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क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें। / Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
मूल की जाँच करने के लिए \(x=4\) को समीकरण में रखें: \(4^2-9(4)+20=16-36+20=0\)। क्योंकि बहुपद का मान शून्य आता है, इसलिए \(x=4\) इस समीकरण का मूल है। वास्तव में, \(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\), इसलिए दोनों मूल \(4\) और \(5\) हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे समीकरण में रखकर बहुपद का मान शून्य होना चाहिए। / To check whether a number is a root, substitute \(x=4\) into the equation: \(4^2-9(4)+20=16-36+20=0\). Since the value of the polynomial is zero, \(x=4\) is a root. In fact, \(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\), so the two roots are \(4\) and \(5\); therefore, the statement that only \(x=5\) is a root is incorrect. Exam tip: a number is a root of a polynomial equation exactly when substitution gives zero.
किसी संख्या के मूल होने की जाँच करने के लिए उसे समीकरण में रखकर देखना चाहिए कि बायाँ पक्ष शून्य आता है या नहीं। x = -2 रखने पर 3(-2)² + 2(-2) - 8 = 12 - 4 - 8 = 0 प्राप्त होता है। इसलिए x = -2 इस समीकरण का मूल है। विकल्प C गलत है, क्योंकि x = 2 रखने पर मान 12 + 4 - 8 = 8 आता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक मूल का वर्ग धनात्मक होता है, लेकिन रैखिक पद में ऋणात्मक चिन्ह बना रहता है। / To check whether a number is a root, substitute it into the equation and verify whether the left-hand side becomes zero. For x = -2, 3(-2)² + 2(-2) - 8 = 12 - 4 - 8 = 0. Therefore, x = -2 is a root of the equation. Option C is incorrect because substituting x = 2 gives 12 + 4 - 8 = 8, not zero. Exam tip: the square of a negative number is positive, but its linear term remains negative.
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(x^2-12x+35=(x-5)(x-7)\)। अतः \((x-5)(x-7)=0\) से \(x=5\) या \(x=7\), इसलिए मूल \((5,7)\) हैं। विकल्प B में 1 और 35 का गुणनफल तो 35 है, लेकिन उनका योग 12 नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) में ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) हो। / Factorise the quadratic: \(x^2-12x+35=(x-5)(x-7)\). Thus, \((x-5)(x-7)=0\) gives \(x=5\) or \(x=7\), so the roots are \((5,7)\). Option B has numbers whose product is 35, but their sum is not 12. Exam tip: For \(x^2+bx+c\), look for two numbers whose sum is \(-b\) and product is \(c\).
दिए गए द्विघात समीकरण का गुणनखंडन \(3x^2-13x+4=(3x-1)(x-4)\) है। अतः \((3x-1)(x-4)=0\) से \(x=\frac{1}{3}\) या \(x=4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D के मानों का योग \(\frac{7}{3}\) है, जबकि मूलों का योग \(\frac{13}{3}\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: उत्तर जाँचने के लिए मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) से मिलाएँ। / The quadratic factors as \(3x^2-13x+4=(3x-1)(x-4)\). Thus, \((3x-1)(x-4)=0\) gives \(x=\frac{1}{3}\) or \(x=4\), so option A is correct. The values in option D have sum \(\frac{7}{3}\), whereas the sum of the roots must be \(\frac{13}{3}\). Exam tip: verify the roots using the sum \(-\frac{b}{a}\) and product \(\frac{c}{a}\).
