A. यह संक्रमण संबंध है/It is a transitive relation
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), both present.
Step 3
Exam Tip
In hard questions, tick every formed chain separately. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए जो मौजूद है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद हैं। चरण 3: कठिन प्रश्नों में हर बनी हुई श्रृंखला को अलग से टिक करें।
((2,3)) and ((3,1)) require ((2,1)) for transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) is not present in the list, so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
Do not check only the first visible chain; check later chains too. चरण 1: ((2,3)) और ((3,1)) से संक्रमण के लिए ((2,1)) चाहिए। चरण 2: दी हुई सूची में ((2,1)) नहीं है, इसलिए शर्त टूटती है। चरण 3: केवल पहली दिखने वाली श्रृंखला नहीं, बाद की श्रृंखलाएं भी जांचें।
If (a-b) is divisible by (4) and (b-c) is also divisible by (4), then their sum (a-c) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc).
Step 3
Exam Tip
For divisibility-based relations, add the differences. चरण 1: यदि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है और (b-c) भी संख्या (4) से विभाज्य है, तो उनका योग (a-c) भी संख्या (4) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) होगा। चरण 3: विभाज्यता आधारित संबंधों में अंतरों को जोड़कर जांच करें।
(a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same parity, and (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
In parity relations, focus on the nature of the elements. चरण 1: (a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषमता समान है। चरण 2: यदि (a) और (b) समान प्रकार के हैं तथा (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। चरण 3: सम-विषम संबंधों में तत्वों की प्रकृति पर ध्यान दें।
If (a+b) is odd, (a) and (b) have opposite parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (b+c) is also odd, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
Two consecutive odd-sum conditions do not give the third odd-sum condition. चरण 1: (a+b) विषम होने पर (a) और (b) अलग सम-विषमता के होते हैं। चरण 2: (b+c) भी विषम हो, तो (a) और (c) समान सम-विषमता के होंगे, इसलिए (a+c) सम होगा। चरण 3: दो लगातार विषम-योग शर्तें तीसरी विषम-योग शर्त नहीं देतीं।
They require ((2,3)), which is present; ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), and ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), both present.
Step 3
Exam Tip
After all checks, the relation is transitive, so saying no is wrong. चरण 1: ((2,1)) और ((1,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रमण के लिए ((2,3)) चाहिए, जो मौजूद है; लेकिन ((2,3)) के साथ ((3,c)) नहीं है, इसलिए वहां समस्या नहीं है। अब ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)), तथा ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) मौजूद हैं; फिर भी ((2,3)) और आगे कोई कमी नहीं। चरण 3: सभी जांच के बाद यह संबंध संक्रमण है, इसलिए नहीं कहना गलत होगा।
A. संबंध संक्रमण होगा/The relation will be transitive
Step 1
Concept
In transitivity, we look for any missing required pair.
Step 2
Why this answer is correct
If for every ((a,b)) and ((b,c)), ((a,c)) is present, the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not be confused by many pairs; follow the rule. चरण 1: संक्रमण में केवल गुम जरूरी जोड़ी खोजी जाती है। चरण 2: यदि हर ((a,b)) और ((b,c)) के लिए ((a,c)) मौजूद है, तो संबंध संक्रमण है। चरण 3: अधिक जोड़ियों से घबराएं नहीं, जांच को नियम से करें।
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is already present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
In minimum-addition questions, check self-pairs produced by reverse pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो पहले से है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो नहीं है। चरण 3: न्यूनतम जोड़ने वाले प्रश्नों में हर उलटी जोड़ी से बनी समान जोड़ी जांचें।
((2,3)) and ((3,1)) require ((2,1)), and ((3,1)) and ((1,2)) require ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
In cyclic relations, new pairs may create further pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,1)) से ((2,1)), तथा ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। चरण 3: चक्र वाले संबंधों में नई जोड़ियां आगे और जोड़ियां बना सकती हैं।
If (a) and (b) have the same remainder on division by (5), and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(a \equiv c \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
In congruence questions, treat equal remainders as a chain. चरण 1: यदि (a) और (b) का (5) से भाग देने पर शेष समान है, और (b) और (c) का शेष भी समान है, तो (a) और (c) का शेष समान होगा। चरण 2: इसलिए \(a \equiv c \pmod{5}\) होगा। चरण 3: सर्वसमता वाले प्रश्नों में शेष की समानता को श्रृंखला की तरह देखें।
((1,3)) is not in the relation, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
Use already present linked pairs like ((1,4)) in further checks. चरण 1: ((1,4)) और ((4,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमण टूटता है। चरण 3: पहले से बनी हुई जोड़ी ((1,4)) को भी आगे की जांच में उपयोग करें।
In a long chain, apply transitivity step by step. चरण 1: ((2,5)) और ((5,8)) से ((2,8)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((2,8)) और ((8,11)) से ((2,11)) मिलेगा। चरण 3: लंबी श्रृंखला में संक्रमण को क्रम से दोहराएं।
A. \(R\cap S\) हमेशा संक्रमण होगा/\(R\cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
In intersection, both relation conditions work together. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। चरण 2: (R) और (S) संक्रमण हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा और इस कारण \(R\cap S\) में भी होगा। चरण 3: प्रतिच्छेद में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ चलती है।
Chains from different relations may combine inside the union.
