Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है/(r) is a root of (p(x)=0)
Explanation
Simple Explanation
(p(r)=0) का अर्थ है कि (x=r) रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है। मूल जांचने के लिए प्रतिस्थापन सबसे सुरक्षित तरीका है। / (p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
किसी संख्या के मूल होने की जाँच करने के लिए उसे समीकरण में रखकर देखा जाता है कि समीकरण सत्य होता है या नहीं। (x=3) रखने पर \(3^2-7\times3+12=9-21+12=0\) मिलता है, इसलिए 3 इस समीकरण का मूल है। वास्तव में दूसरा मूल 4 है, इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूल जाँचने के लिए सीधे प्रतिस्थापन करें और प्राप्त मान को शून्य से मिलाएँ। / To check whether a number is a root, substitute it into the equation and verify whether the result is zero. For (x=3) , \(3^2-7\times3+12=9-21+12=0\) , so 3 is a root of the equation. The other root is 4, so option C is incorrect. Exam tip: For root verification, substitute the given value directly and check whether the expression becomes zero.
किसी संख्या को द्विघात समीकरण का मूल जाँचने के लिए उसे समीकरण में रखकर देखना होता है। \(x=-1\) रखने पर \(2(-1)^2+5(-1)+3=2-5+3=0\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=-1\) इस समीकरण का मूल है। परीक्षा में ऋणात्मक मान का वर्ग करने और रैखिक पद के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें। / To test whether a number is a root, substitute it into the equation and check whether the result is zero. For \(x=-1\), \(2(-1)^2+5(-1)+3=2-5+3=0\). Therefore, \(x=-1\) is a root. In exams, carefully check the sign of the linear term and remember that the square of a negative number is positive.
दिए गए समीकरण को गुणनखंडित करने पर �(x-2-11x+28=(x-4)(x-7))� प्राप्त होता है। अतः �(x-4=0)� या �(x-7=0)� से मूल 4 और 7 मिलते हैं। विकल्प B में गुणनफल 28 है, लेकिन मूलों का योग 16 है, जबकि समीकरण में मूलों का योग 11 होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग 11 और गुणनफल 28 जाँचकर उत्तर शीघ्र सत्यापित करें। / Factoring the equation gives �(x-2-11x+28=(x-4)(x-7))�. Therefore, �(x-4=0)� or �(x-7=0)�, so the roots are 4 and 7. In option B, the product is 28, but the sum is 16 rather than the required 11. Exam tip: Quickly verify the roots using sum = 11 and product = 28.
दिए गए समीकरण को \(2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। अतः \((2x-1)(x-3)=0\) से \(x=\frac{1}{2}\) या \(x=3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D के मूलों का योग और गुणनफल दिए गए समीकरण से मेल नहीं खाते। परीक्षा-टिप: मूलों का योग \(\frac{-b}{a}=\frac{7}{2}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{3}{2}\) लगाकर उत्तर की जाँच करें। / The equation can be factorised as \(2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)\). Therefore, \((2x-1)(x-3)=0\) gives \(x=\frac{1}{2}\) or \(x=3\), so option A is correct. The roots in option D do not have the required sum and product for this equation. Exam tip: verify the roots using sum \(\frac{-b}{a}=\frac{7}{2}\) and product \(\frac{c}{a}=\frac{3}{2}\).
मध्य पद को विभाजित करने पर \(3x^2+10x+3=3x^2+9x+x+3=(3x+1)(x+3)\) प्राप्त होता है। अतः \((3x+1)(x+3)=0\) से \(x=-\frac{1}{3}\) या \(x=-3\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर दोनों मूल प्राप्त करें और मूलों का योग \(-\frac{10}{3}\) से मिलान कर लें। / Splitting the middle term gives \(3x^2+10x+3=3x^2+9x+x+3=(3x+1)(x+3)\). Therefore, \((3x+1)(x+3)=0\) gives \(x=-\frac{1}{3}\) or \(x=-3\), so option A is correct. Exam tip: After factorising, set each factor equal to zero and verify that the sum of the roots is \(-\frac{10}{3}\).
