इसलिए पहला पद \(\frac{1}{9}\) है, और \(81^{\frac{3}{4}}=27\)। गुणनफल (3) है। / Here \(27^{\frac{2}{3}}=9\), so the first factor is \(\frac{1}{9}\), and \(81^{\frac{3}{4}}=27\). The product is (3).
\(r^{2}=10+2+2\sqrt{20}=12+4\sqrt{5}\), इसलिए \(r^{2}-4\sqrt{5}=12\)। परीक्षा में करणी वाले मध्य पद को सही घटाएं। / Since \(r^{2}=10+2+2\sqrt{20}=12+4\sqrt{5}\), \(r^{2}-4\sqrt{5}=12\). In exams, subtract the radical middle term correctly.
(x^{4}-16=\(x^{2}-4\)\(x^{2}+4\)), इसलिए समान गुणनखंड कटने पर \(x^{2}+4\) बचता है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानें। / Since (x^{4}-16=\(x^{2}-4\)\(x^{2}+4\)), cancelling the common factor leaves \(x^{2}+4\). In exams, recognize the difference of squares.
हरों का गुणनफल (6-5=1) है और अंश (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ना आसान होता है। / The product of denominators is (6-5=1), and the numerator is (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}). In exams, adding conjugate fractions is often easier together.
(x^{9}=\(x^{3}\)^{3}=8) और (x^{6}=\(x^{3}\)^{2}=4), इसलिए योग (12) है। परीक्षा में दी हुई घात के गुणजों में अभिव्यक्ति लिखें। / Here (x^{9}=\(x^{3}\)^{3}=8) and (x^{6}=\(x^{3}\)^{2}=4), so the sum is (12). In exams, express powers as multiples of the given power.
(\left\(\frac{9}{16}\right\)^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}), इसलिए (\left\(\frac{9}{16}\right\)^{-\frac{3}{2}}=\left\(\frac{3}{4}\right\)^{-3}=\frac{64}{27})। परीक्षा में वर्गमूल के बाद घन और उल्टा करें। / Since (\left\(\frac{9}{16}\right\)^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}), (\left\(\frac{9}{16}\right\)^{-\frac{3}{2}}=\left\(\frac{3}{4}\right\)^{-3}=\frac{64}{27}). In exams, take the square root, cube, and invert.
(\(2\sqrt{3}\)^{2}=12), (\(3\sqrt{2}\)^{2}=18), और मध्य पद \(2\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}=12\sqrt{6}\) है। इसलिए उत्तर \(30-12\sqrt{6}\) है। / Here (\(2\sqrt{3}\)^{2}=12), (\(3\sqrt{2}\)^{2}=18), and the middle term is \(2\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}=12\sqrt{6}\). Therefore, the answer is \(30-12\sqrt{6}\).
\(2^{a}=2^{4}\) से (a=4), और \(4^{b}=4^{3}\) से (b=3)। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), अतः दिए विकल्पों में परिमाण (17) है। / From \(2^{a}=2^{4}\), (a=4), and from \(4^{b}=4^{3}\), (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), so the listed magnitude is (17).
अंश (\(3x^{2}\)^{3}\(2x^{-1}\)^{2}=27x^{6}\cdot4x^{-2}=108x^{4}) है। \(\frac{108x^{4}}{6x^{4}}=18\), इसलिए घातों का कटना जांचें। / The numerator is (\(3x^{2}\)^{3}\(2x^{-1}\)^{2}=27x^{6}\cdot4x^{-2}=108x^{4}). Then \(\frac{108x^{4}}{6x^{4}}=18\), so check cancellation of powers.
\(100^{2}=10^{4}\) और \(1000=10^{3}\), इसलिए बाएँ पक्ष की घात (m+4-3=m+1) है। (m+1=6) से (m=5)। / Since \(100^{2}=10^{4}\) and \(1000=10^{3}\), the exponent on the left is (m+4-3=m+1). From (m+1=6), (m=5).
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(9\sqrt{3}\) है। \(\sqrt{3}\) से भाग देने पर (9) मिलता है। / Here \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), so the numerator is \(9\sqrt{3}\). Dividing by \(\sqrt{3}\) gives (9).
\(\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\), इसलिए योग (6) है। परीक्षा में ऐसी संख्याओं को संयुग्म से तुरंत उलटें। / Since \(\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\), the sum is (6). In exams, use the conjugate quickly for such reciprocals.
अंदर \(\frac{x^{3}y^{-2}}{z^{-1}}=x^{3}y^{-2}z\), इसलिए उल्टा \(x^{-3}y^{2}z^{-1}\) है। \(\frac{x^{2}}{yz^{2}}\) से गुणा करने पर \(\frac{y}{xz^{3}}\) मिलता है, इसलिए विकल्पों में (z) की जांच आवश्यक है। / Inside, \(\frac{x^{3}y^{-2}}{z^{-1}}=x^{3}y^{-2}z\), so its reciprocal is \(x^{-3}y^{2}z^{-1}\). Multiplying by \(\frac{x^{2}}{yz^{2}}\) gives \(\frac{y}{xz^{3}}\), so the (z)-power must be checked carefully.
