For transitivity, if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here, ((1,2)) and ((2,3)) imply ((1,3)), which is present. Other required cases also hold.
Step 3
Exam Tip
In exams, check only pairs where the second element of one pair matches the first element of another. चरण 1: संक्रामक होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी संबंध में है। बाकी आवश्यक जोड़ियाँ भी पूरी हैं। चरण 3: परीक्षा में ऐसी जाँच करते समय केवल उन जोड़ियों को देखें जिनका बीच वाला तत्व समान हो।
In transitivity, check only those pairs where the second pair starts with the second element of the first pair.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. Also ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
Missing self-pairs do not always break transitivity, so check only required chains. चरण 1: संक्रामकता में केवल उन जोड़ियों को जाँचना होता है जहाँ दूसरी जोड़ी पहली जोड़ी के दूसरे तत्व से शुरू हो। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) भी मौजूद है। चरण 3: स्वयंजोड़ियाँ न होने से हमेशा संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए जरूरी श्रृंखला ही देखें।
Transitivity requires \((1,3) \in R\), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
For such questions, identify a two-step path and add the direct ordered pair. चरण 1: \((1,2) \in R\) और \((2,3) \in R\) हैं। चरण 2: संक्रामकता के अनुसार \((1,3) \in R\) होना जरूरी है, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले दो-चरण वाली राह पहचानें, फिर सीधी जोड़ी जोड़ें।
Since ((1,2)) and ((2,4)) are in the relation, ((1,4)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,4)) also require ((1,4)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
When one missing pair is required in more than one way, add that pair first. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) संबंध में हैं, इसलिए ((1,4)) होना चाहिए। चरण 2: ((1,3)) और ((3,4)) से भी ((1,4)) चाहिए, पर यह नहीं है। चरण 3: जब एक ही छूटी जोड़ी कई तरीकों से बन रही हो, उसे पहले जोड़ना चाहिए।
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
For divisibility relations, add the differences to test transitivity quickly. चरण 1: यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) भी सत्य होगा। चरण 3: विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता जल्दी जाँची जा सकती है।
If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then \(a\ge c\), so \(a-c\ge 0\).
Step 3
Exam Tip
Converting an inequality relation into a simpler order form is a quick exam method. चरण 1: \(a-b\ge 0\) का अर्थ है \(a\ge b\)। चरण 2: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\), इसलिए \(a-c\ge 0\)। चरण 3: असमानता को सरल रूप में बदलकर जाँचना परीक्षा में तेज तरीका है।
A. क्योंकि (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है/Because (a<b) and (b<c) imply (a<c)
Step 1
Concept
Transitivity means two connected relations must imply a direct relation between the first and third elements.
Step 2
Why this answer is correct
For real numbers, (a<b) and (b<c) definitely imply (a<c).
Step 3
Exam Tip
In inequality questions, remember the direction on the number line. चरण 1: संक्रामकता में दो लगातार संबंधों से पहला और तीसरा तत्व जुड़ना चाहिए। चरण 2: वास्तविक संख्याओं में यदि (a<b) और (b<c), तो निश्चित रूप से (a<c)। चरण 3: असमानता वाले प्रश्नों में संख्या रेखा की दिशा याद रखें।
If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
For difference-based relations, adding the two differences is a useful transitivity check. चरण 1: यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो इनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य होगा। चरण 3: अंतर वाले संबंधों में दो अंतरों को जोड़ना संक्रामकता की अच्छी जाँच है।
A. यह संक्रामक संबंध है/It is a transitive relation
Step 1
Concept
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then by the order property \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
So (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
Both \(\le\) and (<) are transitive in the usual order. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो क्रम के नियम से \(a\le c\) होता है। चरण 2: इसलिए (aRc) भी सत्य है। चरण 3: \(\le\) और (<) दोनों सामान्य क्रम में संक्रामक होते हैं।
A. नहीं, क्योंकि ((1,5)) और ((5,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,5)) and ((5,1)) are present but ((1,1)) is absent
Step 1
Concept
Since (1+5=6), ((1,5)) is in the relation, and since (5+1=6), ((5,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,1)), but (1+1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
A relation that looks symmetric need not be transitive. चरण 1: (1+5=6), इसलिए ((1,5)) संबंध में है और (5+1=6), इसलिए ((5,1)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, लेकिन (1+1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: सममित दिखने वाला संबंध भी संक्रामक हो, यह जरूरी नहीं।
If \(a\mid b\), then (b=ak), and if \(b\mid c\), then (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
Then (c=(ak)l=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
For divides relations, use the multiplication form. चरण 1: यदि \(a\mid b\), तो (b=ak) और यदि \(b\mid c\), तो (c=bl) लिखा जा सकता है। चरण 2: तब (c=(ak)l=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\)। चरण 3: विभाजित करता है वाले संबंध में गुणन के रूप का उपयोग करें।
A. नहीं, क्योंकि (1R2) और (2R4) हैं पर (1R4) नहीं है/No, because (1R2) and (2R4) hold but (1R4) does not
Step 1
Concept
\(2=2\cdot 1\), so (1R2). Also \(4=2\cdot 2\), so (2R4).
