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\(q(t)=0\) का अर्थ है कि \(q(x)\) में \(x=t\) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है। इसलिए \(t\) उस द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है। घात बहुपद की उच्चतम घात होती है, जबकि अचर पद और गुणांक समीकरण के पदों से संबंधित होते हैं। परीक्षा-टिप: किसी समीकरण \(q(x)=0\) का मूल जाँचने के लिए उस मान को \(x\) के स्थान पर रखकर देखें कि \(q(x)=0\) मिलता है या नहीं। / The condition \(q(t)=0\) means that substituting \(x=t\) into \(q(x)\) makes the equation true. Therefore, \(t\) is called a root of the quadratic equation. The degree is the highest power of the polynomial, while the constant term and coefficient are parts of its terms. Exam tip: To verify whether a number is a root of \(q(x)=0\), substitute it for \(x\) and check whether the result is zero.
समीकरण में \(x=5\) रखने पर \(5^2-10(5)+25=25-50+25=0\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) इसका मूल है। वास्तव में, \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), अतः 5 दोहराया हुआ मूल है; \(x=-5\) रखने पर मान 100 आता है। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे बहुपद में रखकर मान शून्य होना चाहिए। / Substituting \(x=5\) into the equation gives \(5^2-10(5)+25=25-50+25=0\). Therefore, \(x=5\) is a root. In fact, \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so 5 is a repeated root; substituting \(x=-5\) gives 100, not zero. Exam tip: a number is a root of a polynomial only when substitution makes the polynomial equal to zero.
समीकरण में \(x=-3\) रखने पर \(2(-3)^2+7(-3)+3=18-21+3=0\) प्राप्त होता है। अतः \(x=-3\) इस द्विघात समीकरण का मूल है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=3\) रखने पर मान \(18+21+3=42\) आता है, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे बहुपद में रखकर प्राप्त मान शून्य होना चाहिए। / Substituting \(x=-3\) gives \(2(-3)^2+7(-3)+3=18-21+3=0\). Therefore, \(x=-3\) is a root of the quadratic equation. Option C is incorrect because substituting \(x=3\) gives \(18+21+3=42\), not zero. Exam tip: a number is a root of a polynomial if substitution makes the polynomial equal to zero.
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\)। अतः \((x-5)(x-9)=0\) से \(x=5\) या \(x=9\), इसलिए सही मूल 5 और 9 हैं। विकल्प B में गुणनफल 45 तो है, लेकिन योग 18 है, 14 नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग 14 और गुणनफल 45 जाँचकर उत्तर की पुष्टि करें। / Factorise the quadratic: \(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\). Thus, \((x-5)(x-9)=0\) gives \(x=5\) or \(x=9\). Therefore, the roots are 5 and 9. In option B, the product is 45, but the sum is 18 rather than 14. Exam tip: verify the roots using sum \(=14\) and product \(=45\).
दिए गए द्विघात को गुणनखंडित करने पर \(4x^2-17x+4=(4x-1)(x-4)\) प्राप्त होता है। अतः \(4x-1=0\) से \(x=\frac{1}{4}\) और \(x-4=0\) से \(x=4\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D के मूलों का योग और गुणनफल इस समीकरण के आवश्यक मानों से मेल नहीं खाते। परीक्षा-युक्ति: मूलों की जाँच के लिए उनका योग \(\frac{17}{4}\) और गुणनफल \(1\) होना चाहिए। / Factoring the quadratic gives \(4x^2-17x+4=(4x-1)(x-4)\). Thus, \(4x-1=0\) gives \(x=\frac{1}{4}\), and \(x-4=0\) gives \(x=4\). Therefore, option A is correct. The values in option D do not have the required sum and product for the roots. Exam tip: verify the roots using their sum \(\frac{17}{4}\) and product \(1\).
