For (a=6,b=15), (ab=90), which is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, the key check is whether the product inside the root is a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। चरण 2: (a=6,b=15) पर (ab=90), जो पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में अंदर का गुणनफल पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह मुख्य जाँच है।
A. कैल्शियम ऑक्साइड और कार्बन डाइऑक्साइड/Calcium oxide and carbon dioxide
Step 1
Concept
Calcium carbonate decomposes by heat.
Step 2
Why this answer is correct
Calcium oxide remains as the solid.
Step 3
Exam Tip
Carbon dioxide evolves as the gas. चरण 1: कैल्शियम कार्बोनेट ऊष्मा से टूटता है। चरण 2: ठोस के रूप में कैल्शियम ऑक्साइड बचता है। चरण 3: गैस के रूप में कार्बन डाइऑक्साइड निकलती है।
A. नीचे तीर अवक्षेप और ऊपर तीर गैस दिखाता है/Downward arrow shows precipitate and upward arrow shows gas
Step 1
Concept
Downward arrow shows an insoluble solid.
Step 2
Why this answer is correct
Upward arrow shows evolution of gas.
Step 3
Exam Tip
Identify both symbols separately while reading equations. चरण 1: नीचे की ओर तीर अघुलनशील ठोस को दिखाता है। चरण 2: ऊपर की ओर तीर गैस निकलने को दिखाता है। चरण 3: समीकरण पढ़ते समय दोनों संकेतों को अलग पहचानें।
Formation of only one product can indicate combination.
Step 3
Exam Tip
Therefore it can be exothermic combination. चरण 1: उत्पादों की ओर ऊष्मा लिखना ऊष्मा निकलने को दिखाता है। चरण 2: केवल एक उत्पाद बनना संयोजन की पहचान हो सकती है। चरण 3: इसलिए यह ऊष्माक्षेपी संयोजन हो सकता है।
A. समांतर श्रेणी है और \(d=\sqrt{3}\)/It is an AP and \(d=\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
The terms become \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\). In exams, simplify radicals before finding differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समांतर श्रेणी है और \(d=\sqrt{3}\) / It is an AP and \(d=\sqrt{3}\). The terms become \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\). In exams, simplify radicals before finding differences.
Step 3
Exam Tip
पद \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\) बनते हैं। परीक्षा में मूलों को सरल करके ही अंतर निकालें।
A. समांतर श्रेणी है, \(d=\sqrt{2}\)/It is an AP, \(d=\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
The terms become \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\), so the difference is \(\sqrt{2}\). In exams, simplify radicals first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समांतर श्रेणी है, \(d=\sqrt{2}\) / It is an AP, \(d=\sqrt{2}\). The terms become \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\), so the difference is \(\sqrt{2}\). In exams, simplify radicals first.
Step 3
Exam Tip
पद \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\) बनते हैं, इसलिए अंतर \(\sqrt{2}\) है। परीक्षा में मूलों को पहले सरल करें।
The midpoint is \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \). Take the average of the two values for the midpoint.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \). The midpoint is \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \). Take the average of the two values for the midpoint.