बहुपद को गुणनखंडों में लिखने पर \(2x^2+9x+4=(2x+1)(x+4)\) प्राप्त होता है। अतः \((2x+1)(x+4)=0\) से \(x=-\frac{1}{2}\) या \(x=-4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर प्रत्येक रैखिक गुणनखंड से मूल ज्ञात करें। / Factoring the quadratic gives \(2x^2+9x+4=(2x+1)(x+4)\). Thus, \((2x+1)(x+4)=0\) gives \(x=-\frac{1}{2}\) or \(x=-4\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are incorrect. Exam tip: Set each linear factor equal to zero to obtain the roots directly.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α और β हों, तो उसका समीकरण (x − α)(x − β) = 0 होता है। यहाँ α = −3 और β = 6 हैं, इसलिए (x + 3)(x − 6) = 0। विस्तार करने पर x² − 3x − 18 = 0 मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि मूलों का योग x का गुणांक बदलकर −3 देता है और मूलों का गुणनफल अचर पद −18 देता है। / If α and β are the roots of a quadratic equation, its equation is (x − α)(x − β) = 0. Here α = −3 and β = 6, so (x + 3)(x − 6) = 0. Expanding gives x² − 3x − 18 = 0, making option A correct. Exam tip: the sum of the roots is 3, so the coefficient of x is −3, while their product is −18, the constant term.
चूँकि \(x=3\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \(3^2+3k-18=0\) मिलता है। अतः \(9+3k-18=0\), यानी \(3k=9\) और \(k=3\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में चिह्न की गलती से \(k=-3\) आता है। परीक्षा में दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर \(k\) ज्ञात करें। / Since \(x=3\) is a root, substitute it into the equation: \(3^2+3k-18=0\). Thus, \(9+3k-18=0\), so \(3k=9\) and \(k=3\). Hence, option A is correct. Option B results from an incorrect sign. Exam tip: substitute the given root directly into the quadratic equation and solve for the parameter.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(b=-11\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-11}{4}=\frac{11}{4}\) है। विकल्प B में ऋण चिह्न गलत है, जबकि \(\frac{7}{4}\) वाले विकल्प स्थिरांक \(c\) से संबंधित भ्रम दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए सीधे \(-b/a\) का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=4\) and \(b=-11\), so the sum is \(-\frac{-11}{4}=\frac{11}{4}\). Option B has the wrong sign, while the options containing \(\frac{7}{4}\) reflect confusion with the constant term. Exam tip: use \(-b/a\) directly to find the sum of the roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का गुणनफल \\(\\frac{c}{a}\\) होता है। यहाँ \\(a=5\\) और \\(c=-8\\) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल \\(\\frac{-8}{5}=-\\frac{8}{5}\\) होगा। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है। परीक्षा में मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात करने के लिए क्रमशः \\( -\\frac{b}{a} \\) और \\( \\frac{c}{a} \\) सूत्र याद रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the product of its roots is \\(\\frac{c}{a}\\). Here, \\(a=5\\) and \\(c=-8\\), so the product is \\(\\frac{-8}{5}=-\\frac{8}{5}\\). Option B has the wrong sign. Exam tip: remember that the sum of the roots is \\( -\\frac{b}{a} \\), while their product is \\( \\frac{c}{a} \\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: यदि \(D=0\), तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), here \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\). Therefore, the two roots are real and equal. Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has two equal real roots.
क्योंकि (D=64>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं। / Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. When (D>0), the roots are different.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=13\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति बताने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान जाँचें। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=13\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(13)=16-52=-36\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: use the sign of the discriminant to determine the nature of the roots quickly.
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के बराबर वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर �D=b-2-4ac=0� है। यहाँ �a=1,b=-8,c=k� हैं, इसलिए �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�। अतः �64-4k=0� से �k=16� प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों के प्रश्नों में सीधे �D=0� लगाएँ। / A quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)� has equal real roots when its discriminant �D=b-2-4ac� is zero. Here, �a=1,b=-8,c=k�, so �D=(-8)2-4(1)(k)=64-4k�. Setting �D=0� gives �64-4k=0�, hence �k=16�. Exam tip: For equal-root questions, apply �D=0� directly.