Step 2
Why this answer is correct
It is possible that ((a,b)) comes from one relation and ((b,c)) from another, but ((a,c)) is not in the union.
Step 3
Exam Tip
The union must be checked separately. चरण 1: अलग-अलग संबंधों में बनी श्रृंखलाएं संघ में मिलकर नई जरूरत बना सकती हैं। चरण 2: हो सकता है ((a,b)) एक संबंध से आए और ((b,c)) दूसरे से, पर ((a,c)) संघ में न हो। चरण 3: संघ के लिए हमेशा अलग से जांच जरूरी है।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
This example shows that union is not always transitive. चरण 1: \(R\cup S={(1,2),(2,3)}\) होगा। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। चरण 3: यह उदाहरण याद रखें कि संघ हमेशा संक्रमण नहीं रहता।
A. \(R^{-1}\) भी संक्रमण होगा/\(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
\((a,b)\in R^{-1}\) means \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R); transitivity gives \((c,a)\in R\), hence \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Inverse reverses order, but transitivity remains. चरण 1: \(R^{-1}\) में ((a,b)) होने का अर्थ है कि (R) में ((b,a)) है। चरण 2: यदि \(R^{-1}\) में ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो (R) में ((b,a)) और ((c,b)) हैं; संक्रमण से (R) में ((c,a)) होगा, इसलिए \(R^{-1}\) में ((a,c)) होगा। चरण 3: प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमण बचा रहता है।
The given (R) acts like an increasing chain from (1) to (2) to (3) and includes the required direct pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of a transitive relation is also transitive.
Step 3
Exam Tip
While taking inverse, every pair reverses, but the chain condition remains valid. चरण 1: दिया गया (R) क्रम (1) से (2) से (3) तक बढ़ने जैसा है और इसमें जरूरी सीधी जोड़ियां हैं। चरण 2: संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण रहता है। चरण 3: प्रतिलोम बनाते समय हर जोड़ी उलटेगी, पर श्रृंखला की शर्त बनी रहेगी।
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Self-pairs like ((2,2)) and ((4,4)) only demand already present pairs again.
Step 3
Exam Tip
Check self-pairs too, but they often do not create new missing pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) और ((4,4)) जैसी जोड़ियां केवल वही मौजूद जोड़ी फिर मांगती हैं। चरण 3: समान तत्व वाली जोड़ियों को भी जांचें, पर उनसे अक्सर नई कमी नहीं बनती।
((2,2)) is not in the relation, so it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Opposite-direction pairs often force a self-pair. चरण 1: ((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)) चाहिए। चरण 2: ((2,2)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमण नहीं है। चरण 3: उलटी दिशा की जोड़ियां अक्सर समान तत्व वाली जोड़ी को अनिवार्य बनाती हैं।
If (a) is a factor of (b) and (b) is a factor of (c), then (a) is a factor of (c).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Factor and divisibility language may differ, but the logic is the same. चरण 1: यदि (a), (b) का गुणनखंड है और (b), (c) का गुणनखंड है, तो (a), (c) का भी गुणनखंड होगा। चरण 2: इसलिए संबंध संक्रमण है। चरण 3: गुणनखंड और विभाज्यता की भाषा अलग हो सकती है, पर तर्क वही रहता है।
In equality-based relations, connect the equal quantities. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\) होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) मिलेगा और संबंध संक्रमण है। चरण 3: बराबरी आधारित संबंधों में समान राशि को जोड़कर निष्कर्ष निकालें।
Transitivity would require (a=c+1), which is generally false.
