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शेष क्षेत्रफल \(a^2-b^2\) होता है और उसका आयत रूप ((a+b)(a-b)) है। परीक्षा में कटे भाग को पुनर्व्यवस्थित करके भुजाएं पहचानें। / The remaining area is \(a^2-b^2\), and its rectangle form is ((a+b)(a-b)). In exams identify sides after rearranging the cut part.
(4x-2=(2x)2), (9y-2=(3y)2), और मध्य पद ऋणात्मक है। परीक्षा में चिन्ह को टाइल के रंग या दिशा से जोड़ें। / (4x-2=(2x)2), (9y-2=(3y)2), and the middle term is negative. In exams connect the sign with tile color or direction.
मध्य पद ((4+9)x=13x) है इसलिए (p=13) है। परीक्षा में आयत मॉडल में पट्टियों का योग मध्य गुणांक देता है। / The middle term is ((4+9)x=13x), so (p=13). In exams the sum of strips in a rectangle model gives the middle coefficient.
दो आयतों का कुल क्षेत्रफल \(2\cdot3a\cdot2b=12ab\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग में मध्य क्षेत्रफल (2ab) रूप से निकालें। / The total area of the two rectangles is \(2\cdot3a\cdot2b=12ab\). In exams find the middle area of a perfect square using the (2ab) pattern.
(9m-2=(3m)2) और (25n-2=(5n)2), इसलिए वर्गों का अंतर बनता है। परीक्षा में पहले दोनों वर्गों की भुजाएं निकालें। / (9m-2=(3m)2) and (25n-2=(5n)2), so it forms a difference of squares. In exams first find the sides of both squares.
दो (5x) पट्टियां हटती हैं और (5) बाय (5) ओवरलैप वापस जुड़ता है। परीक्षा में घटाव वर्ग में अंतिम पद पट्टी की चौड़ाई का वर्ग होता है। / Two (5x) strips are removed and the (5) by (5) overlap is added back. In exams the last term in a subtraction square is the square of the strip width.
C. भुजाओं (2x+7) और (2x-7) वाला आयत/rectangle with sides (2x+7) and (2x-7)
Explanation
Simple Explanation
विपरीत चिन्ह वाले गुणनखंडों का मॉडल आयत होता है जिसका क्षेत्रफल \(4x^2-49\) है। परीक्षा में योग-अंतर रूप को आयत से जोड़ें। / Factors with opposite signs form a rectangle with area \(4x^2-49\). In exams connect the sum-difference form with a rectangle.
((2x+3)(3x+4)=6x-2+17x+12) है। परीक्षा में ग्रिड के चार गुणनफल मिलाकर जांचें। / ((2x+3)(3x+4)=6x-2+17x+12). In exams verify by adding the four grid products.
तीन वर्ग और छह आयत मिलकर \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) बनाते हैं। परीक्षा में हर आयत की जोड़ी गिनें। / Three squares and six rectangles make \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\). In exams count each pair of rectangles.
((x+3)(x+5)=x-2+8x+15) और ((x+4)2=x-2+8x+16), इसलिए अंतर (-1) है। परीक्षा में पास-पास के आयत और वर्ग की तुलना विस्तार से करें। / ((x+3)(x+5)=x-2+8x+15) and ((x+4)2=x-2+8x+16), so the difference is (-1). In exams compare nearby rectangles and squares by expansion.
\(49=7^2\) और \(-14x=-2\cdot x\cdot7\), इसलिए भुजा (x-7) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए मध्य पद और अंतिम पद दोनों देखें। / \(49=7^2\) and \(-14x=-2\cdot x\cdot7\), so the side is (x-7). In exams use both the middle term and the last term to identify a perfect square.
(5y+(-4y)=y) और (5y\cdot(-4y)=-20y-2), इसलिए भुजाएं (x+5y) और (x-4y) हैं। परीक्षा में चिन्ह सहित टाइलों का योग करें। / Since (5y+(-4y)=y) and (5y\cdot(-4y)=-20y-2), the sides are (x+5y) and (x-4y). In exams add tiles with signs.
कोना ((2q)2=4q-2) और मध्य क्षेत्रफल (2\cdot5p\cdot(-2q)=-20pq) है। परीक्षा में कोने का क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक वर्ग हो सकता है। / The corner is ((2q)2=4q-2), and the middle area is (2\cdot5p\cdot(-2q)=-20pq). In exams the corner area can remain a positive square.
((2x+3)(4x+5)) के खाने \(8x^2\), (10x), (12x), और (15) हैं। परीक्षा में ग्रिड में पंक्ति और स्तंभ गुणा करें। / The cells of ((2x+3)(4x+5)) are \(8x^2\), (10x), (12x), and (15). In exams multiply rows and columns in the grid.
दोनों विस्तार घटाने पर (4ab) बचता है। परीक्षा में समान \(a^2\) और \(b^2\) पद कट जाते हैं। / Subtracting the two expansions leaves (4ab). In exams the equal \(a^2\) and \(b^2\) terms cancel.
पहले (x-2+2xy+y-2=(x+y)2) है, फिर \(z^2\) घटता है। परीक्षा में बड़े समूह को पहले पूर्ण वर्ग बनाएं। / First (x-2+2xy+y-2=(x+y)2), then \(z^2\) is subtracted. In exams first group the large part as a perfect square.
वर्ग मॉडल में \(2\cdot2x\cdot z=4xz\) और \(2\cdot3y\cdot z=6yz\) मिलता है। परीक्षा में तीन-भाग वर्ग में हर जोड़ी दो बार आती है। / The square model gives \(2\cdot2x\cdot z=4xz\) and \(2\cdot3y\cdot z=6yz\). In exams each pair appears twice in a three-part square.
कोना \(k^2=81\) देता है और (2kx=18x), इसलिए (k=9) है। परीक्षा में दोनों संकेत मिलाकर स्थिर भुजा तय करें। / The corner gives \(k^2=81\), and (2kx=18x), so (k=9). In exams use both clues to fix the constant side.