Step 2
Why this answer is correct
If the relation were transitive, (1R4) would hold, but \(4\ne 2\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
In multiplication-based relations, two steps may change the rule, so check the direct pair. चरण 1: \(2=2\cdot 1\), इसलिए (1R2)। \(4=2\cdot 2\), इसलिए (2R4)। चरण 2: यदि संबंध संक्रामक होता, तो (1R4) होना चाहिए था, पर \(4\ne 2\cdot 1\)। चरण 3: गुणा आधारित संबंधों में दो कदम मिलाकर नियम बदल सकता है, इसलिए सीधी जोड़ी जरूर जाँचें।
Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
Here, ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. No other necessary chain appears.
Step 3
Exam Tip
A transitive relation need not contain all self-pairs. चरण 1: संक्रामकता केवल उन स्थितियों पर जाँची जाती है जहाँ ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। अन्य कोई जरूरी लगातार जोड़ी नहीं बनती। चरण 3: संक्रामक संबंध के लिए सभी स्वयंजोड़ियाँ होना जरूरी नहीं है।
If (b) is a multiple of (a), then (b=ak). If (c) is a multiple of (b), then (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
Then (c=(ak)l=a(kl)), so (c) is a multiple of (a).
Step 3
Exam Tip
For multiple and divisibility relations, writing the multiplication form is safest. चरण 1: यदि (b), (a) का गुणज है, तो (b=ak)। यदि (c), (b) का गुणज है, तो (c=bl)। चरण 2: तब (c=(ak)l=a(kl)), इसलिए (c), (a) का गुणज है। चरण 3: गुणज और विभाज्यता वाले संबंधों में गुणन का रूप लिखना सबसे सुरक्षित तरीका है।
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Because both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
Similarly, ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Both are missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs can create the need for self-pairs, so do not ignore them. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए। चरण 2: इसी तरह ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। चरण 3: उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे परीक्षा में न छोड़ें।
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) form a valid chain.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Existing self-pairs are not the problem; the real problem is the missing required direct pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) एक वैध श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर वह संबंध में नहीं है। चरण 3: मौजूद स्वयंजोड़ियाँ गलती नहीं हैं, असली गलती जरूरी सीधी जोड़ी का गायब होना है।
To break transitivity, two pairs like ((a,b)) and ((b,c)) must exist while ((a,c)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
In the empty relation, no ordered pair exists, so no counterexample can occur.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty relation is considered transitive. चरण 1: संक्रामकता टूटने के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसी दो जोड़ियाँ मौजूद होनी चाहिए और ((a,c)) न होना चाहिए। चरण 2: खाली संबंध में कोई जोड़ी ही नहीं है, इसलिए ऐसी विरोधी स्थिति बनती ही नहीं। चरण 3: खाली संबंध को संक्रामक मानना एक सामान्य परीक्षा बिंदु है।
In a long chain, apply transitivity step by step and do not assume reverse pairs. चरण 1: ((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। चरण 2: अब ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)) मिलेगा। चरण 3: लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को एक-एक करके लगाएँ, सीधे उल्टी जोड़ी न मानें।
A. क्योंकि (A) के हर दो तत्वों की जोड़ी संबंध में होती है/Because every ordered pair of elements of (A) is in the relation
Step 1
Concept
If \((a,b) \in A\times A\) and \((b,c) \in A\times A\), then \(a,c \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
In a universal relation, no required ordered pair is missing. चरण 1: यदि \((a,b) \in A\times A\) और \((b,c) \in A\times A\), तो \(a,c \in A\) हैं। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी \(A\times A\) में होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध में कोई आवश्यक जोड़ी छूटती नहीं, इसलिए संक्रामकता पूरी रहती है।
The relation contains all required ordered pairs in the increasing direction.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); all are present.
