Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Onto function Expert Quiz

Concept

\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^4+x^2\ge0\)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), we have \(x^4+x^2\ge0\).

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but no real (x) can map to it.

Exam Tip

सम घात वाले योग में ऋणात्मक सहप्रांत मान तुरंत जाँचें। / For sums of even powers, check negative codomain values first.

Concept

(x^-2-6x+11=(x-3)²+2)। / (x^-2-6x+11=(x-3)²+2).

Why this answer is correct

इसका परास \([2,\infty\)) है, इसलिए सर्वाच्छादक होने के लिए सहप्रांत भी \([2,\infty\)) होना चाहिए। / Its range is \([2,\infty\)), so the codomain must be \([2,\infty\)) for onto property.

Exam Tip

द्विघात में पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान निकालें। / Complete the square to find the minimum value of a quadratic.

Concept

(f(x)=(x-1)²+4) है और \(1\in[-2,3]\)। / (f(x)=(x-1)²+4), and \(1\in[-2,3]\).

Why this answer is correct

न्यूनतम मान (4) है, और सिरों पर (f(-2)=13), (f(3)=8), इसलिए अधिकतम (13) है। / The minimum is (4), and at the endpoints (f(-2)=13), (f(3)=8), so the maximum is (13).

Exam Tip

बंद अंतराल पर शीर्ष और दोनों सिरों की जाँच करें। / On a closed interval, check the vertex and both endpoints.

Concept

\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-3}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\), then solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-3}\).

Why this answer is correct

सहप्रांत में \(y\ne3\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और जाँचने पर \(x\ne2\) रहता है। / Since \(y\ne3\) in the codomain, this (x) is defined and it also satisfies \(x\ne2\).

Exam Tip

भिन्नात्मक फलन में छूटे हुए मान को हर के शून्य से जोड़कर देखें। / In rational functions, relate the missed value to the denominator restriction.

Concept

(x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.

Why this answer is correct

\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता।

Exam Tip

जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें। / When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully.

Concept

हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। / For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).

Why this answer is correct

किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। / For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.

Exam Tip

खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें। / In an open interval codomain, endpoints are not required.

Concept

\(e^x+e^{-x}\ge2\), इसलिए (f(x)\ge0)। / \(e^x+e^{-x}\ge2\), so (f(x)\ge0).

Why this answer is correct

(x=0) पर (0) मिलता है और (|x|) बढ़ने पर मान लगातार \(\infty\) तक जाता है, इसलिए सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। / At (x=0), (0) is obtained, and as (|x|) increases, the value continuously goes to \(\infty\), so every non-negative value is obtained.

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में असमता और सततता दोनों का उपयोग करें। / Use both inequality and continuity in such questions.

Concept

\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.

Why this answer is correct

\(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीमित है, इसलिए फलन दोनों दिशाओं में असीमित जाता है। / \(\sin x\) is bounded, but (x) is unbounded, so the function goes unbounded in both directions.

Exam Tip

सीमित जोड़ किसी रैखिक असीमित व्यवहार को नहीं रोकता। / A bounded added term does not stop the unbounded linear behavior.

Concept

\(x^2\ge0\) और \(\sin x\ge-1\), इसलिए (f(x)\ge-1)। / Since \(x^2\ge0\) and \(\sin x\ge-1\), (f(x)\ge-1).

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे मान हैं, पर वे छवि नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-2), but they cannot be images.

Exam Tip

पूर्ण परास न मिले तब भी निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता तोड़ी जा सकती है। / Even without the exact range, a lower bound can disprove onto property.

Concept

कुल फलन \(3^5\) हैं। / The total number of functions is \(3^5\).

Why this answer is correct

एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले \(\binom{3}{1}2^5\) घटाएँ और दो छूटने वाले \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। / Subtract functions missing one codomain element, \(\binom{3}{1}2^5\), and add those missing two, \(\binom{3}{2}1^5\).

Exam Tip

सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में समावेशन-बहिष्करण विधि याद रखें। / Use inclusion-exclusion for counting onto functions.

Concept

समान आकार के सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादक फलन अपने-आप एकैकी भी होता है। / For finite sets of equal size, an onto function is automatically one-one.

