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B. प्रमुख, गौण और सहायक रेखाओं के अलग स्तर से/From different levels of primary, secondary, and supporting lines
Explanation
Simple Explanation
रेखा स्तर सूचना को व्यवस्थित करते हैं। परीक्षा में दृश्य पदानुक्रम का प्रयोग लिखें। / Line levels organize information. Exam tip: mention visual hierarchy.
A. सरल सीमा और दिशा बनाकर/By making simple boundary and direction
Explanation
Simple Explanation
सरल रेखा चिह्न को जल्दी पहचानने योग्य बनाती है। परीक्षा में sign design में simple line रखें। / Simple line makes a sign quickly recognizable. Exam tip: keep simple line in sign design.
A. क्योंकि पास वस्तु सामान्यतः अधिक स्पष्ट दिखती है/Because near object generally appears clearer
Explanation
Simple Explanation
स्पष्टता का अंतर दूरी बताता है। परीक्षा में clarity gradient को depth cue मानें। / Difference in clarity shows distance. Exam tip: treat clarity gradient as depth cue.
A. गहराई कमजोर और अधूरी लग सकती है/Depth may look weak and incomplete
Explanation
Simple Explanation
गहराई कई संकेतों से मजबूत होती है। परीक्षा में आकार के साथ मान और स्पष्टता भी लिखें। / Depth becomes stronger with many cues. Exam tip: write value and clarity along with size.
C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\)/Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\)
Explanation
Simple Explanation
केवल पहले तीन पदों की जांच पूरे अनुक्रम के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में पूरी शर्त में हर (n) या सभी लगातार पद शामिल होने चाहिए। / Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा/It remains the old common difference
Explanation
Simple Explanation
हर पद में समान संख्या जोड़ने से लगातार अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान स्थानांतरण को अंतर पर असरहीन मानें। / Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता/(d) cannot be determined
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में \(a_2+a_4=2a_3\) अपने-आप सही होता है, इसलिए (d) नहीं मिलता। परीक्षा में पहचानें कि दी गई सूचना नई है या केवल पहचान है। / In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Explanation
Simple Explanation
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं। / Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
C. यह (3) और (4) के बीच होगा/It will be between (3) and (4)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(3^2<12<4^2\), इसलिए \(\sqrt{12}\) (3) और (4) के बीच है। वर्गमूल संख्या को छोटा कर सकता है। / Since \(3^2<12<4^2\), \(\sqrt{12}\) lies between (3) and (4). A square root can be much smaller than the number.
A. कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या/Any non-zero real number
Explanation
Simple Explanation
योग (a) और गुणनफल (a) दोनों समान हैं। इसलिए \(a\neq0\) के लिए हर अशून्य (a) काम करता है। / The sum is (a) and the product is also (a). Therefore every non-zero (a) works.
\(a\neq0\) होने पर \(a^{0}=1\) हमेशा सही है। परीक्षा में \(0^{0}\) को इस नियम में शामिल न करें। / For \(a\neq0\), \(a^{0}=1\) is always true. In exams, do not include \(0^{0}\) in this rule.
सही नियम ((uv)^n=u^nv^n) है। परीक्षा में product की power को हर factor पर अलग-अलग लगाएं। / The correct rule is ((uv)^n=u^nv^n). In exams, apply the power of a product to each factor separately.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (64) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (64), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (49) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (36) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (25) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
A. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है/Every irrational number is a real number
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। परीक्षा में संख्या पद्धति का समावेशन याद रखें। / Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the inclusion of number systems.
A. ऐसा कोई वास्तविक (n) नहीं है/No such real (n) exists
Explanation
Simple Explanation
समान शून्यकों के लिए (D=0), यानी (4-4n=0), इसलिए (n=1)। तब शून्यक (1) है, जो अपरिमेय नहीं है। / For equal zeroes, (D=0), so (4-4n=0) and (n=1). Then the zero is (1), which is not irrational.
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा/At least one coefficient will be irrational
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए। / The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या प्रतिच्छेदों की संख्या के बराबर होती है/The number of real zeroes equals the number of intersection points
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय अर्थ में हर (x)-अक्ष प्रतिच्छेद एक वास्तविक शून्यक देता है। द्विघात में वास्तविक शून्यक (0), (1), या (2) हो सकते हैं। / Geometrically each (x)-axis intersection gives one real zero. A quadratic may have (0), (1), or (2) real zeroes.
A. हर (y)-प्रतिच्छेद शून्यक होता है/Every (y)-intercept is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (x)-अक्ष से संबंधित है न कि सामान्य (y)-प्रतिच्छेद से। (y)-प्रतिच्छेद तभी शून्यक देगा जब वह मूल बिंदु हो। / A zero is related to the (x)-axis not a general (y)-intercept. A (y)-intercept gives a zero only if it is the origin.
