Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1027752). Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
Step 3
Exam Tip
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है।
Subtracting the sum of multiples of (\operatorname{lcm}(18,30)) from the sum of multiples of (18) gives (83664). In a but-not condition, remove the overlap.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (83664). Subtracting the sum of multiples of (\operatorname{lcm}(18,30)) from the sum of multiples of (18) gives (83664). In a but-not condition, remove the overlap.
Step 3
Exam Tip
(18) के गुणजों के योग से (\operatorname{lcm}(18,30)) के गुणजों का योग घटाने पर (83664) मिलता है। but not वाली शर्त में overlap हटाएँ।
Subtracting the sum of multiples of (72) from the sum of multiples of (18) gives (28278). Use the least common multiple to remove overlap.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (28278). Subtracting the sum of multiples of (72) from the sum of multiples of (18) gives (28278). Use the least common multiple to remove overlap.
Step 3
Exam Tip
(18) के गुणजों के योग से (72) के गुणजों का योग घटाने पर (28278) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें।
Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (39600). Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
Step 3
Exam Tip
(10) के गुणजों के योग से (50) के गुणजों का योग घटाने पर (39600) मिलता है। दोनों शर्तों के साझा गुणजों को हटाएँ।
The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (12012). The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(105,147,\ldots,987\) हैं और उनका योग (12012) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (42) हो जाता है।
Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (12) gives (26460). Use the least common multiple to remove overlap.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (26460). Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (12) gives (26460). Use the least common multiple to remove overlap.
Step 3
Exam Tip
(12) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (26460) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें।
Subtracting the sum of multiples of (24) from the sum of multiples of (8) gives (33368). In a but-not condition, subtract the complement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (33368). Subtracting the sum of multiples of (24) from the sum of multiples of (8) gives (33368). In a but-not condition, subtract the complement.
Step 3
Exam Tip
(8) के गुणजों के योग से (24) के गुणजों का योग घटाने पर (33368) मिलता है। but not वाली शर्त में पूरक घटाएँ।
The numbers are \(105,135,\ldots,975\), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16200). The numbers are \(105,135,\ldots,975\), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(105,135,\ldots,975\) हैं और उनका योग (16200) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (30) हो जाता है।
The numbers are \(102,114,\ldots,990\), and their sum is (40950). In such a condition, a new AP with common difference (12) is formed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (40950). The numbers are \(102,114,\ldots,990\), and their sum is (40950). In such a condition, a new AP with common difference (12) is formed.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(102,114,\ldots,990\) हैं और उनका योग (40950) है। ऐसी शर्त में (12) के अंतर वाली नई श्रेढ़ी बनती है।
Since \(9=3^2\), power of (3) must be at least (2). Not divisible by (5) means power of (5) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (1) for (5). Total (=12).
Step 3
Exam Tip
Convert each condition into exponent restrictions. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए (3) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। (5) से विभाज्य नहीं होने के लिए (5) की घात (0) होगी। चरण 2: (2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (2,3,4) यानी (3) तरीके, और (5) की (1) तरीका। कुल \(4\times3\times1=12\)। चरण 3: दो शर्तों को अलग-अलग घातों में बदलें।
The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (450000). The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
Step 3
Exam Tip
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (11) के गुणजों का योग (44550), इसलिए उत्तर (450000) है। विभाज्य नहीं में पूरक विधि तेज होती है।
The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (9) is (55350), so the answer is (439200). For not divisible, the complement method is fast.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (439200). The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (9) is (55350), so the answer is (439200). For not divisible, the complement method is fast.
Step 3
Exam Tip
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (9) के गुणजों का योग (55350), इसलिए उत्तर (439200) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है।
The sum of all two-digit numbers is (4905), and the sum of multiples of (4) is (1188), so the answer is (3717). For not divisible, the complement method is fast.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3717). The sum of all two-digit numbers is (4905), and the sum of multiples of (4) is (1188), so the answer is (3717). For not divisible, the complement method is fast.
Step 3
Exam Tip
दो अंकों की सभी संख्याओं का योग (4905) है और (4) के गुणजों का योग (1188), इसलिए उत्तर (3717) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में/In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) divisible by (2), that is even.