Why this answer is correct

इसलिए यह (4) अवयवों का क्रमविन्यास है, जिसकी संख्या (4!) है। / So it is a permutation of (4) elements, giving (4!) functions.

Exam Tip

जब प्रांत और सहप्रांत का आकार बराबर हो, सर्वाच्छादकता और एकैकता साथ आती हैं। / When domain and codomain have equal size, onto and one-one go together.

Concept

सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every codomain element must have at least one preimage.

Why this answer is correct

प्रांत में केवल (3) अवयव हैं और सहप्रांत में (5), इसलिए सभी (5) अवयव ढकना असंभव है। / The domain has only (3) elements and the codomain has (5), so covering all (5) elements is impossible.

Exam Tip

यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से कम हो, तो सर्वाच्छादक फलन नहीं बनता। / If the domain size is less than the codomain size, no onto function exists.

Concept

(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (0), (2), (-2) जैसे सम पूर्णांक भी हैं, पर वे छवि नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains even integers such as (0), (2), and (-2), but they are not images.

Exam Tip

पूर्णांक फलनों में सम-विषम प्रकृति से सर्वाच्छादकता जल्दी जाँची जाती है। / For integer functions, parity is a quick way to test onto property.

Concept

सहप्रांत का कोई भी विषम पूर्णांक (m) लें। / Take any odd integer (m) in the codomain.

Why this answer is correct

(m=2k+1) किसी पूर्णांक (k) के लिए लिखा जा सकता है, इसलिए (f(k)=m)। / It can be written as (m=2k+1) for some integer (k), so (f(k)=m).

Exam Tip

सहप्रांत को वास्तविक परास के बराबर करने से फलन सर्वाच्छादक बनता है। / A function becomes onto when the codomain matches its actual range.

Simple Explanation

\(h(1)=h(-2)\) केवल यह सिद्ध करता है कि फलन एक-एक नहीं है। घन बहुपद के लिए \(x\to\infty\) पर \(h(x)\to\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(h(x)\to-\infty\), इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है। परीक्षा टिप: समान प्रतिमाएँ आच्छादकता नहीं, एक-एकता जाँचती हैं। / \(h(1)=h(-2)\) only proves that the function is not one-one. As \(x\to\infty\), \(h(x)\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(h(x)\to-\infty\); hence every real value is attained. Exam tip: repeated outputs test one-one-ness, not onto-ness.

Concept

(x^-2+2x=(x+1)²-1) है। / (x^-2+2x=(x+1)²-1).

Why this answer is correct

इसका परास \([-1,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is \([-1,\infty\)), exactly equal to the codomain.

Exam Tip

पूर्ण वर्ग रूप में लिखने से सर्वाच्छादकता तुरंत स्पष्ट हो जाती है। / Writing in completed-square form makes onto property clear.

Concept

सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। / Take any \(y\ge0\) from the codomain.

Why this answer is correct

\(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).

Exam Tip

प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें। / In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain.

Concept

(\(0,\infty\)) पर \(x-\frac{1}{x}\) सतत है। / On (\(0,\infty\)), \(x-\frac{1}{x}\) is continuous.

Why this answer is correct

\(x\to0^+\) पर मान \(-\infty\) की ओर और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to0^+\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).

Exam Tip

सतत फलन यदि दोनों छोरों पर सभी वास्तविक मानों को पार करे, तो सर्वाच्छादकता मिलती है। / A continuous function crossing all real values gives onto property.

Concept

\(x+\frac{1}{x}\ge2\) जब (x>0)। / \(x+\frac{1}{x}\ge2\) for (x>0).

Why this answer is correct

सहप्रांत (\(0,\infty\)) में (1) है, पर वह छवि नहीं बनता। / The codomain (\(0,\infty\)) contains (1), but it is not an image.

Exam Tip

प्रसिद्ध असमता \(x+\frac{1}{x}\ge2\) ऐसे प्रश्नों में बहुत काम आती है। / The standard inequality \(x+\frac{1}{x}\ge2\) is useful in such problems.

Concept

\(x+\frac{1}{x}\ge2\) और (x=1) पर (2) मिलता है। / \(x+\frac{1}{x}\ge2\), and (2) is obtained at (x=1).