(x=2) रखने पर (4+2k-14=0) इसलिए (k=5) है। पैरामीटर के प्रश्न में दिए मूल को सीधे रखें। / Putting (x=2) gives (4+2k-14=0), so (k=5). In parameter questions substitute the given root directly.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(b=-4\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}\) है। ध्यान रखें कि \(b\) का ऋणात्मक चिह्न सूत्र में शामिल होने पर उत्तर धनात्मक हो जाता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=5\) and \(b=-4\), so the sum is \(-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}\). Exam tip: substitute the signed value of \(b\), not just its magnitude, in the formula.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का गुणनफल \\(\\frac{c}{a}\\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=-11\) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल \\(\\frac{-11}{3}\\) है। विकल्प C में \\(\\frac{b}{a}=\\frac{8}{3}\\) से संबंधित मान लिया गया है, जो मूलों के गुणनफल का सूत्र नहीं है। परीक्षा युक्ति: मूलों के योग के लिए \\( -\\frac{b}{a}\\) और गुणनफल के लिए \\(\\frac{c}{a}\\) याद रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the product of its roots is \\(\\frac{c}{a}\\). Here, \(a=3\) and \(c=-11\), so the product is \\(\\frac{-11}{3}\\). Option C incorrectly uses the coefficient ratio \\(\\frac{b}{a}=\\frac{8}{3}\\), which is not the product of the roots. Exam tip: remember that the sum of roots is \\( -\\frac{b}{a}\\), while their product is \\(\\frac{c}{a}\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=-4\) और \(c=2\) हैं, इसलिए \(D=(-4)^2-4(2)(2)=16-16=0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और बराबर होंगे। परीक्षा-युक्ति: यदि \(D=0\), तो मूलों का मान समान होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2\), \(b=-4\), and \(c=2\), so \(D=(-4)^2-4(2)(2)=16-16=0\). Therefore, the roots are real and equal. Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has two equal real roots.
क्योंकि (D=49>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलेंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं। / Since (D=49>0), two distinct real roots will be obtained. When (D>0), the roots are different.
यहाँ द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(10)=4-40=-36\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों का प्रकार तुरंत निर्धारित किया जा सकता है। / For this quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(10)=4-40=-36\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: the sign of the discriminant quickly determines the nature of the roots.
द्विघात समीकरण में दो बराबर वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=k\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k=0\) से \(k=9\) प्राप्त होता है। परीक्षा में बराबर मूलों के लिए सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ; केवल \(b^2-4ac\) निकालना पर्याप्त नहीं है। / A quadratic equation has equal real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=k\), so \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Setting \(D=0\) gives \(36-4k=0\), hence \(k=9\). Exam tip: for equal roots, directly apply the condition \(b^2-4ac=0\).
यदि मूलों का योग
\(S\) और गुणनफल \(P\) हो, तो मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2-Sx+P=0\) होता है। यहाँ \(S=7\) और \(P=10\), इसलिए समीकरण \(x^2-7x+10=0\) है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C और D में योग तथा गुणनफल के स्थान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के साथ \(x\) का गुणांक ऋणात्मक और गुणनफल नियत पद होता है। / If the sum of the roots is \(S\) and their product is \(P\), the monic quadratic equation is \(x^2-Sx+P=0\). Here, \(S=7\) and \(P=10\), so the equation is \(x^2-7x+10=0\). Option B has the wrong sign for the sum, while options C and D interchange the sum and product. Exam tip: in a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, and the constant term is their product.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=40\), इसलिए दोनों मूलों का गुणनफल \(40\) है। एक मूल \(5\) दिया गया है, अतः दूसरा मूल \(\frac{40}{5}=8\) होगा। विकल्प 13 मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। परीक्षा-टिप: मूलों के लिए \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=40\), so the product of the two roots is \(40\). Since one root is \(5\), the other root is \(\frac{40}{5}=8\). The value 13 is the sum of the roots, not the other root. Exam tip: remember \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\).
