A. क्योंकि 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 का चक्र आता है/Because division by 5 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4
Step 1
Concept
Any integer divided by 5 has one of the forms (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), or (5q+4).
Step 2
Why this answer is correct
Five consecutive integers cover all five remainders.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 5. चरण 1: कोई भी पूर्णांक 5 से भाग देने पर (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), या (5q+4) रूप में होता है। चरण 2: पांच लगातार पूर्णांकों में ये पांचों शेषफल आ जाते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 5 से विभाज्य होगी।
A. वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे/They will not remain coprime
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against being coprime. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह स्थिति सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही विरोधाभास बनता है।
A. (p=5k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
A number divisible by (5) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
So (p) can be written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
Substituting this form in the original equation gives the same conclusion for (q). चरण 1: (5) से विभाज्य संख्या में (5) गुणनखंड होता है। चरण 2: इसलिए (p=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: इस रूप को मूल समीकरण में रखने से (q) के लिए भी समान निष्कर्ष मिलता है।
Since \(9=3^2\), power of (3) must be at least (2). Not divisible by (5) means power of (5) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (1) for (5). Total (=12).
Step 3
Exam Tip
Convert each condition into exponent restrictions. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए (3) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। (5) से विभाज्य नहीं होने के लिए (5) की घात (0) होगी। चरण 2: (2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (2,3,4) यानी (3) तरीके, और (5) की (1) तरीका। कुल \(4\times3\times1=12\)। चरण 3: दो शर्तों को अलग-अलग घातों में बदलें।
Both prime factors are present in (n) with sufficient powers.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 502929. चरण 1: \(502929=3^7\times23\) है। चरण 2: ये दोनों अभाज्य गुणनखंड (n) में पर्याप्त घातों के साथ मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 502929 से अवश्य विभाज्य होगा।
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 5265. चरण 1: \(5265=3^4\times5\times13\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 5265 से अवश्य विभाज्य होगा।
A number divisible by both 3 and 5 is divisible by 15.
Step 2
Why this answer is correct
The digit sum of 45 is 9, so it is divisible by 3, and it ends in 5, so it is also divisible by 5.
Step 3
Exam Tip
Small divisibility rules help in factorisation. चरण 1: 3 और 5 दोनों से विभाज्य संख्या 15 से विभाज्य होती है। चरण 2: 45 का अंकों का योग 9 है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है और अंतिम अंक 5 है, इसलिए 5 से भी विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता के छोटे नियम गुणनखंडन में मदद करते हैं।
It is exactly divisible by 53, so the remainder is 0. चरण 1: (m=53q+12) लिखें। चरण 2: (m-118=53q+12-118=53q-106=53(q-2))। चरण 3: यह 53 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
Therefore, the number is exactly divisible by 59 and the remainder is 0. चरण 1: (a-103=59q+44-103=59q-59)। चरण 2: इसे (59(q-1)+0) लिखा जा सकता है। चरण 3: इसलिए संख्या 59 से पूर्णतः विभाजित है और शेषफल 0 है।
The remainder of \(a^2+1\) comes from \(2^2+1=5\), which is exactly divisible by 5.
Step 3
Exam Tip
After substituting the remainder in the expression, check it again by the divisor. चरण 1: (a) का शेषफल 2 है। चरण 2: \(a^2+1\) का शेषफल \(2^2+1=5\) से मिलेगा, जो 5 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: व्यंजक में शेषफल रखने के बाद उत्तर को फिर भाजक से जांचें।