दिए गए द्विघात को गुणनखंडित करने पर \(5x^2+16x+3=(5x+1)(x+3)\) मिलता है। अतः \((5x+1)(x+3)=0\) से \(x=-\frac{1}{5}\) या \(x=-3\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर दोनों मूल निकालें और मूलों का योग \(-\frac{16}{5}\) तथा गुणनफल \(\frac{3}{5}\) से जाँच करें। / Factoring the quadratic gives \(5x^2+16x+3=(5x+1)(x+3)\). Hence, \((5x+1)(x+3)=0\) gives \(x=-\frac{1}{5}\) or \(x=-3\), so option A is correct. Exam tip: Set each factor equal to zero and verify that the sum of the roots is \(-\frac{16}{5}\) and their product is \(\frac{3}{5}\).
यदि मूल 3 और −8 हैं, तो समीकरण �\((x-3)(x+8)=0\)� होगा। इसका विस्तार करने पर \(x^2+5x-24=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक गलत चिन्ह के साथ है और उसके मूल 8 तथा −3 होंगे। परीक्षा-युक्ति: मूल \(\alpha,\beta\) दिए हों तो समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) से बनाएँ। / If the roots are 3 and −8, the equation is \((x-3)(x+8)=0\). On expanding, it becomes \(x^2+5x-24=0\), so option A is correct. Option B has the wrong sign for the coefficient of \(x\) and has roots 8 and −3. Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), use \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
दिए गए मूल (x=4) को समीकरण में रखने पर \(4^2+4k-32=0\) मिलता है। अतः (16+4k-32=0) , यानी (4k=16) और (k=4) । (-4) चुनना चिन्ह की गलती के कारण होगा। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए मूल का मान सीधे द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / Substitute the given root (x=4) into the equation: \(4^2+4k-32=0\) . Thus, (16+4k-32=0) , so (4k=16) and (k=4) . The value (-4) results from a sign error. Exam tip: Substitute the given root directly into the quadratic equation to find the parameter.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहां (a=6) और (b=-13) हैं इसलिए योग \(\frac{13}{6}\) है। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}\). Here (a=6) and (b=-13), so the sum is \(\frac{13}{6}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(c=-9\) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\) होगा। विकल्प B में चिह्न गलत है, जबकि \(-\frac{4}{7}\) और \(\frac{4}{7}\) में स्थिर पद के स्थान पर मध्य पद का गुणांक लिया गया है। परीक्षा टिप: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=7\) and \(c=-9\), so the product is \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\). Option B has the wrong sign, while \(-\frac{4}{7}\) and \(\frac{4}{7}\) incorrectly use the coefficient of the middle term instead of the constant term. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), whereas their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(a=4\), \(b=-20\) और \(c=25\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=400-400=0\)। अतः सही उत्तर 0 है और दोनों वास्तविक मूल बराबर होंगे। विकल्प 100 केवल \(b^2\) को दर्शाता है, उसमें \(4ac\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) के ऋण चिह्न को कोष्ठक में रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), \(a=4\), \(b=-20\), and \(c=25\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=400-400=0\). Therefore, 0 is correct, and the equation has two equal real roots. Option 100 represents only \(b^2\) and does not subtract \(4ac\). Exam tip: Always put the negative value of \(b\) in parentheses while calculating \(b^2\).
विविक्तकर का सूत्र �\(D=b^2-4ac\)� है। जब �(D>0)�, जैसे यहाँ �(81>0)�, तब द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। �(D=0)� होने पर मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति बताने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is given by �\(D=b^2-4ac\)�. Since �(D=81>0)�, the quadratic equation has two distinct real roots. Equal roots occur only when �(D=0)�, so option B is not correct. Exam tip: check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(20)=36-80=-44\) है। चूँकि \(D<0\), द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है। परीक्षा-टिप: विविक्तकर का चिन्ह देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(20)=36-80=-44\). Since \(D<0\), the quadratic equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: the sign of the discriminant quickly determines the nature of the roots.