यदि मूलों का योग \(S\) और गुणनफल \(P\) हो, तो मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2-Sx+P=0\) होता है। यहाँ \(S=9\) और \(P=18\) रखने पर \(x^2-9x+18=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C और D में योग तथा गुणनफल के स्थान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा में याद रखें: मूलों के योग के सामने ऋणात्मक और गुणनफल के सामने धनात्मक चिह्न आता है। / If the sum of the roots is \(S\) and their product is \(P\), the monic quadratic equation is \(x^2-Sx+P=0\). Substituting \(S=9\) and \(P=18\) gives \(x^2-9x+18=0\). Option B has the wrong sign for the sum, while options C and D interchange the sum and product. Exam tip: use a negative coefficient for the sum of roots and a positive constant equal to their product.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=54\), इसलिए दोनों मूलों का गुणनफल \(54\) है। यदि एक मूल \(6\) है, तो दूसरा मूल \(\frac{54}{6}=9\) होगा। विकल्प 6 को दोहराना और 15 को मूलों के योग से भ्रमित करना है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का गुणनफल ज्ञात करके दिए गए मूल से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=54\), so the product of the two roots is \(54\). If one root is \(6\), the other root is \(\frac{54}{6}=9\). Option 6 merely repeats the given root, while 15 is the sum of the roots, not their product. Exam tip: use the product-of-roots relation and divide by the known root.
नए मूलों का योग (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is multiplied by the same factor.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-24=25) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-24=25). Use identities in such questions.
यहां \(\alpha+\beta=-5\) और \(\alpha\beta=-14\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\) है। / Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-14\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\).
A. \(\frac{14}{3}\) और \(\frac{8}{3}\)/\(\frac{14}{3}\) and \(\frac{8}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{14}{3}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{8}{3}\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{14}{3}\) and the product is \(\frac{c}{a}=\frac{8}{3}\). Identify (a), (b), and (c) first.
(x-4=0) से (x=4) और (x+7=0) से (x=-7) मिलता है। गुणनखंड का चिन्ह उलटकर मूल मिलता है। / From (x-4=0), (x=4), and from (x+7=0), (x=-7). The sign changes when finding a root from a factor.
द्विघात समीकरण \(x^2+px+25=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(-5+(-5)=-10\) है, इसलिए \(-p=-10\), अर्थात \(p=10\)। परीक्षा में याद रखें: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है। / For a quadratic equation \(x^2+px+25=0\), the sum of the roots is \(-p\). The given roots have sum \(-5+(-5)=-10\). Hence, \(-p=-10\), so \(p=10\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\), not \(b\).
\(x=\frac{4}{3}\) रखने पर \(\frac{16}{3}-\frac{28}{3}+c=0\) इसलिए (c=4) है। भिन्न मूल में हर पद अलग निकालें। / Putting \(x=\frac{4}{3}\) gives \(\frac{16}{3}-\frac{28}{3}+c=0\), so (c=4). For fractional roots calculate each term separately.
यह (9x-2-24x+16=(3x-4)2) है। इसलिए दोनों मूल \(\frac{4}{3}\) और \(\frac{4}{3}\) बराबर हैं। / It is (9x-2-24x+16=(3x-4)2). Therefore both roots are \(\frac{4}{3}\) and \(\frac{4}{3}\), which are equal.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-16x+64=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-8)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल \(8\) हैं। यह एक समान मूल वाला द्विघात समीकरण है। परीक्षा में समान मूल पहचानने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) भी जाँच सकते हैं; यहाँ \(D=0\) है। / Using the given coefficients, the equation is \(x^2-16x+64=0\). It factors as \((x-8)^2=0\), so both roots are \(8\). Thus, the equation has equal roots. In an exam, you can also verify this using the discriminant \(D=b^2-4ac\); here, \(D=0\).
A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है/One root is positive and the other is negative
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक गुणनफल तभी होता है जब मूलों के चिन्ह विपरीत हों। इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा। / A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
दिया गया समीकरण \(x^2+x-20=0\) को \((x+5)(x-4)=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। अतः \(x=-5\) या \(x=4\), इसलिए मूल 4 और -5 हैं। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलट दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर मूल प्राप्त करें। / The equation \(x^2+x-20=0\) factors as \((x+5)(x-4)=0\). Hence, \(x=-5\) or \(x=4\), so the roots are 4 and -5. Option B reverses the signs of both roots. Exam tip: Set each linear factor equal to zero to obtain the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-8, c=15\), इसलिए \(\alpha+\beta=8\) तथा \(\alpha\beta=15\)। अतः \(\alpha+\beta+\alpha\beta=8+15=23\)। विकल्प 8 केवल मूलों का योग है और 15 केवल मूलों का गुणनफल है। परीक्षा-युक्ति: पहले मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र पहचानें, फिर दिए गए व्यंजक में मान रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and their product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1, b=-8, c=15\), so \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). Therefore, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=8+15=23\). The values 8 and 15 represent only the sum and product respectively, not their total. Exam tip: identify the sum and product of the roots first, then substitute them into the required expression.