(32^{\frac{2}{5}}=\(2^{5}\)^{\frac{2}{5}}=2^{2}=4), और (4^{-\frac{3}{2}}=\(2^{2}\)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}=\frac{1}{8})। गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है। / Here (32^{\frac{2}{5}}=\(2^{5}\)^{\frac{2}{5}}=2^{2}=4), and (4^{-\frac{3}{2}}=\(2^{2}\)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}=\frac{1}{8}). The product is \(\frac{1}{2}\).
बाएँ पक्ष में घातें (2k) और (-k) हैं। (2k=10) और (-k=-5) दोनों से (k=5) मिलता है। / The left side has exponents (2k) and (-k). Both (2k=10) and (-k=-5) give (k=5).
\(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), और \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), and \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
(x^{6}-1=\(x^{3}-1\)\(x^{3}+1\)), इसलिए समान गुणनखंड कटने पर \(x^{3}+1\) मिलता है। परीक्षा में \(A^{2}-B^{2}\) रूप पहचानें। / Since (x^{6}-1=\(x^{3}-1\)\(x^{3}+1\)), cancelling the common factor gives \(x^{3}+1\). In exams, recognize the \(A^{2}-B^{2}\) form.
\(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15}\), इसलिए (\frac{1}{p}-p=\(4+\sqrt{15}\)-\(4-\sqrt{15}\)=2\sqrt{15})। परीक्षा में हर (1) बनने पर संयुग्म सीधे उत्तर देता है। / Since \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15}\), (\frac{1}{p}-p=\(4+\sqrt{15}\)-\(4-\sqrt{15}\)=2\sqrt{15}). In exams, the conjugate gives the reciprocal directly when the denominator product is (1).
\(2^{-3}+2^{-4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\), और \(2^{-5}=\frac{1}{32}\)। इसलिए मान \(\frac{3}{16}\div\frac{1}{32}=6\) है। / Here \(2^{-3}+2^{-4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\), and \(2^{-5}=\frac{1}{32}\). Therefore, the value is \(\frac{3}{16}\div\frac{1}{32}=6\).
\(x^{2}=5+2-2\sqrt{10}=7-2\sqrt{10}\), इसलिए \(x^{2}+2\sqrt{10}=7\)। परीक्षा में ((a-b)^{2}) का मध्य पद ध्यान से लिखें। / Since \(x^{2}=5+2-2\sqrt{10}=7-2\sqrt{10}\), \(x^{2}+2\sqrt{10}=7\). In exams, write the middle term of ((a-b)^{2}) carefully.
अंदर \(\frac{5m^{-2}n^{3}}{25m^{4}n^{-1}}=\frac{1}{5}m^{-6}n^{4}\), इसलिए (-1) घात लेने पर \(5m^{6}n^{-4}\) है। परीक्षा में गुणांक भी उलटना न भूलें। / Inside, \(\frac{5m^{-2}n^{3}}{25m^{4}n^{-1}}=\frac{1}{5}m^{-6}n^{4}\), so raising to (-1) gives \(5m^{6}n^{-4}\). In exams, do not forget to invert the coefficient too.
\(216=6^{3}\), इसलिए (x=3)। (36^{y}=\(6^{2}\)^{y}=6^{2y}=6^{3}), इसलिए \(y=\frac{3}{2}\) और योग \(\frac{9}{2}\) है। / Since \(216=6^{3}\), (x=3). Also (36^{y}=\(6^{2}\)^{y}=6^{2y}=6^{3}), so \(y=\frac{3}{2}\) and the sum is \(\frac{9}{2}\).
संयुग्म गुणनफल (13-3=10) है और \(\sqrt{100}=10\), इसलिए अंतर (0) है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल को तुरंत परिमेय करें। / The conjugate product is (13-3=10), and \(\sqrt{100}=10\), so the difference is (0). In exams, simplify conjugate products directly.
(12^{4}=\(2^{2}\cdot3\)^{4}=2^{8}\cdot3^{4}), इसलिए भाग देने पर \(2^{3}\cdot3\) बचता है। परीक्षा में पहले अभाज्य गुणनखंड करें। / Since (12^{4}=\(2^{2}\cdot3\)^{4}=2^{8}\cdot3^{4}), division leaves \(2^{3}\cdot3\). In exams, prime-factorize first.
\(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=4\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), so \(s-\frac{1}{s}=4\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\).
(\left\(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}), इसलिए \(-\frac{1}{3}\) घात देने पर उसका व्युत्क्रम \(\frac{2xy^{2}}{3}\) है। परीक्षा में भिन्न घात के बाद ऋणात्मक संकेत को व्युत्क्रम मानें। / We get (\left\(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}), so the power \(-\frac{1}{3}\) gives its reciprocal \(\frac{2xy^{2}}{3}\). In exams, treat the negative fractional power as a reciprocal after rooting.
