100 results found for "Linear polynomials" in Class 10.
Which of the following is a linear polynomial in (x)?
A. (5x-9)
रेखीय बहुपद की घात (1) होती है, इसलिए (5x-9) रेखीय है। प्रमुख गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / A linear polynomial has degree (1), so (5x-9) is linear. Its leading coefficient must be non-zero.
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Which option is a polynomial in one variable but not linear?
B. \(x^2+2x+3\)
\(x^2+2x+3\) बहुपद है और इसकी घात (2) है। इसलिए यह रैखिक नहीं है। / \(x^2+2x+3\) is a polynomial and its degree is (2). Therefore it is not linear.
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If \(m\ne0\) in a linear polynomial (mx+n), what is its degree?
B. (1)
\(m\ne0\) होने पर (mx) पद मौजूद रहता है और सबसे बड़ी घात (1) होती है। इसलिए घात (1) है। / When \(m\ne0\), the term (mx) exists and the highest power is (1). So the degree is (1).
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If (p(x)=(a+3)x-2+5x-1) is a linear polynomial, what is (a)?
A. (-3)
रैखिक होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) होना चाहिए। इसलिए (a+3=0) और (a=-3)। / For it to be linear, the coefficient of \(x^2\) must be (0). Hence (a+3=0) and (a=-3).
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If \(a\ne0\) in a linear polynomial (ax+b), what is its degree?
B. (1)
(ax+b) में \(a\ne0\) होने पर (x) की सबसे बड़ी घात (1) है। इसलिए घात (1) होगी। / When \(a\ne0\) in (ax+b), the highest power of (x) is (1). So the degree is (1).
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Which of the following is a linear polynomial?
A. (3x+4)
रैखिक बहुपद की घात (1) होती है। (3x+4) में सबसे बड़ी घात (1) है। / A linear polynomial has degree (1). In (3x+4), the highest power is (1).
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Which one is not a linear factor of \(x^4-1\)?
C. \(x^2+1\)
\(x^2+1\) रैखिक नहीं है क्योंकि उसकी घात (2) है। वास्तविक संख्याओं में इसे रैखिक गुणनखंड नहीं माना जाता। / \(x^2+1\) is not linear because its degree is (2). Over real numbers, it is not a linear factor.
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C. क्योंकि घात (3) हैBecause degree is (3)
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए बहुपद घन है। परीक्षा में हमेशा सबसे बड़े शून्येतर घातांक को देखें। / The highest power is (3), so the polynomial is cubic. In exams, always check the highest non-zero exponent.
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Which of the following polynomials is arranged in standard form?
A. \(2x^3+x^2+5x+1\)
मानक रूप में घातें घटते क्रम में लिखी जाती हैं। \(2x^3+x^2+5x+1\) में यही क्रम है। / In standard form, powers are written in descending order. \(2x^3+x^2+5x+1\) follows this order.
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If the graph of a linear polynomial cuts the (x)-axis once then how many zeroes does it have?
A. एकOne
जितनी बार आलेख (x)-अक्ष को काटता है उतने वास्तविक शून्यक होते हैं। टिप: रैखिक बहुपद का अधिकतम एक शून्यक होता है। / The number of real zeroes equals the number of times the graph cuts the (x)-axis. Tip: a linear polynomial has at most one zero.
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If the line \(y=2x-6\) cuts the x-axis, what is the zero of the corresponding linear polynomial?
A. 3
x-अक्ष पर बिंदु का अर्थ है कि \(y=0\)। अत: \(2x-6=0\) से \(2x=6\) और \(x=3\)। इसलिए शून्यक 3 है। विकल्प (-3) उस समय होगा जब कोई गलत साइन या गलत भागफल लिया जाए; 6 और -6 y का मान हो सकते हैं (y-अवरोध -6 है), पर वे बहुपद का शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी रेखा का शून्यक निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर x हल करें। / A point on the x-axis has \(y=0\). So set \(2x-6=0\), giving \(2x=6\) and \(x=3\). Hence the zero is 3. The option -3 arises from a sign or arithmetic mistake; 6 or -6 are values of y (the y-intercept is -6), not the x-intercept. Exam tip: to find the zero of a linear polynomial from its line, always put \(y=0\) and solve for x.