नए मूलों का योग (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=36-16=20) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=36-16=20). Use identities in such questions.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) है। यहां \(\frac{-1}{-12}\) नहीं बल्कि \(-\frac{1}{12}\) क्योंकि योग (-1) और गुणनफल (-12) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the sum is (-1) and product is (-12), so the value is \(\frac{1}{12}\).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=2\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}\) and the product is \(\frac{c}{a}=2\). Identify (a), (b), and (c) first.
(x+2=0) से (x=-2) और (x-5=0) से (x=5) मिलता है। गुणनखंड का चिन्ह उलटकर मूल मिलता है। / From (x+2=0), (x=-2), and from (x-5=0), (x=5). The sign changes when finding a root from a factor.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग -b/a होता है। यहाँ a = 1 और b = p हैं। इसलिए मूलों का योग -p होगा। दिए गए मूलों का योग -4 + (-4) = -8 है, अतः -p = -8 से p = 8। जाँच के लिए मूलों का गुणनफल (-4)(-4) = 16 है, जो स्थिर पद से भी मेल खाता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the sum of the roots is -b/a. Here, a = 1 and b = p, so the sum of the roots is -p. The given sum is -4 + (-4) = -8; therefore, -p = -8, giving p = 8. As a check, the product of the roots is (-4)(-4) = 16, which matches the constant term. Exam tip: Be careful with the negative sign in the formula for the sum of roots.
\(x=\frac{3}{2}\) रखने पर \(\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+c=0\) इसलिए (c=3) है। भिन्न मूल में हर पद अलग निकालें। / Putting \(x=\frac{3}{2}\) gives \(\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+c=0\), so (c=3). For fractional roots calculate each term separately.
यह (4x-2-12x+9=(2x-3)2) है। इसलिए दोनों मूल \(\frac{3}{2}\) और \(\frac{3}{2}\) बराबर हैं। / It is (4x-2-12x+9=(2x-3)2). Therefore both roots are \(\frac{3}{2}\) and \(\frac{3}{2}\), which are equal.
दिए गए गुणांकों से समीकरण \(x^2-10x+25=0\) प्राप्त होता है। इसका गुणनखंडन \((x-5)^2=0\) है, इसलिए दोनों मूल 5 हैं। विकल्प B में चिह्न गलत है; \((-5)^2\) वाला रूप मध्य पद \(+10x\) देगा। परीक्षा-युक्ति: यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो, तो दोनों मूल समान होते हैं। / Substituting the coefficients gives \(x^2-10x+25=0\). Factoring it as \((x-5)^2=0\) shows that both roots are 5. Option B has the wrong sign; \((x+5)^2\) would produce a middle term of \(+10x\). Exam tip: when the discriminant \(D=b^2-4ac=0\), the two roots are equal.
A. कम से कम एक मूल (0) है/At least one root is (0)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha\beta=0\) है तो \(\alpha=0\) या \(\beta=0\) होगा। गुणनफल शून्य हो तो शून्य मूल जरूर देखें। / If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(x^2-2x-15=(x-5)(x+3)\)। अतः \((x-5)(x+3)=0\) से \(x=5\) या \(x=-3\), इसलिए सही मूल 5 और -3 हैं। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलटे हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर मूल प्राप्त करें। / Factorise the quadratic: \(x^2-2x-15=(x-5)(x+3)\). Thus, \((x-5)(x+3)=0\) gives \(x=5\) or \(x=-3\). Therefore, the roots are 5 and -3. In option B, the signs of both roots are reversed. Exam tip: Set each linear factor equal to zero to obtain the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-5, c=6\), इसलिए \(\alpha+\beta=5\) तथा \(\alpha\beta=6\)। अतः \(\alpha+\beta+\alpha\beta=5+6=11\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: मूलों को अलग-अलग हल करने के बजाय विएटा के सूत्रों का सीधे प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and their product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1, b=-5, c=6\), so \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). Therefore, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=5+6=11\), making option A correct. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly instead of solving for the roots individually.
मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(S\) और \(P\) हों, तो मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2-Sx+P=0\) होता है। यहाँ \(S=0\) और \(P=-16\), इसलिए \(x^2-0x-16=0\), अर्थात \(x^2-16=0\)। विकल्प B में गुणनफल \(+16\) हो जाता है, जबकि विकल्प C और D में मूलों का योग क्रमशः \(16\) और \(-16\) होगा। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग का चिह्न \(x\) के गुणांक में उलटा और गुणनफल स्थिर पद के रूप में लिखें। / If the sum and product of the roots are \(S\) and \(P\), respectively, the monic quadratic equation is \(x^2-Sx+P=0\). Here, \(S=0\) and \(P=-16\), so the equation is \(x^2-0x-16=0\), or \(x^2-16=0\). In option B, the product would be \(+16\), while options C and D give root sums of \(16\) and \(-16\), respectively. Exam tip: use the negative of the root sum as the coefficient of \(x\), and use the root product as the constant term.
दिया गया समीकरण \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(3x-1=0\), जिससे \(x=\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है और यही दोहराया हुआ मूल है। विकल्प B में चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। / The equation can be factorised as \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\). Thus, \(3x-1=0\), giving \(x=\frac{1}{3}\), which is the repeated root. Option B has the incorrect sign. Exam tip: the roots of a quadratic equation are equal when its discriminant \(D\) is zero.
मूल \\(x=0\\) होने पर इसे समीकरण में रखने से \\(a(0)^2+b(0)+c=0\\), अर्थात् \\(c=0\\) प्राप्त होता है। इसलिए शून्य मूल होने की आवश्यक शर्त अचर पद का शून्य होना है। विकल्प D इसका उल्टा कथन है। परीक्षा-टिप: यदि किसी द्विघात समीकरण का एक मूल शून्य हो, तो उसका अचर पद अवश्य शून्य होगा। / Since \\(x=0\\) is a root, substituting it gives \\(a(0)^2+b(0)+c=0\\), so \\(c=0\\). Thus, a zero root requires the constant term to be zero. Option D states the opposite condition. Exam tip: whenever zero is a root of a quadratic equation, its constant term must be zero.
मूलों का योग \(1+4=5\) है। मोनिक द्विघात समीकरण का सामान्य रूप \(x^2-(\text{मूलों का योग})x+(\text{मूलों का गुणनफल})=0\) होता है। इसलिए \(x\) का गुणांक \(-5\) होगा। विकल्प B में केवल मूलों का योग दिया गया है; गुणांक में ऋण चिह्न आवश्यक है। परीक्षा में याद रखें: मोनिक द्विघात समीकरण में \(x\) का गुणांक मूलों के योग का ऋणात्मक होता है। / The sum of the roots is \(1+4=5\). A monic quadratic equation has the form \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})=0\). Therefore, the coefficient of \(x\) is \(-5\). Option B gives only the sum of the roots and misses the negative sign. Exam tip: in a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots.
A. \(\frac{3}{2}\) और \(-2\)/\(\frac{3}{2}\) and \(-2\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण का गुणनखंडन \(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\) है। अतः \((2x-3)(x+2)=0\) से \(x=\frac{3}{2}\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलट गए हैं। परीक्षा में जाँच के लिए मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}\) होना चाहिए; विकल्प A के मूलों का योग भी \(-\frac{1}{2}\) है। / The quadratic expression factors as \(2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\). Therefore, \((2x-3)(x+2)=0\) gives \(x=\frac{3}{2}\) or \(x=-2\), so option A is correct. In option B, the signs of both roots are reversed. As a quick exam check, the sum of the roots must be \(-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}\), which matches the roots in option A.