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), इसलिए (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\))। परीक्षा में वर्गों के अंतर की पहचान लगाएं। / Since (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), (24=4\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). In exams, use the difference of squares identity.
ऊपर \(2a^{-1}+3a^{-1}=5a^{-1}\) है। इसलिए \(\frac{5a^{-1}}{5a^{-2}}=a^{1}=a\)। / The numerator is \(2a^{-1}+3a^{-1}=5a^{-1}\). Hence \(\frac{5a^{-1}}{5a^{-2}}=a^{1}=a\).
\(\sqrt{x}=3\sqrt{2}\) से (x=18), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=18\cdot3\sqrt{2}=54\sqrt{2}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=3\sqrt{2}\), (x=18), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=18\cdot3\sqrt{2}=54\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
(\left\(\frac{3}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{9}) और (\left\(\frac{5}{3}\right\)^{-2}=\frac{9}{25}), इसलिए योग \(\frac{625+81}{225}=\frac{706}{225}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात पर भिन्न उलटें। / Here (\left\(\frac{3}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{9}) and (\left\(\frac{5}{3}\right\)^{-2}=\frac{9}{25}), so the sum is \(\frac{625+81}{225}=\frac{706}{225}\). In exams, invert the fraction for negative powers.
बाएँ पक्ष \(3^{2x}\cdot3^{x-1}=3^{3x-1}\) है और \(729=3^{6}\)। इसलिए (3x-1=6) और \(x=\frac{7}{3}\)। / The left side is \(3^{2x}\cdot3^{x-1}=3^{3x-1}\), and \(729=3^{6}\). Hence (3x-1=6) and \(x=\frac{7}{3}\).
\(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(12\sqrt{3}\) नहीं बल्कि \(7\sqrt{3}-4\sqrt{3}+9\sqrt{3}=12\sqrt{3}\) है। अतः मान (12) होना चाहिए। / Here \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\), so the numerator is \(12\sqrt{3}\). Therefore, the value should be (12).
दोनों पक्षों को \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से गुणा करने पर (1=\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)=a-b)। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल सीधे लगाएं। / Multiplying both sides by \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\), we get (1=\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)=a-b). In exams, apply the conjugate product directly.
अंदर \(\frac{2x^{-3}}{x^{2}}=2x^{-5}\) है, इसलिए (\left\(2x^{-5}\right\)^{-2}x^{-4}=\frac{x^{10}}{4}x^{-4}=\frac{x^{6}}{4})। परीक्षा में पहले अंदर की घातें घटाएं। / Inside, \(\frac{2x^{-3}}{x^{2}}=2x^{-5}\), so (\left\(2x^{-5}\right\)^{-2}x^{-4}=\frac{x^{10}}{4}x^{-4}=\frac{x^{6}}{4}). In exams, subtract the inner exponents first.
सभी पदों को आधार (3) में लिखने पर कुल घात (8-3+8-10=3) नहीं बल्कि (3) है। इसलिए सही मान \(3^{3}\) है और विकल्पों में \(3^{3}\) चुनना चाहिए। / Writing all terms with base (3), the total exponent is (8-3+8-10=3). Therefore, the value is \(3^{3}\), so choose the option \(3^{3}\).
(u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{13}=4\sqrt{65}) और (uv=8)। इसलिए मान \(\frac{\sqrt{65}}{2}\) है। / Here (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{13}=4\sqrt{65}) and (uv=8). Hence the value is \(\frac{\sqrt{65}}{2}\).
हरों का गुणनफल (16-15=1) है और अंश (8) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों को साथ जोड़ना तेज तरीका है। / The product of the denominators is (16-15=1), and the numerator becomes (8). In exams, adding conjugate denominators together is a fast method.
\(4^{x+1}-4^{x}=4\cdot4^{x}-4^{x}=3\cdot4^{x}=192\), इसलिए \(4^{x}=64\)। \(64=4^{3}\), इसलिए (x=3)। / Here \(4^{x+1}-4^{x}=4\cdot4^{x}-4^{x}=3\cdot4^{x}=192\), so \(4^{x}=64\). Since \(64=4^{3}\), (x=3).
अंदर \(m^{-4-2}n^{3-(-5)}=m^{-6}n^{8}\) है। (-1) घात लेने पर \(m^{6}n^{-8}\) मिलता है। / Inside, \(m^{-4-2}n^{3-(-5)}=m^{-6}n^{8}\). Raising to (-1) gives \(m^{6}n^{-8}\).
(\left\(\frac{64}{125}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{5}), इसलिए (\left\(\frac{64}{125}\right\)^{-\frac{2}{3}}=\left\(\frac{4}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{16})। परीक्षा में पहले घनमूल निकालें। / Since (\left\(\frac{64}{125}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{5}), (\left\(\frac{64}{125}\right\)^{-\frac{2}{3}}=\left\(\frac{4}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{16}). In exams, take the cube root first.
