HCF contains only the prime factors common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest exponent of (2) is (3) and of (3) is (1). (5) and (7) are not common to all. Hence the answer is \(2^3\times 3\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, first identify prime factors common to all. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल वे अभाज्य गुणनखंड आते हैं जो तीनों में हों। चरण 2: (2) का छोटा घातांक (3) और (3) का छोटा घातांक (1) है। (5) और (7) तीनों में साथ नहीं हैं। इसलिए उत्तर \(2^3\times 3\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में समान गुणनखंड पहचानना सबसे जरूरी है।
For LCM, take the greater exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\).
Step 3
Exam Tip
While finding LCM, do not leave out any prime factor. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के बड़े घातांक लिए जाते हैं। चरण 2: \(2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\) मिलता है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य निकालते समय कोई भी अभाज्य गुणनखंड छोड़ना नहीं चाहिए।
दो संख्याएँ \(2^a\times 3\times 5^2\) और \(2^2\times 3^4\times 5^b\) हैं। यदि उनका लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^4\times 5^3\) है, तो ((a,b)) क्या होगा?
For (2), (\max(a,2)=5), so (a=5). For (5), (\max(2,b)=3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
To match an LCM, compare the required largest exponents. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़े घातांक आते हैं। चरण 2: (2) के लिए (\max(a,2)=5), इसलिए (a=5)। (5) के लिए (\max(2,b)=3), इसलिए (b=3)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में लक्ष्य घातांक पाने के लिए बड़े घातांक की तुलना करें।
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3^2\) है और उनका लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^2\times 5\times 7\) है। यदि एक संख्या \(2^5\times 3^2\times 5\) है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
दो संख्याएँ \(2^a\times 3^2\times 5\) और \(2^4\times 3^b\times 7\) हैं। यदि उनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\) है, तो ((a,b)) के लिए कौन सा विकल्प सही है?
In the HCF, the exponent of (2) must be (\min(a,4)=3), so (a=3) fits.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) must be (\min(2,b)=2), so \(b\geq 2\); among the options, ((3,2)) fits.
Step 3
Exam Tip
For unknown exponents, apply the smaller-exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) का घातांक (\min(a,4)=3) होना चाहिए, इसलिए (a=3) संभव है। चरण 2: (3) का घातांक (\min(2,b)=2) होना चाहिए, इसलिए \(b\geq 2\); दिए विकल्पों में ((3,2)) सही बैठता है। चरण 3: अज्ञात घातांक वाले प्रश्न में छोटे घातांक का नियम लगाएँ।
LCM includes every prime factor appearing in either number.
Step 2
Why this answer is correct
The primes are (2), (3), (5), and (11). So there are (4) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
While counting distinct factors, do not count powers separately. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाली सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल होती हैं। चरण 2: यहाँ अभाज्य संख्याएँ (2), (3), (5), और (11) हैं। इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (4) है। चरण 3: अलग-अलग गुणनखंड गिनते समय घातांक को अलग से न गिनें।
HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
First form the HCF, then add its exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए।
\(This relation is very useful in two-number problems. चरण 1: दो संख्याओं के लिए (xy=\)महत्तम समापवर्तक\(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य) होता है। चरण 2: इसलिए (xy) को महत्तम समापवर्तक से भाग देने पर लघुत्तम समापवर्त्य मिलता है। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
The HCF is \(2^3\times 3^2\times 5\) and the LCM is \(2^5\times 3^4\times 5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(On division, subtract exponents, so (\frac{\)LCM}{HCF\(}=2^2\times 3^2\times 5).\)
Step 3
Exam Tip
In such ratios, subtract smaller exponents from larger exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\times 5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^4\times 5^2\) होगा। \(चरण 2: भाग देने पर घातांक घटेंगे, इसलिए (\frac{\)लघुत्तम समापवर्त्य}{महत्तम समापवर्तक}=22\times 32\times 5)। चरण 3: अनुपात में बड़े घातांक से छोटे घातांक घटाएँ।
When the product is asked, you need not find HCF and LCM separately. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: घातांक जोड़ने पर \(2^{3+2}\times 3^{2+4}\times 5\times 7=2^5\times 3^6\times 5\times 7\)। चरण 3: जब गुणनफल पूछा हो, तो अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालना जरूरी नहीं।
The exponents of (2) are (5) and (3), so the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the maximum exponent. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (2) की घातें (5) और (3) हैं, इसलिए बड़ी घात (5) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए अधिकतम घात चुनें।
In HCF, take the smaller exponent of a common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (3) are (2) and (4), so the smaller exponent is (2).