(16x-2=(4x)2), (25y-2=(5y)2), और मध्य पद \(-2\cdot4x\cdot5y\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के तीनों भाग जांचें। / (16x-2=(4x)2), (25y-2=(5y)2), and the middle term is \(-2\cdot4x\cdot5y\). In exams check all three parts of a perfect square.
((3x+4)(x-5)=3x-2-15x+4x-20=3x-2-11x-20) है। परीक्षा में धन और ऋण टाइलों को अलग-अलग जोड़ें। / ((3x+4)(x-5)=3x-2-15x+4x-20=3x-2-11x-20). In exams add positive and negative tiles separately.
(x-2-y-2=(x-y)(x+y)), इसलिए ऊंचाई (x-y) हो तो लंबाई (x+y) है। परीक्षा में पुनर्व्यवस्थित आयत की दूसरी भुजा पहचानें। / (x-2-y-2=(x-y)(x+y)), so if the height is (x-y), the length is (x+y). In exams identify the other side of the rearranged rectangle.
((x+2y)2-(x-y)2=6xy+3y-2) है। परीक्षा में दोनों वर्ग फैलाकर समान पद काटें। / ((x+2y)2-(x-y)2=6xy+3y-2). In exams expand both squares and cancel equal terms.
पूरे क्षेत्रफल ((a+b)2) में से रंगीन \(2ab+b^2\) हटाने पर \(a^2\) बचता है। परीक्षा में रंगीन और बिना रंग भागों का योग पूरा वर्ग होता है। / From the total area ((a+b)2), removing the shaded \(2ab+b^2\) leaves \(a^2\). In exams shaded and unshaded parts add to the whole square.
D. (x) बाय (x) वर्ग से (8) बाय (8) वर्ग हटाना/remove an (8) by (8) square from an (x) by (x) square
Explanation
Simple Explanation
हटा हुआ छोटा वर्ग (64) है और शेष भाग पुनर्व्यवस्थित होकर ((x-8)(x+8)) बनता है। परीक्षा में अंतर और वर्ग-अंतर के मॉडल अलग रखें। / The removed small square is (64), and the remaining part rearranges into ((x-8)(x+8)). In exams keep difference and square-difference models distinct.
((3x+5)(4x-1)=12x-2-3x+20x-5=12x-2+17x-5) है। परीक्षा में क्रॉस पट्टियों का योग मध्य पद देता है। / ((3x+5)(4x-1)=12x-2-3x+20x-5=12x-2+17x-5). In exams the sum of cross strips gives the middle term.
अंतर ((p+q)2-(p-q)2=4pq) है। परीक्षा में बाहरी और अंदरूनी वर्गों का अंतर निकालें। / The difference is ((p+q)2-(p-q)2=4pq). In exams subtract the inner square from the outer square.
\(6\cdot7=42\) और (6+7=13), इसलिए पट्टियां (6x) और (7x) हैं। परीक्षा में कोने और मध्य दोनों शर्तें साथ मिलाएं। / Since \(6\cdot7=42\) and (6+7=13), the strips are (6x) and (7x). In exams match both the corner and the middle conditions.
यह ((2x)2-32=4x-2-9) है। परीक्षा में समान केंद्र और विपरीत दूरी वाले आयत को वर्गों का अंतर मानें। / It is ((2x)2-32=4x-2-9). In exams treat a rectangle with same center and opposite offset as a difference of squares.
(2y+(-3y)=-y) और (2y\cdot(-3y)=-6y-2) है। परीक्षा में ऋणात्मक टाइलों का योग सावधानी से करें। / Here (2y+(-3y)=-y) and (2y\cdot(-3y)=-6y-2). In exams add negative tiles carefully.
D. दो (ab) आयत हमेशा बराबर होते हैं/the two (ab) rectangles are always equal
Explanation
Simple Explanation
दोनों आयतों की भुजाएं (a) और (b) हैं इसलिए वे बराबर क्षेत्रफल (ab) रखते हैं। परीक्षा में घुमे हुए आयत का क्षेत्रफल नहीं बदलता। / Both rectangles have sides (a) and (b), so they have equal area (ab). In exams a rotated rectangle keeps the same area.
दोनों में \(x^2+8x\) समान है और केवल (16-15=1) का अंतर है। परीक्षा में समान भाग काटकर तुलना करें। / Both have \(x^2+8x\) common, and the only difference is (16-15=1). In exams cancel common parts while comparing.
D. भुजा (7a-5b) वाला वर्ग/square with side (7a-5b)
Explanation
Simple Explanation
मध्य पद \(-2\cdot7a\cdot5b=-70ab\) है इसलिए भुजा (7a-5b) है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह पहचान को तय करता है। / The middle term is \(-2\cdot7a\cdot5b=-70ab\), so the side is (7a-5b). In exams the sign of the middle term fixes the identity.
ग्रिड में मध्य आयत (7x) और (8x) होते हैं जिनका योग (15x) है। परीक्षा में अलग पट्टियां पहले लिखें फिर जोड़ें। / The middle rectangles in the grid are (7x) and (8x), whose sum is (15x). In exams write separate strips first and then add them.
क्षेत्रफल अंतर (12x) है जो चार (3x) पट्टियों के बराबर है। परीक्षा में सममित वर्गों के अंतर में चार समान पट्टियां सोचें। / The area difference is (12x), equal to four (3x) strips. In exams think of four equal strips in the difference of symmetric squares.
((2x-5)(x+3)=2x-2+6x-5x-15=2x-2+x-15) है। परीक्षा में विपरीत चिन्ह वाली पट्टियां घटकर मध्य पद बनाती हैं। / ((2x-5)(x+3)=2x-2+6x-5x-15=2x-2+x-15). In exams strips with opposite signs subtract to form the middle term.
पहले (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), फिर \(c^2\) घटता है। परीक्षा में समूह बनाकर वर्गों का अंतर लगाएं। / First (a-2+2ab+b-2=(a+b)2), then \(c^2\) is subtracted. In exams group first and then apply difference of squares.