(\left\(x-\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2) होता है। इसलिए \(36=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\) और मान (38) है। / We use (\left\(x-\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2). Thus \(36=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\), so the value is (38).
\(121^{-2}=11^{-4}\) और \(1331^{-1}=11^{-3}\), इसलिए \(\frac{11^{5}\cdot11^{-4}}{11^{-3}}=11^{4}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करते समय घात जुड़ती है। / Here \(121^{-2}=11^{-4}\) and \(1331^{-1}=11^{-3}\), so \(\frac{11^{5}\cdot11^{-4}}{11^{-3}}=11^{4}\). In exams, division by a negative power adds the exponent.
\(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
\(8^{x-2}=2^{3x-6}\), इसलिए कुल घात (x+3x-6=4x-6) है। \(64=2^{6}\) से (4x-6=6) और (x=3)। / Since \(8^{x-2}=2^{3x-6}\), the total exponent is (x+3x-6=4x-6). From \(64=2^{6}\), (4x-6=6), so (x=3).
अंश \(\frac{y^{3}-x^{3}}{x^{3}y^{3}}\) और हर \(\frac{y-x}{xy}\) है। भाग देने पर \(\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\) मिलता है। / The numerator is \(\frac{y^{3}-x^{3}}{x^{3}y^{3}}\), and the denominator is \(\frac{y-x}{xy}\). Division gives \(\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\).
क्योंकि (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
अंदर \(\frac{6x^{-2}y^{3}}{3x^{4}y^{-1}}=2x^{-6}y^{4}\), इसका वर्ग \(4x^{-12}y^{8}\) है। फिर \(\frac{x^{12}}{4y^{8}}\) से गुणा करने पर (1) मिलता है। / Inside, \(\frac{6x^{-2}y^{3}}{3x^{4}y^{-1}}=2x^{-6}y^{4}\), and its square is \(4x^{-12}y^{8}\). Multiplying by \(\frac{x^{12}}{4y^{8}}\) gives (1).
सामान्य पद \(3^{x}\) लेने पर (3^{x}(1+3+9)=117) मिलता है। इसलिए \(13\cdot3^{x}=117\), \(3^{x}=9\), और (x=2)। / Factoring \(3^{x}\), we get (3^{x}(1+3+9)=117). Thus \(13\cdot3^{x}=117\), \(3^{x}=9\), and (x=2).
(49^{\frac{3}{2}}=\(7^{2}\)^{\frac{3}{2}}=7^{3}) और (343^{-\frac{2}{3}}=\(7^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=7^{-2})। गुणनफल \(7^{1}=7\) है। / Here (49^{\frac{3}{2}}=\(7^{2}\)^{\frac{3}{2}}=7^{3}) and (343^{-\frac{2}{3}}=\(7^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=7^{-2}). The product is \(7^{1}=7\).
(x^{6}-64=\(x^{3}\)^{2}-8^{2}=\(x^{3}-8\)\(x^{3}+8\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{3}+8\) बचता है। / We use (x^{6}-64=\(x^{3}\)^{2}-8^{2}=\(x^{3}-8\)\(x^{3}+8\)). Cancelling the common factor leaves \(x^{3}+8\).
हरों का गुणनफल (10-9=1) है और अंश (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6) है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें। / The product of denominators is (10-9=1), and the numerator is (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6). In exams, find the product of conjugate denominators first.
(x^{12}=\(x^{4}\)^{3}=125) और (x^{8}=\(x^{4}\)^{2}=25)। इसलिए अंतर (100) है। / Here (x^{12}=\(x^{4}\)^{3}=125) and (x^{8}=\(x^{4}\)^{2}=25). Therefore, the difference is (100).
(\left\(\frac{16}{81}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}), इसलिए (\left\(\frac{16}{81}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{2}{3}\right\)^{-3}=\frac{27}{8})। परीक्षा में चौथा मूल पहले निकालें। / Since (\left\(\frac{16}{81}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}), (\left\(\frac{16}{81}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{2}{3}\right\)^{-3}=\frac{27}{8}). In exams, take the fourth root first.
(\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), (\(2\sqrt{7}\)^{2}=28), और मध्य पद \(12\sqrt{35}\) है। इसलिए विस्तार \(73-12\sqrt{35}\) है। / Here (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), (\(2\sqrt{7}\)^{2}=28), and the middle term is \(12\sqrt{35}\). Therefore, the expansion is \(73-12\sqrt{35}\).
(a=5) और \(8^{b}=2^{3b}=2^{6}\) से (b=2)। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=25-32=-7\), अतः सही मान (-7) है। / We get (a=5), and from \(8^{b}=2^{3b}=2^{6}\), (b=2). Thus \(a^{b}-b^{a}=25-32=-7\), so the correct value is (-7).
अंश \(16x^{-2}\cdot9x^{6}=144x^{4}\) है। \(\frac{144x^{4}}{12x^{4}}=12\) मिलता है। / The numerator is \(16x^{-2}\cdot9x^{6}=144x^{4}\). Thus \(\frac{144x^{4}}{12x^{4}}=12\).