Step 3
Exam Tip
In a larger relation, check the main chains like a table. चरण 1: संबंध में ऊपर की दिशा वाली सभी जरूरी जोड़ियाँ दी गई हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मौजूद हैं। चरण 3: बड़े संबंध में मुख्य श्रृंखलाओं की जाँच तालिका की तरह करें।
When the increasing direction continues, the relation is transitive. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो क्रम के नियम से (a<c)। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी (R) में होगा। चरण 3: छोटे से बड़े की दिशा लगातार बनी रहे तो संबंध संक्रामक होता है।
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\) से \(|a|\le |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\) imply \(|a|\le |c|\)
Step 1
Concept
The comparison is between absolute values, not directly between the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then by the usual order \(|a|\le |c|\).
Step 3
Exam Tip
For absolute value relations, the same order rule applies to the compared quantities. चरण 1: यहाँ तुलना वास्तविक संख्याओं की नहीं, उनके परम मानों की हो रही है। चरण 2: यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\le |c|\)। चरण 3: परम मान वाले संबंध में भी वही क्रम नियम लागू होता है।
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
Since (|1-2|=1), \((1,2) \in R\). Since (|2-3|=1), \((2,3) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require ((1,3)), but (|1-3|=2), so it is not in (R).
Step 3
Exam Tip
Being consecutive does not guarantee transitivity. चरण 1: (|1-2|=1), इसलिए \((1,2) \in R\)। (|2-3|=1), इसलिए \((2,3) \in R\)। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (|1-3|=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: केवल पास-पास होना संक्रामकता की गारंटी नहीं देता।
C. नहीं, क्योंकि (3R2.5) और (2.5R2) हैं पर (3R2) नहीं है/No, because (3R2.5) and (2.5R2) hold but (3R2) does not
Step 1
Concept
(3<2.5+1), so (3R2.5) is true. Also (2.5<2+1), so (2.5R2) is true.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (3R2), but (3<2+1) is false.
Step 3
Exam Tip
When a fixed number is added in an inequality relation, using a counterexample is safer. चरण 1: (3<2.5+1), इसलिए (3R2.5) सत्य है। (2.5<2+1), इसलिए (2.5R2) भी सत्य है। चरण 2: संक्रामकता के लिए (3R2) चाहिए, पर (3<2+1) असत्य है। चरण 3: असमानता में नियत संख्या जुड़ी हो तो प्रतिवाद से जाँच करना अधिक सुरक्षित है।
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4))/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4))
Step 1
Concept
\(1\mid 2\) and \(2\mid 4\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
Then \(1\mid 4\) is also true, so ((1,4)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In a check, both starting pairs must actually be true; guessing is not enough. चरण 1: \(1\mid 2\) और \(2\mid 4\) दोनों सत्य हैं। चरण 2: तब \(1\mid 4\) भी सत्य है, इसलिए ((1,4)) संबंध में होगा। चरण 3: जाँच में दोनों आरंभिक जोड़ियाँ सच होनी चाहिए, केवल अनुमान काफी नहीं है।
((1,2)) is in the relation because \(1\le 2\) and (2-1=1). Also ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Relations with a closeness condition are often not transitive. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 2\) और (2-1=1)। ((2,3)) भी संबंध में है। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर (3-1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: निकटता की शर्त वाले संबंध अक्सर संक्रामक नहीं होते।
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required, and it is also present. Self-pairs create no missing requirement.
Step 3
Exam Tip
For small relations, check each possible chain systematically. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। स्वयंजोड़ियों से कोई नई कमी नहीं आती। चरण 3: छोटे संबंधों में हर संभव लगातार जोड़ी को व्यवस्थित रूप से देखें।
A. यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\)/If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\)
Step 1
Concept
In divisibility, \(a\mid b\) means (b=ak).
Step 2
Why this answer is correct
If \(b\mid c\), then (c=bl), so (c=a(kl)), which means \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
In proof-based questions, writing the definition in algebraic form is best. चरण 1: विभाज्यता में \(a\mid b\) का अर्थ है (b=ak)। चरण 2: यदि \(b\mid c\), तो (c=bl), इसलिए (c=a(kl)), यानी \(a\mid c\)। चरण 3: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में परिभाषा को बीजगणित रूप में लिखना सबसे अच्छा रहता है।
From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is also required, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
In a chain, finding the missing direct pair is the key to transitivity. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए, लेकिन यह अनुपस्थित है। चरण 3: लंबी श्रेणी में छूटी हुई सीधी जोड़ी खोजना संक्रामकता का मुख्य काम है।
A. क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/Because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
The given pairs include both ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but it is not given.