सीमा क्षेत्रफल ((x+4)2-(x-4)2=16x) है। परीक्षा में बाहरी माइनस अंदरूनी वर्ग का उपयोग करें। / The border area is ((x+4)2-(x-4)2=16x). In exams use outer square minus inner square.
खाने \(3x^2\), (6x), (-5x), और (-10) हैं जिनका योग \(3x^2+x-10\) है। परीक्षा में हर खाने का चिन्ह शामिल करें। / The cells are \(3x^2\), (6x), (-5x), and (-10), whose sum is \(3x^2+x-10\). In exams include the sign of every cell.
पूर्ण मॉडल में दो (xy) आयत होते हैं, एक छोड़ने पर \(x^2+xy+y^2\) मिलता है। परीक्षा में मध्य पद के दो भाग हमेशा जांचें। / The full model has two (xy) rectangles, so missing one gives \(x^2+xy+y^2\). In exams always check the two parts of the middle term.
(a) वर्ग में दो (ab) पट्टियां और \(b^2\) कोना जोड़कर ((a+b)2) बनता है। परीक्षा में जोड़ और हटाव मॉडल अलग पहचानें। / Adding two (ab) strips and a \(b^2\) corner to the (a) square forms ((a+b)2). In exams distinguish addition and removal models.
(25x-2=(5x)2) और \(1=1^2\), इसलिए भुजाएं (5x-1) और (5x+1) हैं। परीक्षा में वर्गमूल लेकर योग-अंतर बनाएं। / (25x-2=(5x)2) and \(1=1^2\), so the sides are (5x-1) and (5x+1). In exams take square roots and form sum-difference.
कुल मध्य क्षेत्रफल (14xy) है इसलिए प्रत्येक समान आयत (7xy) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग का मध्य भाग दो बराबर आयतों में बंटता है। / The total middle area is (14xy), so each equal rectangle is (7xy). In exams the middle part of a perfect square splits into two equal rectangles.
पहले (x-2-4xy+4y-2=(x-2y)2) बनता है, फिर \(z^2\) घटता है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग त्रिपद को पहले पहचानें। / First (x-2-4xy+4y-2=(x-2y)2), then \(z^2\) is subtracted. In exams identify the perfect-square trinomial first.
(6+(-5)=1) और (6\cdot(-5)=-30), इसलिए भुजाएं (x+6) और (x-5) हैं। परीक्षा में ऋण कोने के लिए विपरीत चिन्ह वाले स्थिर भाग लें। / Since (6+(-5)=1) and (6\cdot(-5)=-30), the sides are (x+6) and (x-5). In exams use constants with opposite signs for a negative corner.
A. ((101-99)(101+99))/difference of squares rectangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गों का अंतर ((101-99)(101+99)=2\cdot200=400) है। परीक्षा में बड़े वर्ग माइनस छोटे वर्ग को आयत में बदलें। / The difference of squares is ((101-99)(101+99)=2\cdot200=400). In exams turn larger square minus smaller square into a rectangle.
बचा क्षेत्र ((x+2)2-(x-2)2=8x) है। परीक्षा में कोने पर रखे छोटे वर्ग को घटाकर पट्टियां पाएं। / The remaining area is ((x+2)2-(x-2)2=8x). In exams subtract the corner square to get the strips.
हटाने के बाद (a) और (b) वाले भाग बचते हैं जो ((a+b)2) बनाते हैं। परीक्षा में बचे हुए छोटे क्षेत्रों को जोड़कर नया वर्ग पहचानें। / After removal, the parts involving (a) and (b) remain and make ((a+b)2). In exams add the remaining small regions to identify the new square.
((3x+2)(5x-4)) में खाने \(15x^2\), (-12x), (10x), और (-8) हैं। परीक्षा में क्रॉस क्षेत्रों का योग (-2x) देता है। / In ((3x+2)(5x-4)), the cells are \(15x^2\), (-12x), (10x), and (-8). In exams the sum of cross areas gives (-2x).
यह ((u+c)2-(u-c)2=4uc) है जहां (u=a+b), इसलिए क्षेत्रफल (4c(a+b)) है। परीक्षा में पूरे समूह (a+b) को एक भुजा मानें। / This is ((u+c)2-(u-c)2=4uc) where (u=a+b), so the area is (4c(a+b)). In exams treat the whole group (a+b) as one side.
एक (a+b) भुजा वाले वर्ग में यदि (a) वाली पट्टी और (b) वाली पट्टी की चौड़ाइयाँ बदल दी जाएँ पर कुल भुजा वही रहे, तो कौन-सा क्षेत्रफल संबंध अपरिवर्तित रहेगा?
भागों का क्रम बदलने से कुल क्षेत्रफल नहीं बदलता। परीक्षा में पुनर्व्यवस्था को समान क्षेत्रफल मानें। / Changing the order of parts does not change total area. In exams, treat rearrangement as equal area.
दोनों आयत (7x) और (7x) हैं, इसलिए कुल (14x) है। परीक्षा में दोनों समान पट्टियाँ गिनें। / The two rectangles are (7x) and (7x), so the total is (14x). In exams, count both equal strips.
(p+q) वर्ग में (pq) के दो आयत बनते हैं। परीक्षा में (2pq) का दृश्य स्रोत याद रखें। / A (p+q) square forms two (pq) rectangles. In exams, remember the visual source of (2pq).
\(81=9^2\) और \(18m=2\cdot m\cdot9\) है। परीक्षा में कोने के वर्गमूल से भुजा पहचानें। / \(81=9^2\) and \(18m=2\cdot m\cdot9\). In exams, identify the side using the square root of the corner.
भुजाएँ (4y) और (5) हैं, इसलिए बीच का घटा पद \(2\cdot4y\cdot5=40y\) है। परीक्षा में वर्गमूल लेकर पट्टियाँ बनाएं। / The side parts are (4y) and (5), so the subtracted middle term is \(2\cdot4y\cdot5=40y\). In exams, use square roots to form strips.