यदि मूलों का योग \(S\) और गुणनफल \(P\) हो, तो मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2-Sx+P=0\) होता है। यहाँ \(S=0\) और \(P=-25\), इसलिए \(x^2-0x-25=0\), अर्थात् \(x^2-25=0\)। विकल्प B में गुणनफल \(+25\) हो जाता है, जबकि C और D में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-x\) के गुणांक का ऋणात्मक मान और गुणनफल अचर पद होता है। / For roots with sum \(S\) and product \(P\), the monic quadratic equation is \(x^2-Sx+P=0\). Substituting \(S=0\) and \(P=-25\) gives \(x^2-0x-25=0\), or \(x^2-25=0\). Option B represents a product of \(+25\), while C and D have a nonzero coefficient of \(x\), so their roots do not have sum zero. Exam tip: in a monic quadratic, the sum of roots is the negative of the coefficient of \(x\), and the product is the constant term.
दिया गया समीकरण \(16x^2-8x+1=0\) को \((4x-1)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(4x-1=0\), इसलिए दोहराया गया मूल \(x=\frac{1}{4}\) है। ध्यान रखें कि पूर्ण वर्ग के रूप \((ax+b)^2=0\) में मूल \(-\frac{b}{a}\) होता है। / The equation \(16x^2-8x+1=0\) can be written as \((4x-1)^2=0\). Hence, \(4x-1=0\), giving the repeated root \(x=\frac{1}{4}\). Exam tip: when a quadratic is a perfect square, its single root is repeated twice; do not confuse it with the coefficient 4 in the factor.
किसी मूल का अर्थ है कि उसका मान रखने पर समीकरण का बायाँ पक्ष शून्य हो जाता है। (x=0) रखने पर a(0)2+b(0)+c=c मिलता है, इसलिए c=0 होना आवश्यक है। \(a\ne0\) केवल यह सुनिश्चित करता है कि समीकरण वास्तव में द्विघात है; इससे a=0 या b=0 निष्कर्षित नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: शून्य मूल होने पर अचर पद हमेशा शून्य होता है। / A root is a value that makes the left-hand side of the equation equal to zero. Substituting (x=0) gives a(0)2+b(0)+c=c, so c=0 is necessary. The condition \(a\ne0\) only ensures that the equation is genuinely quadratic; it does not imply a=0 or b=0. Exam tip: if zero is a root of a quadratic equation, its constant term must be zero.
मोनिक द्विघात समीकरण का अग्रणी गुणांक 1 होता है। यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(2+7=9\) है, इसलिए \(x\) का गुणांक \(-9\) होगा। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है। परीक्षा युक्ति: मोनिक समीकरण में \(x\) का गुणांक हमेशा मूलों के योग का ऋणात्मक होता है। / A monic quadratic equation has leading coefficient 1. If its roots are \(\alpha\) and \(\beta\), its form is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Here, the sum of the roots is \(2+7=9\), so the coefficient of \(x\) is \(-9\). Option B results from missing the negative sign. Exam tip: In a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots.
A. \(\frac{4}{3}\) और \(-2\)/\(\frac{4}{3}\) and \(-2\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(3x^2+2x-8=(3x-4)(x+2)\)। अतः \((3x-4)(x+2)=0\) से \(x=\frac{4}{3}\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंड मिलने के बाद प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल ज्ञात करें। / Factor the quadratic as \(3x^2+2x-8=(3x-4)(x+2)\). Thus, \((3x-4)(x+2)=0\) gives \(x=\frac{4}{3}\) or \(x=-2\). Therefore, option A is correct. In option B, the signs of both roots are incorrect. Exam tip: After factorising, set each factor equal to zero to obtain the roots.