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) के बराबर वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर �D=b-2-4ac=0� होना चाहिए। यहाँ �a=1, b=-10, c=k� हैं, इसलिए �D=(-10)2-4(1)(k)=100-4k=0�। अतः �k=25�। विकल्प 10 केवल �b� के परिमाण से जुड़ा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों वाले प्रश्नों में सीधे �b-2-4ac=0� लगाएँ। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0�\), equal real roots occur when the discriminant �D=b-2-4ac� is zero. Here, �a=1, b=-10, c=k�, so �D=(-10)2-4(1)(k)=100-4k=0�, giving �k=25�. The value 10 is related only to the magnitude of �b� and does not satisfy the discriminant condition. Exam tip: Set �b-2-4ac=0� whenever equal roots are required.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-11x+28=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-11x+28=0) is correct.\)
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=70\), इसलिए दोनों मूलों का गुणनफल 70 है। यदि एक मूल 7 है, तो दूसरा मूल \(\frac{70}{7}=10\) होगा। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा में मूलों के योग के लिए \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=70\), so the product of the two roots is 70. Since one root is 7, the other root is \(\frac{70}{7}=10\). Therefore, option A is correct. In exams, remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\).
नए मूलों का योग (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The sum of new roots is (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34). Use identities in such questions.
यहां \(\alpha+\beta=-5\) और \(\alpha\beta=-36\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-36}=\frac{5}{36}\) है। / Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-36\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-36}=\frac{5}{36}\).
A. \(\frac{18}{5}\) और \(\frac{9}{5}\)/\(\frac{18}{5}\) and \(\frac{9}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{18}{5}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{9}{5}\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{18}{5}\) and the product is \(\frac{c}{a}=\frac{9}{5}\). Identify (a), (b), and (c) first.
(x+6=0) से (x=-6) और (x-2=0) से (x=2) मिलता है। गुणनखंड से मूल निकालते समय चिन्ह बदलता है। / From (x+6=0), (x=-6), and from (x-2=0), (x=2). The sign changes when finding a root from a factor.
द्विघात समीकरण \(x^2+px+36=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। यहाँ दोनों मूल \(-6\) हैं, इसलिए उनका योग \(-6+(-6)=-12\) है। अतः \(-p=-12\), जिससे \(p=12\) प्राप्त होता है। विकल्प \(-12\) मूलों का योग है, \(p\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+px+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-p\) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2+px+36=0\), the sum of the roots is \(-p\). Since both roots are \(-6\), their sum is \(-6+(-6)=-12\). Therefore, \(-p=-12\), giving \(p=12\). The value \(-12\) is the sum of the roots, not the value of \(p\). Exam tip: In \(x^2+px+c=0\), the sum of the roots is always \(-p\).
\(x=\frac{5}{2}\) रखने पर \(\frac{25}{2}-\frac{45}{2}+c=0\) इसलिए (c=10) है। भिन्न मूल में हर पद सावधानी से निकालें। / Putting \(x=\frac{5}{2}\) gives \(\frac{25}{2}-\frac{45}{2}+c=0\), so (c=10). Calculate each term carefully with a fractional root.
यह (25x-2-30x+9=(5x-3)2) है। इसलिए दोनों मूल \(\frac{3}{5}\) और \(\frac{3}{5}\) बराबर हैं। / It is (25x-2-30x+9=(5x-3)2). Therefore both roots are \(\frac{3}{5}\) and \(\frac{3}{5}\), which are equal.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-20x+100=0\) प्राप्त होता है। यह \((x-10)^2=0\) के बराबर है, इसलिए इसका एक ही दोहराया हुआ मूल \(x=10\) है; अतः दोनों मूल 10 और 10 हैं। विकल्प B में मूलों का योग गलत दिशा में चला जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो, तो दोनों मूल समान होते हैं। / Using the given coefficients, the equation is \(x^2-20x+100=0\), which factors as \((x-10)^2=0\). Hence the equation has one repeated root, \(x=10\), so both roots are 10 and 10. Option B has the wrong sign for the roots. Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero, the two roots are equal.