Step 3
Exam Tip
The common factor (2) creates the contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य यानी सम मिलते हैं। चरण 3: (2) वाला साझा गुणनखंड विरोधाभास बनाता है।
A. वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे/They will not remain coprime
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against being coprime. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह स्थिति सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
So it is written as (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
In proofs, write this type of form after getting divisibility. चरण 1: (3) से विभाज्य संख्या में (3) गुणनखंड होता है। चरण 2: इसलिए उसे (p=3k) लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक है। चरण 3: प्रमाण में विभाज्यता मिलने पर इसी तरह का रूप लिखें।
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही विरोधाभास बनता है।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा/Both will have (3) as a common factor
Step 1
Concept
Being divisible by (3) means both have (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore it gives a contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि दोनों में (3) गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास देता है।
A. (p=5k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
A number divisible by (5) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
So (p) can be written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
Substituting this form in the original equation gives the same conclusion for (q). चरण 1: (5) से विभाज्य संख्या में (5) गुणनखंड होता है। चरण 2: इसलिए (p=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: इस रूप को मूल समीकरण में रखने से (q) के लिए भी समान निष्कर्ष मिलता है।
A factor divisible by (10) must contain both (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (4) choices from (1) to (4), and the exponent of (5) has (3) choices from (1) to (3). Total \(4 \times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both primes. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प और (5) की घात (1) से (3) तक (3) विकल्प देती है। कुल \(4 \times 3=12\)। चरण 3: (10) से विभाज्यता के लिए दोनों अभाज्य जरूरी हैं।
A factor divisible by (10) must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Exponent choices for (2) are (1,2,3), and for (5) are (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both primes. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प और (5) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3=9\)। चरण 3: (10) से विभाज्यता में दोनों अभाज्य जरूरी हैं।
A factor divisible by (10) must contain both (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) can be (1) to (4), giving (4) choices, and the exponent of (5) can be (1) to (2), giving (2) choices. Total \(4 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both prime factors. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प देती है और (5) की घात (1) से (2) तक (2) विकल्प देती है। कुल \(4 \times 2=8\)। चरण 3: (10) के लिए दोनों अभाज्य गुणनखंड जरूरी हैं।
A factor divisible by (10) must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Exponent choices for (2) are (1) to (5), so (5) choices; for (5), (1) to (4), so (4) choices. Total (20).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both prime factors. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1) से (5) तक (5) विकल्प, और (5) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प देती है। कुल \(5 \times 4=20\)। चरण 3: (10) से विभाज्यता में दोनों अभाज्यों की उपस्थिति जरूरी है।
To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero. चरण 1: (2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। चरण 3: न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें।
\(12=2^2\times3\), so the factor needs power of (2) at least (2) and power of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (3) for (5). Total \(=4\times3\times3=36\).
Step 3
Exam Tip
First write the divisor in prime form, then set exponent limits. चरण 1: \(12=2^2\times3\), इसलिए (2) की घात कम से कम (2) और (3) की घात कम से कम (1) चाहिए। चरण 2: (2) की घात (2,3,4,5) यानी (4) तरीके; (3) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (5) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके। कुल \(4\times3\times3=36\)। चरण 3: पहले भाजक का अभाज्य रूप लिखें, फिर घातों की सीमाएं तय करें।
Since \(25=5^2\), the factor must contain at least \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Choices for (2): (5), for (3): (3), for (5): (2) or (3), giving (2) choices. Total \(=5\times3\times2=30\).
Step 3
Exam Tip
Treat (25) as \(5^2\) before counting. चरण 1: \(25=5^2\), इसलिए गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए (5) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (2,3) यानी (2) तरीके। कुल \(5\times3\times2=30\)। चरण 3: (25) को \(5^2\) मानकर शर्त लगाएं।
Since \(15=3\times5\), the factor must contain both (3) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Power choices are (2:4) choices, (3:2) choices, (5:2) choices, and (7:2) choices. Total \(=4\times2\times2\times2=32\).
Step 3
Exam Tip
Start restricted prime powers from the minimum required value. चरण 1: \(15=3\times5\), इसलिए गुणनखंड में (3) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (1) से (2) तक (2) तरीके, (5) की घात (1) से (2) तक (2) तरीके, और (7) की (2) तरीके। कुल \(4\times2\times2\times2=32\)। चरण 3: विभाज्यता में जरूरी अभाज्य गुणनखंड की न्यूनतम घात से शुरुआत करें।
Factors divisible by \(6=2\times3\) must have power of (2) at least (1) and power of (3) at least (1), so \(5\times4\times2=40\).