द्विघात समीकरण \\(x^2+mx+20=0\\) में मूलों का योग \\(-m\\) होता है। दिए गए मूलों का योग \\((-4)+(-5)=-9\\) है, इसलिए \\(-m=-9\\), अर्थात \\(m=9\\)। अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा में \\(x^2+bx+c=0\\) के लिए मूलों का योग \\(-b\\) याद रखें। / For the quadratic equation \\(x^2+mx+20=0\\), the sum of the roots is \\(-m\\). The given roots have sum \\((-4)+(-5)=-9\\), so \\(-m=-9\\), which gives \\(m=9\\). Therefore, 9 is correct. Exam tip: for \\(x^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\(-b\\).
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(5\cdot\frac{1}{5}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(x^2-5x-24=(x-8)(x+3)\)। इसलिए \(x=8\) या \(x=-3\)। इनमें केवल 8 धनात्मक है, अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक मूल चुनने से पहले दोनों मूलों के चिह्न अवश्य जाँचें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x-24=(x-8)(x+3)\). Hence, \(x=8\) or \(x=-3\). Only 8 is positive, so option A is correct. Exam tip: Always check the signs of both roots before selecting the positive root.
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं। यदि प्रत्येक मूल \(r\) है, तो \(r+r=12\), अर्थात \(2r=12\), इसलिए \(r=6\)। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) दिखने पर पहले दोनों समान मूल मानकर उनके योग या गुणनफल का उपयोग करें। / When the discriminant \(D=0\), the two roots of the quadratic equation are equal. If each root is \(r\), then \(r+r=12\), so \(2r=12\) and \(r=6\). Exam tip: When \(D=0\), assume equal roots first and use their sum or product accordingly.
दिया गया समीकरण \(x^2-6x-7=0\) को \((x-7)(x+1)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए इसके मूल \(7\) और \(-1\) हैं। उनका अंतर का परिमाण \(|7-(-1)|=8\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के मूलों का अंतर निकालते समय दोनों मूलों को सही चिह्न सहित घटाएँ। / The equation \(x^2-6x-7=0\) factors as \((x-7)(x+1)=0\). Hence, its roots are \(7\) and \(-1\), and their absolute difference is \(|7-(-1)|=8\). Exam tip: while finding the difference between roots, retain the signs of both roots before subtracting.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(b=-12\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-12}{3}=4\)। विकल्प B में ऋण चिह्न गलत लगाया गया है, जबकि \(\frac{5}{3}\) और \(-\frac{5}{3}\) मूलों के गुणनफल से संबंधित मान हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय \(b\) के चिह्न को विशेष रूप से जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=3\) and \(b=-12\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-12}{3}=4\). Option B has the wrong sign, while \(\frac{5}{3}\) and \(-\frac{5}{3}\) are related to the product of the roots, not their sum. Exam tip: Always check the sign of \(b\) before applying the formula.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(c=-2\), इसलिए \(\alpha\beta=\frac{-2}{5}=-\frac{2}{5}\)। विकल्प B में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=5\) and \(c=-2\), so \(\alpha\beta=\frac{-2}{5}=-\frac{2}{5}\). Option B has the wrong sign and is therefore incorrect. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), while their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=16-4k\)। अतः \(16-4k\ge0\) से \(k\le4\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल एक पर्याप्त स्थिति बताता है, पूरी आवश्यक शर्त नहीं; क्योंकि \(0\le k\le4\) के लिए भी मूल वास्तविक होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=k\), so \(D=16-4k\). Therefore, \(16-4k\ge0\) gives \(k\le4\). Option D describes only a sufficient subset, not the complete condition, since roots are also real for \(0\le k\le4\). Exam tip: For questions about real roots, first apply \(D\ge0\).