A. दोनों मूल एक-दूसरे के विपरीत होते हैं/The two roots are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
मान लें कि मूल �\(\alpha\\) और �\(\beta\\) हैं। दिए गए अनुसार �\(\alpha+\beta=0\\), इसलिए �\(\beta=-\alpha\\)। अतः दोनों मूल एक-दूसरे के विपरीत होते हैं। उनका गुणनफल �\(\alpha\beta=-\alpha^2\\) हो सकता है, इसलिए वह हमेशा शून्य नहीं होता। परीक्षा युक्ति: �\(ax^2+bx+c=0\\) में मूलों का योग �(-b/a होता है; योग शून्य होने पर �(b=0। / Let the roots be �\(\alpha\\) and �\(\beta\\). Since �\(\alpha+\beta=0\\), we get �\(\beta=-\alpha\\). Therefore, the two roots are opposites of each other. Their product is �\(\alpha\beta=-\alpha^2\\), so it is not necessarily zero. Exam tip: For �\(ax^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is �(-b/a; hence a zero sum implies �(b=0.
दिए गए समीकरण को गुणनखंडों में लिखने पर \\(x^2+2x-35=(x+7)(x-5)\\) मिलता है। अतः \\(x+7=0\\) से \\(x=-7\\) और \\(x-5=0\\) से \\(x=5\\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही मूलों का युग्म \\(5,-7\\) है। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों के स्थिर पदों का गुणनफल \\(-35\\) और योग \\(2\\) होना चाहिए। / Factoring the equation gives \\(x^2+2x-35=(x+7)(x-5)\\). Thus, \\(x+7=0\\) gives \\(x=-7\\), and \\(x-5=0\\) gives \\(x=5\\). Therefore, the correct pair of roots is \\(5,-7\\). Exam tip: the two factors should have a product of \\(-35\\) and a sum of \\(2\\).
द्विघात समीकरण \(x^2-9x+20=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=9\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=20\) होता है। इसलिए \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+20=29\)। अतः सही उत्तर 29 है। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग (-b) और गुणनफल (c) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2-9x+20=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=9\) and their product is \(\alpha\beta=20\). Hence, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+20=29\). Therefore, 29 is correct. Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is (-b) and their product is (c).
यदि मूलों का योग S और गुणनफल P हो, तो मोनिक द्विघात समीकरण x² − Sx + P = 0 होता है। यहाँ S = 0 और P = −36 रखने पर x² − 36 = 0 प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मूलों का गुणनफल +36 होता, जबकि विकल्प C और D में x का गुणांक शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग का चिह्न बदलकर x का गुणांक लें और गुणनफल को स्थिर पद के रूप में रखें। / If the sum of the roots is S and their product is P, the monic quadratic equation is x² − Sx + P = 0. Substituting S = 0 and P = −36 gives x² − 36 = 0, so option A is correct. Option B represents a product of +36, while options C and D have a non-zero coefficient of x despite the zero sum of roots. Exam tip: change the sign of the root sum for the x-term and use the product as the constant term.
दिया गया समीकरण \(25x^2-10x+1=(5x-1)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(5x-1=0\), जिससे \(x=\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। यही दोहराया हुआ मूल है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पूर्ण वर्ग या \(D=0\) की पहचान करना सबसे तेज़ तरीका है। / The equation can be factorised as \(25x^2-10x+1=(5x-1)^2=0\). Thus, \(5x-1=0\), giving \(x=\frac{1}{5}\). This is the repeated root. In an exam, identifying a perfect square or checking that the discriminant is zero is the quickest approach.
किसी मूल का मान समीकरण में रखने पर समीकरण सत्य होना चाहिए। \(x=0\) रखने पर \(2(0)^2+m(0)+n=0\), इसलिए \(n=0\)। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी द्विघात समीकरण का शून्य मूल हो, तो उसका अचर पद शून्य होता है। / The equation must be satisfied when a root is substituted. Putting \(x=0\) gives \(2(0)^2+m(0)+n=0\), so \(n=0\). Exam tip: if zero is a root of a quadratic equation, its constant term must be zero.