धनात्मक (11r) और ऋणात्मक (11r) बराबर क्षेत्रफल के कारण कटते हैं। परीक्षा में विपरीत चिन्ह वाले समान आयत देखें। / Positive (11r) and negative (11r) cancel because their areas are equal. In exams, look for equal rectangles with opposite signs.
यह ( (3x)2-42 ) का दृश्य मॉडल है। परीक्षा में दोनों पदों का वर्ग अलग-अलग करें। / This is the visual model of ( (3x)2-42 ). In exams, square both terms separately.
छोटा कोना \(36=6^2\) और बड़ा वर्ग (25a-2=(5a)2) है। परीक्षा में क्षेत्रफल से भुजा निकालें। / The small corner is \(36=6^2\) and the large square is (25a-2=(5a)2). In exams, derive side lengths from areas.
(ab) और (ba) दो अलग आयतों में दिखते हैं। परीक्षा में हर जोड़ी को दो बार गिनें। / (ab) and (ba) appear as two different rectangles. In exams, count each pair twice.
हर मिश्रित जोड़ी दो आयतों में आती है। परीक्षा में तीनों जोड़ियों को (2) से गुणा करें। / Each mixed pair appears in two rectangles. In exams, multiply all three pairs by (2).
दो रैखिक पट्टियाँ (8x) और (15x) हैं और कोना \(8\times15=120\) है। परीक्षा में रैखिक पट्टियों से भुजाएँ पढ़ें। / The two linear strips are (8x) and (15x), and the corner is \(8\times15=120\). In exams, read sides from the linear strips.
मॉडल में दो (2x) गुणा (3) आयत होते हैं, इसलिए मध्य पद (12x) है। परीक्षा में एक पट्टी पर नहीं रुकें। / The model has two (2x) by (3) rectangles, so the middle term is (12x). In exams, do not stop at one strip.
दो पट्टियाँ \(5t\cdot2\) और \(5t\cdot2\) हैं, इसलिए कुल (20t) घटता है। परीक्षा में दोनों पट्टियाँ शामिल करें। / The two strips are \(5t\cdot2\) and \(5t\cdot2\), so total (20t) is subtracted. In exams, include both strips.
C. (24x) का संयुक्त पट्टी क्षेत्रफल/Combined strip area of (24x)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पट्टियाँ (12x) की होती हैं। परीक्षा में कोने के साथ दो साइड पट्टियाँ जोड़ें। / Both strips are (12x). In exams, add two side strips along with the corner.
भाग \(2a^2\), (-6a), (5a) और (-15) हैं, इसलिए रैखिक पद (-a) है। परीक्षा में ऋण आयतों को सही जोड़ें। / The parts are \(2a^2\), (-6a), (5a) and (-15), so the linear term is (-a). In exams, add negative rectangles correctly.
धनात्मक और ऋणात्मक टाइलों का अंतर (7x) बचाता है। परीक्षा में चिह्नित टाइलों को बीजगणितीय जोड़ की तरह लें। / Positive and negative tiles leave a difference of (7x). In exams, treat signed tiles as algebraic addition.
स्थिर भाग ((-4)\cdot9=-36) है। परीक्षा में अलग चिन्हों के गुणन से ऋणात्मक कोना बनता है। / The constant part is ((-4)\cdot9=-36). In exams, unlike signs create a negative corner.
(9+(-4)=5) और (9\cdot(-4)=-36) है। परीक्षा में योग और गुणनफल में चिन्ह जाँचें। / (9+(-4)=5) and (9\cdot(-4)=-36). In exams, check signs in both sum and product.
कुल हटाई गई पट्टियाँ (14y) हैं, इसलिए प्रत्येक (7y) है। परीक्षा में कुल मध्य पद को दो बराबर भागों में बाँटें। / The total removed strips are (14y), so each is (7y). In exams, divide the middle term into two equal parts.
एक मिश्रित आयत \(2m\cdot3n=6mn\) है और ऐसे दो आयत होते हैं। परीक्षा में मिश्रित आयतों को दोगुना करें। / One mixed rectangle is \(2m\cdot3n=6mn\), and there are two such rectangles. In exams, double the mixed rectangles.
बीच का घटा पद \(2\cdot3a\cdot2b=12ab\) है। परीक्षा में दोनों गुणांकों को शामिल करें। / The subtracted middle term is \(2\cdot3a\cdot2b=12ab\). In exams, include both coefficients.
(4x-2=(2x)2) और (25y-2=(5y)2) है। परीक्षा में वर्गों के अंतर को दो संयुग्म भुजाओं में लिखें। / (4x-2=(2x)2) and (25y-2=(5y)2). In exams, write difference of squares as two conjugate sides.
कुल अंतर (4ab) है, इसलिए चार समान आयतों में प्रत्येक (ab) होगा। परीक्षा में कुल क्षेत्रफल को समान भागों में बाँटें। / The total difference is (4ab), so each of the four equal rectangles is (ab). In exams, divide total area into equal parts.
वर्ग हटाने पर केवल छह मिश्रित आयत बचते हैं। परीक्षा में उन्हें (2xy+2yz+2zx) के रूप में जोड़ें। / After removing the squares, only six mixed rectangles remain. In exams, add them as (2xy+2yz+2zx).
शेष दो आयत (ab) और (ab) हैं। परीक्षा में वर्गों के अतिरिक्त बचे आयतों को जोड़ें। / The remaining two rectangles are (ab) and (ab). In exams, add the rectangles left after the squares.
( (a+b)2 ) में \(a^2+b^2\) के साथ दो (ab) आयत अतिरिक्त होते हैं। परीक्षा में अंतर को छूटे आयतों से देखें। / ( (a+b)2 ) has two extra (ab) rectangles along with \(a^2+b^2\). In exams, view the difference as missing rectangles.
दोनों विस्तार घटाने पर (4x-(-4x)=8x) बचता है। परीक्षा में विपरीत मध्य पदों का अंतर लें। / On subtracting the two expansions, (4x-(-4x)=8x) remains. In exams, take the difference of opposite middle terms.