Step 3
Exam Tip
For algebraic relation conditions, substitute carefully. चरण 1: यदि (a=b+1) और (b=c+1), तो (a=c+2) होगा। चरण 2: संक्रमण के लिए (a=c+1) चाहिए था, जो सामान्यतः सत्य नहीं है। चरण 3: बराबरी जैसी दिखने वाली शर्तों में बीजगणित करके देखें।
If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then \(a\ge c\), so \(a-c\ge 0\).
Step 3
Exam Tip
First convert the condition into a simple inequality. चरण 1: \(a-b\ge 0\) का अर्थ है \(a\ge b\)। चरण 2: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\), यानी \(a-c\ge 0\)। चरण 3: पहले शर्त को सरल असमानता में बदलें।
If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A\subseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
In subset questions, follow the chain of inclusion. चरण 1: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(A\subseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। चरण 3: उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में तत्वों के समावेश की श्रृंखला देखें।
Two sets can be disjoint, and the second can be disjoint from the third.
Step 2
Why this answer is correct
Still, the first and third need not be disjoint. For example, ({1}) and ({2}) are disjoint, ({2}) and ({1}) are disjoint, but ({1}) and ({1}) are not disjoint.
Step 3
Exam Tip
For set relations, build a small counterexample. चरण 1: दो समुच्चय अलग-अलग हो सकते हैं और दूसरा तीसरे से भी अलग हो सकता है। चरण 2: फिर भी पहला और तीसरा आपस में अलग हों, यह जरूरी नहीं है। जैसे ({1}) और ({2}) अलग हैं, ({2}) और ({1}) अलग हैं, पर ({1}) और ({1}) अलग नहीं हैं। चरण 3: समुच्चय संबंधों में छोटा विरोधी उदाहरण बनाएं।
Treat equal absolute values like a chain of equalities. चरण 1: यदि (|a|=|b|) और (|b|=|c|), तो (|a|=|c|) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: समान निरपेक्ष मान वाले संबंध को बराबरी की श्रृंखला की तरह समझें।
(|0-0.6|<1) and (|0.6-1.2|<1), but (|0-1.2|<1) is false.
Step 3
Exam Tip
In distance-based relations, two small distances may combine into a larger one. चरण 1: (a=0), (b=0.6), (c=1.2) लें। चरण 2: (|0-0.6|<1) और (|0.6-1.2|<1), पर (|0-1.2|<1) नहीं है। चरण 3: दूरी आधारित संबंधों में दो छोटी दूरियां मिलकर बड़ी दूरी बना सकती हैं।
From \(a\le b+2\) and \(b\le c+2\), we only get \(a\le c+4\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \(a\le c+2\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=0).
Step 3
Exam Tip
When adding inequalities, the bound may change. चरण 1: \(a\le b+2\) और \(b\le c+2\) से केवल \(a\le c+4\) मिलता है। चरण 2: संक्रमण के लिए \(a\le c+2\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=0) लें। चरण 3: असमानता जोड़ने पर सीमा बदल सकती है।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then by order \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
The same inequality rule applies even on a finite set. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो क्रम के कारण \(a\le c\) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: सीमित समुच्चय पर भी असमानता की वही मूल शर्त लागू होती है।
((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
In a long chain, both short and long jumps are needed. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), और फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 3: लंबी श्रृंखला में छोटी और बड़ी छलांग दोनों जरूरी होती हैं।
If the required direct pair for a new chain is missing in (S), then (S) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
A property does not automatically pass from a subset relation to a larger relation. चरण 1: (S) में अतिरिक्त जोड़ियां आने से नई श्रृंखलाएं बन सकती हैं। चरण 2: यदि उन नई श्रृंखलाओं की जरूरी सीधी जोड़ी (S) में न हो, तो (S) संक्रमण नहीं रहेगा। चरण 3: उपसमुच्चय होने से गुण अपने-आप बड़े संबंध में नहीं जाता।
The smaller relation (R) may lose a required direct pair from (S).
