So it is written as (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
In proofs, write this type of form after getting divisibility. चरण 1: (3) से विभाज्य संख्या में (3) गुणनखंड होता है। चरण 2: इसलिए उसे (p=3k) लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक है। चरण 3: प्रमाण में विभाज्यता मिलने पर इसी तरह का रूप लिखें।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड होगा/Both will have (3) as a common factor
Step 1
Concept
Being divisible by (3) means both have (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore it gives a contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि दोनों में (3) गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास देता है।
In (n), the powers are \(2^8\), \(3^4\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3375=3^3\times5^3\), which needs power 3 of 5.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(5^2\), (n) is not divisible by 3375. चरण 1: (n) में 2 की घात 8, 3 की घात 4 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 3375 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^3\times5^3\) है, जिसमें 5 की घात 3 चाहिए। चरण 3: (n) में 5 की घात केवल 2 है, इसलिए (n), 3375 से विभाज्य नहीं होगा।
The prime factorisation of 315 is \(3^2\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 315. चरण 1: 315 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^2\times5\times7\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 315 से अवश्य विभाज्य है।
\(2\times3\times5=30\), so the number must be divisible by 30.
Step 3
Exam Tip
Identify divisibility quickly from prime factors. चरण 1: गुणनखंडन में 2, 3 और 5 तीनों मौजूद हैं। चरण 2: \(2\times3\times5=30\), इसलिए संख्या 30 से विभाज्य होगी। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड देखकर विभाज्यता जल्दी पहचानें।
A number divisible by both 3 and 5 is divisible by 15.
Step 2
Why this answer is correct
The digit sum of 45 is 9, so it is divisible by 3, and it ends in 5, so it is also divisible by 5.
Step 3
Exam Tip
Small divisibility rules help in factorisation. चरण 1: 3 और 5 दोनों से विभाज्य संख्या 15 से विभाज्य होती है। चरण 2: 45 का अंकों का योग 9 है, इसलिए यह 3 से विभाज्य है और अंतिम अंक 5 है, इसलिए 5 से भी विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता के छोटे नियम गुणनखंडन में मदद करते हैं।
A number divisible by both 2 and 3 is also divisible by 6.
Step 2
Why this answer is correct
36 is even and its digit sum is 9, so it is also divisible by 3.
Step 3
Exam Tip
Divisibility checks help in prime factorisation. चरण 1: 2 और 3 दोनों से विभाज्य संख्या 6 से भी विभाज्य होती है। चरण 2: 36 सम है और इसके अंकों का योग 9 है, इसलिए यह 3 से भी विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता जांचना अभाज्य गुणनखंडन में मदद करता है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (35+37+6=78)। चरण 2: 78, 39 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 है; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
Therefore, the final remainder is 0; adding only the remainders is a quick method for multi-term expressions. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (29+31+6=66)। चरण 2: 66, 33 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा; कई पदों में केवल शेषफलों को जोड़ना तेज तरीका है।
A. क्योंकि उनमें एक 2 से और एक 3 से विभाज्य होता है/Because one of them is divisible by 2 and one is divisible by 3
Step 1
Concept
Among two consecutive integers, one is even, so a factor 2 is present.
Step 2
Why this answer is correct
Among three consecutive integers, one is divisible by 3, so a factor 3 is present.
Step 3
Exam Tip
Since 2 and 3 together make 6, the product is divisible by 6. चरण 1: दो लगातार पूर्णांकों में एक सम होता है, इसलिए 2 का गुणनखंड मिलता है। चरण 2: तीन लगातार पूर्णांकों में एक 3 से विभाज्य होता है, इसलिए 3 का गुणनखंड मिलता है। चरण 3: 2 और 3 मिलकर 6 बनाते हैं, इसलिए गुणनफल 6 से विभाज्य है।
A. क्योंकि 3 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 में से एक होता है/Because division by 3 gives one of the remainders 0, 1, 2
Step 1
Concept
On division by 3, every integer is of the form (3q), (3q+1), or (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Three consecutive integers cover these three remainders, so one is exactly divisible by 3.
Step 3
Exam Tip
Use the cycle of remainders for consecutive-number problems. चरण 1: 3 से भाग देने पर हर संख्या (3q), (3q+1), या (3q+2) रूप में होगी। चरण 2: तीन लगातार संख्याओं में ये तीनों शेषफल आते हैं, इसलिए एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल चक्र का उपयोग करें।