रैखिक टाइल (4x) और (-2x) हैं, इसलिए कुल (2x) है। परीक्षा में चिह्नित रैखिक टाइलों को जोड़ें। / The linear tiles are (4x) and (-2x), so the total is (2x). In exams, add signed linear tiles.
\(1\cdot6=6\) और \(2\cdot3=6\), इसलिए (x+6x) समूह से ((2x+1)(x+3)) बनता है। परीक्षा में मध्य पद विभाजन को क्षेत्रफल समूह से जाँचें। / \(1\cdot6=6\) and \(2\cdot3=6\), so grouping (x+6x) gives ((2x+1)(x+3)). In exams, verify the middle split by area grouping.
इन भुजाओं से भाग \(3x^2\), (9x), (x) और (3) मिलते हैं। परीक्षा में चारों भागों को जोड़कर जाँचें। / These sides give parts \(3x^2\), (9x), (x) and (3). In exams, check by adding all four parts.
अंतर ((x+6+x+2)(x+6-x-2)= (2x+8)\cdot4=8x+32) है। परीक्षा में वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / The difference is ((x+6+x+2)(x+6-x-2)= (2x+8)\cdot4=8x+32). In exams, use difference of squares.
क्षेत्रफल अंतर ((x+5)2-(x-1)2=12x+24) है। परीक्षा में बाहरी और अंदरूनी वर्ग का अंतर लें। / The area difference is ((x+5)2-(x-1)2=12x+24). In exams, subtract inner square from outer square.
क्षेत्रफल समान और एक भुजा समान है, इसलिए दूसरी भुजा भी (a+b) होगी। परीक्षा में समान क्षेत्रफल और समान भुजा से निष्कर्ष निकालें। / Area is unchanged and one side is unchanged, so the other side is also (a+b). In exams, infer using equal area and equal side.
रंगहीन क्षेत्र दो (3x) पट्टियाँ हैं, इसलिए (6x=30) और (x=5)। परीक्षा में रंगहीन पट्टियों को मध्य पद से जोड़ें। / The uncolored area is two (3x) strips, so (6x=30) and (x=5). In exams, connect uncolored strips to the middle term.
((x-4)2=81) से (x-4=9) और (x=13) मिलता है। परीक्षा में भुजा को धनात्मक लंबाई मानें। / From ((x-4)2=81), (x-4=9) and (x=13). In exams, treat the side as a positive length.
पहला क्षेत्र \(x^2+7x+10\) और दूसरा \(x^2+7x+12\) है। परीक्षा में समान रैखिक पद होने पर स्थिर अंतर देखें। / The first area is \(x^2+7x+10\) and the second is \(x^2+7x+12\). In exams, when linear terms match, compare constants.
हर छोटे आयत की भुजाएँ एक-एक भाग से बनती हैं। परीक्षा में पंक्ति और स्तंभ का गुणन करें। / Each small rectangle is made from one part of each side. In exams, multiply row by column.
( (x+5)2=x-2+10x+25 ) और ( (x+2)(x+8)=x-2+10x+16 ) है। परीक्षा में समान (x) पदों को काटकर स्थिर भाग तुलना करें। / ( (x+5)2=x-2+10x+25 ) and ( (x+2)(x+8)=x-2+10x+16 ). In exams, cancel equal (x) terms and compare constants.
यह सीधे ( (x+k)2 ) के चार भाग दिखाता है। परीक्षा में (2kx) को दो (kx) पट्टियों के रूप में देखें। / It directly shows the four parts of ( (x+k)2 ). In exams, view (2kx) as two (kx) strips.
दो (kx) पट्टियाँ घटती हैं और \(k^2\) कोना वापस जुड़ता है। परीक्षा में (-2kx) से (x-k) पहचानें। / Two (kx) strips are subtracted and the \(k^2\) corner is added back. In exams, identify (x-k) from (-2kx).
दो समान आयतों को जोड़ने से (2xy) बनता है। परीक्षा में पुनर्व्यवस्था से क्षेत्रफल नहीं बदलता। / Combining two equal rectangles gives (2xy). In exams, rearrangement does not change area.
तीन मिश्रित जोड़ियों में (ca) जोड़ी भी दो बार आती है। परीक्षा में सभी जोड़ी संयोजन पूरे करें। / Among the three mixed pairs, the (ca) pair also appears twice. In exams, complete all pair combinations.
( (x+4)2=x-2+8x+16 ), कोना हटाने पर \(x^2+8x\) बचता है। परीक्षा में हटाए गए भाग को घटाएँ। / ( (x+4)2=x-2+8x+16 ), so removing the corner leaves \(x^2+8x\). In exams, subtract the removed part.
दो मिश्रित आयतों का कुल \(2\cdot2x\cdot7=28x\) है। परीक्षा में गुणांक सहित मध्य क्षेत्रफल निकालें। / The total of two mixed rectangles is \(2\cdot2x\cdot7=28x\). In exams, find middle area with coefficients.
B. दो ऋणात्मक पट्टियों का कुल (-12x)/Total (-12x) from two negative strips
Explanation
Simple Explanation
रैखिक भाग (-5x) और (-7x) हैं, जिनका योग (-12x) है। परीक्षा में दोनों ऋणात्मक पट्टियाँ जोड़ें। / The linear parts are (-5x) and (-7x), whose sum is (-12x). In exams, add both negative strips.
(-5+(-7)=-12) और ((-5)(-7)=35) है। परीक्षा में दो ऋणात्मक स्थिर भागों का गुणन धनात्मक होता है। / (-5+(-7)=-12) and ((-5)(-7)=35). In exams, product of two negative constants is positive.
D. \(b^2\) को वापस न जोड़ना/Not adding \(b^2\) back
Explanation
Simple Explanation
कोने का \(b^2\) भाग दो बार हट जाता है, इसलिए उसे वापस जोड़ना जरूरी है। परीक्षा में अधिक घटाव ठीक करें। / The corner \(b^2\) is removed twice, so it must be added back. In exams, correct over-subtraction.
