From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,3)) and ((3,4)), ((2,4)) is present, and from ((1,3)) and ((3,4)), ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
In a long chain, check every direct pair formed by two consecutive pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद हैं। चरण 3: लंबी श्रृंखला में हर दो लगातार जोड़ियों से बनने वाली सीधी जोड़ी जरूर जाँचें।
Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
If one missing pair is forced by many chains, identifying it is very useful. चरण 1: ((1,4)) और ((4,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, लेकिन यह संबंध में नहीं है। चरण 3: यदि एक छूटी हुई जोड़ी कई श्रृंखलाओं से बनती हो, तो उसे पहचानना बहुत उपयोगी होता है।
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के विभाज्य होने से (a-c) भी विभाज्य होता है/Because if (a-b) and (b-c) are divisible, then (a-c) is also divisible
Step 1
Concept
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (7), then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
For divisibility relations, adding differences gives the fastest check. चरण 1: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (7) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (7) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य होगा। चरण 3: विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों का योग सबसे तेज जाँच देता है।
A. (5R4) और (4R3) हैं पर (5R3) नहीं है/(5R4) and (4R3) hold but (5R3) does not
Step 1
Concept
(5<4+2), so (5R4) is true, and (4<3+2), so (4R3) is true.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (5R3), but (5<3+2) is false.
Step 3
Exam Tip
For inequalities with a fixed added number, a counterexample is a safe test. चरण 1: (5<4+2), इसलिए (5R4) सत्य है और (4<3+2), इसलिए (4R3) सत्य है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (5R3) चाहिए, पर (5<3+2) असत्य है। चरण 3: असमानता में जुड़ी नियत संख्या हो तो प्रतिवाद से जाँच करना सुरक्षित रहता है।
((1,2)) and ((2,3)) are in the relation because each has difference (1).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
A next-number relation is generally not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं क्योंकि दोनों में अंतर (1) है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (3-1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: पास वाली संख्या का संबंध सामान्यतः संक्रामक नहीं होता।
If \(a\mid b\), then (b=ak), and if \(b\mid c\), then (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
Then (c=(ak)l=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
In divisibility questions, writing the multiplication form reduces mistakes. चरण 1: यदि \(a\mid b\), तो (b=ak) और यदि \(b\mid c\), तो (c=bl)। चरण 2: तब (c=(ak)l=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\)। चरण 3: विभाज्यता वाले प्रश्न में गुणन रूप लिखने से गलती कम होती है।
A. क्योंकि ((3,4)) और ((4,3)) हैं पर ((3,3)) नहीं है/Because ((3,4)) and ((4,3)) are present but ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
((3,4)) and ((4,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((3,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs create the need for self-pairs, so always check them. चरण 1: ((3,4)) और ((4,3)) एक श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((3,3)) होना चाहिए, पर वह नहीं है। चरण 3: उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे हमेशा जाँचें।
A. हाँ, क्योंकि \(a^3\le b^3\) और \(b^3\le c^3\) से \(a^3\le c^3\) मिलता है/Yes, because \(a^3\le b^3\) and \(b^3\le c^3\) imply \(a^3\le c^3\)
Step 1
Concept
The comparison is between \(a^3\), \(b^3\), and \(c^3\) using the usual order.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^3\le b^3\) and \(b^3\le c^3\), then \(a^3\le c^3\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
In power-based relations, first identify the quantity being compared. चरण 1: यहाँ तुलना \(a^3\), \(b^3\), और \(c^3\) के सामान्य क्रम से हो रही है। चरण 2: यदि \(a^3\le b^3\) और \(b^3\le c^3\), तो \(a^3\le c^3\), इसलिए (aRc)। चरण 3: घातों वाले संबंध में पहले तुलना की मात्रा पहचानें।
\(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
In congruence relations, transitivity follows from adding differences. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है। चरण 2: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: सर्वांगसमता संबंध में संक्रामकता अंतरों के योग से सिद्ध होती है।
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) are present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
Even if all self-pairs are present, a missing required direct pair makes the relation non-transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में मौजूद हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी कोई जरूरी सीधी जोड़ी छूटे तो संबंध संक्रामक नहीं रहता।
In a long chain, apply transitivity in order and do not reverse direction. चरण 1: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। चरण 2: अब ((a,c)) और ((c,d)) से ((a,d)) मिलेगा। चरण 3: लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को क्रम से लगाएँ, दिशा न बदलें।
A. क्योंकि समान सम-विषम प्रकृति आगे भी समान रहती है/Because same parity remains same through the chain
Step 1
Concept
(a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (b+c) is even, then (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
For such questions, think using parity. चरण 1: (a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: (b+c) सम हो तो (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, इसलिए (a) और (c) की प्रकृति समान होगी। अतः (a+c) सम होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में संख्या की सम-विषम प्रकृति से सोचें।
((1,2)) is in the relation because (1+2=3) is odd. ((2,3)) is also in the relation because (2+3=5) is odd.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but (1+3=4) is even.
