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A. जीवन, स्वतंत्रता, समानता और गरिमा एक-दूसरे से जुड़े हैं/Life, liberty, equality and dignity are interconnected
Explanation
Simple Explanation
मानव अधिकार एक-दूसरे को मजबूत करते हैं और अलग करके पूरी तरह नहीं समझे जा सकते। परीक्षा में indivisible को interconnected से जोड़ें। / Human rights strengthen one another and cannot be fully understood separately. In exams, connect indivisible with interconnected.
A. क्योंकि जीवन, स्वतंत्रता, समानता और गरिमा एक-दूसरे से जुड़े हैं/Because life, liberty, equality and dignity are interconnected
Explanation
Simple Explanation
मानव अधिकार एक-दूसरे को मजबूत करते हैं और अलग करके नहीं समझे जा सकते। परीक्षा में indivisible को interconnected से जोड़ें। / Human rights strengthen one another and cannot be fully understood in isolation. In exams, connect indivisible with interconnected.
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), इसलिए इसमें \(a-b\) गुणनखंड है और यह सदैव विभाज्य है। \(a^2+b^2\) में सामान्यतः यह गुणनखंड नहीं होता। परीक्षा में पहले सर्वसमिका से गुणनखंडीकरण जाँचें। / \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), so \(a-b\) is a factor for every value of the variables. \(a^2+b^2\) does not generally contain this factor. Exam tip: factorise using identities before testing divisibility.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) है। इसे \(n\) से भाग देने पर \(\frac{n+1}{2}\) मिलता है, जो केवल \(n\) के विषम होने पर पूर्णांक है। अभाज्य होना पर्याप्त नहीं, क्योंकि 2 सम है। परीक्षा टिप: विभाज्यता में पहले सामान्य गुणनखंड काटें। / The sum is \(\frac{n(n+1)}{2}\). On dividing by \(n\), we get \(\frac{n+1}{2}\), which is an integer only when \(n\) is odd. Being prime is not sufficient because 2 is even. Exam tip: cancel common factors first in divisibility questions.
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), इसलिए \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\)। यह पूर्णांक तभी होगा जब \(n+1\) सम हो, अर्थात \(n\) विषम हो। अभाज्य होना आवश्यक नहीं है; जैसे \(9\) भी उपयुक्त है। परीक्षा टिप: विभाज्यता के लिए योग को \(n\) से भाग देकर जाँचें। / Since \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\). This is an integer only when \(n+1\) is even, so \(n\) must be odd. Being prime is not required; \(9\) also works. Exam tip: divide the sum formula by the given divisor first.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे \(p^2=3q^2\) मिलता है और वह निष्कर्ष निकालता है कि \(p\) 3 से विभाज्य है। प्रमाण को पूरा करने के लिए अगला आवश्यक कदम क्या है?
A. Show that \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p=3k\) मानें। रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड अवश्य दिखाएँ। / From \(p^2=3q^2\), let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both numerator and denominator.
C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because initially (h,k) should be coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(h,k)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
A. दावा सही है, क्योंकि \(q^2\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) 3 से विभाज्य होगा, और फिर \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा।/The claim is correct because if \(q^2\) is divisible by 3, then \(q\) is divisible by 3, and hence \(p\) is also divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(3p^2=q^2\) से \(q^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(q=3r\) होगा। रखने पर \(3p^2=9r^2\), इसलिए \(p^2=3r^2\) और \(p\) भी 3 से विभाज्य है। परीक्षा-टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / From \(3p^2=q^2\), \(q^2\) is divisible by 3, so \(q=3r\). Substituting gives \(3p^2=9r^2\), hence \(p^2=3r^2\); therefore, \(p\) is divisible by 3. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
रवि ने
ext{\(\sqrt{3}\)}
की अपरिमेयता के प्रमाण में माना कि
ext{\(\sqrt{3}=p/q\)}
, जहाँ
ext{\(p\)}
और
ext{\(q\)}
सह-अभाज्य हैं।
ext{\(p^2=3q^2\)}
से वह कहता है कि केवल
ext{\(p\)}
3 से विभाज्य है,
ext{\(q\)}
के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। उसकी त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?