A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है/\(\frac{1}{2}\) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक भिन्न भी हो सकता है और छूना पर्याप्त है। जरूरी बात (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0) है। / A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^4\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^4\), powers increase but no new prime factor appears.
\(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) और \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है। / \(0.\overline{36}=\frac{36}{99}\) and \(0.\overline{63}=\frac{63}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Explanation
Simple Explanation
सांत दशमलव में सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। \(q^3\) में घातें बढ़ेंगी लेकिन नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5). In \(q^3\), powers increase but no new prime factor appears.
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) और \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\) हैं इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग सांत भी हो सकता है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) and \(0.\overline{72}=\frac{72}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can be terminating.
A. यदि (q) \(10^k\) का भाजक है तो दशमलव सांत होगा/If (q) divides \(10^k\), the decimal terminates
Explanation
Simple Explanation
\(10^k\) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड होते हैं इसलिए उसके भाजक से सांत दशमलव मिलेगा। बाकी कथन अतिरिक्त गुणनखंडों के कारण हमेशा सही नहीं हैं। / \(10^k\) has only prime factors (2) and (5), so any divisor gives a terminating decimal. The other statements are not always true because extra factors may occur.
\(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) और \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), इसलिए योग (1) है। दो आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत हो सकता है। / \(0.\overline{54}=\frac{54}{99}\) and \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}\), so their sum is (1). The sum of two recurring decimals can sometimes be terminating.
C. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal terminates
Explanation
Simple Explanation
सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। / A decimal terminates when the reduced denominator has only (2) and (5). The other statements are incomplete because other prime factors may also be present.
A. केवल (2) और (5) हो सकते हैं/Only (2) and (5) can occur
Step 1
Concept
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर (q) में केवल (2) और (5) हो सकते हैं। / For a terminating decimal, the reduced denominator (q) can contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(q^2\) में भी उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों की घातें बढ़ेंगी, नया अभाज्य गुणनखंड नहीं आएगा। / In \(q^2\), the powers of the same primes increase, but no new prime factor appears.
Step 3
Exam Tip
घात बदल सकती है, अभाज्य प्रकार नहीं। / Powers may change, but the prime types do not.
A. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal will terminate
Step 1
Concept
नियम सरलतम हर पर लागू होता है। / The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(q=2^m5^n\), तो हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि (q) में अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। / If \(q=2^m5^n\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates. The other statements are incomplete because (q) may contain other prime factors.
Step 3
Exam Tip
हमेशा और कभी नहीं जैसे शब्दों पर सावधानी रखें। / Be careful with words like always and never.
\(\frac{7}{90}=\frac{7}{9\cdot 10}\) है। / \(\frac{7}{90}=\frac{7}{9\cdot 10}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{7}{9}=0.\overline{7}\), इसलिए (10) से भाग देने पर \(0.0\overline{7}\) मिलता है। / \(\frac{7}{9}=0.\overline{7}\), so dividing by (10) gives \(0.0\overline{7}\).
Step 3
Exam Tip
हर में (10) होने से दशमलव एक स्थान आगे खिसकता है। / A factor (10) in the denominator shifts the decimal one place.
\(9=3^2\), इसलिए सरलतम हर में (3) का गुणनखंड है। / \(9=3^2\), so the reduced denominator contains the prime factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असांत आवर्ती होता है। / If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त संख्याओं को पहले अभाज्य रूप में तोड़ें। / Break composite factors into primes first.
C. यह असांत आवर्ती होगा/It is non-terminating recurring
Step 1
Concept
हर में (7) है और अंश (1) होने से वह कट नहीं सकता। / The denominator has (7), and the numerator (1) cannot cancel it.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (7) बचता है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The reduced denominator has (7) besides (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) की मौजूदगी सांत होने की गारंटी नहीं देती। / Having (2) and (5) in the denominator does not guarantee termination.
C. सरलतम हर में केवल (2) और (5) हों तो दशमलव सांत होगा/If the reduced denominator has only (2) and (5), the decimal terminates
Step 1
Concept
दशमलव का प्रकार सरलतम रूप के हर से तय होता है। / The decimal type is decided by the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों, तो दशमलव सांत होता है। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि हर में (3), (7) आदि भी हो सकते हैं। / If the reduced denominator has only factors (2) and (5), the decimal terminates. The other statements are incomplete because factors like (3) or (7) may also be present.
Step 3
Exam Tip
हमेशा शब्द देखकर सावधानी रखें। / Be careful with words like always.
हर \(2^2\cdot 5^3\) है। / The denominator is \(2^2\cdot 5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(10^k=2^k\cdot 5^k\) बनाने के लिए दोनों घात बराबर करनी होती हैं। बड़ी घात (3) है, इसलिए (k=3)। / Since \(10^k=2^k\cdot 5^k\), the powers must become equal. The larger power is (3), so (k=3).