Step 3
Exam Tip
For HCF, remember the minimum exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) हैं, इसलिए छोटी घात (2) होगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए न्यूनतम घात याद रखें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों।
The exponents of (3) are (2) and (3), so the larger exponent is (3).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the maximum exponent. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (3) हैं, इसलिए बड़ी घात (3) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात चुनें।
In HCF, take the smaller exponent of a common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (2) are (4) and (2), so the smaller exponent is (2).
Step 3
Exam Tip
For HCF, remember the minimum exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (2) की घातें (4) और (2) हैं, इसलिए छोटी घात (2) होगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए न्यूनतम घात याद रखें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose only bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें।
The prime factors of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
The second number has (2,3,7), so (5) is not common.
Step 3
Exam Tip
To check common factors, compare the prime bases. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,7) हैं, इसलिए (5) समान नहीं है। चरण 3: समानता देखते समय केवल मौजूद अभाज्य आधारों की तुलना करें।
LCM takes the greatest exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest exponent of (2) is (4), of (3) is (5), and of (5) is (2). So the answer is \(2^4\times 3^5\times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Any prime appearing in at least one number must appear in the LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के सबसे बड़े घातांक लिए जाते हैं। चरण 2: (2) का बड़ा घातांक (4), (3) का (5), और (5) का (2) है। इसलिए उत्तर \(2^4\times 3^5\times 5^2\)। चरण 3: जो अभाज्य संख्या किसी एक संख्या में भी हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में आती है।
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
For two numbers, their product equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) in the product is (2+5=7).
Step 3
Exam Tip
If only one prime exponent is asked, add only that prime's exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) का घातांक (2+5=7) होगा। चरण 3: केवल पूछे गए अभाज्य का घातांक जोड़कर जल्दी उत्तर मिल सकता है।
\(2^5\) can supply (2) five times, but \(3^3\) can supply \(3^2\) only once. So the answer is (1).
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, the most limiting prime exponent decides the answer. चरण 1: \(18=2 \times 3^2\) है। चरण 2: \(2^5\) से (2) पांच बार मिल सकता है, पर \(3^3\) से \(3^2\) केवल एक बार पूरा मिलता है। इसलिए उत्तर (1) है। चरण 3: संयुक्त भाजक में सबसे सीमित अभाज्य घात उत्तर तय करती है।
From \(2^3\), \(2^2\) can be taken only (1) full time, while \(3^2\) can supply (3) twice. The limiting exponent is for (2), so the answer is (1).
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, check each required prime separately. चरण 1: \(12=2^2 \times 3\) है। चरण 2: \(2^3\) से \(2^2\) केवल (1) बार पूरा मिलता है, जबकि \(3^2\) से (3) दो बार मिल सकता है। सीमा (2) की घात तय करती है, इसलिए उत्तर (1) है। चरण 3: संयुक्त भाजक में हर अभाज्य की जरूरत अलग-अलग जांचें।
The exponent of (2) is (4) and of (5) is (3), so (3) pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The maximum divisions by (10) equals the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) होता है। चरण 2: (2) की घात (4) और (5) की घात (3) है, इसलिए (10) के जोड़े (3) बनेंगे। चरण 3: (10) से भाग की अधिकतम संख्या छोटी घात से मिलती है।
A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। चरण 2: यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
The exponent of (2) is (3), of (3) is (2), and of (7) is (2). The greatest exponent is (3), attached to (2).
Step 3
Exam Tip
Read the base and exponent separately while comparing. चरण 1: सभी अभाज्य घातों की तुलना करें। चरण 2: (2) की घात (3), (3) की घात (2) और (7) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (3) है, जो (2) के साथ है। चरण 3: सबसे बड़ी घात देखते समय आधार और घात को अलग-अलग पढ़ें।
To get the greatest odd factor, remove all powers of (2). चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2^3\) हटाने पर \(3^2 \times 5^2=9 \times 25=225\) बचता है। चरण 3: सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए सभी (2) हटा दें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
Here the exponents are (4,2,2), and all are even, so (N) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
To identify a perfect square, check whether the exponents are even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: यहां घातें (4,2,2) हैं और सभी सम हैं, इसलिए (N) पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए घातों की समता देखें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) is fine, while \(3^3\) needs one (3) and (5) needs one (5), so the multiplier is (15).