Step 3
Exam Tip
Even with all self-pairs present, a missing chain pair can make the relation non-transitive. चरण 1: दी गई जोड़ियों में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, पर वह नहीं दिया गया है। चरण 3: सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी बीच की श्रृंखला की कमी संबंध को असंक्रामक बना सकती है।
A. क्योंकि (a) और (b) की समान सम-विषम प्रकृति तथा (b) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति से (a) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति मिलती है/Because same parity of (a,b) and same parity of (b,c) imply same parity of (a,c)
Step 1
Concept
(a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) being even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
For parity relations, think in terms of same or different parity. चरण 1: (a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों सम-विषम दृष्टि से समान हैं। चरण 2: (b+c) सम होने पर (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, इसलिए (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। तब (a+c) सम होगा। चरण 3: सम-विषम संबंधों में समान प्रकृति को जोड़कर सोचें।
\(a \equiv b \pmod{5}\) means (a-b) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (b-c) is also divisible by (5), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
For congruence relations, remember the sum of differences. चरण 1: \(a \equiv b \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (5) से विभाज्य है। चरण 2: (b-c) भी (5) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: सर्वांगसमता वाले संबंध में अंतरों का योग याद रखें।
A. नहीं, क्योंकि (1R2) और (2R3) हैं लेकिन (1R3) नहीं है/No, because (1R2) and (2R3) hold but (1R3) does not
Step 1
Concept
(1+2=3) is odd, so (1R2). Also, (2+3=5) is odd, so (2R3).
Step 2
Why this answer is correct
But (1+3=4) is even, so (1R3) does not hold.
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample is enough to disprove transitivity. चरण 1: (1+2=3) विषम है, इसलिए (1R2)। (2+3=5) विषम है, इसलिए (2R3)। चरण 2: लेकिन (1+3=4) सम है, इसलिए (1R3) नहीं है। चरण 3: एक सही प्रतिवाद संक्रामकता को गलत सिद्ध करने के लिए काफी होता है।
\(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
Thinking in parity classes makes such questions quick. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है और (b) की प्रकृति (c) जैसी है, तो (a) और (c) की प्रकृति भी समान होगी। चरण 3: सम-विषम वर्गों में सोचने से ऐसे प्रश्न तुरंत हल होते हैं।
A. यह संक्रामक नहीं है क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/It is not transitive because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
Both ((1,2)) and ((2,3)) belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
Having self-pairs alone does not guarantee transitivity. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) दोनों संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। चरण 3: स्वयंजोड़ियाँ होने से अकेले संक्रामकता निश्चित नहीं होती।
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is present
Step 1
Concept
A correct transitivity check must start with two pairs that actually belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,4)) are present, and the required ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
Do not build an argument from pairs that are not given in the relation. चरण 1: संक्रामकता की सही जाँच में दोनों प्रारंभिक जोड़ियाँ संबंध में होनी चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं और उनसे जरूरी ((1,4)) भी मौजूद है। चरण 3: उन जोड़ियों से तर्क न बनाएँ जो संबंध में दी ही नहीं गई हैं।
If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then by order property \(a\ge c\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
The usual order \(\ge\) is transitive just like \(\le\). चरण 1: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो क्रम के नियम से \(a\ge c\)। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी संबंध में होगा। चरण 3: \(\ge\) वाला सामान्य क्रम भी \(\le\) की तरह संक्रामक होता है।
If (a) and (b) have the same age, and (b) and (c) have the same age, then (a) and (c) also have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality are usually proved transitive directly. चरण 1: यदि (a) और (b) की आयु समान है तथा (b) और (c) की आयु समान है, तो (a) और (c) की आयु भी समान होगी। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है। चरण 3: समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सामान्यतः सीधी तरह सिद्ध होती है।
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), which is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
Missing self-pairs do not always break transitivity; the key issue is the missing required direct pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) लगातार जोड़ियाँ हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) जरूरी है, जो संबंध में नहीं है। चरण 3: स्वयंजोड़ियों की कमी हर बार संक्रामकता को नहीं तोड़ती, असली कमी आवश्यक सीधी जोड़ी की होती है।
A. क्योंकि यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो \(l\parallel n\)/Because if \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\), then \(l\parallel n\)
Step 1
Concept
In the same plane, if two distinct lines are parallel to the same line, they are parallel to each other.