Step 3
Exam Tip
मध्य बिंदु \( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{2}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \) है। मध्य के लिए दोनों मानों का औसत लें।
Here \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value should be (12).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (15). Here \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value should be (12).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) होना चाहिए।
From \(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\), (x=50), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(250\sqrt{2}\). From \(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\), (x=50), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\) से (x=50), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें।
Here \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), and \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value is (12).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). Here \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), and \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value is (12).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), और \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) है।
We have \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(4\sqrt{2}\). We have \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है।
Here \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(6\sqrt{3}\), so the value is (6).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). Here \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(6\sqrt{3}\), so the value is (6).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\)। अंश \(6\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (6) है।
From \(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\), (x=48), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(192\sqrt{3}\). From \(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\), (x=48), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\) से (x=48), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें।
Here \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). The numerator is \(9\sqrt{3}\), so the value is (9).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (9). Here \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). The numerator is \(9\sqrt{3}\), so the value is (9).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अंश \(9\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (9) है।
We have \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(4\sqrt{2}\). We have \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है।
Here \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\), so the numerator is \(12\sqrt{3}\). Therefore, the value should be (12).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (16). Here \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\), so the numerator is \(12\sqrt{3}\). Therefore, the value should be (12).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), \(2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{27}=9\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(12\sqrt{3}\) नहीं बल्कि \(7\sqrt{3}-4\sqrt{3}+9\sqrt{3}=12\sqrt{3}\) है। अतः मान (12) होना चाहिए।
From \(\sqrt{x}=3\sqrt{2}\), (x=18), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=18\cdot3\sqrt{2}=54\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(54\sqrt{2}\). From \(\sqrt{x}=3\sqrt{2}\), (x=18), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=18\cdot3\sqrt{2}=54\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x}=3\sqrt{2}\) से (x=18), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=18\cdot3\sqrt{2}=54\sqrt{2}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें।
The conjugate product is (13-3=10), and \(\sqrt{100}=10\), so the difference is (0). In exams, simplify conjugate products directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0). The conjugate product is (13-3=10), and \(\sqrt{100}=10\), so the difference is (0). In exams, simplify conjugate products directly.
Step 3
Exam Tip
संयुग्म गुणनफल (13-3=10) है और \(\sqrt{100}=10\), इसलिए अंतर (0) है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल को तुरंत परिमेय करें।
Here \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), so the numerator is \(9\sqrt{3}\). Dividing by \(\sqrt{3}\) gives (9).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (9). Here \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), so the numerator is \(9\sqrt{3}\). Dividing by \(\sqrt{3}\) gives (9).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(9\sqrt{3}\) है। \(\sqrt{3}\) से भाग देने पर (9) मिलता है।
We have \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the value is \(2\sqrt{2}\). In exams, combine only like radicals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{2}\). We have \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the value is \(2\sqrt{2}\). In exams, combine only like radicals.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए मान \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the numerator is \(\sqrt{5}\), and division gives (1). In exams, first make like radicals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1). \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the numerator is \(\sqrt{5}\), and division gives (1). In exams, first make like radicals.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए ऊपर \(\sqrt{5}\) है और भाग देने पर (1) मिलता है। परीक्षा में पहले समान करणी बनाएं।
Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4x^{2}\). Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt[3]{64}=4\) और \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), इसलिए उत्तर \(4x^{2}\) है। परीक्षा में घनमूल में घात को (3) से भाग दें।
Since \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4). In exams, identify conjugate numbers quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4). Since \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4). In exams, identify conjugate numbers quickly.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), इसलिए (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। परीक्षा में संयुग्म संख्या तुरंत पहचानें।
The first product is (7-5=2), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the answer is \(2+2\sqrt{5}\). In exams, identify the conjugate product first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+2\sqrt{5}\). The first product is (7-5=2), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the answer is \(2+2\sqrt{5}\). In exams, identify the conjugate product first.
Step 3
Exam Tip
पहला गुणनफल (7-5=2) है और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए उत्तर \(2+2\sqrt{5}\) है। परीक्षा में पहले संयुग्म गुणनफल पहचानें।
Since \(\sqrt{x^{3}}=x^{\frac{3}{2}}\), \(x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{1}=x\). In exams, convert radicals to fractional exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x). Since \(\sqrt{x^{3}}=x^{\frac{3}{2}}\), \(x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{1}=x\). In exams, convert radicals to fractional exponents.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^{3}}=x^{\frac{3}{2}}\), इसलिए \(x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=x^{1}=x\)। परीक्षा में मूल को भिन्न घात में बदलें।
Using (x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)), we get \(x-y=2\sqrt{2}\) and (x+y=6), so the value is \(12\sqrt{2}\). In exams, identities reduce calculation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(12\sqrt{2}\). Using (x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)), we get \(x-y=2\sqrt{2}\) and (x+y=6), so the value is \(12\sqrt{2}\). In exams, identities reduce calculation.