Step 3
Exam Tip
\(10^k\) बनाते समय दोनों अभाज्य घातों को समान करने का विचार रखें। / To form \(10^k\), make the powers of (2) and (5) equal.
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The square root of a prime number is usually irrational.
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। / Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें। / Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। / Subtracting a rational number from an irrational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=(q-p)+p) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If the result were rational, then (q=(q-p)+p) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें। / Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers.
परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। / Subtracting an irrational number from a rational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=p-(p-q)) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If the result were rational, then (q=p-(p-q)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें। / Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers.
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बनती। / Adding a rational number cannot make an irrational number rational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (r+s) परिमेय मान लें, तो (s=(r+s)-r) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (r+s) were rational, then (s=(r+s)-r) would be rational, which is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
ऐसे नियमों को उलटा सोचकर भी जांच सकते हैं। / Such rules can also be checked by reverse reasoning.
A. दोनों संख्याओं का गुणनफल (9450) है/The product of the two numbers is (9450)
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणनफल \(15\times 630=9450\) निश्चित है। योग या संख्याएँ अलग जानकारी के बिना निश्चित नहीं होतीं। / Therefore, the product is \(15\times 630=9450\). The sum or the exact numbers are not fixed without more information.
Step 3
Exam Tip
संबंध आधारित प्रश्न में केवल निश्चित रूप से सिद्ध होने वाला कथन चुनें। / In relation-based questions, choose only what is definitely proved.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। / In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उत्तर (ab) है। / Therefore, the answer is (ab).
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। / In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उत्तर (ab) है। / Therefore, the answer is (ab).
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। / In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उत्तर (ab) है। / Therefore, the answer is (ab).
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। / In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उत्तर (ab) है। / Therefore, the answer is (ab).
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। / In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उत्तर (ab) है। / Therefore, the answer is (ab).
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यह संबंध अभाज्य घातों से भी समझ आता है क्योंकि छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। / This also follows from prime powers because the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उत्तर (ab) है। / Therefore, the answer is (ab).
A. 1 से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Every number greater than 1 has a unique prime factorisation except for order
Step 1
Concept
मूल प्रमेय 1 से बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। / The theorem is about prime factorisation of numbers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
यह गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। / This factorisation is unique except for order.
Step 3
Exam Tip
इसे महत्तम समापवर्तक या सह-अभाज्यता के अलग नियमों से न मिलाएं। / Do not mix it with separate rules of HCF or co-primality.
A. 1 न अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। / A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है। / 1 has only one positive factor, so it is not prime.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त संख्या के लिए दो से अधिक भाजक चाहिए, इसलिए 1 संयुक्त भी नहीं है। / A composite number needs more than two factors, so 1 is not composite either.
A. हर संयुक्त संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Every composite number has a unique prime factorisation except for order
Step 1
Concept
प्रमेय का मुख्य विचार अभाज्य गुणनखंडन है। / The main idea of the theorem is prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
1 से बड़ी हर संयुक्त संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में निश्चित रूप से लिखा जा सकता है। / Every composite number greater than 1 can be written in a fixed way as prime factors.
Step 3
Exam Tip
क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते। / The order may change, but the prime factors do not change.
A. 1 न अभाज्य है और न संयुक्त/1 is neither prime nor composite
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए। / A prime number must have exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है। / 1 has only one positive factor, so it is not prime.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त संख्या के भी दो से अधिक भाजक चाहिए, इसलिए 1 संयुक्त भी नहीं है। / A composite number needs more than two factors, so 1 is not composite either.
A. धनात्मक पूर्णांक जो 1 से बड़े हों/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। / This theorem is about writing positive integers greater than 1 as products of primes.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सही चर्चा ऐसी संख्याओं की है जो 1 से बड़ी हों। / So it discusses numbers greater than 1.
Step 3
Exam Tip
1 को इस प्रमेय के सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल न करें। / Do not include 1 in the usual prime factorisation statement.
भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। / When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.
Step 2
Why this answer is correct
19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। / 19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें। / In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor.
B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। / The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। / For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है। / Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct.
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। / The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
(a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। / In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें। / In meaning-based questions, understand both the formula and the words.
A. क्योंकि सांस्कृतिक प्रतीकों और स्मृतियों ने भी लोगों को जोड़ा/Because cultural symbols and memories also united people
Step 1
Concept
राजनीतिक मांगें महत्त्वपूर्ण थीं, पर राष्ट्रवाद केवल मांगों से नहीं बना। / Political demands were important, but nationalism did not grow from demands alone.