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample disproves transitivity. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1+2=3) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है क्योंकि (2+3=5) विषम है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (1+3=4) सम है। चरण 3: एक सही प्रतिवाद संक्रामकता को गलत सिद्ध कर देता है।
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\) से \(|a|\ge |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\) imply \(|a|\ge |c|\)
Step 1
Concept
The relation compares absolute values of numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\), then by the usual order \(|a|\ge |c|\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
Treat absolute value as the compared quantity and apply the order rule. चरण 1: संबंध में संख्याओं के परम मानों की तुलना हो रही है। चरण 2: यदि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\ge |c|\), इसलिए (aRc)। चरण 3: परम मान को अलग मात्रा मानकर क्रम नियम लगाएँ।
Complete an existing long reach by adding the direct pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,4)) होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: पहले से बनी लंबी पहुँच को छोटी सीधी जोड़ी से पूरा करें।
If \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\), then the lines have the same direction.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(l\parallel n\), so (lRn) holds.
Step 3
Exam Tip
In geometry relations, drawing a figure helps identify the common direction. चरण 1: यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो तीनों रेखाओं की दिशा समान होगी। चरण 2: इसलिए \(l\parallel n\), अर्थात (lRn) सत्य है। चरण 3: ज्यामिति संबंधों में चित्र बनाकर समान दिशा पहचानना आसान रहता है।
If (a) and (b) have the same date of birth, and (b) and (c) have the same date of birth, then (a) and (c) also have the same date of birth.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality are directly proved transitive. चरण 1: यदि (a) और (b) की जन्मतिथि समान है, तथा (b) और (c) की जन्मतिथि समान है, तो (a) और (c) की जन्मतिथि भी समान होगी। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है। चरण 3: समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सीधे सिद्ध होती है।
They require ((1,3)), which is missing. Adding it fixes this one failure, though another failure may also need checking.
Step 3
Exam Tip
When the question asks for one failure, focus on the given chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है। इसे जोड़ने से यह कमी पूरी होगी, हालांकि दूसरी कमी भी जाँची जा सकती है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पूछा गया हो कि एक कमी कौन-सी है, तो केवल उसी श्रृंखला पर ध्यान दें।
A. यह \(\le\) है और संक्रामक है/It is \(\le\) and is transitive
Step 1
Concept
(a=b) or (a<b) together mean \(a\le b\).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
First convert a combined statement into a simpler symbol. चरण 1: (a=b) या (a<b) मिलकर \(a\le b\) बनाते हैं। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संबंध संक्रामक है। चरण 3: संयुक्त कथन को पहले सरल संकेत में बदलें।
The relation uses the (<) order only among even numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c); if all are even, ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Even with an extra condition, check the basic order rule separately. चरण 1: संबंध में केवल सम संख्याओं के बीच (<) का क्रम लिया गया है। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c); और तीनों सम होने पर ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: अतिरिक्त शर्त के साथ भी मूल क्रम नियम को अलग से जाँचें।
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
(|1-2|=1), so ((1,2)) is in the relation. Also (|2-3|=1), so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(|1-3|=2), so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Bounded distance conditions often break transitivity. चरण 1: (|1-2|=1), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (|2-3|=1), इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। चरण 2: (|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: दूरी की सीमा वाली शर्तें अक्सर संक्रामकता तोड़ती हैं।
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के (4) से विभाज्य होने पर (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा/Because if (a-b) and (b-c) are divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4)
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
Similarly, if (b-c) is divisible by (4), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
Adding differences is the key idea in congruence. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। चरण 2: इसी तरह (b-c) भी (4) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (4) से विभाज्य होगा। चरण 3: सर्वांगसमता में अंतर जोड़ना मुख्य विचार है।
From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) is required, and it is present. From ((3,1)) and ((1,3)), ((3,3)) is required, and it is also present.