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If (p(x)=x-3-1), which of the following is a linear factor?
A. (x-1)
(x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)) है। इसलिए (x-1) रैखिक गुणनखंड है। / (x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)). Therefore (x-1) is a linear factor.
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Which polynomial is a linear polynomial?
B. (3x-8)
रैखिक बहुपद की घात (1) होती है। (3x-8) की सबसे बड़ी घात (1) है। / A linear polynomial has degree (1). The highest power in (3x-8) is (1).
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In (p(x)=ax+b), if \(a\ne0\), what is its degree?
B. (1)
\(a\ne0\) होने पर (x) वाला पद मौजूद है, इसलिए घात (1) है। यही रैखिक बहुपद का रूप है। / When \(a\ne0\), the (x)-term exists, so the degree is (1). This is the form of a linear polynomial.
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Which is the zero of (p(x)=5x+10)?
B. (-2)
(5x+10=0) से (x=-2) मिलता है। चिह्न बदलना न भूलें। / From (5x+10=0), we get (x=-2). Do not forget the sign change.
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If (p(x)=3x-12), what is its zero?
B. (4)
(3x-12=0) से (x=4) मिलता है। रैखिक बहुपद में सीधे समीकरण बनाएं। / From (3x-12=0), we get (x=4). For a linear polynomial, form a simple equation.
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What type of polynomial is (9x+1)?
B. रैखिकLinear
सबसे बड़ी घात (1) है इसलिए यह रैखिक बहुपद है। (x) की घात (1) दिखे तो रैखिक पहचानें। / The highest power is (1), so it is a linear polynomial. If the power of (x) is (1), identify it as linear.
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Which value is a zero of (p(x)=x+4)?
B. (-4)
(p(-4)=-4+4=0), इसलिए (-4) शून्यक है। रैखिक बहुपद (x+a) का शून्यक (-a) होता है। / (p(-4)=-4+4=0), so (-4) is the zero. For (x+a), the zero is (-a).
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Which of the following polynomials does not have leading coefficient (1)?
C. \(3x^2+x+1\)
\(3x^2+x+1\) का प्रमुख पद \(3x^2\) है। इसका प्रमुख गुणांक (3) है, (1) नहीं। / The leading term of \(3x^2+x+1\) is \(3x^2\). Its leading coefficient is (3), not (1).
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In which of the following polynomials is the coefficient of (x) equal to (0)?
B. \(3x^2-4\)
\(3x^2-4\) में (x) का पद नहीं है। इसलिए (x) का गुणांक (0) है। / In \(3x^2-4\), there is no (x)-term. So the coefficient of (x) is (0).
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If (D=0), \(D_x=0\), and \(D_y=0\), what happens in a pair of two linear equations?
C. अनंत हलInfinitely many solutions
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
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C. अद्वितीय हलUnique solution
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
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In which condition is a pair of two linear equations called consistent and dependent?
A. जब (a_1a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
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In which condition is a pair of two linear equations called consistent and independent?
C. जब (a_1a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। / A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
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In which case is a pair of two linear equations called consistent?
A. जब कम से कम एक हल होWhen there is at least one solution
संगत युग्म में कम से कम एक सामान्य हल होता है। यह एक हल या अनंत हल दोनों हो सकता है। / A consistent pair has at least one common solution. It may have one solution or infinitely many solutions.
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In which case is a pair of two linear equations called inconsistent?
A. जब कोई हल न होWhen there is no solution
असंगत युग्म का कोई सामान्य हल नहीं होता। ग्राफ में यह समानांतर रेखाओं से दिखता है। / An inconsistent pair has no common solution. In a graph, it appears as parallel lines.
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If two linear equations have \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\), how many solutions will they have?