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) is transitive, but \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) is not.
Step 3
Exam Tip
A subrelation must be checked separately. चरण 1: छोटे संबंध (R) में (S) की जरूरी सीधी जोड़ी हट सकती है। चरण 2: जैसे \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) संक्रमण है, पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) संक्रमण नहीं है। चरण 3: उपसंबंध की जांच अलग से करनी पड़ती है।
Always check the self-pair produced by reverse pairs. चरण 1: ((2,3)) और ((3,2)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रमण के लिए ((2,2)) चाहिए, पर यह नहीं है। चरण 3: उलटी जोड़ियों से बनने वाली समान जोड़ी को जरूर जांचें।
((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,2)) require ((1,2)), also present; other self-pair checks do not create a missing pair.
Step 3
Exam Tip
After full checking, the relation is transitive, so saying not transitive is wrong. चरण 1: ((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: लेकिन ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए, वह मौजूद है; फिर भी ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) ठीक है। सभी मुख्य जोड़ी मौजूद हैं। चरण 3: पूरी जांच के बाद संबंध संक्रमण है, इसलिए संक्रमण नहीं कहना गलत है।
A. हर संभव ((a,b)) और ((b,c)) के लिए ((a,c)) जांचना/Check ((a,c)) for every possible ((a,b)) and ((b,c))
Step 1
Concept
The definition of transitivity applies to every linked pair.
Step 2
Why this answer is correct
So for every ((a,b)) and ((b,c)), ((a,c)) must be found.
Step 3
Exam Tip
Making a table reduces mistakes in hard questions. चरण 1: संक्रमण की परिभाषा हर जुड़ी हुई जोड़ी पर लागू होती है। चरण 2: इसलिए हर ((a,b)) और ((b,c)) के लिए ((a,c)) मिलना चाहिए। चरण 3: तालिका बनाकर जांचने से कठिन प्रश्नों में गलती कम होती है।
A. \((a,a)\in R\) और \((b,b)\in R\)/\((a,a)\in R\) and \((b,b)\in R\)
Step 1
Concept
((a,b)) and ((b,a)) imply ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
((b,a)) and ((a,b)) imply ((b,b)).
Step 3
Exam Tip
When reverse pairs exist, both self-pairs become necessary. चरण 1: ((a,b)) और ((b,a)) से ((a,a)) मिलेगा। चरण 2: ((b,a)) और ((a,b)) से ((b,b)) मिलेगा। चरण 3: उलटी जोड़ियां होने पर दोनों समान जोड़ी अनिवार्य होती हैं।
A. (R) संक्रमण नहीं हो सकता/(R) cannot be transitive
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)) for transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
If ((1,1)) is absent, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
This missing pair gives an immediate counterexample. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रमण के लिए ((1,1)) चाहिए। चरण 2: यदि ((1,1)) नहीं है, तो शर्त टूट जाती है। चरण 3: ऐसी कमी तुरंत विरोधी उदाहरण देती है।
To break transitivity, two pairs like ((a,b)) and ((b,c)) are needed.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pairs, so no counterexample exists.
Step 3
Exam Tip
The condition is considered vacuously true. चरण 1: संक्रमण टूटने के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसी दो जोड़ियां चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए कोई विरोधी उदाहरण नहीं बनता। चरण 3: शर्त खाली रूप से सत्य मानी जाती है।
To test transitivity, the first element of the second pair must match the second element of the first pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((3,4)) do not form any linked chain.
Step 3
Exam Tip
Without a linked chain, no required pair is missing. चरण 1: संक्रमण जांचने के लिए दूसरी जोड़ी का पहला तत्व पहली जोड़ी के दूसरे तत्व से मिलना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((3,4)) से ऐसी कोई जुड़ी श्रृंखला नहीं बनती। चरण 3: बिना जुड़ी श्रृंखला के कोई जरूरी जोड़ी नहीं छूटती।
((1,4)) is not in the list, while the other main requirements are satisfied.
Step 3
Exam Tip
Also use already formed long jumps in further checking. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,4)) सूची में नहीं है, जबकि बाकी मुख्य जरूरतें पूरी हैं। चरण 3: बनी हुई लंबी छलांगों को भी आगे जोड़कर देखें।
(0<1<2) gives (0R1), and (1<2<3) gives (1R2), but (0<2<2) is false, so (0R2) fails.