Step 3
Exam Tip
Multiply only by primes with odd exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) और (5) को \(5^2\) बनाने के लिए \(3 \times 5=15\) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों वाले अभाज्यों को एक बार और गुणा करें।
The prime bases here are (2,3,11), and the greatest is (11).
Step 3
Exam Tip
Do not treat a composite value like (9) as a prime factor. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। चरण 2: यहां अभाज्य आधार (2,3,11) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (11) है। चरण 3: (9) जैसे संयुक्त मान को अभाज्य गुणनखंड न मानें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Exponents are not counted as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य गुणनखंड नहीं माना जाता।
Evaluating powers first makes the calculation simple. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^2=9\) है। चरण 2: \(4 \times 9 \times 11=36 \times 11=396\)। चरण 3: पहले घातों को हल करना गणना को सरल बनाता है।
The exponents are (4,1,2), so the total is (4+1+2=7).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is shown, take it as (1). चरण 1: कुल आवृत्ति घातों के योग से मिलती है। चरण 2: घातें (4,1,2) हैं, इसलिए कुल (4+1+2=7) है। चरण 3: जहां घात नहीं दिखती, वहां घात (1) मानी जाती है।
To count total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget that an unwritten exponent is (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\)। चरण 3: बिना लिखी घात को (1) मानना न भूलें।
\(45=3^2 \times 5\) and \(10=2 \times 5\), so \(450=2 \times 3^2 \times 5^2\). Thus (a=1, b=2), so (a+b=3).
Step 3
Exam Tip
Combine like prime factors when finding unknown exponents. चरण 1: (450) को \(45 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(45=3^2 \times 5\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(450=2 \times 3^2 \times 5^2\)। अतः (a=1, b=2), इसलिए (a+b=3)। चरण 3: अज्ञात घातों को मिलाते समय समान अभाज्यों को जोड़ें।
Multiplying after evaluating powers keeps the calculation clear. चरण 1: पहले \(2^3\) का मान निकालें। चरण 2: \(2^3=8\), इसलिए \(8 \times 3 \times 7=168\)। चरण 3: घात हल करने के बाद गुणा करने से गणना साफ रहती है।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें।
The exponent of (2) is (2), of (3) is (1), and of (5) is (2). The greatest exponent is (2), shared by (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
If exponents are equal, more than one prime base may be correct. चरण 1: घातों की तुलना करें। चरण 2: (2) की घात (2), (3) की घात (1) और (5) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (2) है जो (2) और (5) दोनों के साथ है। चरण 3: बराबर घात होने पर दोनों आधार सही हो सकते हैं।
To make the smallest even multiple, multiplying by one (2) is enough.
Step 3
Exam Tip
When the smallest multiple is asked, do not increase exponents unnecessarily. चरण 1: दी गई संख्या में (2) नहीं है, इसलिए वह विषम है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटा गुणज पूछे जाने पर अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
After removing \(2^2\), we get \(3^3 \times 5=27 \times 5=135\).
Step 3
Exam Tip
To get the greatest odd factor, remove all powers of (2). चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2^2\) हटाने पर \(3^3 \times 5=27 \times 5=135\) बचता है। चरण 3: सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए सभी (2) हटा दें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
Here every exponent is (2), so (N) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
To identify a perfect square, check whether exponents are even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: यहां हर घात (2) है, इसलिए (N) पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए घातों की समता देखें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2,4), so (3); for (3), choices are (0,2), so (2); for (5), only (0), so (1). Total \(3 \times 2 \times 1=6\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
The prime bases here are (2,3,5), and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
Do not treat a number like (9) as a prime factor. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं होती हैं। चरण 2: यहां अभाज्य आधार (2,3,5) हैं, जिनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: (9) जैसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड न मानें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,7), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,7) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड न गिनें।
Calculate the number yourself before checking the options. चरण 1: \(2^4=16\) होता है। चरण 2: \(16 \times 3 \times 5=16 \times 15=240\)। चरण 3: विकल्पों में जाने से पहले स्वयं संख्या निकालें।
Forming small products first reduces mistakes. चरण 1: \(2^2\) का मान (4) है। चरण 2: \(4 \times 3 \times 11=12 \times 11=132\)। चरण 3: छोटे गुणनफल बनाकर आगे गुणा करने से गलती कम होती है।
The exponents are (3,1,2), so the total is (3+1+2=6).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल आवृत्ति घातों के योग से मिलती है। चरण 2: यहां घातें (3,1,2) हैं, इसलिए कुल (3+1+2=6) है। चरण 3: जहां घात नहीं लिखी होती, वहां घात (1) मानी जाती है।
\(4=2^2\) and \(63=3^2 \times 7\), so (a=2) and (b=2). Hence (a+b=4).
