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ऐसी सबसे बड़ी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest number that divides all exactly is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), और \(180=2^2\times 3^2\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^2\times 3^2=36\) है। / \(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), and \(180=2^2\times 3^2\times 5\). The common smallest part is \(2^2\times 3^2=36\).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी पूर्ण भाजक संख्या पूछी हो तो महत्तम समापवर्तक निकालें। / When the greatest exact divisor is asked, find the HCF.
\(10^5=2^5\cdot 5^5\) है। / \(10^5=2^5\cdot 5^5\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका कोई भी भाजक केवल (2) और (5) की घातों से बनेगा। इसलिए \(\frac{p}{q}\) का दशमलव सांत होगा। / Any divisor of it contains only powers of (2) and (5). Therefore \(\frac{p}{q}\) has a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
भाजक होने से अधिकतम (5) स्थान तय हो सकते हैं, ठीक (5) नहीं। / Being a divisor gives at most (5) places, not necessarily exactly (5).
शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। / The remainder condition is \(0\le r<52\).
Step 2
Why this answer is correct
52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। / The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता। / A remainder can never be equal to the divisor.
भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। / When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.
Step 2
Why this answer is correct
19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। / 19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें। / In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor.
असममित संतुलन में दोनों ओर अलग तत्व होते हुए भी भार संतुलित रहता है। परीक्षा में exact mirror न हो तब asymmetrical याद रखें। / In asymmetrical balance different elements still keep visual weight balanced. Exam tip: remember asymmetrical when it is not an exact mirror.
नर्मदा दरार घाटी से पश्चिम की ओर बहकर अरब सागर में गिरती है। परीक्षा में नर्मदा तापी को विशेष अपवाद याद रखें। / Narmada flows westward through a rift valley into the Arabian Sea. For exams remember Narmada Tapi as special exceptions.
मध्य बिंदु \(\frac{0+2}{2}=1\) है। बीच का बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। / The midpoint is \(\frac{0+2}{2}=1\). The middle point is equally distant from both endpoints.
अधिकतम (9) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^9\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^9\) का भाजक होगा। / At most (9) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^9\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^9\).
अधिकतम (7) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^7\) हर के साथ लिखा जा सकता है। इसलिए सरलतम हर \(10^7\) का भाजक होगा। / At most (7) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^7\). Therefore the reduced denominator must divide \(10^7\).
अधिकतम (5) दशमलव स्थानों का अर्थ है भिन्न को \(10^5\) हर के साथ लिखा जा सकता है। सरलतम हर \(10^5\) का भाजक होगा। / At most (5) decimal places means the fraction can be written with denominator \(10^5\). The reduced denominator must divide \(10^5\).
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
(3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। / (3) and (5) are both prime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ये \(a^2\) को विभाजित करते हैं, तो (a) को भी विभाजित करेंगे। / If they divide \(a^2\), they also divide (a).
Step 3
Exam Tip
यही नियम साझा गुणनखंड तक ले जाता है। / This rule leads to the common factor.
अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। / Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। / \(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें। / In division questions, always check that the denominator is not zero.
\(q=p\times19\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। / \(q=p\times19\), so (p) exactly divides (q).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
गुणज संबंध पहचानना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Identifying a multiple relation saves time.
\(q=p\times17\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। / \(q=p\times17\), so (p) exactly divides (q).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
गुणज संबंध पहचानना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Identifying a multiple relation saves time in such questions.
\(B=A\times11\) है, इसलिए (A), (B) का पूर्ण भाजक है। / \(B=A\times11\), so (A) exactly divides (B).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number divides the other exactly, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
पहले गुणज संबंध पहचानना समय बचाता है। / Identifying a multiple relation saves time.
\(q=p\times7\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। / \(q=p\times7\), so (p) exactly divides (q).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
पहले यह देखें कि कोई संख्या दूसरी का गुणज है या नहीं। / First check whether one number is a multiple of the other.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), \(525=3\times5^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(3\times5^2=75\) है। / \(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), and \(525=3\times5^2\times7\), so HCF \(=3\times5^2=75\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें ही लें। / Use only the smallest powers common to all numbers.