विस्तारों का अंतर (x-2+2kx+k-2-\(x^2-2kx+k^2\)=4kx) है। परीक्षा में समान वर्ग पद काटें। / The difference of expansions is (x-2+2kx+k-2-\(x^2-2kx+k^2\)=4kx). In exams, cancel equal square terms.
दोनों में (x-2+(a+b)x) समान है, स्थिर भागों का अंतर ( \frac{(a+b)2}{4}-ab=\frac{(a-b)2}{4} ) है। परीक्षा में समान भाग हटाकर बचा क्षेत्रफल देखें। / Both have (x-2+(a+b)x) common, and the constant difference is ( \frac{(a+b)2}{4}-ab=\frac{(a-b)2}{4} ). In exams, remove common parts and compare remaining area.
एक वर्ग का दृश्य मॉडल पहले भुजा (a) वाला था। उसमें दाईं ओर चौड़ाई (b) की पट्टी और नीचे चौड़ाई (b) की पट्टी जोड़कर कोने में छोटा वर्ग बनाया गया। कुल क्षेत्रफल किस पहचान को दिखाता है?
दो समान आयतों का क्षेत्रफल (ab) और छोटे वर्ग का क्षेत्रफल \(b^2\) है। परीक्षा में बड़े वर्ग को छोटे भागों में बांटकर पहचान लिखें। / The two equal rectangles have area (ab) and the small square has area \(b^2\). Exam tip: split the big square into smaller regions before writing the identity.
भुजा (p) वाले बड़े वर्ग से ऊपर और दाईं ओर चौड़ाई (q) की दो पट्टियां हटाई जाती हैं। कोने का वर्ग \(q^2\) दो बार हटने से वापस जोड़ा जाता है। शेष क्षेत्रफल क्या होगा?
दो पट्टियां घटाने के बाद साझा कोना फिर जोड़ना पड़ता है। परीक्षा में घटाए गए भागों की पुनरावृत्ति जांचें। / After subtracting two strips the common corner must be added back. Exam tip: check overlap when subtracting areas.
पट्टियों का कुल क्षेत्रफल (7x+3x=10x) है। परीक्षा में ((x+a)(x+b)) में मध्य गुणांक (a+b) लें। / The total strip area is (7x+3x=10x). Exam tip: in ((x+a)(x+b)), the middle coefficient is (a+b).
दोनों आयतों में प्रत्येक का क्षेत्रफल (mn) है इसलिए कुल (2mn) होगा। परीक्षा में समान आयतों की संख्या न भूलें। / Each rectangle has area (mn), so together they give (2mn). Exam tip: do not forget the number of equal rectangles.
दृश्य मॉडल में \(r^2\) क्षेत्रफल वाले वर्ग से \(s^2\) क्षेत्रफल वाला छोटा वर्ग हटाया गया। बचे हुए एल आकार को काटकर एक आयत बनाया गया। उस आयत की भुजाएं क्या होंगी?
वर्गों के अंतर को पुनर्व्यवस्थित करने पर आयत ((r-s)(r+s)) बनता है। परीक्षा में \(r^2-s^2\) को अंतर के रूप में पहचानें। / Rearranging the difference of squares forms the rectangle ((r-s)(r+s)). Exam tip: identify \(r^2-s^2\) as a difference of squares.
चार छोटी (2) इकाई चौड़ाइयां मिलकर हर दिशा में (4) की वृद्धि दिखाती हैं। परीक्षा में किनारे पर लगी कुल चौड़ाई देखें। / The four small width parts show an increase of (4) along each side. Exam tip: observe the total added width on the edge.
(36) को \(6^2\) और (12x) को \(2\cdot6\cdot x\) माना जाता है। परीक्षा में स्थिर वर्ग से जोड़ी गई चौड़ाई निकालें। / Here (36) is \(6^2\) and (12x) is \(2\cdot6\cdot x\). Exam tip: find the added width from the constant square.
एक वर्ग मॉडल में दो समान आयतों का कुल क्षेत्रफल (18xy) है और कोने का छोटा वर्ग \(81y^2\) है। यदि मुख्य वर्ग \(x^2\) है तो पूर्ण वर्ग क्षेत्रफल क्या है?
छोटे वर्ग की भुजा (9y) है और दो आयतों का कुल क्षेत्रफल (18xy) है। परीक्षा में दो आयतों का योग सीधे मध्य पद देता है। / The small square has side (9y) and the two rectangles together give (18xy). Exam tip: the sum of the two rectangles directly gives the middle term.
एक दृश्य प्रमाण में (a+b+c) भुजा वाले वर्ग को नौ भागों में बांटा गया है। तीन वर्गों के क्षेत्रफल \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) हैं। आयताकार भागों का कुल क्षेत्रफल कौन सा है?
हर जोड़ी के दो समान आयत बनते हैं इसलिए कुल (2ab+2bc+2ca) होता है। परीक्षा में तीन पदों के वर्ग में जोड़ीदार आयतों को दो बार गिनें। / Each pair forms two equal rectangles, so the total is (2ab+2bc+2ca). Exam tip: count pairwise rectangles twice in a trinomial square.
क्योंकि (5+6=11) और \(5\cdot6=30\) है। परीक्षा में आयत मॉडल में योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Because (5+6=11) and \(5\cdot6=30\). Exam tip: match both sum and product in a rectangle model.
एक बड़े वर्ग से (4x) और (4x) क्षेत्रफल वाली दो पट्टियां हटाकर (16) क्षेत्रफल का कोना वापस जोड़ा गया। यदि मूल वर्ग \(x^2\) था तो बना क्षेत्रफल किसके बराबर है?
दो (4x) पट्टियां घटती हैं और साझा कोना (16) वापस जुड़ता है। परीक्षा में ((x-4)2) मॉडल को पहचानें। / Two (4x) strips are subtracted and the common corner (16) is added back. Exam tip: recognize the ((x-4)2) model.