Step 3
Exam Tip
Not divisible by (6) means total minus divisible factors, (60-40=20). चरण 1: कुल गुणनखंड ((5+1)(4+1)(1+1)=60) हैं। चरण 2: \(6=2\times3\) से विभाज्य गुणनखंडों में (2) की घात कम से कम (1) और (3) की घात कम से कम (1) होगी। ऐसे गुणनखंड \(5\times4\times2=40\) हैं। चरण 3: जो (6) से विभाज्य नहीं हैं, वे (60-40=20) नहीं? ध्यान दें (2) के लिए (1) से (5) तक (5) तरीके, (3) के लिए (1) से (4) तक (4) तरीके, (7) के लिए (2) तरीके; इसलिए (40), और उत्तर (60-40=20) है।
A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent. चरण 1: (2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें।
The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (8400). The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
Step 3
Exam Tip
कुल योग (9870) है और (7) के गुणजों का योग (1470) है इसलिए उत्तर (8400) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है।
The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (25897). The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें।
The numbers are \(12,24,\ldots,120\), and there are (10) terms. Exam tip: divisible by both means use the least common multiple.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (840). The numbers are \(12,24,\ldots,120\), and there are (10) terms. Exam tip: divisible by both means use the least common multiple.
Step 3
Exam Tip
ऐसी संख्याएँ \(12,24,\ldots,120\) हैं और कुल (10) पद हैं। परीक्षा में दोनों से विभाज्य का अर्थ लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (9450). The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.
Step 3
Exam Tip
कुल योग (11325) है और (6) के गुणजों का योग (1875) है इसलिए उत्तर (9450) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है।
The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (31518). The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(102,119,\ldots,986\) हैं और कुल (53) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें।
The first multiple is (209), the last is (1197), and there are (53) terms, so the sum is (37259). Choose the first multiple within the range correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37259). The first multiple is (209), the last is (1197), and there are (53) terms, so the sum is (37259). Choose the first multiple within the range correctly.
Step 3
Exam Tip
पहला गुणज (209), अंतिम (1197) और (53) पद हैं, इसलिए योग (37259) है। सीमा के अंदर पहला गुणज सही चुनें।
The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1339659). The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें।
Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (9) gives (93753). Numbers divisible by both are multiples of (\operatorname{lcm}(9,12)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (93753). Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (9) gives (93753). Numbers divisible by both are multiples of (\operatorname{lcm}(9,12)).
Step 3
Exam Tip
(9) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (93753) मिलता है। दोनों से विभाज्य संख्याएँ (\operatorname{lcm}(9,12)) की गुणज होती हैं।
Adding sums of multiples of (5) and (8), then subtracting multiples of (40), gives (150500). Avoiding double counting is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (150500). Adding sums of multiples of (5) and (8), then subtracting multiples of (40), gives (150500). Avoiding double counting is important.
Step 3
Exam Tip
(5) और (8) के गुणजों के योग जोड़कर (40) के गुणजों का योग घटाने से (150500) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है।
The first multiple is (128), the last is (896), and there are (49) terms, so the sum is (25088). Choose the first term according to the range carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (25088). The first multiple is (128), the last is (896), and there are (49) terms, so the sum is (25088). Choose the first term according to the range carefully.
Step 3
Exam Tip
पहला गुणज (128), अंतिम (896) और कुल (49) पद हैं, इसलिए योग (25088) है। सीमा के अनुसार पहला पद ध्यान से चुनें।
The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (25897). The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें।
The numbers are \(153,170,\ldots,748\), and their sum is (16218). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16218). The numbers are \(153,170,\ldots,748\), and their sum is (16218). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(153,170,\ldots,748\) हैं और उनका योग (16218) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें।
Subtracting the sum of multiples of (30) from the sum of multiples of (6) gives (66336). Numbers divisible by both (6) and (15) are multiples of (30).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (66336). Subtracting the sum of multiples of (30) from the sum of multiples of (6) gives (66336). Numbers divisible by both (6) and (15) are multiples of (30).
Step 3
Exam Tip
(6) के गुणजों के योग से (30) के गुणजों का योग घटाने पर (66336) मिलता है। (6) और (15) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (30) की गुणज होती हैं।
Adding sums of multiples of (4) and (7), then subtracting multiples of (28), gives (87850). Avoiding double counting is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (87850). Adding sums of multiples of (4) and (7), then subtracting multiples of (28), gives (87850). Avoiding double counting is important.
Step 3
Exam Tip
(4) और (7) के गुणजों के योग जोड़कर (28) के गुणजों का योग घटाने से (87850) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है।
The first multiple is (91), the last is (598), and there are (40) terms, so the sum is (13780). Choose the first term according to the range carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (13780). The first multiple is (91), the last is (598), and there are (40) terms, so the sum is (13780). Choose the first term according to the range carefully.