द्विघात समीकरण \(x^2+mx+12=0\) में मूलों का योग \(-m\) होता है। दिए गए मूलों का योग \((-3)+(-4)=-7\) है, इसलिए \(-m=-7\), अर्थात \(m=7\)। विकल्प B में मूलों के योग को सीधे \(m\) मान लेने की चिह्न-त्रुटि है। परीक्षा-टिप: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / For the quadratic equation \(x^2+mx+12=0\), the sum of the roots is \(-m\). The given roots have sum \((-3)+(-4)=-7\), so \(-m=-7\), giving \(m=7\). Option B results from the sign error of taking the root sum as \(m\) instead of \(-m\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(4\cdot\frac{1}{4}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(4\cdot\frac{1}{4}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
बहुपद को गुणनखंडित करने पर \(x^2-3x-18=(x-6)(x+3)\) मिलता है। अतः मूल \(x=6\) और \(x=-3\) हैं। इनमें केवल 6 धनात्मक है, इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक मूल चुनते समय मूल के चिह्न पर ध्यान दें; \(-3\) मूल तो है, पर धनात्मक नहीं। / Factoring gives \(x^2-3x-18=(x-6)(x+3)\). Hence, the roots are \(x=6\) and \(x=-3\). Of these, only 6 is positive, so option A is correct. Exam tip: Check the sign of each root carefully; \(-3\) is a root but it is not positive.
जब विविक्तकर \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल समान होते हैं। मान लें प्रत्येक मूल \(x\) है। तब \(x+x=10\), इसलिए \(2x=10\) और \(x=5\)। अतः प्रत्येक मूल 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) दिखे तो समान मूल मानकर मूलों के योग को 2 से भाग दें। / When the discriminant \(D=0\), the two roots are equal. Let each root be \(x\). Then \(x+x=10\), so \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, each root is 5. Exam tip: When \(D=0\), divide the sum of the roots by 2 to find the repeated root.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\) मिलता है। अतः मूल \(5\) और \(-1\) हैं। इसलिए दोनों मूलों का परम अंतर \(|5-(-1)|=6\) है। ध्यान रखें कि मूलों का अंतर निकालते समय ऋणात्मक मूल के कारण घटाव में दो ऋण चिह्नों का प्रभाव सही ढंग से लगाना चाहिए। / Factoring gives \(x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\), so the roots are \(5\) and \(-1\). Therefore, their absolute difference is \(|5-(-1)|=6\). Exam tip: when subtracting a negative root, carefully account for the two minus signs; the coefficient \(4\) is not the difference between the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=2\) और \(b=-6\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-6}{2}=3\)। विकल्प B में \(b\) के ऋणात्मक चिन्ह की अनदेखी करने पर \(-3\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय हमेशा \(-b/a\) का सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=2\) and \(b=-6\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-6}{2}=3\). Option B results from mishandling the negative sign of \(b\). Exam tip: identify the coefficients carefully before applying \(-b/a\).
द्विघात समीकरण �ax-2+bx+c=0� के मूलों का गुणनफल �\alpha\beta=\frac{c}{a}� होता है। यहाँ �a=4� और �c=-3� हैं, इसलिए �\alpha\beta=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}�। विकल्प B में परिमाण सही है, लेकिन ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा में मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र में �c� का चिन्ह अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation �ax-2+bx+c=0�, the product of its roots is �\alpha\beta=\frac{c}{a}�. Here, �a=4� and �c=-3�, so �\alpha\beta=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}�. Option B has the correct magnitude but misses the negative sign. In an exam, always check the sign of �c� when applying the product-of-roots formula.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2\), और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\)। अतः \(4-4k\ge0\), जिससे \(k\le1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(k>1\) होने पर विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की शर्त पूछे जाने पर सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2\), and \(c=k\), so \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\). Therefore, \(4-4k\ge0\), which gives \(k\le1\). Hence, option A is correct. If \(k>1\), as stated in option B, the discriminant becomes negative, so the roots are not real. Exam tip: For real roots of a quadratic, always begin with the condition \(D\ge0\).
मूल (-5) और (-2) हैं क्योंकि ((x+5)(x+2)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-5) and (-2) because ((x+5)(x+2)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+9=0\) में मूलों का योग \(-\frac{a}{1}=-a\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(3+3=6\) है, इसलिए \(-a=6\), अर्थात \(a=-6\)। विकल्प \(6\) में चिह्न की गलती है। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2+ax+9=0\), the sum of the roots is \(-\frac{a}{1}=-a\). Since the roots are \(3\) and \(3\), their sum is \(6\). Thus, \(-a=6\), giving \(a=-6\). The value \(6\) results from missing the negative sign. In exams, remember that the sum of roots of \(x^2+bx+c=0\) is \(-b\).