(p), (q) का पूर्ण भाजक है क्योंकि \(q=p\times5\) है। / (p) divides (q) because \(q=p\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले भाजक संबंध पहचानें। / First identify divisibility between the two numbers.
समान अधिकतम भाजक महत्तम समापवर्तक होता है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), \(126=2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3^2=18\) है। / \(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), and \(126=2\times3^2\times7\), so HCF \(=2\times3^2=18\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें लें। / Take the smallest powers common to all numbers.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest number dividing all given numbers is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(216=2^3\times3^3\), \(360=2^3\times3^2\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2=72\) है। / \(144=2^4\times3^2\), \(216=2^3\times3^3\), and \(360=2^3\times3^2\times5\), so HCF \(=2^3\times3^2=72\).
Step 3
Exam Tip
तीनों संख्याओं में उपस्थित समान अभाज्य ही लें। / Use only primes common to all numbers.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। / \(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में उपस्थित समान गुणनखंड ही लें। / Use only primes common to all numbers.
जब भाज्य भाजक से छोटा हो, तो भागफल (0) होता है। / When the dividend is smaller than the divisor, the quotient is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(29=50 \times 0+29\) और (29<50), इसलिए यह सही है। / \(29=50 \times 0+29\), and (29<50), so it is correct.
Step 3
Exam Tip
छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर शेषफल वही छोटी संख्या हो सकता है। / When a smaller number is divided by a larger number, the remainder can be the smaller number itself.
\( \sqrt{36}=6 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{36}}=\frac{1}{6} \)। हर में वर्गमूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{36}=6 \), so \( \frac{1}{\sqrt{36}}=\frac{1}{6} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{256}=16 \) और \( \sqrt{121}=11 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{256}=16 \) and \( \sqrt{121}=11 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{\frac{196}{289}}=\frac{14}{17} \) है। अंश और हर का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{196}{289}}=\frac{14}{17} \). Take the positive square root of numerator and denominator.
\( \sqrt{225}=15 \), इसलिए \( \frac{15-6}{9}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{225}=15 \), so \( \frac{15-6}{9}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{169}=13 \), इसलिए \(x=\frac{13}{6}\) है। पहले वर्गमूल निकालें फिर भाग करें। / \( \sqrt{169}=13 \), so \(x=\frac{13}{6}\). Find the square root first and then divide.
\(2.8^2=7.84\), इसलिए \( \sqrt{7.84}=2.8 \)। दशमलव वर्गमूल में स्थानमान सावधानी से देखें। / Since \(2.8^2=7.84\), \( \sqrt{7.84}=2.8 \). Watch place value carefully in decimal square roots.
\( \sqrt{25}=5 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \)। हर में वर्गमूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{25}=5 \), so \( \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{196}=14 \) और \( \sqrt{81}=9 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{196}=14 \) and \( \sqrt{81}=9 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{\frac{169}{225}}=\frac{13}{15} \) है। अंश और हर का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{169}{225}}=\frac{13}{15} \). Take the positive square root of numerator and denominator.
\( \sqrt{121}=11 \), इसलिए \( \frac{11-4}{7}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{121}=11 \), so \( \frac{11-4}{7}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{144}=12 \), इसलिए \(x=\frac{12}{5}\) है। पहले वर्गमूल निकालें फिर भाग करें। / \( \sqrt{144}=12 \), so \(x=\frac{12}{5}\). Find the square root first and then divide.
\(2.4^2=5.76\), इसलिए \( \sqrt{5.76}=2.4 \)। दशमलव वर्गों का स्थानमान ध्यान से देखें। / Since \(2.4^2=5.76\), \( \sqrt{5.76}=2.4 \). Watch place value in decimal squares.
\( \sqrt{\frac{81}{196}}=\frac{9}{14} \) है। अंश और हर दोनों का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{81}{196}}=\frac{9}{14} \). Take the positive square root of both numerator and denominator.
\(1.8^2=3.24\), इसलिए \( \sqrt{3.24}=1.8 \)। दशमलव वर्गों में स्थानमान सावधानी से देखें। / Since \(1.8^2=3.24\), \( \sqrt{3.24}=1.8 \). Check place value carefully in decimal squares.
\( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} \)। हर में मूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{4}=2 \), so \( \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{49}=7 \) और \( \sqrt{16}=4 \), इसलिए योग (11) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{49}=7 \) and \( \sqrt{16}=4 \), so the sum is (11). Find each square root first.
\( \sqrt{\frac{49}{121}}=\frac{7}{11} \) है। अंश और हर दोनों का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{49}{121}}=\frac{7}{11} \). Take the positive square root of numerator and denominator.
\( \sqrt{64}=8 \), इसलिए \( \frac{8-3}{5}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{64}=8 \), so \( \frac{8-3}{5}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{81}=9 \), इसलिए \(x=\frac{9}{4}\) है। पहले वर्गमूल निकालें फिर भाग करें। / \( \sqrt{81}=9 \), so \(x=\frac{9}{4}\). Find the square root first and then divide.
\(1.7^2=2.89\) इसलिए \( \sqrt{2.89}=1.7 \)। दशमलव वर्ग पहचानना समय बचाता है। / Since \(1.7^2=2.89\), \( \sqrt{2.89}=1.7 \). Recognising decimal squares saves time.
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
ठीक (3) स्थानों के लिए बड़ी घात (3) होनी चाहिए। \(16=2^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / For exactly (3) places, the larger exponent must be (3). Since \(16=2^4\), it terminates after (4) places.
ठीक (8) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (8) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^8\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है। / For exactly (8) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (8). Only \(2^8\cdot 5^3\) satisfies this.
B. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Explanation
Simple Explanation
(q) \(10^6\) का भाजक है इसलिए उसमें केवल (2) और (5) हैं, पर \(10^5\) का भाजक न होने से बड़ी घात (6) है। इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since (q) divides \(10^6\), it has only (2) and (5), but not dividing \(10^5\) means the larger exponent is (6). Therefore the decimal terminates exactly after (6) places.
किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होगा यदि हर अवयव हर(denominator) में केवल 2 और/या 5 के घात हों। समाप्त होने वाले दशमलव के स्थानों की संख्या उस घातों का अधिकतम मान होती है (यानी max(m,n) यदि हर = 2^m5^n)। यहाँ संख्या 29, 2 या 5 से समवर्ग नहीं है, अतः भिन्न सधारण रूप में भी \(2^a5^b\) ही रहेगी। दिया गया है कि \(a>b\), इसलिए अधिकतम घात \(a\) होगा और उसे 8 के बराबर होना चाहिए ताकि दशमलव ठीक 8 स्थानों पर समाप्त हो। अतः \(a=8\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(7\) गलत है क्योंकि वह केवल 7 दशमलव स्थान देगा; \(a+b\) भी असम्बद्ध है क्योंकि स्थानों की संख्या घातों के योग पर नहीं बल्कि अधिकतम पर निर्भर करती है। परीक्षा-सुझाव: भिन्न को पहले सरल रूप में लिखें और फिर हर के रूप में \(2^m5^n\) के घातों का अधिकतम लें। / A rational number has a terminating decimal exactly when its denominator (in lowest terms) is of the form \(2^m5^n\). The number of decimal places needed equals max(m,n). Here 29 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\) after simplification. Given \(a>b\), the maximum exponent is \(a\); for exactly 8 decimal places we must have \(a=8\). Option 7 is wrong because it would give only 7 decimal digits; \(a+b\) is irrelevant since the decimal length depends on the maximum exponent, not the sum. Exam tip: always reduce the fraction first and then take the larger of the exponents of 2 and 5 to get the number of decimal places.
ठीक (7) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (7) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^7\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है। / For exactly (7) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (7). Only \(2^7\cdot 5^3\) satisfies this.
