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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Onto function Expert Level 25

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-3}{1+x-2}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-3}{1+x-2}), is (f) onto or not?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published:
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Correct Answer

A. सर्वाच्छादक हैIt is onto

Step 1

Concept

हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। / For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\).

Step 3

Exam Tip

सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.

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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-3}{1+x-2}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं? / If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-3}{1+x-2}), is (f) onto or not?

Correct Answer: A. सर्वाच्छादक है / It is onto. Explanation: चरण 1: हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Step 1: For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\). Step 2: As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\). Step 3: Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.

Why is option A correct in this Mathematics MCQ?

\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\).

What should I remember for this Mathematics concept?

सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.