मूलों का योग (3+8=11) है। मोनिक समीकरण में (x) का गुणांक (-(योग)=-11) होता है। \(/ The sum of roots is (3+8=11). In a monic equation the coefficient of (x) is (-(\)sum\()=-11).\)
A. \\(\frac{5}{4}\\) और \\(-2\\)/\\(\frac{5}{4}\\) and \\(-2\\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \\(4x^2+3x-10=(4x-5)(x+2)\\)। अतः \\((4x-5)(x+2)=0\\) से \\(x=\frac{5}{4}\\) या \\(x=-2\\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलटे हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंड मिलने के बाद प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल निकालें। / Factor the quadratic as \\(4x^2+3x-10=(4x-5)(x+2)\\). Thus, \\((4x-5)(x+2)=0\\) gives \\(x=\frac{5}{4}\\) or \\(x=-2\\). Hence, option A is correct. In option B, the signs of both roots are reversed. Exam tip: after factorisation, set each factor equal to zero to obtain the roots.
मूलों का योग \((-5)+(-6)=-11\) है। मानक रूप \(x^2+mx+30=0\) में मूलों का योग \(-m\) होता है। इसलिए \(-m=-11\), अतः \(m=11\)। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें। / The sum of the roots is \((-5)+(-6)=-11\). For a quadratic equation of the form \(x^2+mx+30=0\), the sum of the roots is \(-m\). Thus, \(-m=-11\), giving \(m=11\). Option B results from a sign error. Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), remember that the sum of the roots is always \(-b\).
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(6\cdot\frac{1}{6}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(6\cdot\frac{1}{6}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(x^2-7x-30=(x-10)(x+3)\)। अतः \(x=10\) या \(x=-3\)। इनमें केवल \(10\) धनात्मक है, इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक मूल पूछे जाने पर दोनों मूल ज्ञात करके उनके चिह्न अवश्य जाँचें। / Factorise the quadratic: \(x^2-7x-30=(x-10)(x+3)\). Hence, \(x=10\) or \(x=-3\). Only \(10\) is positive, so option A is correct. Exam tip: When asked for a positive root, find both roots and check their signs.
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। यदि प्रत्येक मूल \(r\) है, तो \(r+r=14\), अर्थात \(2r=14\), इसलिए \(r=7\)। अतः प्रत्येक मूल 7 है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) देखते ही दोनों समान मूल मानकर उनके योग को 2 से भाग दें। / When the discriminant is \(D=0\), the two roots of the quadratic equation are equal. If each root is \(r\), then \(r+r=14\), so \(2r=14\) and \(r=7\). Therefore, each root is 7. Exam tip: When \(D=0\), divide the sum of the roots by 2 to find the repeated root.
गुणनखंड करने पर \(x^2-8x-9=(x-9)(x+1)\) मिलता है। अतः मूल \(9\) और \(-1\) हैं। उनके बीच का धनात्मक अंतर \(9-(-1)=10\) है। परीक्षा-युक्ति: यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो अंतर का धनात्मक मान \(|\alpha-\beta|\) लिया जाता है। / Factoring gives \(x^2-8x-9=(x-9)(x+1)\). Therefore, the roots are \(9\) and \(-1\), and their positive difference is \(9-(-1)=10\). Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), use \(|\alpha-\beta|\) when the question asks for the difference between the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(b=-20\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-20}{4}=5\)। विकल्प \(\frac{7}{4}\) मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है, योग नहीं। परीक्षा-टिप: \(b\) के ऋणात्मक चिन्ह को सूत्र में सावधानी से रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=4\) and \(b=-20\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-20}{4}=5\). The value \(\frac{7}{4}\) is the product of the roots, \(\frac{c}{a}\), not their sum. Exam tip: handle the negative sign of \(b\) carefully in the formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\) होता है। (c) का चिन्ह न भूलें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\). Do not forget the sign of (c).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=36-4k\)। अतः \(36-4k\ge0\) से \(k\le9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) केवल समान मूलों की विशेष स्थिति है, जबकि \(k>9\) पर मूल काल्पनिक होंगे। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की शर्त के लिए सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\), so \(D=36-4k\). Therefore, \(36-4k\ge0\) gives \(k\le9\). The value \(k=9\) is only the special case of equal roots, whereas \(k>9\) produces non-real roots. Exam tip: For real roots, begin by imposing the condition \(D\ge0\).