Step 2
Why this answer is correct
After ((2,4)), there is no pair starting with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
Every missing self-pair is not a transitivity failure. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 2: ((2,4)) के बाद (4) से शुरू होने वाली कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए नई जरूरत नहीं बनती। चरण 3: हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी संक्रामकता की कमी नहीं होती।
A. क्योंकि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\) से \(a^2=c^2\) मिलता है/Because \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\) imply \(a^2=c^2\)
Step 1
Concept
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), the two equalities give \(a^2=c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
In equality-based relations, connect the same quantity through equality. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो दोनों बराबरियाँ मिलकर \(a^2=c^2\) देती हैं। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है। चरण 3: बराबरी आधारित संबंध में समान मात्रा को जोड़कर सोचें।
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
((1,3)) is in the relation because \(1\le 3\) and (3-1=2). ((3,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,5)), (5-1=4), which exceeds the limit, so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Two small jumps can form a larger jump, so check bounded conditions carefully. चरण 1: ((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 3\) और (3-1=2)। ((3,5)) भी संबंध में है। चरण 2: ((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा से बाहर है, इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: दो छोटी छलाँगें मिलकर बड़ी छलाँग बना सकती हैं, इसलिए सीमा वाली शर्त जाँचें।
A. क्योंकि \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है/Because \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\)
Step 1
Concept
In the usual order, \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In order relations, keep the same direction and do not assume reverse order. चरण 1: सामान्य क्रम में \(a\le b\) और \(b\le c\) होने पर \(a\le c\) होता है। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: क्रम संबंधों में दिशा वही रखें, उल्टा क्रम मत मानें।
If (a>b) and (b>c), then by the usual order (a>c).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Both (>) and (<) are transitive when the direction is kept consistent. चरण 1: यदि (a>b) और (b>c), तो सामान्य क्रम से (a>c)। चरण 2: इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: (>) और (<) दोनों दिशा सही रखने पर संक्रामक होते हैं।
A. (3R2) और (2R1) हैं पर (3R1) नहीं है/(3R2) and (2R1) hold but (3R1) does not
Step 1
Concept
(3-2=1) is odd, and (2-1=1) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires (3R1), but (3-1=2) is even, so (3R1) does not hold.
Step 3
Exam Tip
When choosing a counterexample, both starting relations must be true. चरण 1: (3-2=1) विषम है और (2-1=1) भी विषम है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (3R1) चाहिए, लेकिन (3-1=2) सम है, इसलिए (3R1) नहीं है। चरण 3: प्रतिवाद चुनते समय दोनों आरंभिक संबंध सच होने चाहिए।
Same remainder means both numbers lie in the same parity class.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
For remainder relations, think in classes. चरण 1: समान शेष का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ एक ही सम-विषम वर्ग में हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। चरण 3: शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचें।
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) itself is required and present; ((3,3)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
Also check chains involving self-pairs carefully. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है; ((3,3)) से भी कोई कमी नहीं बनती। चरण 3: स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली श्रृंखलाएँ भी ध्यान से देखें।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
Converting the statement into a simpler form helps in relation questions. चरण 1: (a<b) या (a=b) का अर्थ \(a\le b\) है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: कथन को सरल रूप में बदलना संबंधों के प्रश्नों में मदद करता है।
A. नहीं, क्योंकि (1R(-1)) और ((-1)R1) हैं पर (1R1) नहीं है/No, because (1R(-1)) and ((-1)R1) hold but (1R1) does not
Step 1
Concept
(1+(-1)=0), so (1R(-1)), and ((-1)+1=0), so ((-1)R1).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires (1R1), but (1+1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
When reverse or opposite pairs appear, check the required self-pair. चरण 1: (1+(-1)=0), इसलिए (1R(-1)), और ((-1)+1=0), इसलिए ((-1)R1)। चरण 2: संक्रामकता के लिए (1R1) चाहिए, पर (1+1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: उल्टी या विपरीत जोड़ी दिखे तो स्वयंजोड़ी की जरूरत जाँचें।
Therefore ((1,4)) is required, but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Even when self-pairs are present, a later chain may still have a missing pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) संबंध में हैं। चरण 2: इसलिए ((1,4)) चाहिए, लेकिन यह संबंध में नहीं है। चरण 3: स्वयंजोड़ियाँ मौजूद हों तब भी आगे की श्रृंखला में कमी रह सकती है।
A. नहीं, क्योंकि (2R4) और (4R16) हैं पर (2R16) नहीं है/No, because (2R4) and (4R16) hold but (2R16) does not
Step 1
Concept
\(4=2^2\), so (2R4). Also \(16=4^2\), so (4R16).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (2R16), but \(16\ne 2^2\).