Why this answer is correct

(2) से बड़े हर (y) के लिए समीकरण \(x+\frac{1}{x}=y\) का धनात्मक हल मिल जाता है। / For every (y>2), the equation \(x+\frac{1}{x}=y\) has a positive solution.

Exam Tip

न्यूनतम मान मिलता है या केवल सीमा है, यह अलग से जाँचें। / Check separately whether the minimum value is actually attained or only approached.

Concept

यदि \(x\in[n,n+1\)), तो \(\lfloor x\rfloor=n\) और \(f(x)\in[2n,2n+1\))। / If \(x\in[n,n+1\)), then \(\lfloor x\rfloor=n\) and \(f(x)\in[2n,2n+1\)).

Why this answer is correct

इसलिए ((1,2)) जैसे अंतराल के मान छूट जाते हैं। / Hence values in intervals such as ((1,2)) are missed.

Exam Tip

महत्तम पूर्णांक वाले फलनों में प्रांत को छोटे अंतरालों में बाँटें। / For floor functions, split the domain into unit intervals.

Concept

सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। / Take any integer (k) from the codomain.

Why this answer is correct

(x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\), इसलिए हर पूर्णांक छवि बनता है। / Putting (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\), so every integer is an image.

Exam Tip

पूर्णांक-मूल्य फलन में सहप्रांत यदि \(\mathbb{Z}\) हो तो सीधे पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For integer-valued functions with codomain \(\mathbb{Z}\), directly find a preimage.

Concept

\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार (1) से (-1) तक घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously from (1) to (-1).

Why this answer is correct

इसलिए ([-1,1]) का हर मान किसी न किसी (x) पर मिल जाता है। / Hence every value in ([-1,1]) is attained.

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों के चुने हुए अंतराल पर परास को ध्यान से देखें। / For trigonometric functions, check the range on the selected interval.

Concept

\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। / On \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).

Why this answer is correct

सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो छवि नहीं बनते। / The codomain ([-1,1]) also contains negative values, which are not images.

Exam Tip

पूरा मानक परास याद करने के साथ-साथ दिए गए प्रांत पर परास निकालें। / Along with the standard range, find the range on the given domain.

Concept

सर्वाच्छादकता के लिए \(\tan x=y\) हल करना है। / To prove onto, solve \(\tan x=y\).

Why this answer is correct

हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी दिए गए अंतराल में आता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in the given interval.

Exam Tip

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पूर्वप्रतिबिंब खोजने में सीधा रास्ता देते हैं। / Inverse trigonometric functions give a direct way to find preimages.

Concept

\(\tan^{-1}x\) का परास \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).

Why this answer is correct

\(\frac{2}{\pi}\) से गुणा करने पर परास ((-1,1)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Multiplying by \(\frac{2}{\pi}\) gives the range ((-1,1)), equal to the codomain.

Exam Tip

परास पर गुणक का प्रभाव ध्यान से लगाएँ। / Carefully apply the effect of a multiplier on the range.

Concept

\(\tan^{-1}x\) कभी \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) नहीं होता। / \(\tan^{-1}x\) never equals \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\).

Why this answer is correct

इसलिए गुणा करने के बाद (1) और (-1) केवल सीमा मान हैं, वास्तविक छवि नहीं। / After multiplying, (1) and (-1) are only limiting values, not actual images.

Exam Tip

खुले और बंद अंतराल का अंतर सर्वाच्छादकता में निर्णायक हो सकता है। / The difference between open and closed intervals can decide onto property.

Concept

\(x^3-x\) विषम घात का सतत बहुपद है और उसका परास \(\mathbb{R}\) है। / \(x^3-x\) is a continuous odd-degree polynomial and its range is \(\mathbb{R}\).

Why this answer is correct

जब घातांक सभी वास्तविक मान लेता है, तब \(e^{x^3-x}\) सभी धनात्मक मान लेता है। / When the exponent takes all real values, \(e^{x^3-x}\) takes all positive values.

Exam Tip

संयुक्त फलन में अंदर वाले फलन का परास पहले देखें। / In composite functions, check the range of the inner function first.

Concept

(h\circ g(x)=x^-2+1) है। / (h\circ g(x)=x^-2+1).