B. एक अद्वितीय हलOne unique solution
जब गुणांकों के अनुपात अलग होते हैं, रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। परीक्षा में पहले (a) और (b) के अनुपात जांचें। / When coefficient ratios are different, the lines meet at one point. In exams, check the ratios of (a) and (b) first.
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Which linear polynomial has zero \(2\sqrt{3}\)?
A. \(x-2\sqrt{3}\)
एकघात बहुपद \(x-\alpha\) का शून्यक \(\alpha\) होता है। यहाँ \(\alpha=2\sqrt{3}\) है। / A linear polynomial \(x-\alpha\) has zero \(\alpha\). Here \(\alpha=2\sqrt{3}\).
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A. शून्यZero
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
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The graph of a linear polynomial is (y=4x+12). What is its zero?
A. (-3)
(4x+12=0) से (x=-3) मिलता है। टिप: शून्यक के लिए (y=0) रखें। / Solving (4x+12=0) gives (x=-3). Tip: set (y=0) to find the zero.
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In which situation will a linear polynomial have no real zero?
B. जब उसका ग्राफ (x)-अक्ष के समांतर और ऊपर होWhen its graph is parallel to and above the (x)-axis
(x)-अक्ष के समांतर ऊपर रेखा (x)-अक्ष से नहीं मिलती। टिप: ऐसा ग्राफ अशून्य स्थिर बहुपद जैसा होता है। / A line parallel to and above the (x)-axis does not meet the (x)-axis. Tip: such a graph behaves like a non-zero constant polynomial.
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A. शून्यZero
ऐसी रेखा पर (p(x)) कभी (0) नहीं होता। टिप: (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / On such a line (p(x)) is never (0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary.
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If the graph of a linear polynomial cuts the (x)-axis only once, how many zeroes will it have?
A. एकOne
रैखिक बहुपद का ग्राफ एक रेखा होता है और सामान्यतः (x)-अक्ष को एक बार काटता है। इसलिए उसका एक शून्यक होता है। / The graph of a linear polynomial is a line and usually cuts the (x)-axis once. Therefore it has one zero.
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A. (x-\(2-\sqrt{3}\))
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
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If (p(x)=4x-12), what is its zero?
A. (3)
(4x-12=0) से (x=3) मिलता है। शून्यक वह मान है जहाँ बहुपद का मान (0) हो। / From (4x-12=0), we get (x=3). A zero is the value where the polynomial becomes (0).
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If (p(x)=ax+b) and \(a\neq0\), what is its zero?
A. -\(\frac{b}{a}\)
(ax+b=0) रखने पर \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। रेखीय बहुपद में केवल एक शून्यक होता है। / Putting (ax+b=0) gives \(x=-\frac{b}{a}\). A linear polynomial has exactly one zero.
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If (p(x)=cx+d) and \(c\ne0\), what will be its zero?
B. \(-\frac{d}{c}\)
(cx+d=0) से \(x=-\frac{d}{c}\) मिलता है। सूत्र में ऋण चिह्न ध्यान रखें। / From (cx+d=0), we get \(x=-\frac{d}{c}\). Remember the negative sign in the formula.
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Which is the zero of (p(x)=4x+20)?
B. (-5)
(4x+20=0) से (x=-5) मिलता है। शून्य वह मान है जिससे बहुपद (0) हो जाए। / From (4x+20=0), we get (x=-5). A zero is the value that makes the polynomial equal to (0).
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What is the zero of (p(x)=9x-27)?
B. (3)
(9x-27=0) से (x=3) मिलता है। रैखिक बहुपद का शून्य समीकरण हल करके निकालें। / From (9x-27=0), we get (x=3). Find the zero of a linear polynomial by solving the equation.
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For which polynomial is (x=-3) a zero?
A. (p(x)=x+3)
(p(-3)=-3+3=0), इसलिए (x=-3) इसका शून्य है। शून्य जांचने के लिए मान रखकर परिणाम (0) देखें। / (p(-3)=-3+3=0), so (x=-3) is its zero. To test a zero, substitute the value and check for (0).
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If \(a\neq0\), which statement is correct about (ax+b)?