Step 3
Exam Tip
(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)), जहाँ \(x-y=2\sqrt{2}\) और (x+y=6), इसलिए मान \(12\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहचान से लंबी गणना बचती है।
We get \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the result is \(6\sqrt{2}\). In exams, combine only like surd terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(6\sqrt{2}\). We get \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the result is \(6\sqrt{2}\). In exams, combine only like surd terms.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए परिणाम \(6\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें।
To rationalize, \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\). In exams, multiply by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{3}\). To rationalize, \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\). In exams, multiply by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को परिमेय बनाने के लिए \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। परीक्षा में संयुग्म से गुणा करें।
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Hence the value is \(8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8\sqrt{2}\). \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Hence the value is \(8\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। इसलिए मान \(8\sqrt{2}\) है।
A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(a=3\sqrt{2}\), irrational. Combine like radicals in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3\sqrt{2}\), अपरिमेय / \(3\sqrt{2}\), irrational. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(a=3\sqrt{2}\), irrational. Combine like radicals in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(a=3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में समान करणी वाले पद जोड़ें।
Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह असंभव है / This is impossible. Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 3
Exam Tip
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें।
Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^4-10x^2+1=0\). Here \(x^2=5+2\sqrt{6}\) and then (\(x^2-5\)2=24), so \(x^4-10x^2+1=0\). In exams a sum of two radicals may lead to a fourth-degree relation.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और फिर (\(x^2-5\)2=24), इसलिए \(x^4-10x^2+1=0\) है। परीक्षा में दो वर्गमूलों के योग से कभी द्विघात नहीं बल्कि चतुर्थ घात संबंध भी बन सकता है।
B. यह \(2\sqrt{a}\) के बराबर अपरिमेय है/It equals \(2\sqrt{a}\) and is irrational
Step 1
Concept
Like terms give \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a) is not a perfect square \(\sqrt{a}\) is irrational and its double is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add like radicals like algebraic terms. चरण 1: समान पद जोड़ने पर \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\)। चरण 2: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को बीजगणितीय पदों की तरह जोड़ें।
B. अपरिमेय क्योंकि \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)/Irrational because \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(48=16\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The square root of an even number need not be rational. चरण 1: \(48=16\cdot 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: सम संख्या का वर्गमूल परिमेय होगा यह जरूरी नहीं।
\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), so the correct value is \(3\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
Match the options with your simplified result carefully. चरण 1: \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)। चरण 2: \(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), इसलिए सही मान \(3\sqrt{6}\) है। चरण 3: विकल्प मिलाते समय अपनी सरल गणना से मिलान करें।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Keep the signs carefully while adding or subtracting coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: चिह्नों को ध्यान से रखकर गुणांक जोड़ें या घटाएँ।
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For like surds, work with the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। चरण 2: \(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। चरण 3: एक ही मूल वाले पदों में गुणांकों पर काम करें।
Take the perfect square factor outside the radical. चरण 1: \(12=4\times3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड को मूल से बाहर निकालें।
For (a=50,b=2), it becomes \(\sqrt{25}=5\), which is rational, so it should not be selected.