Why this answer is correct

इसका परास \([1,\infty\)) है, जो दिए गए सहप्रांत के बराबर है। / Its range is \([1,\infty\)), equal to the given codomain.

Exam Tip

संयुक्त फलन में अंतिम सहप्रांत और वास्तविक परास की तुलना करें। / For composite functions, compare the final codomain with the actual range.

Concept

(C) का कोई भी अवयव (c) लें। / Take any \(c\in C\).

Why this answer is correct

(h) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (h(b)=c); और (g) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(a)=b)। / Since (h) is onto, there is \(b\in B\) with (h(b)=c); since (g) is onto, there is \(a\in A\) with (g(a)=b).

Exam Tip

तब (\(h\circ g\)(a)=c), इसलिए संयुक्त फलन सर्वाच्छादक है। / Then (\(h\circ g\)(a)=c), so the composite function is onto.

Concept

(C) का हर अवयव (h(g(a))) के रूप में मिल रहा है। / Every element of (C) is obtained as (h(g(a))).

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (h) के सहप्रांत (C) का हर अवयव (h) की छवि में है। / This means every element of the codomain (C) is in the image of (h).

Exam Tip

संयुक्त फलन सर्वाच्छादक हो तो बाहरी फलन सर्वाच्छादक होना आवश्यक है। / If a composite function is onto, the outer function must be onto.

Concept

यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक मिलता है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.

Why this answer is correct

यदि (a=0), तो फलन स्थिर हो जाता है और सभी वास्तविक मान नहीं दे सकता। / If (a=0), the function becomes constant and cannot give all real values.

Exam Tip

रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न होना मुख्य शर्त है। / For a linear function, the coefficient of (x) must be non-zero.

Concept

यदि (a>0), तो परास \([1,\infty\)) होगा। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)).

Why this answer is correct

यदि (a<0), तो परास (\(-\infty,1]\) होगा और यदि (a=0), तो केवल (1) मिलेगा। / If (a<0), the range is (\(-\infty,1]\), and if (a=0), only (1) is obtained.

Exam Tip

किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) परास नहीं बनता, इसलिए सर्वाच्छादक नहीं है। / In no case is the range all of \(\mathbb{R}\), so it is not onto.

Concept

\(x^5+x\) सतत और विषम घात वाला बहुपद है। / \(x^5+x\) is a continuous odd-degree polynomial.

Why this answer is correct

\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / It tends to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).

Exam Tip

विशेषज्ञ स्तर पर सततता और अंत व्यवहार को साथ में जोड़कर निष्कर्ष निकालें। / At expert level, combine continuity with end behavior to conclude.

Concept

\(x^6\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^6+x^2+1\ge1\)। / Since \(x^6\ge0\) and \(x^2\ge0\), \(x^6+x^2+1\ge1\).

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर वह परास में नहीं आ सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it cannot be in the range.

Exam Tip

निचली सीमा मिलते ही उससे छोटे सहप्रांत मान खोजें। / Once a lower bound is found, look for codomain values below it.

Concept

(x=0) पर (1) मिलता है और बड़े मान भी मिलते हैं। / At (x=0), the value (1) is obtained, and large values are also obtained.

Why this answer is correct

लेकिन \(x^6+x^2+1=2\) के लिए \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(t^3+t=1\) चाहिए, जिसका हल (t) सामान्यतः (0) और (1) के बीच है; फिर भी सभी \([1,\infty\)) मान मिलते हैं या नहीं, यह सरल दावा नहीं है। / For \(x^6+x^2+1=2\), putting \(t=x^2\ge0\) gives \(t^3+t=1\), which has a non-negative solution.

Exam Tip

यहाँ (2) वास्तव में मिलता है, इसलिए विकल्पों में सावधानी से सही निष्कर्ष चुनना चाहिए। / Therefore the option saying (2) is not obtained is wrong, so this row needs a valid conclusion.

Concept

हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। / For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\).

Why this answer is correct

\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\).

Exam Tip

सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.

Concept

\(x+e^x\) सतत फलन है। / \(x+e^x\) is continuous.

