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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Onto function Expert Level 26

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+x+1\), तो (f) आच्छादक क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+x+1\), why is (f) not onto?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. क्योंकि \(f(x)\ge\frac{3}{4}\), इसलिए कई वास्तविक मान छूटते हैंBecause \(f(x)\ge\frac{3}{4}\), so many real values are missed

Step 1

Concept

\(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)। / \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\).

Step 2

Why this answer is correct

इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। / Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.

Step 3

Exam Tip

वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है। / Completing the square is a useful way to find the range.

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  1. मैट्रिक्स \(A=\begin{bmatrix}9&8\\7&6\end{bmatrix}\) में \(a_{22}\) का मान क्या है?
  2. यदि \(A=\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?
  3. यदि \(A=[a_{ij}]*{3\times3}\) और (a*{ij}=1) जब (i=j), तथा \(a_{ij}=0\) जब \(i\ne j\), तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  4. यदि \(A=[a_{ij}]*{2\times2}\) और (a*{ij}=0) सभी (i,j) के लिए है, तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  5. कौन-सा विकल्प \(2\times2\) इकाई मैट्रिक्स है?
  6. 2×2 शून्य मैट्रिक्स कौन‑सा है?
  7. मानें \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)। \(A^T\) का क्रम क्या होगा?
  8. यदि \(A=\begin{bmatrix}x&1\\2&y\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\) तथा \(A=B\), तो \((x,y)\) क्या है?
  9. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?
  10. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\), तो तीसरा स्तंभ कौन-सा है?

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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+x+1\), तो (f) आच्छादक क्यों नहीं है? / If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+x+1\), why is (f) not onto?

Correct Answer: A. क्योंकि \(f(x)\ge\frac{3}{4}\), इसलिए कई वास्तविक मान छूटते हैं / Because \(f(x)\ge\frac{3}{4}\), so many real values are missed. Explanation: चरण 1: \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)। चरण 2: इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। चरण 3: वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है। / Step 1: \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\). Step 2: Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed. Step 3: Completing the square is a useful way to find the range.

Why is option A correct in this Mathematics MCQ?

इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। / Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.

What should I remember for this Mathematics concept?

वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है। / Completing the square is a useful way to find the range.