Step 3
Exam Tip
For an irrational quotient, \(\frac{a}{b}\) should not be a perfect square; none of the listed options gives that. चरण 1: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) है। चरण 2: (a=50,b=2) पर \(\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\), यह परिमेय है; इसलिए इसे नहीं चुनना चाहिए। चरण 3: सही अपरिमेय के लिए भागफल पूर्ण वर्ग न हो, जैसे यहाँ दिए विकल्पों में कोई अपरिमेय परिणाम नहीं बनता।
In division, simplifying the radicals together is a quick method. चरण 1: \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}\) लिखा जा सकता है। चरण 2: यह \(\sqrt{9}=3\) है, जो परिमेय है। चरण 3: भाग में मूलों को एक साथ सरल करना जल्दी तरीका है।
When moving a coefficient inside a square root, its square goes inside. चरण 1: \(2\sqrt{15}=\sqrt{4}\sqrt{15}\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए \(2\sqrt{15}=\sqrt{60}\)। चरण 3: गुणांक को मूल के अंदर ले जाते समय उसका वर्ग अंदर जाता है।
A. \(4\sqrt{2}\), अपरिमेय/\(4\sqrt{2}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, add only the outside coefficients. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) होता है। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल बाहर के गुणांक जोड़ें।
A. \(3\sqrt{11}\), अपरिमेय/\(3\sqrt{11}\), irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), and \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, add only the coefficients, not the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=2\sqrt{11}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x=\sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}\), और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक जोड़ें, मूल के अंदर की संख्या नहीं।
B. यह \(2\sqrt{3}\) के बराबर है और अपरिमेय है/It is equal to \(2\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(12=4\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
After simplification, if a non-square remains inside the root, the number stays irrational. चरण 1: \(12=4\times3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करने के बाद भी अंदर पूर्ण वर्ग न बचे तो संख्या अपरिमेय रहती है।
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
The total is \(6\sqrt{7}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify an expression before deciding its nature. चरण 1: \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\)। चरण 2: कुल योग \(6\sqrt{7}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: किसी अभिव्यक्ति की प्रकृति तय करने से पहले उसे सरल करें।
To move the outside coefficient inside, multiply by its square. चरण 1: \(7\sqrt{2}=\sqrt{49}\sqrt{2}\)। चरण 2: यह \(\sqrt{98}\) के बराबर है। चरण 3: बाहर का गुणांक अंदर ले जाने के लिए उसका वर्ग अंदर गुणा करें।
When moving an outside coefficient inside the root, multiply by its square. चरण 1: \(5\sqrt{3}=\sqrt{25}\sqrt{3}\)। चरण 2: यह \(\sqrt{75}\) के बराबर है। चरण 3: बाहर के गुणांक को अंदर ले जाते समय उसका वर्ग अंदर गुणा करें।
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The total is \(6\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify an expression before deciding its nature. चरण 1: \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)। चरण 2: कुल योग \(6\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: किसी अभिव्यक्ति की प्रकृति तय करने से पहले उसे सरल करें।
To move the outside coefficient inside, multiply by its square. चरण 1: \(6\sqrt{2}=\sqrt{36}\sqrt{2}\)। चरण 2: यह \(\sqrt{72}\) के बराबर है। चरण 3: बाहर का गुणांक अंदर ले जाने के लिए उसका वर्ग अंदर गुणा करें।
When moving an outside coefficient inside the root, multiply by its square. चरण 1: \(4\sqrt{3}=\sqrt{16}\sqrt{3}\)। चरण 2: यह \(\sqrt{48}\) के बराबर है। चरण 3: बाहर के गुणांक को अंदर ले जाते समय उसका वर्ग गुणा करें।
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The total is \(6\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Decide the nature of the number only after simplification. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। चरण 2: कुल योग \(6\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: सरलीकरण के बाद ही संख्या की प्रकृति तय करें।
An outside coefficient can be moved inside by squaring it. चरण 1: \(3\sqrt{5}=\sqrt{9}\sqrt{5}\)। चरण 2: यह \(\sqrt{45}\) के बराबर है। चरण 3: बाहर के गुणांक को वर्ग करके अंदर ले जा सकते हैं।