A. यदि 3, \(q^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(q\) को भी विभाजित करता है।/If 3 divides \(q^2\), then 3 also divides \(q\).
Explanation
Simple Explanation
3 अभाज्य है। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / Since 3 is prime, \(p^2=3q^2\) implies that 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 divides \(q\) as well. This contradicts that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
C. h-2, 3 से विभाज्य होना चाहिए, जिससे h भी 3 से विभाज्य होता है/h-2 must be divisible by 3, which implies that h is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
समीकरण h² = 3k² से h², 3 से विभाज्य है। अभाज्य संख्या 3 के लिए यदि 3 किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करती है। अतः 3, h को विभाजित करेगा, जो दी गई शर्त कि h, 3 से विभाज्य नहीं है, के विरुद्ध है। विकल्प A आवश्यक नहीं है; इस चरण पर असंगति सीधे h के बारे में मिलती है। परीक्षा टिप: अभाज्य p के लिए p | n² होने पर p | n लिखें। / From h² = 3k², h² is divisible by 3. Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it must also divide that integer. Hence 3 divides h, contradicting the given condition that h is not divisible by 3. Option A is not the required contradiction; the contradiction at this step concerns h directly. Exam tip: For a prime p, use p | n² ⇒ p | n.
एक विद्यार्थी मानता है कि यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 2 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक स्वयं भी 2 से विभाज्य होगा।
कौन-सा उदाहरण या तर्क उसके कथन को सही सिद्ध करता है?
A. यदि पूर्णांक विषम हो, तो उसका वर्ग भी विषम होता है; इसलिए 2 से विभाज्य वर्ग का मूल पूर्णांक सम होगा।
Explanation
Simple Explanation
विषम पूर्णांक को \(2n+1\) लिखने पर उसका वर्ग \(4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1\) विषम होता है। अतः वर्ग सम होने पर पूर्णांक सम होगा। परीक्षा में विषम-सम का प्रतिलोम तर्क लिखें। / Write an odd integer as \(2n+1\). Its square is \(4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1\), which is odd. Hence, if a square is even, the integer must be even. Exam tip: use the contrapositive argument.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में \(\sqrt{3}=p/q\) मानकर \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य लिया जाता है। अंत में \(p\) और \(q\) दोनों के 3 से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है?
A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, असत्य सिद्ध होती है/The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is disproved
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो उनका एक सामान्य गुणनखंड 3 है। यह उनके सह-अभाज्य होने की प्रारम्भिक शर्त के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘न्यूनतम रूप’ वाली मान्यता पर दिखाइए। / If both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, they have the common factor 3. This contradicts the initial condition that they are coprime, so \(\sqrt{3}\) cannot be rational. Exam tip: state clearly that the fraction was assumed to be in lowest terms.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(3q^2=p^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, इसलिए विरोधाभास मिल गया।” उसके तर्क में कमी को कौन-सा कथन सही ढंग से बताता है?
A. विरोधाभास के लिए \(p=3k\) रखकर यह भी सिद्ध करना आवश्यक है कि \(q\) 3 से विभाज्य है/To get a contradiction, one must put \(p=3k\) and also prove that \(q\) is divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यही सह-अभाज्यता के विरुद्ध विरोधाभास है। परीक्षा में दोनों संख्याओं की विभाज्यता दिखाइए। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) is divisible by 3. On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, show divisibility of both integers.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) के 3 से विभाज्य होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी की त्रुटि क्या है?
B. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है/On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य 3 यदि \(p^2\) को विभाजित करता है, तो \(p\) को भी विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए अंश और हर में समान गुणनखंड दिखाइए। / Since the prime 3 divides \(p^2\), it must divide \(p\). Let \(p=3k\); then \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts lowest terms. Exam tip: show a common factor in numerator and denominator.