B. यह रैखिक बहुपद हैIt is a linear polynomial
\(a\neq0\) होने पर (x) का पद मौजूद रहता है। इसलिए (ax+b) की घात (1) होती है। / When \(a\neq0\), the (x)-term is present. So (ax+b) has degree (1).
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If (p(x)=2x-2+bx-10) and (p(2)=4), what is the value of (b)?
C. (3)
(p(2)=8+2b-10=4) से (2b-2=4) मिलता है। इसलिए (b=3) है। / (p(2)=8+2b-10=4) gives (2b-2=4). Therefore (b=3).
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Among \(x^2+1\), \(x^3+x\), and (5x-2), which polynomial has the least degree?
C. (5x-2)
इनकी घातें क्रमशः (2), (3) और (1) हैं। सबसे कम घात (1) है। / Their degrees are (2), (3), and (1) respectively. The least degree is (1).
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If (p(x)=4x-12), for which value will (p(x)=0)?
B. (3)
(4x-12=0) से (4x=12) और (x=3) मिलता है। यह बहुपद का शून्य है। / From (4x-12=0), we get (4x=12) and (x=3). This is the zero of the polynomial.
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If (3) is a zero of (p(x)=kx+12), what is the value of (k)?
B. (-4)
(p(3)=0) से (3k+12=0) मिलता है। इसलिए (k=-4) है। / From (p(3)=0), we get (3k+12=0). Therefore (k=-4).
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What is the zero of (p(x)=x+9)?
B. (-9)
(x+9=0) करने पर (x=-9) मिलता है। (x+a) का शून्य (-a) होता है। / Setting (x+9=0) gives (x=-9). The zero of (x+a) is (-a).
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If (p(x)=ax+b) and \(a\ne0\), what will be its zero?
B. \(-\frac{b}{a}\)
(ax+b=0) से \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। सामान्य सूत्र याद रखें लेकिन संकेत न भूलें। / From (ax+b=0), we get \(x=-\frac{b}{a}\). Remember the general formula but do not miss the sign.
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Which is the zero of (p(x)=3x+12)?
B. (-4)
(3x+12=0) से (x=-4) मिलता है। शून्य वह मान है जिससे बहुपद (0) हो जाए। / From (3x+12=0), we get (x=-4). A zero is the value that makes the polynomial equal to (0).
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What is the zero of (p(x)=7x-14)?
B. (2)
(7x-14=0) से (x=2) मिलता है। रैखिक बहुपद का शून्य जल्दी निकालने के लिए समीकरण हल करें। / From (7x-14=0), we get (x=2). Solve the equation to find the zero of a linear polynomial.
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For which polynomial is (x=2) a zero?
A. (p(x)=x-2)
(p(2)=2-2=0), इसलिए (x=2) इसका शून्य है। शून्य जांचने के लिए मान रखकर (0) देखें। / (p(2)=2-2=0), so (x=2) is its zero. To test a zero, substitute and check for (0).
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Which polynomial has degree (1)?
B. (9x-3)
(9x-3) में (x) की सबसे बड़ी घात (1) है। इसलिए यह घात (1) का बहुपद है। / In (9x-3), the highest power of (x) is (1). So it is a polynomial of degree (1).
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What is the zero of (p(x)=x-6)?
A. (6)
(x-6=0) करने पर (x=6) आता है। (x-a) का शून्य (a) होता है। / Setting (x-6=0) gives (x=6). The zero of (x-a) is (a).
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If (p(x)=3x-5), what is (p(2))?
A. (1)
(p(2)=3(2)-5=1) है। सरल रैखिक बहुपद में सीधे प्रतिस्थापन करें। / (p(2)=3(2)-5=1). Use direct substitution in a simple linear polynomial.
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If (x-3) is a factor of (p(x)=x-3-5x-2+ax+12), what is the value of (a)?