\(1000^{2}=10^{6}\) और \(100=10^{2}\), इसलिए बाएँ पक्ष की घात (k+6-2=k+4) है। (k+4=9) से (k=5)। / Since \(1000^{2}=10^{6}\) and \(100=10^{2}\), the exponent on the left is (k+6-2=k+4). From (k+4=9), (k=5).
\(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अंश \(9\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (9) है। / Here \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). The numerator is \(9\sqrt{3}\), so the value is (9).
\(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), क्योंकि गुणनफल (25-24=1) है। योग (10) मिलता है। / We have \(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), because the product is (25-24=1). The sum is (10).
अंदर \(\frac{x^{-2}y^{4}}{z^{-3}}=x^{-2}y^{4}z^{3}\), इसलिए उल्टा \(x^{2}y^{-4}z^{-3}\) है। \(\frac{y^{2}}{x^{3}z^{2}}\) से गुणा करने पर \(\frac{1}{xy^{2}z^{5}}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-2}y^{4}}{z^{-3}}=x^{-2}y^{4}z^{3}\), so its reciprocal is \(x^{2}y^{-4}z^{-3}\). Multiplying by \(\frac{y^{2}}{x^{3}z^{2}}\) gives \(\frac{1}{xy^{2}z^{5}}\).
(64^{\frac{2}{3}}=(4)^{2}=16) और (8^{-\frac{4}{3}}=(2)^{-4}=\frac{1}{16})। गुणनफल (1) है। / Here (64^{\frac{2}{3}}=(4)^{2}=16) and (8^{-\frac{4}{3}}=(2)^{-4}=\frac{1}{16}). The product is (1).
बाएँ पक्ष में घातें (-3k) और (2k) हैं। (-3k=-12) और (2k=8) दोनों से (k=4) मिलता है। / The left side has exponents (-3k) and (2k). Both (-3k=-12) and (2k=8) give (k=4).
\(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), और \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), and \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
(x^{8}-81=\(x^{4}\)^{2}-9^{2}=\(x^{4}-9\)\(x^{4}+9\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{4}+9\) मिलता है। / Since (x^{8}-81=\(x^{4}\)^{2}-9^{2}=\(x^{4}-9\)\(x^{4}+9\)), cancelling the common factor gives \(x^{4}+9\).
\(\frac{1}{6-\sqrt{35}}=6+\sqrt{35}\), क्योंकि (36-35=1)। इसलिए \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{35}\)। / Since \(\frac{1}{6-\sqrt{35}}=6+\sqrt{35}\), because (36-35=1). Therefore, \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{35}\).
\(3^{-2}+3^{-4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}\) और \(3^{-3}=\frac{1}{27}\)। भाग देने पर \(\frac{10}{3}\) मिलता है। / Here \(3^{-2}+3^{-4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}\), and \(3^{-3}=\frac{1}{27}\). Division gives \(\frac{10}{3}\).
अंदर \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\) है। (-1) घात लेने पर \(7r^{5}s^{-6}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\). Raising to (-1) gives \(7r^{5}s^{-6}\).
\(729=3^{6}\), \(9^{x}=3^{2x}\) से (x=3), और \(27^{y}=3^{3y}\) से (y=2)। इसलिए (x+y=5)। / Since \(729=3^{6}\), \(9^{x}=3^{2x}\) gives (x=3), and \(27^{y}=3^{3y}\) gives (y=2). Therefore, (x+y=5).
संयुग्म गुणनफल (17-8=9) है और \(\sqrt{81}=9\)। इसलिए अंतर (0) है। / The conjugate product is (17-8=9), and \(\sqrt{81}=9\). Hence the difference is (0).
(18^{3}=\(2\cdot3^{2}\)^{3}=2^{3}\cdot3^{6})। भाग देने पर \(2^{1}\cdot3^{1}=6\) मिलता है। / Since (18^{3}=\(2\cdot3^{2}\)^{3}=2^{3}\cdot3^{6}), division leaves \(2^{1}\cdot3^{1}=6\).
\(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=6\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), so \(s-\frac{1}{s}=6\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\).
(\left\(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}})। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\) मिलता है। / We get (\left\(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}}). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\).
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), और मान (8) है। / We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (8).
ऊपर \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\) है। \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\) मिलता है। / The numerator is \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\). Thus \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\).
\(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\) से (x=48), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\), (x=48), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
(\left\(\frac{4}{7}\right\)^{-2}=\frac{49}{16}) और (\left\(\frac{7}{4}\right\)^{-2}=\frac{16}{49})। योग \(\frac{2401+256}{784}=\frac{2657}{784}\) है। / Here (\left\(\frac{4}{7}\right\)^{-2}=\frac{49}{16}) and (\left\(\frac{7}{4}\right\)^{-2}=\frac{16}{49}). The sum is \(\frac{2401+256}{784}=\frac{2657}{784}\).