C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (m,n) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(m,n)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (m) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(m^2\) में भी नहीं होगा। पर समीकरण \(m^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है। / If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)
Explanation
Simple Explanation
पहले (m) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (m=3k) रखने के बाद ही (n) के लिए निष्कर्ष मिलता है। / First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (n) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनता है जब (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (m) पर्याप्त नहीं है। / Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
(m=3k) रखने पर \(9k^2=3n^2\) मिलता है। सरल करने पर \(n^2=3k^2\), इसलिए (n) (3) से विभाज्य है। / Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
आरव ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। \(m^2=3n^2\) प्राप्त करने पर वह कहता है कि \(m^2\) का 3 से विभाज्य होना, \(m\) के 3 से विभाज्य होने को सिद्ध नहीं करता। आरव की त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?
A. यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है।/If a prime divides the square of an integer, it also divides that integer.
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=3n^2\) से \(m^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(m\) भी 3 से विभाज्य होगा; आगे \(n\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(m^2=3n^2\), \(m^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(m\) must be divisible by 3; then \(n\) also becomes divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.
C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (p,q) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(p,q)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) नहीं है तो \(p^2\) में भी (3) नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए/Because (q) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त तब टूटती है जब (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (p) पर्याप्त नहीं है। / The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, लेकिन \(q\) का 3 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं है।” निम्नलिखित में से कौन-सा कथन उसकी त्रुटि को सही ढंग से बताता है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।/On putting \(p=3k\), \(q\) is also proved divisible by 3, contradicting the coprimality of \(p\) and \(q\).
Explanation
Simple Explanation
\(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्यता का विरोधाभास है। परीक्षा में वर्ग के अभाज्य गुणनखंड पर ध्यान दें। / Putting \(p=3k\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, track prime factors in squares carefully.
A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए/At the start (p,q) should be coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। उसे शुरुआत में नहीं मानते। / Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। पर \(p^2=3q^2\) उसे विभाज्य दिखाता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। प्रमाण के दौरान यदि \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो जाएँ, तो विद्यार्थी के कथन में कौन-सी त्रुटि है?
A. दोनों संख्याओं का 3 से विभाज्य होना उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है/Both numbers being divisible by 3 contradicts their being coprime.
Explanation
Simple Explanation
सह-अभाज्य \(m,n\) का कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। दोनों 3 से विभाज्य हों तो \(\gcd(m,n)\ge3\), अतः \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं है। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / Coprime \(m,n\) have no common prime factor. If both are divisible by 3, then \(\gcd(m,n)\ge3\), so \(\frac{m}{n}\) was not in lowest terms. Exam tip: check the claimed common factor.
A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा/Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तो सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। \(a^2=3b^2\) मिलने पर वह कहता है कि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं। इस निष्कर्ष को सही ठहराने के लिए कौन-सा तर्क आवश्यक है?
B. पहले \(3\mid a^2\) से \(a=3k\) लें, फिर प्रतिस्थापन से \(b^2=3k^2\) पाकर \(3\mid b\) सिद्ध करें।/First use \(3\mid a^2\) to write \(a=3k\), then substitute to get \(b^2=3k^2\) and prove \(3\mid b\).
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से \(3\mid a^2\), अतः 3 अभाज्य होने के कारण \(3\mid a\)। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid b\)। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन का चरण अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), \(3\mid a^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(b^2=3k^2\), hence \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: always show the substitution step.
(\gcd(a,b)=1) का अर्थ है कि दोनों में कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। दोनों में (3) होना इसी से विरोधाभास है। / (\gcd(a,b)=1) means both have no common factor. Having (3) in both contradicts this.
A. विरोधाभास के लिए (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (b) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (a) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं है। (a) और (b) दोनों में (3) होना जरूरी है। / Only (a) having factor (3) is not a contradiction. Both (a) and (b) must have factor (3).
एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में \(p^2=3q^2\) प्राप्त किया। यह ज्ञात होने पर कि \(p\) 3 से विभाज्य है, निम्न में से कौन-सा अगला कदम प्रमाण को सही ढंग से आगे बढ़ाता है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है; इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है।/On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है, जो विरोधाभास देता है। परीक्षा में प्रतिस्थापन के बाद वर्गों को सावधानी से सरल करें। / Substituting \(p=3k\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Thus, \(q\) is also divisible by 3, creating the contradiction. Do not jump directly from \(p=3k\) to a claim about \(q\).
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय रिया ने दिखाया कि सरलतम रूप में लिखे गए भिन्न \(a/b\) में \(a\) और \(b\), दोनों 3 से विभाज्य हैं। यह निष्कर्ष असंभव क्यों है?
A. सरलतम रूप वाले भिन्न के अंश और हर में 3 जैसा कोई समान गुणनखंड नहीं हो सकता।/A fraction in lowest terms cannot have a common factor such as 3 in its numerator and denominator.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a^2=3b^2\), तो 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; अतः 3, \(a\) को भी विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह \(a/b\) के सरलतम रूप में होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए समान गुणनखंड स्पष्ट लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so 3 divides \(a\). Put \(a=3k\); then \(b^2=3k^2\), so 3 also divides \(b\). This contradicts \(a/b\) being in lowest terms. Exam tip: state the common factor clearly to complete the contradiction.
A. पहले (a) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (a=3r) रखना पड़ता है/First (a) must be proved divisible by (3) and (a=3r) must be used
Explanation
Simple Explanation
पहले \(a^2\) से (a) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (a=3r) रखकर (b) का निष्कर्ष आता है। / First (a) is proved divisible by (3) from \(a^2\). Then after putting (a=3r), the conclusion for (b) follows.
A. दावा सत्य है, क्योंकि 3 से विभाज्य न होने वाले पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य नहीं हो सकता।
Explanation
Simple Explanation
दावा सत्य है। किसी पूर्णांक को 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 हो सकता है। शेष 1 या 2 होने पर वर्ग का शेष क्रमशः 1 या 4 अर्थात 1 होगा, 0 नहीं। इसलिए यदि वर्ग 3 से विभाज्य है, तो पूर्णांक भी 3 से विभाज्य होगा। परीक्षा टिप: शेषफल विधि से ऐसे कथन जल्दी जाँचें। / The claim is true. On division by 3, an integer leaves remainder 0, 1, or 2. Squaring remainders 1 and 2 gives remainders 1 and 4, i.e. 1 modulo 3, never 0. Hence a square divisible by 3 has a base divisible by 3. Exam tip: use remainders to test divisibility claims quickly.
A. \(a^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बताता है/\(a^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (a) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(a^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(a^2=3b^2\) \(a^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है। / If (a) has no factor (3), then \(a^2\) also has none. But \(a^2=3b^2\) makes \(a^2\) divisible by (3).
B. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते। यही परिमेय मान्यता को गलत करता है। / If both have common factor (3), they cannot remain coprime. This makes the rational assumption false.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त करता है। वह सीधे लिखता है कि \(q\) 3 से विभाज्य है। उसके तर्क को सही बनाने के लिए कौन-सा कथन आवश्यक है?
A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) मिलता है।/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); substituting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) है। अभाज्य 3 के गुण से \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम पहले लिखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); put \(p=3k\) to obtain \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divides-square rule first.
3 एक अभाज्य संख्या है।
b-2=3a-2 से 3,
b-2 को विभाजित करता है; अभाज्य भाजक गुण से 3,
b को भी विभाजित करेगा। इससे न्यूनतम रूप की धारणा पर विरोधाभास बनता है। परीक्षा में अभाज्य संख्या का यह गुण स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime,
b-2=3a-2 shows that 3 divides
b-2. By the prime divisor property, 3 must divide
b. This leads to a contradiction with the lowest-form assumption. In exams, state the prime-property step explicitly.