Step 3
Exam Tip
पहला गुणज (91), अंतिम (598) और कुल (40) पद हैं, इसलिए योग (13780) है। सीमा के अनुसार पहला पद ध्यान से चुनें।
The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (28832). The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें।
The numbers are \(210,224,\ldots,798\), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (21672). The numbers are \(210,224,\ldots,798\), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(210,224,\ldots,798\) हैं और उनका योग (21672) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें।
The sum of multiples of (4) is (125500), and the sum of multiples of (20) is (25500), so the answer is (100000). Remove overlap using \(\operatorname{lcm}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (100000). The sum of multiples of (4) is (125500), and the sum of multiples of (20) is (25500), so the answer is (100000). Remove overlap using \(\operatorname{lcm}\).
Step 3
Exam Tip
(4) के गुणजों का योग (125500) और (20) के गुणजों का योग (25500) है, इसलिए उत्तर (100000) है। \(\operatorname{lcm}\) से overlap हटाएँ।
Adding sums of multiples of (3) and (5), then subtracting multiples of (15), gives (58418). Avoiding double counting is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (58418). Adding sums of multiples of (3) and (5), then subtracting multiples of (15), gives (58418). Avoiding double counting is important.
Step 3
Exam Tip
(3) और (5) के गुणजों के योग जोड़कर (15) के गुणजों का योग घटाने से (58418) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है।
The AP is \(56,63,\ldots,245\) with (28) terms, and the sum is (4214). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4214). The AP is \(56,63,\ldots,245\) with (28) terms, and the sum is (4214). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
Step 3
Exam Tip
श्रेढ़ी \(56,63,\ldots,245\) है जिसमें (28) पद हैं और योग (4214) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें।
The numbers are \(117,135,\ldots,999\), and the sum of (50) terms is (27900). For odd multiples, the common difference is (18).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (27900). The numbers are \(117,135,\ldots,999\), and the sum of (50) terms is (27900). For odd multiples, the common difference is (18).
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(117,135,\ldots,999\) हैं और (50) पदों का योग (27900) है। विषम गुणजों में अंतर (18) होगा।
The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (37674). The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली संख्या (104), अंतिम (988) और कुल (69) पद हैं, इसलिए योग (37674) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें।
The numbers are \(110,121,\ldots,495\), and their sum is (10890). When between is written, check carefully whether endpoints are included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (10890). The numbers are \(110,121,\ldots,495\), and their sum is (10890). When between is written, check carefully whether endpoints are included.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(110,121,\ldots,495\) हैं और उनका योग (10890) है। between लिखे होने पर सिरों को शामिल करना है या नहीं यह ध्यान से देखें।
The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3150). The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता।
The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (60984). The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
Step 3
Exam Tip
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें।
The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1188). The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ।
The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (6688). The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें।
The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (1950). The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ।
The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3808). The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें।
The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4230). The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(126,135,\ldots,297\) हैं और (20) पद हैं, इसलिए योग (4230) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5100). The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(204,216,\ldots,396\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (5100) है। सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3192). The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1407). The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.
Step 3
Exam Tip
संख्याएँ \(56,63,\ldots,147\) हैं और (14) पद हैं, इसलिए योग (1407) है। बीच की सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें।
तीन अंकों वाली पहली संख्या (100) है जो (7) से विभाज्य नहीं है, लेकिन \(105,112,119,\ldots\) तीन अंकों वाली (7) की गुणज AP है। इस AP का (50)वां पद क्या होगा?
A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (5) places
Step 1
Concept
The reduced denominator is \(10^5\), so the decimal terminates exactly after (5) places. The numerator condition indicates no further cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (5) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (5) places. The reduced denominator is \(10^5\), so the decimal terminates exactly after (5) places. The numerator condition indicates no further cancellation.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^5\) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश की दी गई बात अतिरिक्त कटौती न होने का संकेत देती है।
A. ठीक (4) दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा/It terminates exactly after (4) decimal places
Step 1
Concept
\(2^4\cdot 5^4=10^4\).