To identify an equivalent form, simplify the square root first. चरण 1: \(50=25\times2\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\)। चरण 3: बराबर रूप पहचानने के लिए सबसे पहले वर्गमूल को सरल करें।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}\) होता है। चरण 2: \(\sqrt{16}=4\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), so \(\sqrt{7}+\sqrt{28}=3\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) is irrational because \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, simplify first before deciding the nature of the result. चरण 1: \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\), इसलिए \(\sqrt{7}+\sqrt{28}=3\sqrt{7}\)। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय है क्योंकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में परिणाम की प्रकृति तय करने से पहले सरलीकरण करें।
To identify an equivalent form, simplify the square root first. चरण 1: \(75=25 \times 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। चरण 3: बराबर रूप पहचानने के लिए पहले वर्गमूल को सरल करें।
For like radicals, add only the outside coefficients. चरण 1: दोनों पदों में \(\sqrt{7}\) समान है। चरण 2: \(1\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\)। चरण 3: समान वर्गमूलों में केवल बाहर के गुणांक जोड़ें।
When adding like radicals, add only the coefficients. चरण 1: चार समान वर्गमूल पद जोड़े जा रहे हैं। चरण 2: \(\sqrt{10}+\sqrt{10}+\sqrt{10}+\sqrt{10}=4\sqrt{10}\)। चरण 3: समान वर्गमूलों को जोड़ते समय केवल गुणांक जोड़ें।
For like radicals, add only the coefficients, not the numbers inside the roots. चरण 1: दोनों पद समान वर्गमूल वाले हैं। चरण 2: \(\sqrt{11}+\sqrt{11}=2\sqrt{11}\)। चरण 3: समान वर्गमूलों में अंदर की संख्याएँ नहीं, केवल गुणांक जोड़े जाते हैं।
In options, simplify the result before deciding its nature. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में परिणाम निकालकर ही संख्या की प्रकृति तय करें।
To identify an equivalent form, simplify the square root first. चरण 1: \(12=4 \times 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: बराबर रूप पहचानने के लिए वर्गमूल को सरल करना जरूरी है।
For like radicals, add only the coefficients. चरण 1: दोनों पदों में \(\sqrt{3}\) समान है। चरण 2: \(1\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। चरण 3: समान वर्गमूलों में केवल गुणांक जोड़ें।
Count like radicals as coefficients. चरण 1: तीन समान अपरिमेय पद जोड़े जा रहे हैं। चरण 2: \(\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{6}=3\sqrt{6}\)। चरण 3: समान वर्गमूलों को गुणांक की तरह गिनें।
Using the largest perfect square gives the simplest form. चरण 1: \(48=16 \times 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{48}=\sqrt{16 \times 3}=4\sqrt{3}\)। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग लेने से सरल रूप सही और छोटा मिलता है।
While simplifying a square root, split the inside number into a perfect square and the remaining factor. चरण 1: \(75=25 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{75}=\sqrt{25 \times 3}=5\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल को सरल करते समय अंदर की संख्या को पूर्ण वर्ग और बाकी गुणनखंड में तोड़ें।
Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is not \(\sqrt{5}\); \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not add the numbers inside different square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(\sqrt{5}\) नहीं होता; \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को सीधे अंदर की संख्याएँ जोड़कर न लिखें।
When (9) appears as a factor inside a square root, take it out as (3). चरण 1: \(27=9 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{27}=\sqrt{9 \times 3}=3\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल में पूर्ण वर्ग (9) दिखे तो उसे बाहर (3) के रूप में निकालें।
\(\sqrt{2}\) is irrational and (2) is non-zero rational, so \(2\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
First simplify like radicals, then decide the type. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (2) अशून्य परिमेय है, इसलिए \(2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को पहले जोड़कर सरल करें।
D. हाइलाइट रूप संरचना पर भारी पड़ रहे हैं/Highlights are overpowering form structure
Step 1
Concept
Highlight should clarify form. Exam tip: keep balance between shine and form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. हाइलाइट रूप संरचना पर भारी पड़ रहे हैं / Highlights are overpowering form structure. Highlight should clarify form. Exam tip: keep balance between shine and form.