Step 3
Exam Tip
Match prime bases to identify unknown exponents. चरण 1: (252) को \(4 \times 63\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(63=3^2 \times 7\), इसलिए (a=2) और (b=2)। अतः (a+b=4)। चरण 3: अज्ञात घातों को पहचानने के लिए अभाज्य आधारों को मिलाएं।
\(2^2=4\) and \(3^3=27\), so \(4 \times 27 \times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
Solving powers before multiplication is a safe method. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^2=4\) और \(3^3=27\), इसलिए \(4 \times 27 \times 5=540\)। चरण 3: गणना में पहले घात और फिर गुणा करना सुरक्षित तरीका है।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
Here (2,3,5) are prime factors, and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
When the greatest prime factor is asked, do not choose a composite number. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं हैं। चरण 2: यहां (2,3,5) अभाज्य गुणनखंड हैं, इनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड पूछे जाने पर संयुक्त संख्या को विकल्प न चुनें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
Here every exponent is (2), so (n) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
To identify a perfect square, check whether exponents are even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: यहां हर घात (2) है, इसलिए (n) पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए घातों की समता देखें।
Do not forget primes with exponent (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ें। चरण 2: \((2+1)(1+1)(1+1)=3 \times 2 \times 2=12\)। चरण 3: घात (1) वाले अभाज्य को गिनना न भूलें।
For total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\).
Step 3
Exam Tip
If an exponent is not shown, take it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: जिस अभाज्य पर घात न दिखे, उसकी घात (1) मानें।
Add the exponents to find the total frequency of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (2,1,2), so the total is (2+1+2=5).
Step 3
Exam Tip
When no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल आवृत्ति जानने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: घातें (2,1,2) हैं, इसलिए कुल (2+1+2=5) है। चरण 3: जहां घात नहीं लिखी होती, वहां घात (1) मानी जाती है।
Multiply completely before selecting the option. चरण 1: दी गई घात का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5=4 \times 3 \times 5=60\)। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले पूरा गुणा अवश्य करें।
\(2^3=8\) and \(3^2=9\), so \(8 \times 9 \times 5=360\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, solve powers before multiplying. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^3=8\) और \(3^2=9\), इसलिए \(8 \times 9 \times 5=360\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में घात हल करने के बाद ही गुणा करें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from order.
Step 2
Why this answer is correct
So the given factorisation of (N) is based on this property.
Step 3
Exam Tip
Link uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: इसलिए (N) का दिया गया अभाज्य गुणनखंडन इसी गुणधर्म पर आधारित है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को हमेशा इस प्रमेय से जोड़ें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately and multiply. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें।
Make \(2^3\) into \(2^4\) and (5) into \(5^2\); \(3^2\) is already fine.
Step 3
Exam Tip
For the smallest square multiple, increase only the necessary exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (5) को \(5^2\) बनाना होगा; \(3^2\) पहले से सही है। चरण 3: सबसे छोटे पूर्ण वर्ग गुणज में केवल जरूरी घातें ही बढ़ाएं।
The total number of factors is found by multiplying ((exponent+1)).
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या ((घात+1)) के गुणनफल से मिलती है। चरण 2: \((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\)। चरण 3: जिस अभाज्य की घात नहीं लिखी होती, उसकी घात (1) मानें।
The given number is odd because it has no factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
To make the smallest even multiple, multiply by only one (2).
Step 3
Exam Tip
Do not increase exponents unnecessarily when the smallest value is asked. चरण 1: दी गई संख्या विषम है क्योंकि इसमें (2) नहीं है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटी शर्त पूरी करने के लिए अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
For the greatest odd factor, remove all powers of (2). चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। चरण 2: सबसे बड़ा विषम गुणनखंड पाने के लिए \(2^3\) हटाकर \(3^2 \times 5=9 \times 5=45\) लें। चरण 3: विषम गुणनखंडों में सभी (2) हटा दें।
In a perfect cube, all prime exponents are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Each exponent is (3), so (N) is a perfect cube.