Step 2
Why this answer is correct
गीत, झंडे, चित्र, लोककथाएँ और इतिहास ने लोगों को भावनात्मक रूप से जोड़ा। / Songs, flags, images, folk tales and history emotionally connected people.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में राजनीतिक और सांस्कृतिक दोनों आधारों को साथ लिखें। / In exams, write both political and cultural bases together.
A. पिछड़ा और शासन के योग्य नहीं/Backward and unfit for self-rule
Step 1
Concept
औपनिवेशिक इतिहासकारों ने भारतीय समाज को कमजोर दिखाने की कोशिश की। / Colonial historians tried to show Indian society as weak.
Step 2
Why this answer is correct
इससे वे अंग्रेजी शासन को आवश्यक सिद्ध करना चाहते थे। / Through this, they wanted to justify British rule.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में औपनिवेशिक दृष्टिकोण और राष्ट्रवादी प्रतिक्रिया में अंतर लिखें। / In exams, differentiate between the colonial view and the nationalist response.
A. क्योंकि सरल जीव भी अपने वातावरण में सफल रह सकते हैं/Because simple organisms can also be successful in their environment
Step 1
Concept
विकास का अर्थ केवल अधिक जटिल बनना नहीं है। / Evolution does not only mean becoming more complex.
Step 2
Why this answer is correct
जीव की सफलता वातावरण में टिकने पर निर्भर करती है। / Success of an organism depends on survival in its environment.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरल जीव भी सफल हो सकते हैं और विकास को केवल प्रगति नहीं कहना चाहिए। / Therefore simple organisms can also be successful and evolution should not be called only progress.
A. जब ग्राही सही काम करे पर प्रभावक प्रतिक्रिया न दे/When receptor works correctly but effector does not respond
Step 1
Concept
नियंत्रण में ग्राही संदेश मार्ग नियंत्रण केंद्र और प्रभावक सभी जरूरी हैं। / Control needs receptor pathway control centre and effector.
Step 2
Why this answer is correct
किसी एक भाग में खराबी से प्रतिक्रिया रुक सकती है। / Damage in any part can stop the response.
Step 3
Exam Tip
इसलिए पूरा मार्ग समझना केवल नाम याद करने से अधिक महत्वपूर्ण है। / Therefore understanding the complete pathway is more important than memorising names.
A. उद्दीपन की पहचान संदेश का संचरण निर्णय और प्रभावक द्वारा प्रतिक्रिया/Detection of stimulus transmission of message decision and response by effector
Step 1
Concept
नियंत्रण और समन्वय उद्दीपन की पहचान से शुरू होता है। / Control and coordination begins with detection of a stimulus.
Step 2
Why this answer is correct
संदेश उपयुक्त मार्ग से नियंत्रण केंद्र तक जाता है। / The message travels through a suitable pathway to the control centre.
Step 3
Exam Tip
फिर प्रभावक उचित प्रतिक्रिया देता है। / Then the effector gives an appropriate response.
A. प्रतिवर्ती क्रिया तेज और अनैच्छिक होती है जबकि ऐच्छिक क्रिया इच्छा और सोच से जुड़ती है/Reflex action is fast and involuntary while voluntary action is linked with will and thought
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती क्रिया चोट से बचाने के लिए तेज होती है। / Reflex action is quick to protect from injury.
Step 2
Why this answer is correct
ऐच्छिक क्रिया में सोच और इच्छा की भूमिका होती है। / Voluntary action involves thought and will.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों के नियंत्रण मार्ग और गति में अंतर होता है। / Therefore their control pathways and speed are different.
A. राष्ट्रवाद ने लक्ष्य दिया और राज्य शक्ति ने कई जगह उसे लागू किया/Nationalism gave the goal and state power implemented it in many places
Step 1
Concept
जर्मनी और इटली में राष्ट्रीय एकता की भावना थी। / Germany and Italy had the feeling of national unity.
Step 2
Why this answer is correct
पर लक्ष्य पूरा करने के लिए प्रशा और सार्डिनिया पीडमॉंट जैसे राज्यों की शक्ति लगी। / But the goal needed the power of states like Prussia and Sardinia Piedmont.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विचार और राज्य शक्ति दोनों को साथ समझें। / Therefore understand both idea and state power together.
B. क्योंकि अम्ल और क्षार से लवण तथा जल दोनों बनते हैं/Because acid and base form both salt and water
Step 1
Concept
अम्ल और क्षार की अभिक्रिया उदासीनीकरण कहलाती है। / The reaction between an acid and a base is called neutralisation.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें अम्ल के आयन और क्षार के आयन मिलकर जल बनाते हैं तथा शेष आयन लवण बनाते हैं। / Hydrogen ions and hydroxide ions form water, while the remaining ions form a salt.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उत्तर लिखते समय लवण और जल दोनों का उल्लेख करें। / Therefore both salt and water must be mentioned.