शेष दोनों आयत (u) by (v) हैं इसलिए योग (2uv) है। परीक्षा में रंगीन भागों और शेष भागों को अलग अलग जोड़ें। / Both remaining rectangles are (u) by (v), so their sum is (2uv). Exam tip: add colored and uncolored parts separately.
यह ((2x+3)(2x-3)) है जो \(4x^2-9\) देता है। परीक्षा में योग और अंतर के गुणन को वर्गों के अंतर से जोड़ें। / This is ((2x+3)(2x-3)), which gives \(4x^2-9\). Exam tip: connect product of sum and difference with difference of squares.
मुख्य वर्ग की भुजा (3a) और छोटे वर्ग की भुजा (5b) है। परीक्षा में वर्गमूल से भुजाएं पहचानें। / The main square side is (3a) and the small square side is (5b). Exam tip: identify sides using square roots.
दोनों पट्टियों से हर ओर (7) की चौड़ाई मिलती है इसलिए कोना \(7^2=49\) होगा। परीक्षा में मध्य पद को आधा करके वर्ग लें। / The two strips show width (7) on each side, so the corner is \(7^2=49\). Exam tip: halve the middle coefficient and square it.
A. भुजा (y) वाले वर्ग से दो (3y) पट्टियां हटाकर (9) कोना जोड़ना/Removing two (3y) strips from a square of side (y) and adding the (9) corner
Explanation
Simple Explanation
ऋण मध्य पद घटाई गई दो पट्टियों से आता है। परीक्षा में संकेत देखकर जोड़ने या घटाने का मॉडल चुनें। / The negative middle term comes from the two removed strips. Exam tip: use the sign to decide addition or subtraction model.
(4+9=13) और \(4\cdot9=36\) है इसलिए पट्टियां (4x) और (9x) होंगी। परीक्षा में स्थिर पद के गुणनखंड खोजें। / Since (4+9=13) and \(4\cdot9=36\), the strips are (4x) and (9x). Exam tip: find factors of the constant term.
क्षेत्रफल (a-2-b-2=(a+b)(a-b)) होता है। परीक्षा में आयत की दूसरी भुजा क्षेत्रफल को दी गई भुजा से भाग देकर मिलती है। / The area is (a-2-b-2=(a+b)(a-b)). Exam tip: get the other side by dividing area by the given side.
दोनों विस्तारों को घटाने पर (4ab) बचता है। परीक्षा में दृश्य अंतर को बीजगणितीय घटाव से मिलाएं। / Subtracting the two expansions leaves (4ab). Exam tip: match visual difference with algebraic subtraction.
भुजाएं (2x) और (5) हैं इसलिए दो आयतों में प्रत्येक (10x) है। परीक्षा में हर भाग को लंबाई गुणा चौड़ाई से निकालें। / The side parts are (2x) and (5), so each rectangle is (10x). Exam tip: find each part as length times width.
मध्य पद (3x+8x=11x) है इसलिए (b=11) होगा। परीक्षा में दोनों रैखिक पट्टियों का योग लें। / The middle term is (3x+8x=11x), so (b=11). Exam tip: add both linear strip areas.
लंबवत कट चार भाग बनाते हैं जिनमें दो आयत (ab) के होते हैं। परीक्षा में कटों से बने सभी भाग जोड़ें। / Perpendicular cuts form four parts, including two rectangles of area (ab). Exam tip: add all regions made by the cuts.
B. दोनों (xy) आयत अभी भी मौजूद हैं/The two (xy) rectangles still exist
Explanation
Simple Explanation
चित्र का आकार बदल सकता है पर भागों की संरचना नहीं बदलती। परीक्षा में अनुपात नहीं बल्कि क्षेत्रफल संबंध देखें। / The drawing scale may change but the structure of parts does not. Exam tip: focus on area relation, not visual proportion.
भाग (5x) और (7x) तथा कोना (35) भुजाओं (5) और (7) को दिखाते हैं। परीक्षा में कोने का गुणनफल भुजाओं की स्थिर लंबाइयां बताता है। / The parts (5x) and (7x), with corner (35), show constant sides (5) and (7). Exam tip: the corner product reveals the constant side lengths.
(16p-2=(4p)2) और (25q-2=(5q)2) हैं तथा मध्य पद ऋण है। परीक्षा में संकेत और वर्गमूल दोनों जांचें। / Here (16p-2=(4p)2) and (25q-2=(5q)2), and the middle term is negative. Exam tip: check both signs and square roots.
क्रॉस आयत दो हैं और प्रत्येक का क्षेत्रफल (ab) है। परीक्षा में (2ab) को दो आयतों का संयुक्त क्षेत्रफल मानें। / There are two cross rectangles and each has area (ab). Exam tip: treat (2ab) as the combined area of two rectangles.
(4+5=9) और \(4\cdot5=20\) है इसलिए आयत पूरा बनता है। परीक्षा में दोनों शर्तों को साथ जांचें। / Since (4+5=9) and \(4\cdot5=20\), the rectangle is complete. Exam tip: verify both conditions together.
दोनों पट्टियां (3x) by (2y) की हैं इसलिए कुल (12xy) घटता है। परीक्षा में ऋण मध्य पद को दो पट्टियों से समझें। / Both strips are (3x) by (2y), so (12xy) is subtracted. Exam tip: understand the negative middle term through two strips.
A. भुजा (a) के वर्ग से भुजा (b) का वर्ग हटाकर शेष को आयत बनाना/Removing a square of side (b) from a square of side (a) and rearranging the remainder into a rectangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गों के अंतर का शेष भाग आयत ((a+b)(a-b)) में बदलता है। परीक्षा में काटकर पुनर्व्यवस्था का विचार याद रखें। / The remaining part of the difference of squares becomes the rectangle ((a+b)(a-b)). Exam tip: remember the cut-and-rearrange idea.
(2xk=16x) से (k=8) और कोना \(k^2=64\) होगा। परीक्षा में कुल पट्टी क्षेत्रफल से आधी चौड़ाई निकालें। / From (2xk=16x), (k=8), so the corner is \(k^2=64\). Exam tip: get the half-width from the total strip area.