A. (2)
गुणनखंड प्रमेय से (p(3)=0), इसलिए (27-45+3a+12=0) और (a=2)। परीक्षा में दिए गए गुणनखंड से मूल तुरंत रखिए। / By the factor theorem (p(3)=0), so (27-45+3a+12=0) and (a=2). In exams, substitute the zero from the given factor directly.
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If (p(x)=x-2-7x+10) and (q(x)=p(x+1)), what are the zeroes of (q(x))?
A. (1,4)
(p(x)) के शून्यक (2) और (5) हैं, इसलिए (p(x+1)=0) के लिए (x+1=2) या (x+1=5)। अतः (q(x)) के शून्यक (1) और (4) हैं। / The zeroes of (p(x)) are (2) and (5), so for (p(x+1)=0), (x+1=2) or (x+1=5). Hence the zeroes of (q(x)) are (1) and (4).
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If (p(x)=2x-3-5x-2+mx+6) leaves remainder (0) when divided by (x+1), what is (m)?
A. (-13)
शेष प्रमेय से (p(-1)=0), इसलिए (-2-5-m+6=0) और (m=-1) नहीं, सही समीकरण (-1-m=0) देता है (m=-1)। / By remainder theorem (p(-1)=0), so (-2-5-m+6=0), giving (-1-m=0) and (m=-1). Always check signs carefully.
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If (x-2) is a factor of (p(x)=x-3+kx-2-4x-4), what is the value of (k)?
A. (1)
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
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If (p(x)=ax-2+bx+c) with \(a\neq0\) and (p(1)=p(-1)=0), what is the value of (b)?
A. (0)
(p(1)=a+b+c) और (p(-1)=a-b+c) हैं, घटाने पर (2b=0) मिलता है। परीक्षा में सममित मानों पर जोड़-घटाव जल्दी करें। / (p(1)=a+b+c) and (p(-1)=a-b+c); subtracting gives (2b=0). In exams, use addition or subtraction for symmetric inputs.
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A. (8)
\(\alpha+\beta=6\) और (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। इसलिए (20=36-2k) से (k=8) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). So (20=36-2k), giving (k=8).
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If (x+2) is a factor of (p(x)=x-3+mx-2-4x-4), what is (m)?
A. (1)
(p(-2)=0) रखने पर (-8+4m+8-4=0) मिलता है। इससे (4m-4=0) और (m=1) है। / Putting (p(-2)=0) gives (-8+4m+8-4=0). Thus (4m-4=0), so (m=1).
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Which statement is correct for \(x^3-7x+6\)?
A. (x-1) और (x-2) दोनों गुणनखंड हैंBoth (x-1) and (x-2) are factors
(p(1)=0) और (p(2)=0) दोनों हैं। इसलिए (x-1) और (x-2) दोनों गुणनखंड हैं। / Both (p(1)=0) and (p(2)=0). Hence (x-1) and (x-2) are both factors.
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If (p(x)=4x-2-12x+9), which statement about its zeroes is correct?
A. दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैंBoth zeroes are \(\frac{3}{2}\)
(4x-2-12x+9=(2x-3)2) है। इसलिए दोनों शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं। / (4x-2-12x+9=(2x-3)2). Therefore, both zeroes are \(\frac{3}{2}\).
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If \(\alpha\) and \(\beta\) are zeroes of \(x^2-11x+30\), what is (\(\alpha-\beta\)2)?
A. (1)
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) है। (121-120=1) मिलता है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). We get (121-120=1).
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If one zero of \(x^2+mx+n\) is (0) and the other zero is (5), what is (m+n)?
A. (-5)
योग (5) है इसलिए (m=-5), और गुणनफल (0) है इसलिए (n=0)। अतः (m+n=-5)। / The sum is (5), so (m=-5), and the product is (0), so (n=0). Hence (m+n=-5).
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If (p(x)=x-4-5x-2+4), which value is not a zero of (p(x))?
D. (3)
(p(3)=81-45+4=40) है, इसलिए (3) शून्यक नहीं है। शेष (1), (-1) और (2) पर मान (0) मिलता है। / (p(3)=81-45+4=40), so (3) is not a zero. The values (1), (-1), and (2) make the polynomial (0).