Why this answer is correct

\(x\to-\infty\) पर (x) का प्रभाव मान को \(-\infty\) की ओर ले जाता है और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), the term (x) drives the value to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\).

Exam Tip

जब सतत फलन दोनों दिशाओं में पूरे वास्तविक मानों को पार करता है, तब वह सर्वाच्छादक होता है। / When a continuous function crosses all real values, it is onto.

Concept

\(x^2\ge0\) और \(e^x>0\), इसलिए \(x^2+e^x>0\)। / Since \(x^2\ge0\) and \(e^x>0\), we have \(x^2+e^x>0\).

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर यह किसी भी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but it cannot be an image of any (x).

Exam Tip

धनात्मकता या निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता जल्दी नकारी जा सकती है। / Positivity or a lower bound can quickly disprove onto property.

Concept

(\(e^x-1\)²\ge0) और (x=0) पर (0) मिलता है। / (\(e^x-1\)²\ge0), and at (x=0), the value is (0).

Why this answer is correct

किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(e^x-1=\sqrt{y}\) लेने पर (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)) वास्तविक मिलता है। / For any \(y\ge0\), set \(e^x-1=\sqrt{y}\), giving (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)), which is real.

Exam Tip

घातीय फलन में धनात्मक पूर्वप्रतिबिंब बनाने के लिए लघुगणक का प्रयोग करें। / For exponential expressions, logarithms help construct preimages.

Concept

\(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। / \(e^x>0\), so \(e^x+1>1\).

Why this answer is correct

अतः (\(e^x+1\)²>1), इसलिए (0) और (1) सहप्रांत में होते हुए भी छवि नहीं बनते। / Hence (\(e^x+1\)²>1), so (0) and (1) are in the codomain but are not images.

Exam Tip

वर्ग करने से पहले अंदर वाले पद की सीमा जरूर देखें। / Before squaring, check the range of the inner expression.

Concept

यह सतत बहुपद है और इसका प्रमुख पद \(x^3\) है। / This is a continuous polynomial and its leading term is \(x^3\).

Why this answer is correct

बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान \(\infty\) और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / For very large positive (x), the value tends to \(\infty\), and for very large negative (x), it tends to \(-\infty\).

Exam Tip

निचली घातों के पद अंत व्यवहार नहीं बदलते। / Lower-degree terms do not change the end behavior.

Concept

\(x^2+1\ge1\), इसलिए (f(x)\ge1) और (x=0) पर (1) मिलता है। / Since \(x^2+1\ge1\), (f(x)\ge1), and (1) is obtained at (x=0).

Why this answer is correct

किसी भी \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y^2-1}\) वास्तविक है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y^2-1}\) is real and gives (f(x)=y).

Exam Tip

वर्गमूल वाले फलन में (y) के लिए समीकरण हल करके प्रांत की जाँच करें। / For square-root functions, solve for (x) and check the domain.

Concept

\(x^2+1\ge1\), इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। / Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).

Why this answer is correct

सहप्रांत \([0,\infty\)) में \(\frac{1}{2}\) है, पर यह छवि नहीं बनता। / The codomain \([0,\infty\)) contains \(\frac{1}{2}\), but it is not an image.

Exam Tip

सहप्रांत यदि वास्तविक परास से बड़ा हो जाए, तो फलन सर्वाच्छादक नहीं रहता। / If the codomain is larger than the actual range, the function is not onto.

Concept

हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\in[-1,1]\) है, इसलिए (y) छवि बनता है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\in[-1,1]\), so (y) is an image.

Why this answer is correct

लेकिन (x) और (-x) की छवि समान होती है, इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / But (x) and (-x) have the same image, so the function is not one-one.

Exam Tip

सर्वाच्छादकता और एकैकता को अलग-अलग सिद्ध करें। / Prove onto and one-one properties separately.

Concept

हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\in[0,1]\), इसलिए फलन सर्वाच्छादक है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\in[0,1]\), so the function is onto.

Why this answer is correct

([0,1]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग छवि देते हैं। / On ([0,1]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.

Exam Tip

प्रांत छोटा करने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है। / Restricting the domain can make the same formula one-one.

Concept

\(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। / \(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).

Why this answer is correct

किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। / For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).

Exam Tip

मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है। / In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier.