A. वह पूर्णांक 3 से विभाज्य है।/The integer is divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
किसी पूर्णांक को 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 हो सकता है। शेष 1 या 2 होने पर उसका वर्ग 3 से भाग देने पर 1 शेष देता है; अतः वर्ग 3 से विभाज्य हो तो पूर्णांक भी 3 से विभाज्य है। परीक्षा-टिप:
वर्गों के संभावित शेषफल लिखकर यह गुण तुरंत जाँचें। / An integer leaves remainder 0, 1, or 2 on division by 3. The squares of remainders 1 and 2 both leave remainder 1, so a square divisible by 3 requires the integer itself to be divisible by 3. Exam tip: list possible square remainders modulo 3.
A. विरोधाभास के लिए (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (v) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (u) में (3) होना विरोधाभास नहीं है। (u) और (v) दोनों में (3) होने से सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (u) having factor (3) is not a contradiction. The coprime condition breaks when both (u) and (v) have factor (3).
A. (\gcd(u,v)=1) और (\gcd(u,v)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(u,v)=1) and (\gcd(u,v)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
A. अधूरा कदम; पहले (u=3t) रखना चाहिए/Incomplete step; first (u=3t) should be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(u^2\) से (u) (3) से विभाज्य मिलता है। फिर (u=3t) रखने पर (v) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (u) is proved divisible by (3) from \(u^2\). Then taking (u=3t) gives the conclusion for (v).
यदि
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को
\(p\) और
\(q\) के सह-अभाज्य होने की शर्त पर मानें और प्रमाण से
\(p\) तथा
\(q\) दोनों 3 से विभाज्य निकलें, तो यह क्या सिद्ध करता है?
C. \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होने की शर्त का विरोधाभास है; अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/It contradicts the condition that \(p\) and \(q\) are coprime; hence \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
यदि 3,
\(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3,
\(p\) को भी विभाजित करता है।
\(p=3k\) रखने पर
\(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए 3,
\(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए यही विभाज्यता नियम लगाएँ। / If 3 divides
\(p^2\), then 3 must divide
\(p\). Put
\(p=3k\); this gives
\(q^2=3k^2\), so 3 also divides
\(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: apply this prime-divisibility rule in irrationality proofs.
A. \(u^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(u^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (u) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(u^2\) में भी नहीं होगा। पर \(u^2=3v^2\) इसे (3) से विभाज्य दिखाता है। / If (u) has no factor (3), then \(u^2\) also has none. But \(u^2=3v^2\) shows it divisible by (3).
रिया मानती है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद, विरोधाभास प्राप्त करने के लिए सही अगला कथन कौन-सा है?
A. \(q\) भी 3 से विभाज्य होना चाहिए/\(q\) must also be divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में हो तो मूल संख्या में भी होता है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य होने पर (\gcd(p,q)\ge 3) होगा। / In lowest form, (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), (\gcd(p,q)\ge 3).
A. विरोधाभास के लिए (q) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (q) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं देता। (p) और (q) दोनों में (3) होना जरूरी है। / Only (p) having factor (3) gives no contradiction. Both (p) and (q) must have factor (3).
A. चरण अधूरा है; पहले (p=3k) रखना होगा/The step is incomplete; first (p=3k) must be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) का निष्कर्ष मिलता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then putting (p=3k) gives the conclusion for (q).
A. तब \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होगा, पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/Then \(p^2\) would not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) का गुणनखंड \(p^2\) में तभी होगा जब (p) में हो। समीकरण इस विभाज्यता को अनिवार्य करता है। / Prime factor (3) appears in \(p^2\) only if it appears in (p). The equation forces this divisibility.
3 अभाज्य है। n को 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 हो सकता है; 1² और 2² दोनों का शेष 1 आता है। अतः n² का शेष 0 होने के लिए n का शेष 0 होना चाहिए, यानी n 3 से विभाज्य है। परीक्षा टिप: यह तथ्य
√3 की अपरिमेयता के प्रमाण में प्रयुक्त होता है। / Since 3 is prime, an integer leaves remainder 0, 1, or 2 on division by 3. The squares of remainders 1 and 2 both leave remainder 1. Thus, for n² to leave remainder 0, n must leave remainder 0 and be divisible by 3. Exam tip: this result is central to the proof that √3 is irrational.