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Which polynomial has zeroes (0), (2), and (-3)?
A. \(x^3+x^2-6x\)
शून्यकों से बहुपद (x(x-2)(x+3)) बनेगा। इसे फैलाने पर \(x^3+x^2-6x\) मिलता है। / From the zeroes, the polynomial is (x(x-2)(x+3)). Expanding gives \(x^3+x^2-6x\).
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A. \(-\frac{5}{2}\)
द्विघात \(ax^2+bx+c\) के लिए शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{5}{2}\)। / For \(ax^2+bx+c\), the sum of zeroes is \(-\frac{b}{a}\). Hence \(\alpha+\beta=-\frac{5}{2}\).
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If \(\alpha\) and \(\beta\) are zeroes of \(x^2-3x-10\), what is \(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2\)?
A. (-30)
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) होता है। यहां \(\alpha\beta=-10\) और \(\alpha+\beta=3\), इसलिए मान (-30) है। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)). Here \(\alpha\beta=-10\) and \(\alpha+\beta=3\), so the value is (-30).
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If the zeroes of (p(x)=x-3+ax-2+bx+8) are (-1), (-2), and (-4), what is (a+b)?
A. (21)
बहुपद ((x+1)(x+2)(x+4)=x-3+7x-2+14x+8) है। इसलिए (a+b=21)। / The polynomial is ((x+1)(x+2)(x+4)=x-3+7x-2+14x+8). Hence (a+b=21).
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If the zeroes of \(x^2-10x+q\) are (2r) and (3r), what is (q)?
A. (24)
योग (5r=10) से (r=2) है। गुणनफल \(2r\cdot3r=6r^2=24\) है। / From the sum (5r=10), (r=2). The product is \(2r\cdot3r=6r^2=24\).
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The sum of zeroes of the quadratic polynomial \(kx^2+6x+4\) is (-3). What is (k)?
A. (2)
योग \(-\frac{6}{k}\) है और यह (-3) है। इसलिए (k=2) होगा। / The sum is \(-\frac{6}{k}\), and it equals (-3). Therefore, (k=2).
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If \(\alpha\) and \(\beta\) are zeroes of \(x^2-8x+k\) and \(\alpha-\beta=2\), what is (k)?
A. (15)
योग (8) और अंतर (2) से शून्यक (5) और (3) हैं। गुणनफल (15) है इसलिए (k=15)। / From sum (8) and difference (2), the zeroes are (5) and (3). Their product is (15), so (k=15).
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For which (k) does \(x^2+kx+9\) have one zero three times the other and both positive?
A. \(-4\sqrt{3}\)
शून्यक (t) और (3t) मानें, तो \(3t^2=9\) से \(t=\sqrt{3}\) है। योग \(4\sqrt{3}\) है इसलिए \(k=-4\sqrt{3}\)। / Let the zeroes be (t) and (3t), so \(3t^2=9\) gives \(t=\sqrt{3}\). The sum is \(4\sqrt{3}\), hence \(k=-4\sqrt{3}\).
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If \(\alpha\) and \(\beta\) are zeroes of \(x^2-4x+1\), what is \(\alpha^3+\beta^3\)?
A. (52)
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=1\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52)। / \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=64-12=52).
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A. \(x^2+3x+2\)
मूल शून्यक (-2) और (-3) हैं, इसलिए नए शून्यक (-1) और (-2) हैं। नया बहुपद \(x^2+3x+2\) है। / The original zeroes are (-2) and (-3), so the new zeroes are (-1) and (-2). The new polynomial is \(x^2+3x+2\).
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If (p(x)=x-3-2x-2-5x+6), which of the following is not a zero?
B. (2)
(p(2)=8-8-10+6=-4) है इसलिए (2) शून्यक नहीं है। बाकी विकल्पों को भी प्रतिस्थापन से जांच सकते हैं। / (p(2)=8-8-10+6=-4), so (2) is not a zero. The other options can be checked by substitution.