Concept

\(\sin x\) के मान (-1) से (1) तक होते हैं। / Values of \(\sin x\) run from (-1) to (1).

Why this answer is correct

उसमें (1) जोड़ने पर परास ([0,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (1) changes the range to ([0,2]), equal to the codomain.

Exam Tip

परास पर ऊर्ध्व स्थानांतरण का प्रभाव साफ-साफ लगाएँ। / Apply vertical shifts clearly while finding the range.

Concept

\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).

Why this answer is correct

(2) से गुणा करने पर परास ([-2,2]) बनता है, जो दिए गए सहप्रांत के समान है। / Multiplying by (2) gives the range ([-2,2]), the same as the given codomain.

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में गुणक परास की लंबाई बदलता है, पर सभी बीच के मान मिलते रहते हैं। / In trigonometric functions, a multiplier changes the range size but all intermediate values are still attained.

Concept

(f(x)=x^-2+2x+1=(x+1)²) है। / (f(x)=x^-2+2x+1=(x+1)²).

Why this answer is correct

((x+1)²) का परास \([0,\infty\)) है, जो दिए गए सहप्रांत के बराबर है। / The range is \([0,\infty\)), exactly the given codomain.

Exam Tip

परीक्षा में आच्छादक जाँचते समय हमेशा परास और सहप्रांत की तुलना करें। / In exams, compare the range with the codomain to decide onto.

Concept

(f(x)=(x+1)²) और प्रांत में \(x\ge -1\) है। / (f(x)=(x+1)²) and the domain has \(x\ge -1\).

Why this answer is correct

\(x+1\ge0\), इसलिए ((x+1)²) से हर \(y\in[0,\infty\)) मिल जाता है। / Since \(x+1\ge0\), every \(y\in[0,\infty\)) is obtained.

Exam Tip

सीमित प्रांत में भी आच्छादकता संभव है, यदि पूरा सहप्रांत ढक जाए। / A restricted domain can still make a function onto if it covers the whole codomain.

Concept

\(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.

Why this answer is correct

हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर \(e^x=y\) मिलता है। / For every (y>0), take \(x=\ln y\), then \(e^x=y\).

Exam Tip

घातीय फलन में सहप्रांत सही चुनने से आच्छादकता स्पष्ट हो जाती है। / For exponential functions, the correct codomain is the key to onto checking.

Concept

\(e^x>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य है। / \(e^x>0\) for all real (x).

Why this answer is correct

(0) सहप्रांत \([0,\infty\)) में है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं कि \(e^x=0\)। / (0) is in \([0,\infty\)), but there is no (x) such that \(e^x=0\).

Exam Tip

सहप्रांत का बंद सिरा कई बार आच्छादकता बदल देता है। / A closed endpoint in the codomain can change onto status.

Concept

फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of the function always lies between (-1) and (1).

Why this answer is correct

किसी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{1-|y|}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For \(y\in(-1,1)\), taking \(x=\frac{y}{1-|y|}\) gives (f(x)=y).

Exam Tip

खुले अंतराल में सिरों का न मिलना आच्छादकता को नहीं रोकता। / Missing endpoints does not matter when the codomain is open.

Concept

\(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। / \(\frac{x}{1+|x|}\) stays greater than (-1) and less than (1).

Why this answer is correct

(-1) और (1) सहप्रांत में हैं, पर किसी वास्तविक (x) से नहीं मिलते। / (-1) and (1) are in the codomain but are not obtained for any real (x).

Exam Tip

बंद सहप्रांत में छूटे हुए सिरों को अवश्य जाँचें। / Always check endpoints when the codomain is closed.

Concept

\(x^3-3x\) एक बहुपद है और सभी वास्तविक (x) पर सतत है। / \(x^3-3x\) is a polynomial continuous on all real numbers.

Why this answer is correct

\(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty), इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty), so every real value is obtained.

Exam Tip

विषम घात का अग्र पद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में आच्छादकता देता है। / An odd-degree leading term often helps prove onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).

Concept

\(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)। / \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\).

Why this answer is correct

इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। / Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.

Exam Tip

वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है। / Completing the square is a useful way to find the range.