A. यह सरलतम रूप नहीं रहेगा/It will not remain in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होने से भिन्न घटाई जा सकती है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है। / Since both have common factor (3), the fraction can be reduced. So the lowest form assumption breaks.
एक विद्यार्थी मानता है कि यदि
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। विद्यार्थी की त्रुटि पहचानिए।
A. \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(p=3k\) रखने से \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है।/If \(p\) is divisible by 3, putting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है; अतः \(p=3k\)। रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है। परीक्षा टिप: दोनों \(p\) और \(q\) के समान गुणनखंड तक पहुँचना जरूरी है। / From \(p^2=3q^2\), \(p\) is divisible by 3, so let \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), hence \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: complete the argument by proving a common factor of both \(p\) and \(q\).
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण से विभाज्य मिलता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation gives divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
B. पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be used
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखने पर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
एक विद्यार्थी मानता है कि
the statement “यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी 3 से विभाज्य है” गलत है। निम्न में से कौन-सा कथन इस भ्रांति को सही ढंग से दूर करता है?
A. किसी भी पूर्णांक को 3 से भाग देने पर शेषफल केवल 0, 1 या 2 हो सकता है; शेषफल 1 या 2 होने पर उसका वर्ग 3 से विभाज्य नहीं होता।
Explanation
Simple Explanation
किसी पूर्णांक का रूप 3q, 3q+1 या 3q+2 होता है। अंतिम दो स्थितियों में वर्ग का शेषफल 1 होता है, इसलिए वर्ग 3 से विभाज्य होने पर संख्या 3q ही होगी। परीक्षा में शेषफल-विधि याद रखें। / Any integer is of the form 3q, 3q+1, or 3q+2. The last two forms have squares leaving remainder 1 on division by 3, so a square divisible by 3 requires the integer to be 3q. Exam tip: use remainders.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानते हैं। यदि सिद्ध हो जाए कि \(p\), 3 से विभाज्य है, तो विरोधाभास के लिए \(q\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
\(p=3k\) रखने पर \(3q^2=p^2=9k^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p,q\) दोनों में 3 समान गुणनखंड है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘समान गुणनखंड’ से पहचानें। / Put \(p=3k\). Then \(3q^2=p^2=9k^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(q\) is also divisible by 3. Thus \(p\) and \(q\) have a common factor, contradicting lowest terms. Exam tip: state the common-factor contradiction clearly.
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए लेकिन समीकरण से विभाज्य है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(p^2=3q^2\) उसे (3) से विभाज्य दिखाता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible by (3).
A. यह अधूरा है क्योंकि पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (p) must be proved divisible by (3) first
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
एक विद्यार्थी ने दावा किया कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। उसके तर्क में सही सुधार क्या है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है।
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(p=3k\)। तब \(9k^2=3q^2\), यानी \(q^2=3k^2\); इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड दिखाइए। / Since \(p^2\) is divisible by 3, \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both integers.
एक विद्यार्थी दावा करता है कि यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 2 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी 2 से विभाज्य होगा।
यह कथन
केवल
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कैसे उपयोगी है?
A. It shows that both numerator and denominator in a supposed lowest-form fraction for \(\sqrt{2}\) are even.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। तब \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है और \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) with coprime integers \(p,q\). Then \(p^2=2q^2\), so \(p^2\), and hence \(p\), is even. Putting \(p=2k\) makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: always begin the contradiction proof with the fraction in lowest terms.
मान लीजिए कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का विरोधाभास पूरा करता है?
A. \(q\) भी 3 से विभाज्य है/\(q\) is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य नहीं रहेंगे, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
A. क्योंकि (3) अभाज्य गुणनखंड है/Because (3) is a prime factor
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड किसी वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the original number. Therefore (p) is divisible by (3).