Step 3
Exam Tip
In open-bound relations, watch equality at the boundary. चरण 1: (a=0), (b=1), (c=2) लें। चरण 2: (0<1<2) से (0R1) है और (1<2<3) से (1R2) है, पर (0<2<2) असत्य है, इसलिए (0R2) नहीं है। चरण 3: खुली सीमा वाले संबंधों में बराबरी पर विशेष ध्यान दें।
If (a-b) is rational and (b-c) is rational, their sum (a-c) is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
In difference-based relations, adding differences is the key idea. चरण 1: यदि (a-b) परिमेय है और (b-c) परिमेय है, तो उनका योग (a-c) भी परिमेय होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य होगा। चरण 3: अंतर आधारित संबंधों में अंतरों का योग मुख्य विचार है।
The sum of two irrational differences is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Take \(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\); (a-b) and (b-c) are irrational, but (a-c=0) is rational.
Step 3
Exam Tip
Build counterexamples carefully in irrational-number relations. चरण 1: अपरिमेय अंतर और अपरिमेय अंतर का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। चरण 2: \(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\) लें; (a-b) अपरिमेय और (b-c) अपरिमेय है, पर (a-c=0) परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या वाले प्रश्नों में विरोधी उदाहरण सावधानी से बनाएं।
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present. The other self-pairs satisfy their own requirements.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs can still be transitive if both self-pairs are present. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। बाकी समान जोड़ियां अपनी ही जरूरत पूरी करती हैं। चरण 3: उलटी जोड़ियों के साथ दोनों समान जोड़ियां हों तो संक्रमण बच सकता है।
A. (R) अवश्य संक्रमण है/(R) is necessarily transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore such a relation must be transitive.
Step 3
Exam Tip
When you hear equivalence relation, remember all three properties. चरण 1: समतुल्यता संबंध में परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों गुण शामिल होते हैं। चरण 2: इसलिए ऐसा संबंध संक्रमण अवश्य होगा। चरण 3: समतुल्यता सुनते ही तीनों गुण याद करें।
A. यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\)/If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\)
Step 1
Concept
\(a\mid b\) means (b=ak) for some natural number (k).
Step 2
Why this answer is correct
If \(b\mid c\), then (c=bl), so (c=a(kl)), hence \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
In divisibility, connect the multipliers. चरण 1: \(a\mid b\) का अर्थ है (b=ak) किसी प्राकृतिक संख्या (k) के लिए। चरण 2: \(b\mid c\) हो तो (c=bl), इसलिए (c=a(kl)), अतः \(a\mid c\)। चरण 3: विभाज्यता में गुणकों को जोड़कर निष्कर्ष निकालें।
In equality of powers, connect through the middle equality. चरण 1: यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: समान घातों की बराबरी में बीच वाली बराबरी को जोड़ें।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) and ((3,2)) require ((2,2)), and ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), both present.
Step 3
Exam Tip
In hard lists, conclude only after pair-by-pair checking. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)), तथा ((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) मौजूद हैं। चरण 3: कठिन सूची में जोड़ी-दर-जोड़ी जांच करके ही निष्कर्ष दें।
((1,3)) is missing, so the relation is not transitive, even though ((2,2)) is present.
Step 3
Exam Tip
One missing required pair is enough. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है, भले ही ((2,2)) मौजूद हो। चरण 3: एक भी जरूरी जोड़ी की कमी काफी होती है।
A. सिर्फ दी हुई पहली श्रृंखला जांचकर रुक जाना/Stopping after checking only the first given chain
Step 1
Concept
Hard questions often contain many hidden chains.
Step 2
Why this answer is correct
Even if the first chain works, another chain may reveal a missing pair.
Step 3
Exam Tip
Checking the whole list systematically is the safest method. चरण 1: कठिन प्रश्नों में कई श्रृंखलाएं छिपी होती हैं। चरण 2: पहली श्रृंखला ठीक होने पर भी किसी दूसरी श्रृंखला से गुम जोड़ी मिल सकती है। चरण 3: पूरी सूची को व्यवस्थित ढंग से जांचना सबसे सुरक्षित तरीका है।