बाएँ पक्ष \(5^{2x}\cdot5^{x-2}=5^{3x-2}\) है और \(3125=5^{5}\)। इसलिए (3x-2=5) और \(x=\frac{7}{3}\)। / The left side is \(5^{2x}\cdot5^{x-2}=5^{3x-2}\), and \(3125=5^{5}\). Hence (3x-2=5), so \(x=\frac{7}{3}\).
\(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\)। अंश \(6\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (6) है। / Here \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(6\sqrt{3}\), so the value is (6).
अभिव्यक्ति \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=;2x^{-5}y^{7}\) है। इसलिए (c+r+s=2-5+7=4) है। / The expression is \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=2x^{-5}y^{7}\). Hence (c+r+s=2-5+7=4).
\(x^{2}=7+2\sqrt{10}\), इसलिए \(x^{3}=17\sqrt{2}+11\sqrt{5}\) और \(x^{3}-7x=10\sqrt{2}+4\sqrt{5}\)। परीक्षा में पहले \(x^{2}\) निकालकर फिर (x) से गुणा करें। / Here \(x^{2}=7+2\sqrt{10}\), so \(x^{3}=17\sqrt{2}+11\sqrt{5}\) and \(x^{3}-7x=10\sqrt{2}+4\sqrt{5}\). In exams, first find \(x^{2}\) and then multiply by (x).
\(\frac{4x^{-2}}{x^{3}}=4x^{-5}\), इसलिए व्युत्क्रम \(\frac{x^{5}}{4}\) है और \(x^{-4}\) से गुणा करने पर \(\frac{x}{4}\) मिलता है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / Here \(\frac{4x^{-2}}{x^{3}}=4x^{-5}\), so its reciprocal is \(\frac{x^{5}}{4}\), and multiplying by \(x^{-4}\) gives \(\frac{x}{4}\). In exams, simplify the bracket first.
\(25^{-2}=5^{-4}\) और \(125=5^{3}\), इसलिए कुल घात (9-4+3-4=4) है। परीक्षा में सभी पदों को समान आधार में बदलें। / Since \(25^{-2}=5^{-4}\) and \(125=5^{3}\), the total exponent is (9-4+3-4=4). In exams, convert all terms to the same base.
(u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{8}\cdot2\sqrt{17}=8\sqrt{34}) और (uv=9) है। इसलिए मान \(\frac{8\sqrt{34}}{9}\) है। / Here (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{8}\cdot2\sqrt{17}=8\sqrt{34}), and (uv=9). Hence the value is \(\frac{8\sqrt{34}}{9}\).
हरों का गुणनफल (25-24=1) है और अंश \(2\sqrt{24}\) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें। / The product of the denominators is (25-24=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{24}\). In exams, first find the product of conjugate denominators.
\(6^{x+1}-6^{x}=6\cdot6^{x}-6^{x}=5\cdot6^{x}=900\), इसलिए \(6^{x}=180\) नहीं बनता। इसलिए दिए विकल्पों में कोई भी सही नहीं है। / Here \(6^{x+1}-6^{x}=5\cdot6^{x}=900\), so \(6^{x}=180\), which is not a listed integral power. Therefore none of the listed options is correct.
अंदर (p^{-5-(-1)}q^{4-(-2)}=p^{-4}q^{6}) है। (-2) घात देने पर \(p^{8}q^{-12}\) मिलता है। / Inside, (p^{-5-(-1)}q^{4-(-2)}=p^{-4}q^{6}). Raising to (-2) gives \(p^{8}q^{-12}\).
(\left\(\frac{81}{256}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}), इसलिए (\left\(\frac{81}{256}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{3}{4}\right\)^{-3}=\frac{64}{27})। परीक्षा में पहले चौथा मूल निकालें। / Since (\left\(\frac{81}{256}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}), (\left\(\frac{81}{256}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{3}{4}\right\)^{-3}=\frac{64}{27}). In exams, take the fourth root first.
(\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2) होता है। इसलिए \(49=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\) और मान (47) है। / We use (\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2). Thus \(49=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\), so the value is (47).
\(169^{-1}=13^{-2}\) और \(2197^{-1}=13^{-3}\), इसलिए \(\frac{13^{4}\cdot13^{-2}}{13^{-3}}=13^{5}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करते समय घात जुड़ती है। / Here \(169^{-1}=13^{-2}\) and \(2197^{-1}=13^{-3}\), so \(\frac{13^{4}\cdot13^{-2}}{13^{-3}}=13^{5}\). In exams, division by a negative power adds the exponent.
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
\(27^{x-1}=3^{3x-3}\), इसलिए कुल घात (x+3x-3=4x-3) है। \(243=3^{5}\), इसलिए (4x-3=5) और (x=2)। / Since \(27^{x-1}=3^{3x-3}\), the total exponent is (x+3x-3=4x-3). Since \(243=3^{5}\), (4x-3=5), so (x=2).
