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बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही बहुपद की मूल पहचान है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
\(x^2+y+1\) में दो चर (x) और (y) हैं। इसलिए यह एक चर वाला बहुपद नहीं है। / \(x^2+y+1\) has two variables (x) and (y). Therefore it is not a polynomial in one variable.
एक चर के बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक या शून्य होती है। परीक्षा में ऋणात्मक घात और मूल से बचें। / In a polynomial in one variable, powers of the variable are non-negative integers. In exams, reject negative powers and roots of the variable.
एक चर (x) में बहुपद में केवल (x) चर होता है। अन्य विकल्पों में एक से अधिक चर हैं। / A polynomial in one variable (x) contains only the variable (x). The other options have more than one variable.
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। बहुपद में घातें अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
\(x^2+3x+1\) में केवल (x) चर है। इसलिए यह (x) में एक चर वाला बहुपद है। / \(x^2+3x+1\) has only the variable (x). So it is a one-variable polynomial in (x).
\(4x^3+x-9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है। इसलिए यह द्विघात नहीं है। / \(4x^3+x-9\) is a polynomial and its degree is (3). Therefore it is not quadratic.
\(\sqrt{2}\) एक वास्तविक संख्या है और (x) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{2}\) is a real number and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial.
\(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) है और चर की घात ऋणात्मक है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), so the variable has a negative power. Therefore it is not a polynomial.
\(z^4-2z+1\) में केवल (z) है और घातें ऋणात्मक नहीं हैं। इसलिए यह (z) में बहुपद है। / The expression \(z^4-2z+1\) has only (z) and no negative powers. So it is a polynomial in (z).
A. क्योंकि इसमें दो चर हैं/Because it has two variables
Explanation
Simple Explanation
इसमें (x) और (y) दोनों चर हैं। एक चर वाले बहुपद में केवल एक ही चर होना चाहिए। / It contains both (x) and (y). A polynomial in one variable should contain only one variable.
\(3x^2-5x+7\) में केवल (x) है और घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। परीक्षा में चर की घात ऋणात्मक या भिन्न नहीं होनी चाहिए। / The expression \(3x^2-5x+7\) has only (x) and non-negative integer powers. In exams, the variable power must not be negative or fractional.
(p\left\(\frac{2}{3}\right\)=9\cdot\frac{4}{9}-8+4=0)। भिन्न मान रखते समय वर्ग और गुणा सावधानी से करें। / (p\left\(\frac{2}{3}\right\)=9\cdot\frac{4}{9}-8+4=0). While substituting a fraction, square and multiply carefully.
(p\left\(\frac{1}{3}\right\)=3\left\(\frac{1}{3}\right\)2+2\left\(\frac{1}{3}\right\)-1=0) है। भिन्न रखते समय कोष्ठक लगाएँ। / (p\left\(\frac{1}{3}\right\)=3\left\(\frac{1}{3}\right\)2+2\left\(\frac{1}{3}\right\)-1=0). Use brackets while substituting fractions.
(p\left\(\frac{3}{2}\right\)=4\cdot\frac{9}{4}-18+9=0)। भिन्न मान रखते समय पहले वर्ग ठीक से निकालें। / (p\left\(\frac{3}{2}\right\)=4\cdot\frac{9}{4}-18+9=0). While substituting a fraction, square it carefully first.
(r\left\(\frac{1}{2}\right\)=4\left\(\frac{1}{2}\right\)2=1) है। भिन्न रखते समय कोष्ठक का प्रयोग करें। / (r\left\(\frac{1}{2}\right\)=4\left\(\frac{1}{2}\right\)2=1). Use brackets when substituting fractions.
A. चिह्न और निर्देशांक क्रम की गलती/Error of sign and coordinate order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (\left\(7,-3\right\)) में (x=7) और (y=-3) है। निर्देशांक उलटने और चिह्न बदलने से उत्तर गलत हो जाता है। / In (\left\(7,-3\right\)), (x=7) and (y=-3). Reversing coordinates and changing sign makes the answer wrong.
दोनों बिंदु (2x+y=5) को संतुष्ट करते हैं। दो सही बिंदु रेखा पहचानने में पर्याप्त होते हैं। / Both points satisfy (2x+y=5). Two correct points are enough to identify a line.
A. चिह्न और निर्देशांक क्रम की गलती/Error of sign and coordinate order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (\left\(6,-2\right\)) में (x=6) और (y=-2) है। निर्देशांक उलटने से और चिह्न बदलने से उत्तर गलत हो जाता है। / In (\left\(6,-2\right\)), (x=6) and (y=-2). Reversing coordinates and changing sign makes the answer wrong.
दोनों बिंदु (2x+y=5) को संतुष्ट करते हैं। दो सही बिंदु रेखा पहचानने में पर्याप्त होते हैं। / Both points satisfy (2x+y=5). Two correct points are enough to identify a line.