(-5+3=-2) और \(-5\cdot3=-15\) है। परीक्षा में संकेतों सहित गुणनखंडों का दृश्य अर्थ समझें। / Since (-5+3=-2) and \(-5\cdot3=-15\). Exam tip: interpret factors with signs in the visual model.
प्रत्येक आयत (2a) by (b) है इसलिए कुल (4ab) होगा। परीक्षा में बदली हुई भुजा (2a) को ध्यान से लें। / Each rectangle is (2a) by (b), so the total is (4ab). Exam tip: handle the changed side (2a) carefully.
A. पूरे वर्ग की भुजा (5x+2y) है/The side of the whole square is (5x+2y)
Explanation
Simple Explanation
\(25x^2\) और \(4y^2\) के वर्गमूल (5x) और (2y) हैं और मध्य पद (20xy) सही है। परीक्षा में मध्य पद (2ab) से पुष्टि करें। / The square roots of \(25x^2\) and \(4y^2\) are (5x) and (2y), and the middle term (20xy) fits. Exam tip: confirm using the (2ab) term.
A. भुजा (7) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (7)
Explanation
Simple Explanation
\(49=7^2\) है इसलिए भुजा (7) का वर्ग हटता है। परीक्षा में स्थिर वर्ग का वर्गमूल पहचानें। / Since \(49=7^2\), a square of side (7) is removed. Exam tip: identify the square root of the constant square.
((x+4)2-(x-4)2=16x) होता है। परीक्षा में दो वर्गों के अंतर में (4ab) का प्रयोग करें। / ((x+4)2-(x-4)2=16x). Exam tip: use (4ab) for the difference of two such squares.
मध्य पद (6x+8x=14x) है इसलिए (p=14) होगा। परीक्षा में स्थिर भुजाओं का योग मध्य गुणांक देता है। / The middle term is (6x+8x=14x), so (p=14). Exam tip: the sum of constant side parts gives the middle coefficient.
मध्य पद (+2ab) और (-2ab) कट जाते हैं। परीक्षा में जोड़ते समय समान विपरीत पदों को देखें। / The middle terms (+2ab) and (-2ab) cancel. Exam tip: watch opposite like terms while adding.
तीन पदों के वर्ग में हर जोड़ी का दुगुना गुणनफल आता है। परीक्षा में (x) और (z) की जोड़ी भी गिनें। / In a trinomial square, twice the product of every pair appears. Exam tip: count the pair (x) and (z) too.
दो रैखिक पट्टियां (10x) और (10x) देती हैं इसलिए (m=20) है। परीक्षा में दो बराबर पट्टियों का योग लें। / The two linear strips give (10x) and (10x), so (m=20). Exam tip: add the two equal strips.
A. भुजा (3x) वाले वर्ग से भुजा (1) वाला वर्ग हटाना/Removing a square of side (1) from a square of side (3x)
Explanation
Simple Explanation
(9x-2=(3x)2) और \(1=1^2\) है इसलिए यह वर्गों का अंतर है। परीक्षा में दोनों पदों को पूर्ण वर्ग के रूप में देखें। / Here (9x-2=(3x)2) and \(1=1^2\), so it is a difference of squares. Exam tip: view both terms as perfect squares.
पहली भुजा (x+3) और दूसरी (x+4) है इसलिए अंतर (1) है। परीक्षा में क्षेत्रफल से पहले भुजा निकालें। / The first side is (x+3) and the second is (x+4), so the difference is (1). Exam tip: find the side before comparing areas.
कुल मध्य पद (12x) है और दो समान पट्टियां हैं इसलिए प्रत्येक (6x) है। परीक्षा में कुल मध्य पद को दो बराबर भागों में बांटें। / The total middle term is (12x), and there are two equal strips, so each is (6x). Exam tip: divide the middle term into two equal parts.
\(25=5^2\) है और मध्य पद \(2\cdot5\cdot x\) से मेल खाता है। परीक्षा में स्थिर पद का वर्गमूल लें। / Since \(25=5^2\), and the middle term matches \(2\cdot5\cdot x\). Exam tip: take the square root of the constant term.
(ax) और (-ax) विपरीत रैखिक भाग हैं इसलिए कट जाते हैं। परीक्षा में योग और अंतर के गुणन में मध्य पद शून्य होता है। / The parts (ax) and (-ax) are opposite linear parts, so they cancel. Exam tip: the middle term is zero in product of sum and difference.
A. क्योंकि पहचान क्षेत्रफल पर आधारित है/Because the identity is based on area
Explanation
Simple Explanation
दृश्य पहचान भागों के क्षेत्रफल जोड़कर बनती है परिमाप से नहीं। परीक्षा में क्षेत्रफल और परिमाप को अलग रखें। / The visual identity is formed by adding areas of parts, not by perimeter. Exam tip: keep area and perimeter separate.
(7+8=15) और \(7\cdot8=56\) है इसलिए यही पट्टियां सही हैं। परीक्षा में गुणनफल और योग दोनों मिलाएं। / Since (7+8=15) and \(7\cdot8=56\), these strips are correct. Exam tip: match both product and sum.
(4a-2=(2a)2) है इसलिए अंतर ((2a-b)(2a+b)) बनेगा। परीक्षा में पहले बड़े वर्ग की भुजा पहचानें। / Since (4a-2=(2a)2), the difference becomes ((2a-b)(2a+b)). Exam tip: identify the side of the larger square first.
दो वर्ग \(x^2\) और (81) हैं जबकि (18x) पट्टियों का क्षेत्रफल है। परीक्षा में वर्ग भागों और आयत भागों को अलग करें। / The two squares are \(x^2\) and (81), while (18x) is the strip area. Exam tip: separate square parts from rectangular parts.
गलती में दोनों क्रॉस आयतों का क्षेत्रफल (2xy) छोड़ दिया गया। परीक्षा में ((x+y)2) को कभी \(x^2+y^2\) न लिखें। / The mistake ignores the two cross rectangles of total area (2xy). Exam tip: never write ((x+y)2) as \(x^2+y^2\).