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) imply \(l\parallel n\).
Step 3
Exam Tip
In geometry-based relations, drawing a figure helps you understand common direction. चरण 1: एक ही तल में यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर हों, तो वे आपस में भी समांतर होती हैं। चरण 2: इसलिए \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\) से \(l\parallel n\) मिलता है। चरण 3: ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर दिशा की समानता समझना उपयोगी रहता है।
Transitivity gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a=5), (b=7), and (c=9), so \((5,9) \in R\).
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the order; transitivity is not symmetry. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 2: यहाँ (a=5), (b=7), (c=9) हैं, इसलिए \((5,9) \in R\)। चरण 3: क्रम उल्टा न करें, क्योंकि संक्रामकता सममितता नहीं है।
The relation uses the less-than order only among odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c), and all three remain odd. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
Even with an extra condition, apply the basic order rule carefully. चरण 1: संबंध में केवल विषम संख्याओं के बीच छोटा-से-बड़ा क्रम लिया गया है। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), और तीनों विषम ही रहेंगे। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: अतिरिक्त शर्त हो तो भी मूल क्रम नियम को ध्यान से लागू करें।
In cyclic-looking pairs, carefully check the direct pair formed by every two consecutive steps. चरण 1: ((3,1)) और ((1,2)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((3,2)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। चरण 3: चक्र जैसी जोड़ियों में हर दो लगातार कदम से बनने वाली सीधी जोड़ी ध्यान से देखें।
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) is odd, so ((1,2)) is in the relation. Also (2+3=5) is odd, so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,3)), (1+3=4), which is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must fail. चरण 1: (1+2=3) विषम है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (2+3=5) विषम है, इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। चरण 2: ((1,3)) के लिए (1+3=4), जो सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: प्रतिवाद में दोनों पहली जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी गलत होनी चाहिए।
In equality-based relations, equality of the same quantity passes forward. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो दोनों से \(a^2=c^2\) मिलेगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य है। चरण 3: बराबरी आधारित संबंधों में समान मात्रा की बराबरी आगे तक जाती है।
A. हर दो-चरण वाली जरूरी जोड़ी पहले से मौजूद है/Every required two-step pair is already present
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,4)) also require ((1,4)). All these pairs are present.
Step 3
Exam Tip
A relation without self-pairs can still be transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलना चाहिए। चरण 2: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। ये सभी जोड़ियाँ मौजूद हैं। चरण 3: बिना स्वयंजोड़ियों वाला संबंध भी संक्रामक हो सकता है।
If (P) and (Q) have the same (x)-coordinate, and (Q) and (S) have the same (x)-coordinate, then (P) and (S) also have the same (x)-coordinate.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (P R S) is true.
Step 3
Exam Tip
Relations based on the same property are often transitive, but always justify it. चरण 1: यदि (P) और (Q) का (x)-निर्देशांक समान है, और (Q) तथा (S) का (x)-निर्देशांक समान है, तो (P) और (S) का (x)-निर्देशांक भी समान होगा। चरण 2: इसलिए (P R S) सत्य है। चरण 3: समान गुण पर बने संबंध प्रायः संक्रामक होते हैं, पर हर बार तर्क जरूर लिखें।
If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
In relations with combined conditions, check each condition separately. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: संयुक्त शर्तों में हर शर्त को अलग-अलग जाँचें।
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं लेकिन ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
((1,2)) is in the relation because (1+1=2). ((2,3)) is also in the relation because (2+1=3).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but (1+1=3) is false.
Step 3
Exam Tip
A next-number relation is generally not transitive. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1+1=2)। ((2,3)) भी संबंध में है क्योंकि (2+1=3)। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (1+1=3) सत्य नहीं है। चरण 3: लगातार अगली संख्या वाला संबंध सामान्यतः संक्रामक नहीं होता।
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present. From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and also present.
Step 2
Why this answer is correct
Other required pairs involving self-pairs are already given.
Step 3
Exam Tip
Making a small table helps avoid missing such pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो भी मौजूद है। चरण 2: स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली बाकी जरूरी जोड़ियाँ पहले से दी गई हैं। चरण 3: छोटी तालिका बनाकर जाँचने से ऐसी जोड़ियाँ छूटती नहीं हैं।