Step 3
Exam Tip
To identify a cube, check divisibility of exponents by (3). चरण 1: पूर्ण घन में सभी अभाज्य घातें (3) की गुणज होती हैं। चरण 2: यहां प्रत्येक घात (3) है, इसलिए (N) पूर्ण घन है। चरण 3: पूर्ण घन पहचानते समय घातों को (3) से भाग देकर देखें।
In a perfect square, every prime exponent is even.
Step 2
Why this answer is correct
Here all exponents are (2), so (N) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
To identify a square, check whether all exponents are even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। चरण 2: यहां सभी घातें (2) हैं, इसलिए (N) पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए घातों की समता जांचें।
A trailing zero comes from a pair \(10=2 \times 5\).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (3) and of (5) is (1), so there is (1) pair.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, take the smaller exponent of (2) and (5). चरण 1: अंतिम शून्य \(10=2 \times 5\) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (3) और (5) की घात (1) है, इसलिए जोड़ों की संख्या (1) है। चरण 3: अंतिम शून्य के लिए (2) और (5) में छोटी घात लें।
One pair of (2) and (5) makes (10), giving a trailing zero.
Step 2
Why this answer is correct
Remove one (2) with the (5), leaving \(2^3 \times 3^2=72\), so the last non-zero digit is (2).
Step 3
Exam Tip
After removing trailing-zero pairs, check the last digit of the remaining product. चरण 1: (2) और (5) का एक जोड़ा (10) बनाता है, जो अंतिम शून्य देता है। चरण 2: एक (5) के साथ एक (2) हटाएं, बचता है \(2^3 \times 3^2=8 \times 9=72\), इसलिए शून्य से अलग अंतिम अंक (2) है। चरण 3: अंतिम शून्य हटाने के बाद बची संख्या का अंतिम अंक देखें।
For a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For \(2^3\), even choices are (0,2); for \(3^2\), (0,2); for \(5^2\), (0,2). Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Count only even exponent choices for square factors. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घातें (0,2) यानी 2 विकल्प, (3) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प, और (5) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प हैं। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\) नहीं, ध्यान दें \(2^3\) में सम घात (0,2) ही हैं, इसलिए सही संख्या 8 है। चरण 3: पूर्ण वर्ग में केवल सम घात गिनें।
Group smaller products to calculate faster. चरण 1: पहले घात का मान निकालें। चरण 2: \(2^3=8\), इसलिए \(N=8 \times 3 \times 11=264\)। चरण 3: गुणा करते समय छोटे समूह बनाकर गणना करें।
(336,672,1008,1344) are all divisible by (336), so none is actually not divisible.
Step 3
Exam Tip
In exams, read negative wording and test every option carefully. चरण 1: \(2^4 \times 3 \times 7=16 \times 21=336\) है। चरण 2: विकल्प (336) इस संख्या के बराबर है, इसलिए विभाज्य है; प्रश्न में नहीं है, तो ध्यान दें कि दिए गए सभी विकल्प विभाज्य प्रतीत होते हैं। सही चयन के लिए विकल्पों को जांचने पर कोई भी अविभाज्य नहीं मिलता। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में शब्द नहीं और विकल्प दोनों सावधानी से पढ़ें।
Distinct prime factors are counted by their prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में आधार संख्याएं गिनी जाती हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग गुणनखंड मानकर गलती न करें।
In LCM, take the larger exponent of each prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (5) are (2) and (4), so the larger one is (4).
Step 3
Exam Tip
Remember that LCM uses maximum exponents. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य गुणनखंड की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (5) की घातें (2) और (4) हैं, इसलिए बड़ी घात (4) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात याद रखें।
In HCF, take the smaller exponent of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of (3) are (2) and (4), so the smaller one is (2).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the minimum exponent. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) हैं, इसलिए छोटी घात (2) होगी। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में हमेशा न्यूनतम घात चुनें।
In such questions, solve powers before multiplying. चरण 1: दी गई घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5^2=4 \times 3 \times 25=300\) होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले घात हल करें, फिर गुणा करें।
The bases in prime factorisation are the prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Among (2,3,7), the smallest prime number is (2).
Step 3
Exam Tip
For the smallest prime factor, look at the base, not the exponent. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में लिखी सभी संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। चरण 2: (2,3,7) में सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) है। चरण 3: सबसे छोटे गुणनखंड के लिए घात नहीं, आधार संख्या देखें।
In prime factorisation, add 1 to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
Here the number of factors is ((3+1)(2+1)(1+1)=24).