Step 2
Why this answer is correct
A reduced denominator of \(10^4\) gives a decimal terminating after (4) places. The numerator condition assures no hidden further reduction.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is \(10^k\), think of (k) decimal places. चरण 1: \(2^4\cdot 5^4=10^4\) है। चरण 2: सरलतम हर \(10^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। अंश (10) से विभाज्य नहीं होने की बात यह भरोसा देती है कि आगे और सरलता नहीं छिपी है। चरण 3: सरलतम हर \(10^k\) हो तो (k) दशमलव स्थान सोचें।
The denominator has only (2) and (5), so \(\frac{3}{50}\) gives a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Decide by prime factors of the denominator, not by a rough divisibility idea. चरण 1: \(50=2\times5^2\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{3}{50}\) समाप्त दशमलव देगा। चरण 3: भाग जाने की सोच से नहीं, भाजक के गुणनखंडों से निर्णय लें।
At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore this is a contradictory result, and the rational assumption is false. चरण 1: शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है और परिमेय मान्यता गलत होती है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Such a situation is impossible in lowest form. चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसी स्थिति संभव नहीं होती।
C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है/Because the right side is a multiple of (3)
Step 1
Concept
In \(3q^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) equals it, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then use the prime rule to write \(3\mid p\). चरण 1: \(3q^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(p^2\) उसी के बराबर है, इसलिए \(p^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: इसके बाद अभाज्य नियम से \(3\mid p\) लिखें।
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
(5) being common to both breaks this condition. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। चरण 3: दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है।
C. (a) (25) से अवश्य विभाज्य है/(a) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
This does not necessarily mean (a) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
Write only the conclusion that is actually proved. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) और इसलिए \(5\mid a\) मिलता है। चरण 2: इससे (a) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। चरण 3: जितना सिद्ध हो, केवल उतना ही निष्कर्ष लिखें।
C. (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा/(\gcd(a,b)) will be at least (5)
Step 1
Concept
Both numbers are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore their greatest common divisor cannot remain (1); it will be at least (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the coprimality condition. चरण 1: दोनों संख्याएँ (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता, वह कम से कम (5) होगा। चरण 3: यह सहअभाज्यता की शर्त को तोड़ता है।
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं/(x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime is proved false. चरण 1: दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
Therefore their greatest common divisor is at least (5).
Step 3
Exam Tip
This goes against the condition of being coprime. चरण 1: (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम (5) होगा। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना/Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
From \(3\mid p\), write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then \(3\mid q\) is proved. चरण 1: \(3\mid p\) से (p=3k) लिखा जाता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(3\mid q\) साबित होता है।
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे/Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against the starting condition. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है।
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी/The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This directly contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है।
A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना/Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(5\mid p\), it is proper to write (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it into the original equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then prove \(5\mid q\) and complete the contradiction. चरण 1: \(5\mid p\) से (p=5k) लिखना उचित है। चरण 2: इसे मूल समीकरण में रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(5\mid q\) दिखाकर विरोधाभास पूरा करें।
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है/Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Understand divisibility of the square first, then of the original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। चरण 2: बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की।
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), they have a common factor.
Step 3
Exam Tip
This proves the original rational assumption false. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनमें साझा गुणनखंड है। चरण 3: इससे प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\)/Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
Apply the prime-factor rule carefully. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें।
If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है।
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p=5k) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is proved divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p=5k) मिलता है। चरण 2: रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है।
Mentioning the type of the new variable makes the proof clear. चरण 1: (p) एक पूर्णांक है और (3) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है, जहां (k) भी पूर्णांक होगा। चरण 3: ऐसे रूप में नए अक्षर का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है।
Taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form means (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), their greatest common divisor is at least (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) breaks. चरण 1: सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लेने का अर्थ है (\gcd(p,q)=1)। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त टूट जाती है।
To conclude divisibility of the original number from the square, (5) must be prime.
Step 3
Exam Tip
Therefore (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: वर्ग से मूल संख्या की विभाज्यता निकालने के लिए (5) का अभाज्य होना जरूरी है। चरण 3: इसी कारण (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further by (3).
Step 3
Exam Tip
Hence it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य हैं तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से और सरल किया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था, इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form, so the rational assumption is impossible
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a situation cannot occur in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए अंश और हर में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम रूप में ऐसी स्थिति नहीं हो सकती। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
If a square is divisible by a prime, the original number is also divisible by that prime.
Step 3
Exam Tip
So (5) being prime is the main basis here. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: किसी अभाज्य संख्या से वर्ग विभाज्य हो, तो मूल संख्या भी उससे विभाज्य होती है। चरण 3: इसलिए (5) का अभाज्य होना यहां मुख्य आधार है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
So it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
By the prime rule, (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the assumption of lowest form. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है।