A. \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{2}{3}\)/\(\frac{1}{2}\) and \(\frac{2}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(6x^2-7x+2=(3x-2)(2x-1)\)। अतः \((3x-2)(2x-1)=0\) से \(x=\frac{2}{3}\) या \(x=\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में दिए मान गुणनखंडों से प्राप्त मूल नहीं हैं। परीक्षा में गुणनखंडन के बाद प्रत्येक रैखिक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल निकालें। / Factorise the quadratic: \(6x^2-7x+2=(3x-2)(2x-1)\). Thus, \((3x-2)(2x-1)=0\) gives \(x=\frac{2}{3}\) or \(x=\frac{1}{2}\). Therefore, option A is correct. The values in option D do not satisfy the two linear factors. In an exam, set each linear factor equal to zero after factorisation to obtain the roots.
द्विघात समीकरण \(a_1x^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a_1}\) के बराबर होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(a\times(-a)=-a^2\) है, इसलिए \(\frac{c}{a_1}=-a^2\)। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: विपरीत चिह्न वाले मूलों का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक वर्ग के रूप में लिखें। / For a quadratic equation \(a_1x^2+bx+c=0\), the product of its roots equals \(\frac{c}{a_1}\). Here, the product is \(a\times(-a)=-a^2\), so \(\frac{c}{a_1}=-a^2\). Therefore, option A is correct. Exam tip: When the roots have equal magnitudes and opposite signs, their product is the negative of the square of either root.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल (alpha) और (beta) हों, तो उसका मोनिक रूप (x-2-(alpha+beta)x+alpha beta=0) होता है। दिए गए मान रखने पर (x-2-(-3)x-10=0), अर्थात \(x^2+3x-10=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के सामने हमेशा ऋण चिह्न और मूलों के गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / For roots (alpha) and (beta), the monic quadratic equation is (x-2-(alpha+beta)x+alpha beta=0). Substituting the given values gives (x-2-(-3)x-10=0), which simplifies to \(x^2+3x-10=0\). Option B has the wrong sign for the sum of the roots. Exam tip: use the pattern (x-2-(sum of roots)x+product of roots=0).
मान लें कि समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=5\)। अतः \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=6^2-2(5)=36-10=26\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि 36 केवल मूलों के योग का वर्ग है, मूलों के वर्गों का योग नहीं। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=5\). Therefore, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=6^2-2(5)=36-10=26\). Hence, option A is correct. Remember that 36 is the square of the sum of the roots, not the sum of their squares.
(x=2) रखने पर (4a-10+2=0) इसलिए (4a=8) और (a=2)। अज्ञात गुणांक वाले प्रश्न में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=2) gives (4a-10+2=0), so (4a=8) and (a=2). Substitute in questions with an unknown coefficient.
यहाँ \(a=1\), \(b=-14\) और \(c=49\) हैं। द्विघात समीकरण के लिए मूलों का योग \(-b/a=14\) तथा मूलों का गुणनफल \(c/a=49\) होता है। वास्तव में, \(x^2-14x+49=(x-7)^2\), इसलिए दोनों मूल 7 हैं; उनका योग 14 और गुणनफल 49 है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) सीधे पहचानें। विकल्प C में मूलों को ही योग और गुणनफल समझ लिया गया है। / Here, \(a=1\), \(b=-14\), and \(c=49\). For a quadratic equation, the sum of the roots is \(-b/a=14\), while their product is \(c/a=49\). Indeed, \(x^2-14x+49=(x-7)^2\), so both roots are 7; their sum is 14 and their product is 49. Exam tip: directly apply the relations sum \(=-b/a\) and product \(=c/a\). Option C gives the individual repeated root instead of its sum and product.
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{4}{3}\) और \(\alpha\beta=-\frac{4}{3}\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-1\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{4}{3}\) and \(\alpha\beta=-\frac{4}{3}\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-1\).