मूल (-3) और (-6) हैं क्योंकि ((x+3)(x+6)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-3) and (-6) because ((x+3)(x+6)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+16=0\) में मूलों का योग \(-\frac{a}{1}=-a\) होता है। यहाँ दोनों मूल 4 हैं, इसलिए मूलों का योग \(4+4=8\) है। अतः \(-a=8\), जिससे \(a=-8\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-b\) होता है, न कि \(b\)। / For the quadratic equation \(x^2+ax+16=0\), the sum of the roots is \(-\frac{a}{1}=-a\). Since both roots are 4, their sum is \(4+4=8\). Thus, \(-a=8\), giving \(a=-8\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is always \(-b\), not \(b\).
A. \\(\\frac{1}{2}\\) और \\(\\frac{3}{4}\\)/\\(\\frac{1}{2}\\) and \\(\\frac{3}{4}\\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \\(8x^2-10x+3=(2x-1)(4x-3)\\)। अतः \\(2x-1=0\\) से \\(x=\\frac{1}{2}\\) और \\(4x-3=0\\) से \\(x=\\frac{3}{4}\\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर दोनों मूल निकालें और मूलों को मूल समीकरण में रखकर जाँच लें। / Factor the quadratic as \\(8x^2-10x+3=(2x-1)(4x-3)\\)。 Thus, \\(2x-1=0\\) gives \\(x=\\frac{1}{2}\\), and \\(4x-3=0\\) gives \\(x=\\frac{3}{4}\\)。 Hence option A is correct. Exam tip: After factorising, set each factor equal to zero and substitute the roots back into the original equation to verify them.
द्विघात समीकरण \(ax^2+px+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ मूल \(b\) और \(-b\) हैं, इसलिए \(\frac{c}{a}=b\times(-b)=-b^2\)। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए \(-\frac{p}{a}\) और गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+px+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Since the roots are \(b\) and \(-b\), \(\frac{c}{a}=b\times(-b)=-b^2\). Option B misses the negative sign. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{p}{a}\), while their product is \(\frac{c}{a}\).
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो उसका मोनिक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। दिए गए मान रखने पर \(x^2-(-5)x+(-14)=0\), अर्थात् \(x^2+5x-14=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में मूलों का योग \(5\) हो जाएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के सामने ऋण चिह्न और मूलों के गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / For roots \(\alpha\) and \(\beta\), the monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting the given values gives \(x^2-(-5)x+(-14)=0\), which simplifies to \(x^2+5x-14=0\). Option B would give the roots a sum of \(5\), so it is incorrect. Exam tip: use the negative of the sum of the roots as the coefficient of \(x\), and use the product directly as the constant term.
मान लीजिए समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। मूलों के योग और गुणनफल से \(\alpha+\beta=7\) तथा \(\alpha\beta=10\)। अतः \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=7^2-2(10)=49-20=29\)। इसलिए सही उत्तर 29 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) सूत्र याद रखें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By the relationships between roots and coefficients, \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\). Therefore, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=7^2-2(10)=49-20=29\). Hence, 29 is correct. Exam tip: Use the identity \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) directly instead of solving for the roots.
(x=3) रखने पर (9a-24+6=0) इसलिए (9a=18) और (a=2)। अज्ञात गुणांक वाले प्रश्न में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=3) gives (9a-24+6=0), so (9a=18) and (a=2). Substitute in questions with an unknown coefficient.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(a=1, b=-18, c=81\) हैं। इसलिए मूलों का योग \(-b/a=18\) और गुणनफल \(c/a=81\) होगा। वास्तव में, समीकरण \((x-9)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल 9 हैं; उनका योग 18 और गुणनफल 81 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-b/a\) तथा गुणनफल \(c/a\) सीधे पहचानें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=1, b=-18, c=81\). Hence, the sum of the roots is \(-b/a=18\), and their product is \(c/a=81\). Equivalently, the equation is \((x-9)^2=0\), so both roots are 9; their sum is 18 and product is 81. Exam tip: identify the sum as \(-b/a\) and the product as \(c/a\) directly.
यहां \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\) है। इसलिए \(\alpha+\beta-\alpha\beta=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\). Therefore \(\alpha+\beta-\alpha\beta=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2\).