Step 3
Exam Tip
In exams, identify the exponents first and then multiply carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में घातों में 1 जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: यहां कुल गुणनखंड \((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\) हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले घातों को ध्यान से पहचानें, फिर जल्दी गुणा करें।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times58=522\).
Step 2
Why this answer is correct
\(522=59\times8+50\), so the remainder is 50.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times58=522\) होगा। चरण 2: \(522=59\times8+50\), इसलिए शेषफल 50 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times9=81\).
Step 2
Why this answer is correct
(81=52+29), so the final remainder is 29.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times9=81\) होगा। चरण 2: (81=52+29), इसलिए अंतिम शेषफल 29 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
The exponent of (2) is (7), and the exponent of (5) is (3), so (3) complete pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) है। चरण 2: (2) की घात (7) और (5) की घात (3) है, इसलिए (10) के (3) पूरे जोड़े बनेंगे। चरण 3: (10) से भाग की संख्या छोटी घात से तय होती है।
The exponent of (2) is (5) and of (5) is (2), so only (2) complete pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) है। चरण 2: (2) की घात (5) और (5) की घात (2) है, इसलिए (10) के केवल (2) पूरे जोड़े बनेंगे। चरण 3: (10) से भाग की संख्या छोटी घात से तय होती है।
The exponent of (2) is (4) and of (5) is (1), so only (1) pair of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The maximum number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) होता है। चरण 2: (2) की घात (4) और (5) की घात (1) है, इसलिए (10) का केवल (1) जोड़ा बनेगा। चरण 3: (10) से भाग की अधिकतम संख्या छोटी घात से तय होती है।
Each division by (12) uses \(2^2\) and (3). From \(2^5\), this can happen (2) times, and from \(3^2\), also (2) times.
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, check the limiting prime exponent. चरण 1: \(12=2^2 \times 3\) है। चरण 2: हर बार (12) से भाग देने पर \(2^2\) और (3) घटेंगे; \(2^5\) से अधिकतम (2) बार और \(3^2\) से अधिकतम (2) बार मिलते हैं। इसलिए उत्तर (2) है। चरण 3: संयुक्त भाजक के लिए सभी अभाज्यों की सीमा देखें।
The charge increases are \(7,10,13,\ldots\) and \(S_8=140\). Exam tip: percentage increases can also be used as AP terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (140). The charge increases are \(7,10,13,\ldots\) and \(S_8=140\). Exam tip: percentage increases can also be used as AP terms.
Step 3
Exam Tip
चार्ज वृद्धि \(7,10,13,\ldots\) है और \(S_8=140\)। परीक्षा में प्रतिशत वृद्धि को भी संख्या की तरह ए.पी. में रख सकते हैं।
A. क्योंकि 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक चक्र में आते हैं/Because division by 9 gives remainders from 0 to 8 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
Nine consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 9. चरण 1: 9 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 8 तक हैं। चरण 2: नौ लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 9 से विभाज्य होगी।
C. यह स्वतंत्र वर्गीकरण को दर्शाता है/It shows independent assortment
Step 1
Concept
A dihybrid cross studies two different traits together.
Step 2
Why this answer is correct
New combinations appear in the second generation.
Step 3
Exam Tip
The nine to three to three to one ratio indicates independent assortment. चरण 1: द्विलक्षणी संकरण में दो अलग लक्षणों को साथ देखा जाता है। चरण 2: दूसरी पीढ़ी में नए संयोजन बनते हैं। चरण 3: नौ अनुपात तीन अनुपात तीन अनुपात एक स्वतंत्र वर्गीकरण का संकेत है।
A. दो लक्षणों का स्वतंत्र वर्गीकरण/Independent assortment of two traits
Step 1
Concept
This ratio is obtained in a cross involving two traits.
Step 2
Why this answer is correct
Both parental and new combinations appear.
Step 3
Exam Tip
It is an important sign of independent assortment. चरण 1: यह अनुपात दो लक्षणों को साथ लेकर किए गए संकरण में मिलता है। चरण 2: इसमें पुराने और नए दोनों प्रकार के संयोजन बनते हैं। चरण 3: यह स्वतंत्र वर्गीकरण का महत्वपूर्ण प्रमाण है।
A. दो लक्षणों की सूचना स्वतंत्र रूप से व्यवस्थित हो सकती है/Information for two traits can assort independently
Step 1
Concept
A dihybrid cross studies two traits together.