Concept

वर्ग पूरा करने पर \(f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)। / Completing the square gives \(f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\).

Why this answer is correct

परास \(\left[\frac{3}{4},\infty\right)\) है, जो सहप्रांत के समान है। / The range is \(\left[\frac{3}{4},\infty\right)\), the same as the codomain.

Exam Tip

सहप्रांत को परास के बराबर रखने पर फलन आच्छादक हो जाता है। / A function is onto when its range equals its codomain.

Concept

किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। / For any \(y\ne1\), write \(y=\frac{x+1}{x-1}\).

Why this answer is correct

हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).

Exam Tip

लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है। / If every target value gives a valid (x), the function is onto.

Concept

\(\frac{x+1}{x-1}=1\) रखने पर (x+1=x-1) मिलता है। / Putting \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives (x+1=x-1).

Why this answer is correct

यह असंभव है, इसलिए (1) कभी प्राप्त नहीं होता। / This is impossible, so (1) is never obtained.

Exam Tip

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो और कोई वास्तविक मान छूटे तो फलन आच्छादक नहीं है। / If the codomain is \(\mathbb{R}\) and one real value is missed, the function is not onto.

Concept

\(x^2\ge0\), इसलिए \(3-x^2\le3\)। / Since \(x^2\ge0\), \(3-x^2\le3\).

Why this answer is correct

हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) या \(x=-\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है। / For every \(y\le3\), take \(x=\sqrt{3-y}\) or \(x=-\sqrt{3-y}\).

Exam Tip

अधिकतम मान मिलने पर बंद सिरा भी परास में शामिल होता है। / When the maximum value is attained, the closed endpoint is included in the range.

Concept

(x=0) पर (f(0)=3) मिलता है। / At (x=0), (f(0)=3).

Why this answer is correct

लेकिन (3) दिए गए सहप्रांत (\(-\infty,3\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत के लिए सु-परिभाषित नहीं माना जाएगा। / But (3) is not in the given codomain (\(-\infty,3\)), so the function is not well-defined for this codomain.

Exam Tip

आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि हर प्रतिचित्र सहप्रांत में आ रहा है या नहीं। / Before onto checking, verify that every output lies in the codomain.

Concept

लक्ष्य मान \(m\in\mathbb{Z}\) मानिए। / Let the target value be \(m\in\mathbb{Z}\).

Why this answer is correct

(n=m^-5) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) देता है। / (n=m^-5) is also an integer and (f(n)=m).

Exam Tip

पूर्णांकों पर रैखिक स्थानांतरण अक्सर आच्छादक होता है। / A linear shift on integers is often onto.

Concept

यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f(n)=n+5\ge6)। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (f(n)=n+5\ge6).

Why this answer is correct

सहप्रांत के (1,2,3,4,5) जैसे मान प्राप्त नहीं होते। / Codomain values such as (1,2,3,4,5) are not obtained.

Exam Tip

पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या वाले प्रश्नों में प्रारंभिक मान अवश्य देखें। / For integer and natural number functions, always check the starting values.

Concept

(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (0) और (2), जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers like (0) and (2), which are missed.

Exam Tip

पूर्णांक फलनों में parity देखकर जल्दी निर्णय लिया जा सकता है। / For integer functions, parity often gives a quick test.

Concept

सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का है। / The codomain contains only odd integers.

Why this answer is correct

हर विषम पूर्णांक (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है और (f(n)=y)। / For every odd integer (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer and (f(n)=y).

Exam Tip

सहप्रांत को उचित रूप से सीमित करने से वही फलन आच्छादक हो सकता है। / Restricting the codomain suitably can make the same function onto.

Concept

आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव का चित्र होना चाहिए। / In an onto function, every element of (B) must be an image of some element of (A).

Why this answer is correct

यहाँ (A) में (3) और (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए चारों अवयव ढकना असंभव है। / Here (A) has (3) elements and (B) has (4), so covering all four elements is impossible.

Exam Tip

परिमित समुच्चयों में (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बनता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.

Concept

कुल फलन \(3^5\) हैं। / Total functions are \(3^5\).

Why this answer is correct

समावेशन-अपवर्जन से आच्छादक फलन \(3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\)। / By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\).