Step 3
Exam Tip
Applying a rule twice does not necessarily mean the same rule applies directly. चरण 1: \(4=2^2\), इसलिए (2R4)। \(16=4^2\), इसलिए (4R16)। चरण 2: संक्रामकता के लिए (2R16) चाहिए, पर \(16\ne 2^2\)। चरण 3: नियम दो बार लगाने पर वही नियम सीधे लागू हो, यह जरूरी नहीं होता।
The relation means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) and (c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
In classification-based relations, use the idea of the same class. चरण 1: संबंध का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है और (b) की प्रकृति (c) जैसी है, तो (a) और (c) की प्रकृति भी समान होगी। चरण 3: वर्गीकरण वाले संबंधों में समान वर्ग से संक्रामकता समझें।
A. नहीं, क्योंकि ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है/No, because ((2,3)) and ((3,4)) are present but ((2,4)) is not
Step 1
Concept
(\gcd(2,3)=1), and (\gcd(3,4)=1).
Step 2
Why this answer is correct
But (\gcd(2,4)=2), so ((2,4)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Coprimality may be symmetric, but it is not necessarily transitive. चरण 1: (2) और (3) का महत्तम समापवर्तक (1) है, और (3) तथा (4) का भी (1) है। चरण 2: लेकिन (2) और (4) का महत्तम समापवर्तक (2) है, इसलिए ((2,4)) संबंध में नहीं है। चरण 3: सहअभाज्य संबंध सममित हो सकता है, पर संक्रामक जरूरी नहीं।
C. (3R6) और (6R12) से (3R12) चाहिए और यह सत्य है/(3R6) and (6R12) require (3R12), and it is true
Step 1
Concept
(3R6) is true because (6) is divisible by (3), and (6R12) is true because (12) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires (3R12), and (12) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Choose a chain whose first two relations are both true. चरण 1: (3R6) सत्य है क्योंकि (6), (3) से विभाज्य है और (6R12) सत्य है क्योंकि (12), (6) से विभाज्य है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (3R12) चाहिए, और (12), (3) से विभाज्य है। चरण 3: जाँच के लिए ऐसी श्रृंखला चुनें जिसकी दोनों पहली जोड़ियाँ सच हों।
First convert the condition into a simple inequality. चरण 1: (a-b>0) का अर्थ है (a>b)। चरण 2: यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए (a-c>0)। चरण 3: पहले शर्त को सरल असमानता में बदलना अच्छा तरीका है।
If (b-a) and (c-b) are both divisible by (3), then (c-a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
In a two-condition relation, check order and divisibility separately. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (c-a) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: दो शर्तों वाले संबंध में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें।
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present; ((1,4)) and ((4,4)) require ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
Do not skip chains involving self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है; ((1,4)) और ((4,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। चरण 3: स्वयंजोड़ी के साथ बनने वाली श्रृंखलाओं को भी न छोड़ें।
If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then by the usual order \(a^2\le c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
When a relation compares a derived value, apply order to that value. चरण 1: यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो सामान्य क्रम से \(a^2\le c^2\)। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य होगा। चरण 3: जब संबंध किसी मान की तुलना से बना हो, तो उसी मान पर क्रम लगाएँ।
A. ((2,4)) और ((4,2)) हैं पर ((2,2)) नहीं है/((2,4)) and ((4,2)) are present but ((2,2)) is absent
Step 1
Concept
(2+4=6), so ((2,4)) is in the relation, and (4+2=6), so ((4,2)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((2,2)), but (2+2=4), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In a counterexample, the middle element must match. चरण 1: (2+4=6), इसलिए ((2,4)) संबंध में है और (4+2=6), इसलिए ((4,2)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((2,2)) चाहिए, लेकिन (2+2=4), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: प्रतिवाद में बीच वाला तत्व समान होना चाहिए।
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