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / A common factor (3) contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
B. शुरुआत में (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं/At the start (p) and (q) are assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में होता है। दोनों का (3) से विभाज्य होना बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। / At the start \(\frac{p}{q}\) is in lowest form. Both divisible by (3) is derived later as a contradiction.
A. क्योंकि प्रतिस्थापन करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(q^2\) 3 से विभाज्य है/Because substitution gives \(q^2=3k^2\), so \(q^2\) is divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
दिया है \(p=3k\)। इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \((3k)^2=3q^2\), अर्थात \(9k^2=3q^2\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \(q^2=3k^2\) प्राप्त होता है, इसलिए \(q^2\) 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि किसी संख्या का वर्ग 3 से विभाज्य हो, तो वह संख्या स्वयं भी 3 से विभाज्य होती है। अतः \(q\) 3 से विभाज्य है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या \(r\) के लिए \(r\mid n^2\) होने पर \(r\mid n\) होता है। / Given \(p=3k\), substitute it into \(p^2=3q^2\): \((3k)^2=3q^2\), so \(9k^2=3q^2\). Dividing by 3 gives \(q^2=3k^2\); hence \(q^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, if the square of an integer is divisible by 3, then the integer itself is divisible by 3. Therefore, \(q\) is divisible by 3. Exam tip: for a prime \(r\), \(r\mid n^2\) implies \(r\mid n\).
B. \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना निकाला जाता है। यही आगे विरोधाभास देता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (p) by (3) is derived from \(p^2\). This leads to contradiction.
रिया मानती है कि
\(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण में यदि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो जाएँ, तो इससे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?
A. यह मान्यता का विरोधाभास है, क्योंकि \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य नहीं रह सकते।/This contradicts the assumption because \(a\) and \(b\) cannot remain coprime.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है। यह सह-अभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: विरोधाभास में उभयनिष्ठ गुणनखंड अवश्य लिखें। / If both \(a\) and \(b\) are divisible by 3, they have the common factor 3. This contradicts the assumption that they are coprime, so \(\sqrt{3}\) is irrational. Exam tip: state the common factor clearly in a contradiction proof.
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) दिखाता है। यह सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास है। / Both being divisible by (3) shows common factor (3). This contradicts the coprime assumption.
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (x) (3) से विभाज्य है। / If prime factor (3) divides a square, it divides the number too. Therefore (x) is divisible by (3).
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं तथा \(q\ne0\), तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। इस तर्क में अगला सही निष्कर्ष क्या है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है।
Explanation
Simple Explanation
\(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(p=3k\) लिखें। तब \(p^2=3q^2\) में रखने से \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह \(p/q\) के सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग में किसी अभाज्य गुणनखंड की जाँच करें। / Since 3 divides \(p\), write \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence 3 also divides \(q\). This contradicts lowest form. Exam tip: track prime factors after squaring.
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का आधार है। / Prime factor (3) appears in the square only when it appears in the number. This supports the proof of \(\sqrt{3}\).
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर भी \(q\) के 3 से विभाज्य होने की आवश्यकता नहीं है। उसका कथन क्यों गलत है?
A. क्योंकि \(p^2=3q^2\) से \(p\) और फिर \(q\), दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध होते हैं।/Because \(p^2=3q^2\) shows that both \(p\), and then \(q\), are divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों में समान गुणनखंड खोजें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: look for a common factor in both terms.
अभाज्य गुणनखंड (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। यही \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में लगता है। / If prime factor (3) divides the square then it also divides the number. This is used in the proof of \(\sqrt{3}\).
3 एक अभाज्य संख्या है। यदि \(3\mid p^2\), तो अभाज्य गुणनखंड के नियम से \(3\mid p\) होगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य संख्या वाला नियम याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). On writing \(p=3k\), the proof further shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: use this prime-factor property carefully.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य होगा। यह कथन किस निष्कर्ष की ओर ले जाता है?