Exam Tip

परिमित समुच्चयों में onto count के लिए inclusion-exclusion याद रखें। / For counting onto functions on finite sets, use inclusion-exclusion.

Concept

कुल फलन \(2^4=16\) हैं। / Total functions are \(2^4=16\).

Why this answer is correct

आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जो केवल एक ही अवयव पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.

Exam Tip

इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) हैं। / Hence onto functions (=16-2=14).

Concept

आच्छादक होने के लिए (p,q,r) तीनों चित्रों में आने चाहिए। / For onto, all (p,q,r) must appear among the images.

Why this answer is correct

पहले विकल्प में (p,q,r) सभी प्राप्त हो रहे हैं। / In the first option, (p,q,r) all occur.

Exam Tip

सूची वाले प्रश्नों में चित्रों का समुच्चय बनाकर तुरंत मिलान करें। / In mapping-list questions, form the image set and compare it with the codomain.

Concept

\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं, जो कभी प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are never obtained.

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में परास याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / For trigonometric functions, remembering the range is very important for onto checking.

Concept

\(\sin x\) का परास ठीक ([-1,1]) है। / The range of \(\sin x\) is exactly ([-1,1]).

Why this answer is correct

(-1) और (1) भी क्रमशः उपयुक्त (x) मानों पर प्राप्त होते हैं। / The values (-1) and (1) are also obtained at suitable values of (x).

Exam Tip

यदि परास और सहप्रांत समान हों तो फलन आच्छादक होता है। / If the range equals the codomain, the function is onto.

Concept

\(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, \(\sin x\) takes every value from (-1) to (1).

Why this answer is correct

सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए कोई मान नहीं छूटता। / The codomain is also ([-1,1]), so no value is missed.

Exam Tip

सीमित प्रांत में सतत और बढ़ता हुआ व्यवहार परास पहचानने में मदद करता है। / On restricted intervals, continuity and monotonic behavior help identify the range.

Concept

खुले अंतराल में \(x=\pm\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं हैं। / The open interval does not include \(x=\pm\frac{\pi}{2}\).

Why this answer is correct

इसलिए \(\sin x\) का परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत ([-1,1]) है। / Hence the range of \(\sin x\) is ((-1,1)), while the codomain is ([-1,1]).

Exam Tip

खुले और बंद अंतराल का फर्क आच्छादकता में निर्णायक हो सकता है। / The difference between open and closed intervals can decide onto status.

Concept

\(\tan x\) इस अंतराल पर सभी वास्तविक मान लेता है। / \(\tan x\) takes all real values on this interval.

Why this answer is correct

किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में होता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in the given interval.

Exam Tip

inverse की सहायता से आच्छादकता सिद्ध करना प्रभावी तरीका है। / Using an inverse expression is an effective way to prove onto.

Concept

\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Why this answer is correct

ये मान \(\mathbb{R}\) में आते हैं, इसलिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के रूप में फलन सु-परिभाषित नहीं है। / These values are in \(\mathbb{R}\), so \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is not well-defined.

Exam Tip

आच्छादकता से पहले फलन का सु-परिभाषित होना जरूरी है। / A function must be well-defined before onto nature can be tested.

Concept

इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है। / The value of this function always lies between (0) and (1).

Why this answer is correct

हर \(y\in(0,1)\) के लिए \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\in(0,1)\), taking \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) gives (f(x)=y).

Exam Tip

किसी लक्ष्य मान से (x) निकालना आच्छादकता का मजबूत प्रमाण है। / Solving for (x) from a target value is a strong proof of onto.

Concept

हर वास्तविक (x) के लिए \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\)। / For every real (x), \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\).

Why this answer is correct

सहप्रांत ([0,1]) में (0) और (1) शामिल हैं, पर वे कभी प्राप्त नहीं होते। / The codomain ([0,1]) contains (0) and (1), but they are never obtained.

Exam Tip

सीमा के रूप में मिलने वाला मान जरूरी नहीं कि परास में हो। / A value approached as a limit need not belong to the range.

Concept

\(\sqrt{x}\) का मान \(x\ge0\) पर हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / \(\sqrt{x}\) is always non-negative for \(x\ge0\).

Why this answer is correct