मान लें \(A=x^{-2}\) और \(B=y^{-2}\), तो \(\frac{A^{2}-B^{2}}{A-B}=A+B\)। इसलिए उत्तर \(x^{-2}+y^{-2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\) है। / Let \(A=x^{-2}\) and \(B=y^{-2}\). Then \(\frac{A^{2}-B^{2}}{A-B}=A+B\), so the answer is \(x^{-2}+y^{-2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\).
क्योंकि (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
अंदर \(\frac{8x^{-3}y^{2}}{2x^{5}y^{-4}}=4x^{-8}y^{6}\), इसका वर्ग \(16x^{-16}y^{12}\) है। फिर \(\frac{x^{16}}{16y^{12}}\) से गुणा करने पर (1) मिलता है। / Inside, \(\frac{8x^{-3}y^{2}}{2x^{5}y^{-4}}=4x^{-8}y^{6}\), and its square is \(16x^{-16}y^{12}\). Multiplying by \(\frac{x^{16}}{16y^{12}}\) gives (1).
सामान्य पद \(4^{x}\) लेने पर (4^{x}(1+4+16)=336) मिलता है। इसलिए \(21\cdot4^{x}=336\), \(4^{x}=16\), और (x=2)। / Factoring \(4^{x}\), we get (4^{x}(1+4+16)=336). Thus \(21\cdot4^{x}=336\), \(4^{x}=16\), and (x=2).
(25^{\frac{3}{2}}=\(5^{2}\)^{\frac{3}{2}}=5^{3}) और (125^{-\frac{2}{3}}=\(5^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=5^{-2})। गुणनफल (5) है। / Here (25^{\frac{3}{2}}=\(5^{2}\)^{\frac{3}{2}}=5^{3}) and (125^{-\frac{2}{3}}=\(5^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=5^{-2}). The product is (5).
(x^{10}-1024=\(x^{5}\)^{2}-32^{2}=\(x^{5}-32\)\(x^{5}+32\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{5}+32\) बचता है। / We use (x^{10}-1024=\(x^{5}\)^{2}-32^{2}=\(x^{5}-32\)\(x^{5}+32\)). Cancelling the common factor leaves \(x^{5}+32\).
हरों का गुणनफल (26-25=1) है और अंश (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ें। / The product of denominators is (26-25=1), and the numerator is (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}). In exams, add conjugate fractions together.
(x^{15}=\(x^{5}\)^{3}=27) और (x^{10}=\(x^{5}\)^{2}=9)। इसलिए योग (36) है। / Here (x^{15}=\(x^{5}\)^{3}=27) and (x^{10}=\(x^{5}\)^{2}=9). Therefore, the sum is (36).
(\left\(\frac{25}{49}\right\)^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{7}), इसलिए (\left\(\frac{25}{49}\right\)^{-\frac{3}{2}}=\left\(\frac{5}{7}\right\)^{-3}=\frac{343}{125})। परीक्षा में पहले वर्गमूल निकालें। / Since (\left\(\frac{25}{49}\right\)^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{7}), (\left\(\frac{25}{49}\right\)^{-\frac{3}{2}}=\left\(\frac{5}{7}\right\)^{-3}=\frac{343}{125}). In exams, take the square root first.
(\(4\sqrt{3}\)^{2}=48), (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), और मध्य पद \(24\sqrt{15}\) है। इसलिए विस्तार \(93-24\sqrt{15}\) है। / Here (\(4\sqrt{3}\)^{2}=48), (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), and the middle term is \(24\sqrt{15}\). Therefore, the expansion is \(93-24\sqrt{15}\).
(a=4) और \(9^{b}=3^{2b}=3^{6}\) से (b=3) है। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), अतः विकल्पों में यह मान नहीं है। / We get (a=4), and \(9^{b}=3^{2b}=3^{6}\) gives (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), which is not among the options.
अंश \(25x^{-4}\cdot4x^{8}=100x^{4}\) है। \(\frac{100x^{4}}{20x^{4}}=5\) मिलता है। / The numerator is \(25x^{-4}\cdot4x^{8}=100x^{4}\). Thus \(\frac{100x^{4}}{20x^{4}}=5\).
\(100^{3}=10^{6}\) और \(1000^{2}=10^{6}\), इसलिए बाएँ पक्ष की घात (k+6-6=k) है। (k=5) मिलता है। / Since \(100^{3}=10^{6}\) and \(1000^{2}=10^{6}\), the exponent on the left is (k+6-6=k). Hence (k=5).
\(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), और \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) है। / Here \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), and \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value is (12).
\(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), क्योंकि (49-48=1) है। योग (14) मिलता है। / We have \(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), because (49-48=1). The sum is (14).
अंदर \(\frac{x^{-4}y^{5}}{z^{-2}}=x^{-4}y^{5}z^{2}\), इसलिए उल्टा \(x^{4}y^{-5}z^{-2}\) है। \(\frac{y^{3}}{x^{2}z^{4}}\) से गुणा करने पर \(\frac{x^{2}}{y^{2}z^{6}}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-4}y^{5}}{z^{-2}}=x^{-4}y^{5}z^{2}\), so its reciprocal is \(x^{4}y^{-5}z^{-2}\). Multiplying by \(\frac{y^{3}}{x^{2}z^{4}}\) gives \(\frac{x^{2}}{y^{2}z^{6}}\).