A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, गलत सिद्ध होती है।/The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is contradicted.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=p/q\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करता है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। अतः दोनों में 3 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास मिलते ही प्रारम्भिक परिमेय मान्यता असत्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{3}=p/q\) gives \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3. Thus they have a common factor 3, contradicting coprimality. Exam tip: after this contradiction, state that the rationality assumption is false.
A. वह (3) से विभाज्य होगा/It will be divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
यदि संख्या में (3) का गुणनखंड है तो उसके वर्ग में भी (3) का गुणनखंड होगा। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में उपयोगी है। / If a number has factor (3), its square also has factor (3). This is useful in the proof of \(\sqrt{3}\).
यदि किसी संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य है तो वह संख्या भी (3) से विभाज्य होती है। यह अभाज्य गुणनखंड का उपयोग है। / If the square of a number is divisible by (3), the number is also divisible by (3). This uses prime factor property.
संख्याएँ \(52,60,\ldots,244\) हैं और कुल (25) पद हैं। परीक्षा में शर्त को सही समान्तर श्रेणी में बदलें। / The numbers are \(52,60,\ldots,244\), and there are (25) terms. Exam tip: convert the condition into the correct AP.
कुल योग (9870) है और (7) के गुणजों का योग (1470) है इसलिए उत्तर (8400) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
पद \(112,126,\ldots,350\) हैं और कुल (18) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(112,126,\ldots,350\), making (18) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
ऐसी संख्याएँ \(12,24,\ldots,120\) हैं और कुल (10) पद हैं। परीक्षा में दोनों से विभाज्य का अर्थ लघुत्तम समापवर्त्य लें। / The numbers are \(12,24,\ldots,120\), and there are (10) terms. Exam tip: divisible by both means use the least common multiple.
कुल योग (11325) है और (6) के गुणजों का योग (1875) है इसलिए उत्तर (9450) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(102,119,\ldots,986\) हैं और कुल (53) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
पद \(84,96,\ldots,252\) हैं और कुल (15) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(84,96,\ldots,252\), making (15) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
पद \(54,63,\ldots,198\) हैं और कुल (17) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(54,63,\ldots,198\), making (17) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
पहला गुणज (209), अंतिम (1197) और (53) पद हैं, इसलिए योग (37259) है। सीमा के अंदर पहला गुणज सही चुनें। / The first multiple is (209), the last is (1197), and there are (53) terms, so the sum is (37259). Choose the first multiple within the range correctly.
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है। / Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें। / The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
(18) के गुणजों के योग से (\operatorname{lcm}(18,30)) के गुणजों का योग घटाने पर (83664) मिलता है। but not वाली शर्त में overlap हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (\operatorname{lcm}(18,30)) from the sum of multiples of (18) gives (83664). In a but-not condition, remove the overlap.
(9) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (93753) मिलता है। दोनों से विभाज्य संख्याएँ (\operatorname{lcm}(9,12)) की गुणज होती हैं। / Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (9) gives (93753). Numbers divisible by both are multiples of (\operatorname{lcm}(9,12)).
(18) के गुणजों के योग से (72) के गुणजों का योग घटाने पर (28278) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (72) from the sum of multiples of (18) gives (28278). Use the least common multiple to remove overlap.
(5) और (8) के गुणजों के योग जोड़कर (40) के गुणजों का योग घटाने से (150500) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है। / Adding sums of multiples of (5) and (8), then subtracting multiples of (40), gives (150500). Avoiding double counting is important.
(10) के गुणजों के योग से (50) के गुणजों का योग घटाने पर (39600) मिलता है। दोनों शर्तों के साझा गुणजों को हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (11) के गुणजों का योग (44550), इसलिए उत्तर (450000) है। विभाज्य नहीं में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
पहला गुणज (128), अंतिम (896) और कुल (49) पद हैं, इसलिए योग (25088) है। सीमा के अनुसार पहला पद ध्यान से चुनें। / The first multiple is (128), the last is (896), and there are (49) terms, so the sum is (25088). Choose the first term according to the range carefully.
संख्याएँ \(105,147,\ldots,987\) हैं और उनका योग (12012) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (42) हो जाता है। / The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