मूल (-6) और (-7) हैं क्योंकि ((x+6)(x+7)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-6) and (-7) because ((x+6)(x+7)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+25=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(5+5=10\) है, इसलिए \(-a=10\), अर्थात \(a=-10\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा में याद रखें: \(x^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / For the quadratic equation \(x^2+ax+25=0\), the sum of the roots is \(-a\). The given sum is \(5+5=10\), so \(-a=10\), which gives \(a=-10\). Therefore, option A is correct. Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
A. \(\frac{3}{2}\) और \(\frac{1}{5}\)/\(\frac{3}{2}\) and \(\frac{1}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(10x^2-17x+3=(2x-3)(5x-1)\)। अतः \((2x-3)(5x-1)=0\) से \(x=\frac{3}{2}\) या \(x=\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर प्रत्येक मूल निकालें और चाहें तो मूलों का योग तथा गुणनफल भी जाँच लें। / Factor the quadratic: \(10x^2-17x+3=(2x-3)(5x-1)\). Thus, \((2x-3)(5x-1)=0\) gives \(x=\frac{3}{2}\) or \(x=\frac{1}{5}\), so option A is correct. Option B has the signs of both roots wrong. Exam tip: Set each linear factor equal to zero, then verify the roots using the sum and product of roots if needed.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+d=0\) में मूलों का गुणनफल \(\frac{d}{a}\) होता है। दिए गए मूलों का गुणनफल \(c\times(-c)=-c^2\) है, इसलिए \(\frac{d}{a}=-c^2\)। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है। परीक्षा-टिप: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{d}{a}\) याद रखें। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+d=0\), the product of the roots is \(\frac{d}{a}\). Here, the product is \(c\times(-c)=-c^2\), so \(\frac{d}{a}=-c^2\). Option B misses the negative sign. Exam tip: For \(ax^2+bx+d=0\), remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and the product is \(\frac{d}{a}\).
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो उसका मॉनिक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। दिए गए मान रखने पर \(x^2-(-7)x+(-18)=0\), अर्थात् \(x^2+7x-18=0\) मिलता है। विकल्प B में योग के चिह्न का उपयोग गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक और मूलों का गुणनफल अचर पद होता है। / If \(\alpha\) and \(\beta\) are the roots of a monic quadratic equation, its form is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting the given values gives \(x^2-(-7)x+(-18)=0\), which simplifies to \(x^2+7x-18=0\). Option B incorrectly uses the sign of the sum. Exam tip: the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, while the constant term is their product.
मान लें कि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=9\) तथा \(\alpha\beta=14\)। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए सीधे \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का प्रयोग करें; केवल \((\alpha+\beta)^2=81\) लेना सही नहीं होगा। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By the relations between the roots and coefficients, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=14\). Hence, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=9^2-2(14)=81-28=53\). Therefore, the correct answer is 53. Exam tip: use \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\); \(81\) alone is only \((\alpha+\beta)^2\), not the required sum.
(x=4) रखने पर (16a-40+8=0) इसलिए (16a=32) और (a=2)। अज्ञात गुणांक में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=4) gives (16a-40+8=0), so (16a=32) and (a=2). Substitute when a coefficient is unknown.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(a=1\), \(b=-22\) और \(c=121\) हैं। मूलों का योग \(-b/a=22\) तथा गुणनफल \(c/a=121\) होता है। वास्तव में, \(x^2-22x+121=(x-11)^2\), इसलिए दोनों मूल 11 हैं। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: योग के लिए \(-b/a\) और गुणनफल के लिए \(c/a\) याद रखें। / For the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=1\), \(b=-22\), and \(c=121\). The sum of the roots is \(-b/a=22\), and their product is \(c/a=121\). In fact, \(x^2-22x+121=(x-11)^2\), so both roots are 11. Option B has the wrong sign for the sum. Exam tip: use \(-b/a\) for the sum and \(c/a\) for the product.
यहां \(\alpha+\beta=\frac{5}{4}\) और \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\) है। इसलिए \(\alpha+\beta-2\alpha\beta=\frac{5}{4}+3=\frac{17}{4}\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{4}\) and \(\alpha\beta=-\frac{3}{2}\). Therefore \(\alpha+\beta-2\alpha\beta=\frac{5}{4}+3=\frac{17}{4}\).