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Which is a factor of \(2x^3-9x^2+13x-6\)?
A. (x-1)
(p(1)=2-9+13-6=0) है इसलिए (x-1) गुणनखंड है। विकल्प जांच में छोटे मान पहले लगाएं। / (p(1)=2-9+13-6=0), so (x-1) is a factor. In option checking, try small values first.
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If (p(x)=x-2-4x+k) and (p(1)=p(3)), what can be said about (k)?
C. कोई भी वास्तविक मानAny real value
(p(1)=k-3) और (p(3)=k-3) दोनों बराबर हैं। इसलिए (k) कोई भी वास्तविक मान हो सकता है। / (p(1)=k-3) and (p(3)=k-3), so they are equal. Hence (k) can be any real value.
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If the zeroes of \(x^2+px+16\) are equal and negative, what is (p)?
A. (8)
बराबर ऋणात्मक शून्यक (-4) और (-4) होंगे क्योंकि गुणनफल (16) है। योग (-8) है इसलिए (p=8)। / The equal negative zeroes are (-4) and (-4) because the product is (16). The sum is (-8), so (p=8).
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If \(\alpha\) and \(\beta\) are zeroes of \(3x^2+2x-1\), what is (\(\alpha+\beta\)2)?
A. \(\frac{4}{9}\)
\(\alpha+\beta=-\frac{2}{3}\) है। इसलिए (\(\alpha+\beta\)2=\frac{4}{9}) होगा। / \(\alpha+\beta=-\frac{2}{3}\). Therefore, (\(\alpha+\beta\)2=\frac{4}{9}).
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If \(\alpha\) and \(\beta\) are zeroes of \(x^2-7x+10\), what is \(\alpha^2+\beta^2\)?
A. (29)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। (72-2(10)=29) है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Thus (72-2(10)=29).
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A. \(-\frac{3}{5}\)
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) है। यहां \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\)। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\frac{3}{2}\div-\frac{5}{2}=-\frac{3}{5}\).
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A. \(x^2-5x+6\)
मोनिक बहुपद (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta) होता है। इसलिए \(x^2-5x+6\) सही है। / The monic polynomial is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta). Hence \(x^2-5x+6\) is correct.
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If (p(x)=x-2-2x+5), what is (p(1)), and is (1) a zero?
A. (4), नहीं(4), no
(p(1)=1-2+5=4) है इसलिए (1) शून्यक नहीं है। शून्यक तभी होगा जब मान (0) हो। / (p(1)=1-2+5=4), so (1) is not a zero. A zero must make the value (0).
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If the remainder when (p(x)) is divided by (x-4) is (7), what is (p(4))?
B. (7)
शेषफल प्रमेय के अनुसार (x-4) से भाग देने पर शेषफल (p(4)) होता है। इसलिए (p(4)=7)। / By the remainder theorem, the remainder on division by (x-4) is (p(4)). Therefore, (p(4)=7).
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What is the remainder when \(3x^3-2x^2+x+7\) is divided by (x+2)?
A. (-27)
शेषफल (p(-2)) होगा। (3(-8)-2(4)-2+7=-27) है। / The remainder is (p(-2)). (3(-8)-2(4)-2+7=-27).
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What is the remainder when \(x^3-5x^2+8x-4\) is divided by (x-1)?
A. (0)
शेषफल प्रमेय से शेषफल (p(1)) है। (1-5+8-4=0) मिलता है। / By the remainder theorem, the remainder is (p(1)). We get (1-5+8-4=0).
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If (x+1) is a factor of \(2x^3+kx^2-5x+2\), what is the correct value of (k)?
A. (-5)
(p(-1)=0) रखने पर (-2+k+5+2=0) मिलता है। इसलिए (k=-5) सही है। / Putting (p(-1)=0) gives (-2+k+5+2=0). Therefore, (k=-5) is correct.
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If (x+1) is a factor of \(2x^3+kx^2-5x+2\), what is (k)?