In combined conditions, each condition must pass forward separately. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। चरण 2: यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। चरण 3: संयुक्त शर्तों में हर शर्त अलग से आगे बढ़नी चाहिए।
A. ((3,1)) और ((1,2)) हैं पर ((3,2)) नहीं है/((3,1)) and ((1,2)) are present but ((3,2)) is absent
Step 1
Concept
Both ((3,1)) and ((1,2)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((3,2)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Choose the failure where the first two pairs are true and the required third pair is absent. चरण 1: ((3,1)) और ((1,2)) दोनों संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((3,2)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: विकल्पों में वही कमी चुनें जहाँ पहली दोनों जोड़ियाँ सच हों और तीसरी गायब हो।
A. (4R3) और (3R2) हैं पर (4R2) नहीं है/(4R3) and (3R2) hold but (4R2) does not
Step 1
Concept
\(4\le 3+1\), so (4R3) is true. Also \(3\le 2+1\), so (3R2) is true.
Step 2
Why this answer is correct
But \(4\le 2+1\) is false, so (4R2) does not hold.
Step 3
Exam Tip
In relaxed inequalities, two small relaxations may break the direct rule. चरण 1: \(4\le 3+1\), इसलिए (4R3) सत्य है। \(3\le 2+1\), इसलिए (3R2) भी सत्य है। चरण 2: लेकिन \(4\le 2+1\) असत्य है, इसलिए (4R2) नहीं है। चरण 3: असमानता में ढील हो तो दो छोटी ढीलें मिलकर नियम तोड़ सकती हैं।
If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are less than (5). If ((b,c)) is also in the relation, then both (b) and (c) are less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (a) and (c) are both less than (5), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
For property-based relations, check whether the first and third elements keep the property. चरण 1: यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों (5) से छोटे हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (b) और (c) दोनों (5) से छोटे हैं। चरण 2: इससे (a) और (c) दोनों (5) से छोटे होंगे, इसलिए ((a,c)) संबंध में है। चरण 3: गुण पर बने संबंध में पहला और तीसरा तत्व उस गुण को रखते हैं या नहीं, यह देखें।
For real numbers, \(a^2+b^2=0\) occurs only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
The relation contains only a pair like ((0,0)), which does not break transitivity.
Step 3
Exam Tip
When the relation list is very small, write possible pairs directly. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। चरण 2: संबंध में केवल ((0,0)) जैसी जोड़ी आती है, और उससे संक्रामकता नहीं टूटती। चरण 3: बहुत छोटी संबंध-सूची होने पर संभावित जोड़ियाँ सीधे लिख लें।
For positive numbers, \(a\mid b\) and \(b\mid a\) imply (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
So this relation behaves like equality, and equality is transitive.
Step 3
Exam Tip
Understand two-way divisibility through equality. चरण 1: धनात्मक संख्याओं में \(a\mid b\) और \(b\mid a\) होने पर (a=b) होता है। चरण 2: इसलिए यह संबंध मूल रूप से बराबरी जैसा है, और बराबरी संक्रामक होती है। चरण 3: दोतरफा विभाज्यता को बराबरी से जोड़कर समझें।
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
Since \(1\ne 2\), ((1,2)) is in the relation, and since \(2\ne 1\), ((2,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,1)), but \(1\ne 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
The not-equal relation is not transitive; remember it through a counterexample. चरण 1: \(1\ne 2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है और \(2\ne 1\), इसलिए ((2,1)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर \(1\ne 1\) असत्य है। चरण 3: बराबर न होना संबंध संक्रामक नहीं होता, इसे प्रतिवाद से याद रखें।
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
The intersection of two transitive relations is transitive, but the union is not always transitive. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी हैं। चरण 2: (R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में भी होगा। चरण 3: दो संक्रामक संबंधों का प्रतिच्छेद संक्रामक रहता है, लेकिन संघ हमेशा नहीं।