यदि हरभाज्य का हर (denominator) मात्र दोनों गुणनखण्डों के रूप में \(2^a5^b\) हो और संख्या का गुणनखंड (numerator) 17 है, तो 17 किसी भी 2 या 5 से समीकरण नहीं घटाता — अर्थात् भिन्न पहले से ही साधारण रूप में है। एक अंक के दशमलव समाप्त होने की अधिकतम आवश्यक दशमलव-स्थानों की संख्या \(\max(a,b)\) होती है। दिया हुआ है कि दशमलव ठीक 9 स्थानों पर समाप्त होता है और \(a<b\), तो अधिकतम घात् बड़ा होगा और वही 9 के बराबर होना चाहिए। अतः \(b=9\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: 8 और 10 क्रमशः कम या अधिक हैं; \(a+9\) का अर्थ गैर-विशिष्ट है और समस्या के दिये गए शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-टिप: यदि हरभाज्य केवल 2 और 5 के गुणनखण्ड हैं, तो समाप्ति की संख्या \(\max(a,b)\) के बराबर होती है, बशर्ते भिन्न न समीकृत हो। / When the denominator is of the form \(2^a5^b\) and the numerator is 17 (which is coprime to 2 and 5), the fraction is already in lowest terms. A terminating decimal requires only factors 2 and 5 in the denominator, and the number of decimal places required equals \(\max(a,b)\). Given the decimal terminates exactly after 9 places and \(a<b\), the larger exponent is \(b\), so \(b=9\). Why other choices fail: 8 is too small, 10 is too large, and \(a+9\) is not implied by the condition \(a<b\). Exam tip: first reduce the fraction if possible; then the termination length equals the larger exponent of 2 or 5 in the reduced denominator.
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। केवल \(2^6\cdot 5^2\) में बड़ी घात (6) है। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
ठीक (2) स्थानों के लिए बड़ी घात (2) होनी चाहिए। / For exactly (2) places, the larger exponent must be (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), और \(25=5^2\) ठीक (2) स्थान देते हैं। \(50=2\cdot 5^2\) भी ठीक (2) स्थान देता है, इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई असंभव नहीं है। / \(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), and \(25=5^2\) give exactly (2) places. \(50=2\cdot 5^2\) also gives exactly (2) places, so none of the listed choices is impossible.
Step 3
Exam Tip
जब सभी विकल्प संभव लगें, तो प्रश्न या विकल्पों में त्रुटि जाँचें। / If all options seem possible, check the question or options for an error.
ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। / \(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए। / For exact places, the larger exponent must match the required number.
ठीक (4) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) decimal places, the larger power of (2) or (5) in the reduced denominator must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), इसलिए यह ठीक (4) स्थान देगा। \(80=2^4\cdot 5\) भी (4) स्थान देता है, पर एक से अधिक सही होने पर विकल्प जाँचनी होगी। / \(625=5^4\), so it gives exactly (4) places. \(80=2^4\cdot 5\) also gives (4) places, so the choices would need checking if only one answer is expected.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सभी विकल्पों की घातें निकालें। / Factorise all options in such questions.
\(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। / \(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
घातों की गणना सावधानी से करें। / Calculate prime powers carefully.
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
ठीक (3) स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (3) होनी चाहिए। / For exactly (3) places, the larger exponent of (2) or (5) in the reduced denominator must be (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(125=5^3\) यह शर्त पूरी करते हैं। \(25=5^2\) केवल (2) स्थान देगा। / \(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(125=5^3\) satisfy this. \(25=5^2\) gives only (2) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक और अधिकतम शब्दों का अंतर समझें। / Understand the difference between exactly and at most.
\(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। / For \(\frac{7}{125}\), \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें। / Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent.
बड़ी घात (3) है और \(\frac{7}{200}=0.035\) है, इसलिए ठीक तीन स्थान हैं। / The larger exponent is (3), and \(\frac{7}{200}=0.035\), so it has exactly three places.
Step 3
Exam Tip
ठीक संख्या पूछी जाए तो दशमलव बनाकर भी पुष्टि करें। / When exact places are asked, verify by writing the decimal.
इसलिए भागफल (27) और शेषफल (0) है। / So the quotient is (27) and the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
यदि गुणनफल बिल्कुल भाज्य के बराबर हो, तो भागफल वही और शेषफल (0) होता है। / If the product is exactly equal to the dividend, that multiplier is the quotient and the remainder is (0).