Step 2
Why this answer is correct
New combinations appear in the second generation.
Step 3
Exam Tip
This supports the idea of independent assortment. चरण 1: द्विलक्षणी संकरण में दो लक्षण साथ देखे जाते हैं। चरण 2: दूसरी पीढ़ी में नए संयोजन दिखाई देते हैं। चरण 3: इससे स्वतंत्र वर्गीकरण का विचार समझ आता है।
Therefore the solution with pH thirteen is more basic. चरण 1: क्षारीयता पीएच बढ़ने पर बढ़ती है। चरण 2: तेरह का पीएच नौ से अधिक है। चरण 3: इसलिए पीएच तेरह वाला विलयन अधिक क्षारीय होगा।
Form (f=4s+2) and (f+8=3(s+8)), then solve. In exams, add the same number of years to both ages for future age.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6) वर्ष / (6) years. Form (f=4s+2) and (f+8=3(s+8)), then solve. In exams, add the same number of years to both ages for future age.
Step 3
Exam Tip
(f=4s+2) और (f+8=3(s+8)) बनाकर हल करें। परीक्षा में भविष्य की आयु में दोनों की आयु में समान वर्ष जोड़ें।
(\(2^5\)^{\frac{2}{5}}=22=4) and (\(3^3\)^{\frac{1}{3}}=3), so the product is (12). In exams, apply the power of a power law.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (,12,). (\(2^5\)^{\frac{2}{5}}=22=4) and (\(3^3\)^{\frac{1}{3}}=3), so the product is (12). In exams, apply the power of a power law.
Step 3
Exam Tip
(\(2^5\)^{\frac{2}{5}}=22=4) और (\(3^3\)^{\frac{1}{3}}=3), इसलिए गुणनफल (12) है। परीक्षा में power of power नियम लगाएं।
\(9^2=3^4\) and \(27^{-1}=3^{-3}\), so the value is \(3^{-2+4-(-3)}=3^5=243\). In exams, be careful while subtracting a negative exponent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (,243,). \(9^2=3^4\) and \(27^{-1}=3^{-3}\), so the value is \(3^{-2+4-(-3)}=3^5=243\). In exams, be careful while subtracting a negative exponent.
Step 3
Exam Tip
\(9^2=3^4\) और \(27^{-1}=3^{-3}\), इसलिए मान \(3^{-2+4-(-3)}=3^5=243\) है। परीक्षा में negative exponent घटाते समय सावधान रहें।
Taking \(10^4\) common in the numerator gives \(\dfrac{10^4(10-1)}{9\times 10^3}=10\). In exams, taking a common factor makes calculation easier.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (,10,). Taking \(10^4\) common in the numerator gives \(\dfrac{10^4(10-1)}{9\times 10^3}=10\). In exams, taking a common factor makes calculation easier.
Step 3
Exam Tip
ऊपर \(10^4\) common लेने पर \(\dfrac{10^4(10-1)}{9\times 10^3}=10\) मिलता है। परीक्षा में common factor लेने से गणना आसान होती है।
Here \(9^{-1}=3^{-2}\) and \(27^{-1}=3^{-3}\), so the value is \(3^{4-2-(-3)}=3^5=243\). In exams, convert all terms to the same base.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (,243,). Here \(9^{-1}=3^{-2}\) and \(27^{-1}=3^{-3}\), so the value is \(3^{4-2-(-3)}=3^5=243\). In exams, convert all terms to the same base.
Step 3
Exam Tip
यहां \(9^{-1}=3^{-2}\) और \(27^{-1}=3^{-3}\), इसलिए मान \(3^{4-2-(-3)}=3^5=243\) है। परीक्षा में सभी पदों को समान आधार में बदलें।
Inside, \(a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{3}{2}}=a^2\), so (\dfrac{\(a^2\)2}{a-3}=a). In exams, solve fractional exponents using the usual exponent rules.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (,a,). Inside, \(a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{3}{2}}=a^2\), so (\dfrac{\(a^2\)2}{a-3}=a). In exams, solve fractional exponents using the usual exponent rules.
Step 3
Exam Tip
अंदर \(a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{3}{2}}=a^2\), इसलिए (\dfrac{\(a^2\)2}{a-3}=a)। परीक्षा में fractional exponents को भी सामान्य घात नियम से हल करें।