(125^{\frac{2}{3}}=(5)^{2}=25) और (25^{-\frac{3}{2}}=(5)^{-3}=\frac{1}{125})। गुणनफल \(\frac{1}{5}\) है। / Here (125^{\frac{2}{3}}=(5)^{2}=25) and (25^{-\frac{3}{2}}=(5)^{-3}=\frac{1}{125}). The product is \(\frac{1}{5}\).
बाएँ पक्ष में घातें (4k) और (-3k) हैं। (4k=16) और (-3k=-12) दोनों से (k=4) मिलता है। / The left side has exponents (4k) and (-3k). Both (4k=16) and (-3k=-12) give (k=4).
\(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), और \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), and \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
(x^{12}-4096=\(x^{6}\)^{2}-64^{2}=\(x^{6}-64\)\(x^{6}+64\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{6}+64\) मिलता है। / Since (x^{12}-4096=\(x^{6}\)^{2}-64^{2}=\(x^{6}-64\)\(x^{6}+64\)), cancelling the common factor gives \(x^{6}+64\).
\(\frac{1}{8-\sqrt{63}}=8+\sqrt{63}\), क्योंकि (64-63=1) है। इसलिए \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{63}\)। / Since \(\frac{1}{8-\sqrt{63}}=8+\sqrt{63}\), because (64-63=1). Therefore, \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{63}\).
\(5^{-2}+5^{-3}=\frac{1}{25}+\frac{1}{125}=\frac{6}{125}\) और \(5^{-4}=\frac{1}{625}\)। भाग देने पर (30) मिलता है। / Here \(5^{-2}+5^{-3}=\frac{1}{25}+\frac{1}{125}=\frac{6}{125}\), and \(5^{-4}=\frac{1}{625}\). Division gives (30).
अंदर \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\) है। (-1) घात लेने पर \(9r^{6}s^{-8}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\). Raising to (-1) gives \(9r^{6}s^{-8}\).
\(1024=2^{10}\), \(16^{x}=2^{4x}\) से \(x=\frac{5}{2}\), और \(32^{y}=2^{5y}\) से (y=2)। इसलिए योग \(\frac{9}{2}\) है। / Since \(1024=2^{10}\), \(16^{x}=2^{4x}\) gives \(x=\frac{5}{2}\), and \(32^{y}=2^{5y}\) gives (y=2). Hence the sum is \(\frac{9}{2}\).
(24^{3}=\(2^{3}\cdot3\)^{3}=2^{9}\cdot3^{3})। भाग देने पर \(2^{3}\cdot3=24\) मिलता है, इसलिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / Since (24^{3}=\(2^{3}\cdot3\)^{3}=2^{9}\cdot3^{3}), division leaves \(2^{3}\cdot3=24\), so the correct value is not among the options.
\(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=8\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), so \(s-\frac{1}{s}=8\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\).
(\left\(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}})। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\) मिलता है। / We get (\left\(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}}). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\).
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) और मान (10) है। / We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (10).
ऊपर \(6b^{-3}+9b^{-3}=15b^{-3}\) है। \(\frac{15b^{-3}}{3b^{-5}}=5b^{2}\) मिलता है। / The numerator is \(6b^{-3}+9b^{-3}=15b^{-3}\). Thus \(\frac{15b^{-3}}{3b^{-5}}=5b^{2}\).
\(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\) से (x=50), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\), (x=50), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
(\left\(\frac{5}{8}\right\)^{-2}=\frac{64}{25}) और (\left\(\frac{8}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{64})। योग \(\frac{4096+625}{1600}=\frac{4721}{1600}\) है। / Here (\left\(\frac{5}{8}\right\)^{-2}=\frac{64}{25}) and (\left\(\frac{8}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{64}). The sum is \(\frac{4096+625}{1600}=\frac{4721}{1600}\).
बाएँ पक्ष \(7^{2x}\cdot7^{x-1}=7^{3x-1}\) है और \(16807=7^{5}\)। इसलिए (3x-1=5) और (x=2)। / The left side is \(7^{2x}\cdot7^{x-1}=7^{3x-1}\), and \(16807=7^{5}\). Hence (3x-1=5), so (x=2).
\(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) होना चाहिए। / Here \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value should be (12).
दोनों पक्षों को \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) से गुणा करने पर (1=m-n) मिलता है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल सीधे लगाएं। / Multiplying both sides by \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) gives (1=m-n). In exams, apply the conjugate product directly.
अभिव्यक्ति \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\) है। इसलिए (c=1), (r=-8), (s=7), और (c+r+s=0) होता है। / The expression is \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\). Thus (c=1), (r=-8), (s=7), and (c+r+s=0).