A. (5)
(x+1) गुणनखंड होने पर (p(-1)=0) होगा। (-2+k+5+2=0) से (k=-5) नहीं बल्कि (k=-5) मिलता है। / If (x+1) is a factor, then (p(-1)=0). From (-2+k+5+2=0), we get (k=-5).
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If (p(x)=x-3-3x-2-4x+12), which is a factor of (p(x))?
A. (x-2)
(p(2)=8-12-8+12=0) है इसलिए (x-2) गुणनखंड है। गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करें। / Since (p(2)=8-12-8+12=0), (x-2) is a factor. Use the factor theorem.
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What are the zeroes of \(x^3-6x^2+11x-6\)?
A. (1,2,3)
यह ((x-1)(x-2)(x-3)) के बराबर है। अतः शून्यक (1), (2) और (3) हैं। / It equals ((x-1)(x-2)(x-3)). Therefore, the zeroes are (1), (2), and (3).
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If (x-a), (x-b), and (x-c) are factors of a cubic polynomial, which is a possible polynomial?
A. (x-3-(a+b+c)x-2+(ab+bc+ca)x-abc)
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
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Which statement about the zeroes of \(x^2-6x+9\) is correct?
B. दोनों शून्यक बराबर हैंBoth zeroes are equal
(x-2-6x+9=(x-3)2) है इसलिए दोनों शून्यक (3) हैं। वर्ग रूप को पहचानना परीक्षा में तेज तरीका है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so both zeroes are (3). Recognizing square form is a fast exam method.
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If the product of zeroes of (p(x)=3x-2-10x+m) is \(\frac{4}{3}\), what is (m)?
A. (4)
गुणनफल \(\frac{m}{3}\) है। \(\frac{m}{3}=\frac{4}{3}\) से (m=4) मिलता है। / The product is \(\frac{m}{3}\). From \(\frac{m}{3}=\frac{4}{3}\), we get (m=4).
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If the sum of zeroes of (p(x)=2x-2+kx+8) is (3), what is (k)?
B. (-6)
योग \(-\frac{k}{2}\) होता है और यह (3) है। इसलिए (k=-6) है। / The sum is \(-\frac{k}{2}\), and it equals (3). Hence (k=-6).
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If (p(x)=x-2-5x+6), what is the value of (p(3)-p(2))?
A. (0)
(2) और (3) दोनों शून्यक हैं, इसलिए (p(3)=0) और (p(2)=0)। अतः अंतर (0) है। / Both (2) and (3) are zeroes, so (p(3)=0) and (p(2)=0). Therefore, the difference is (0).
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Which polynomial has degree (4)?
A. \(7x^4+0x^5-3x+1\)
\(0x^5\) पद घात नहीं बढ़ाता क्योंकि उसका गुणांक (0) है। सबसे बड़ा शून्येतर घात (4) है। / The term \(0x^5\) does not affect degree because its coefficient is (0). The highest non-zero power is (4).
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If the zeroes of \(x^2+ax+b\) are (4) and (-7), what is (a-b)?
B. (31)
योग (-3) है इसलिए (a=3) और गुणनफल (-28) है इसलिए (b=-28)। अतः (a-b=31) है। / The sum is (-3), so (a=3), and the product is (-28), so (b=-28). Hence (a-b=31).
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Which can be a quadratic polynomial whose zeroes are \(\frac{2}{3}\) and \(-\frac{5}{4}\)?
A. \(12x^2+7x-10\)
शून्यकों का योग \(-\frac{7}{12}\) और गुणनफल \(-\frac{5}{6}\) है। इसलिए \(12x^2+7x-10\) सही है। / The sum is \(-\frac{7}{12}\) and the product is \(-\frac{5}{6}\). So \(12x^2+7x-10\) is correct.
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If the zeroes of (p(x)=x-3+px-2+qx-6) are (1), (2), and (3), what is the correct value of (p+q)?
A. (5)
((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6) से (p=-6) और (q=11)। अतः (p+q=5) है। / From ((x-1)(x-2)(x-3)=x-3-6x-2+11x-6), (p=-6) and (q=11). Hence (p+q=5).
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