Step 3
Exam Tip
हाइलाइट को रूप स्पष्ट करना चाहिए। परीक्षा में shine और form का संतुलन रखें।
B. साफ नकारात्मक स्थान नियंत्रित रंग और स्पष्ट हाइलाइट/Clean negative space controlled colour and clear highlight
Step 1
Concept
Premium visuals need clarity control and space. Exam tip: observe space and focus in product design.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. साफ नकारात्मक स्थान नियंत्रित रंग और स्पष्ट हाइलाइट / Clean negative space controlled colour and clear highlight. Premium visuals need clarity control and space. Exam tip: observe space and focus in product design.
Step 3
Exam Tip
प्रीमियम दृश्य में स्पष्टता नियंत्रण और स्थान महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में product design में space and focus देखें।
A. हाइलाइट रूप संरचना पर भारी पड़ रहे हैं/Highlights are overpowering form structure
Step 1
Concept
Highlights should clarify form not suppress it. Exam tip: observe balance of shine and form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हाइलाइट रूप संरचना पर भारी पड़ रहे हैं / Highlights are overpowering form structure. Highlights should clarify form not suppress it. Exam tip: observe balance of shine and form.
Step 3
Exam Tip
हाइलाइट को रूप स्पष्ट करना चाहिए न कि उसे दबाना। परीक्षा में shine और form balance देखें।
A. साफ नकारात्मक स्थान नियंत्रित रंग और स्पष्ट हाइलाइट/Clean negative space controlled colour and clear highlights
Step 1
Concept
Clarity and controlled elements help premium effect. Exam tip: observe space and focus in product design.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. साफ नकारात्मक स्थान नियंत्रित रंग और स्पष्ट हाइलाइट / Clean negative space controlled colour and clear highlights. Clarity and controlled elements help premium effect. Exam tip: observe space and focus in product design.
Step 3
Exam Tip
प्रीमियम प्रभाव के लिए स्पष्टता और नियंत्रित तत्व उपयोगी हैं। परीक्षा में product design में space और focus देखें।
D. यह बताती है कि वस्तु लकड़ी धातु कपड़ा या कांच जैसी है/It tells whether object is like wood metal cloth or glass
Step 1
Concept
Texture helps identify material surface. Exam tip: connect material identity with texture.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. यह बताती है कि वस्तु लकड़ी धातु कपड़ा या कांच जैसी है / It tells whether object is like wood metal cloth or glass. Texture helps identify material surface. Exam tip: connect material identity with texture.
Step 3
Exam Tip
बनावट सामग्री की सतह पहचानने में मदद करती है। परीक्षा में material identity को texture से जोड़ें।
A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या/Any non-zero real number
Step 1
Concept
The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या / Any non-zero real number. The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
Step 3
Exam Tip
योग (a) और गुणनफल (a) दोनों समान हैं। इसलिए \(a\neq0\) के लिए हर अशून्य (a) काम करता है।
The product is \(\frac{4}{k}\), so \(\frac{4}{k}=2\) and (k=2). Product equals constant term divided by leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2). The product is \(\frac{4}{k}\), so \(\frac{4}{k}=2\) and (k=2). Product equals constant term divided by leading coefficient.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल \(\frac{4}{k}\) है, इसलिए \(\frac{4}{k}=2\) और (k=2)। गुणनफल में स्थिर पद को प्रमुख गुणांक से भाग देते हैं।
C. (12) वर्ष और (18) वर्ष/(12) years and (18) years
Step 1
Concept
If one age is (x), the other is (30-x). From (x(30-x)=216), we get (12) and (18).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12) वर्ष और (18) वर्ष / (12) years and (18) years. If one age is (x), the other is (30-x). From (x(30-x)=216), we get (12) and (18).
Step 3
Exam Tip
यदि एक आयु (x) है तो दूसरी (30-x) है। (x(30-x)=216) से (12) और (18) मिलते हैं।