B. निर्देशांक उलटे लिखना/Writing coordinates in reverse order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु हमेशा (\left\(x,y\right\)) क्रम में लिखा जाता है। निर्देशांक उलटे करने से हल गलत हो जाता है। / A point is always written in (\left\(x,y\right\)) order. Reversing coordinates makes the solution wrong.
दोनों बिंदु (x+y=6) को संतुष्ट करते हैं। दो सही बिंदु रेखा पहचानने में मदद करते हैं। / Both points satisfy (x+y=6). Two correct points help identify a line.
अभिव्यक्ति \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\) है। इसलिए (c=1), (r=-8), (s=7), और (c+r+s=0) होता है। / The expression is \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\). Thus (c=1), (r=-8), (s=7), and (c+r+s=0).
(\left\(\frac{5}{8}\right\)^{-2}=\frac{64}{25}) और (\left\(\frac{8}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{64})। योग \(\frac{4096+625}{1600}=\frac{4721}{1600}\) है। / Here (\left\(\frac{5}{8}\right\)^{-2}=\frac{64}{25}) and (\left\(\frac{8}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{64}). The sum is \(\frac{4096+625}{1600}=\frac{4721}{1600}\).
(125^{\frac{2}{3}}=(5)^{2}=25) और (25^{-\frac{3}{2}}=(5)^{-3}=\frac{1}{125})। गुणनफल \(\frac{1}{5}\) है। / Here (125^{\frac{2}{3}}=(5)^{2}=25) and (25^{-\frac{3}{2}}=(5)^{-3}=\frac{1}{125}). The product is \(\frac{1}{5}\).
(25^{\frac{3}{2}}=\(5^{2}\)^{\frac{3}{2}}=5^{3}) और (125^{-\frac{2}{3}}=\(5^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=5^{-2})। गुणनफल (5) है। / Here (25^{\frac{3}{2}}=\(5^{2}\)^{\frac{3}{2}}=5^{3}) and (125^{-\frac{2}{3}}=\(5^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=5^{-2}). The product is (5).
अभिव्यक्ति \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=;2x^{-5}y^{7}\) है। इसलिए (c+r+s=2-5+7=4) है। / The expression is \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=2x^{-5}y^{7}\). Hence (c+r+s=2-5+7=4).
(\left\(\frac{4}{7}\right\)^{-2}=\frac{49}{16}) और (\left\(\frac{7}{4}\right\)^{-2}=\frac{16}{49})। योग \(\frac{2401+256}{784}=\frac{2657}{784}\) है। / Here (\left\(\frac{4}{7}\right\)^{-2}=\frac{49}{16}) and (\left\(\frac{7}{4}\right\)^{-2}=\frac{16}{49}). The sum is \(\frac{2401+256}{784}=\frac{2657}{784}\).
संयुग्म गुणनफल (17-8=9) है और \(\sqrt{81}=9\)। इसलिए अंतर (0) है। / The conjugate product is (17-8=9), and \(\sqrt{81}=9\). Hence the difference is (0).
(64^{\frac{2}{3}}=(4)^{2}=16) और (8^{-\frac{4}{3}}=(2)^{-4}=\frac{1}{16})। गुणनफल (1) है। / Here (64^{\frac{2}{3}}=(4)^{2}=16) and (8^{-\frac{4}{3}}=(2)^{-4}=\frac{1}{16}). The product is (1).
(49^{\frac{3}{2}}=\(7^{2}\)^{\frac{3}{2}}=7^{3}) और (343^{-\frac{2}{3}}=\(7^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=7^{-2})। गुणनफल \(7^{1}=7\) है। / Here (49^{\frac{3}{2}}=\(7^{2}\)^{\frac{3}{2}}=7^{3}) and (343^{-\frac{2}{3}}=\(7^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=7^{-2}). The product is \(7^{1}=7\).
(\left\(\frac{3}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{9}) और (\left\(\frac{5}{3}\right\)^{-2}=\frac{9}{25}), इसलिए योग \(\frac{625+81}{225}=\frac{706}{225}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात पर भिन्न उलटें। / Here (\left\(\frac{3}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{9}) and (\left\(\frac{5}{3}\right\)^{-2}=\frac{9}{25}), so the sum is \(\frac{625+81}{225}=\frac{706}{225}\). In exams, invert the fraction for negative powers.
संयुग्म गुणनफल (13-3=10) है और \(\sqrt{100}=10\), इसलिए अंतर (0) है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल को तुरंत परिमेय करें। / The conjugate product is (13-3=10), and \(\sqrt{100}=10\), so the difference is (0). In exams, simplify conjugate products directly.
(32^{\frac{2}{5}}=\(2^{5}\)^{\frac{2}{5}}=2^{2}=4), और (4^{-\frac{3}{2}}=\(2^{2}\)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}=\frac{1}{8})। गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है। / Here (32^{\frac{2}{5}}=\(2^{5}\)^{\frac{2}{5}}=2^{2}=4), and (4^{-\frac{3}{2}}=\(2^{2}\)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}=\frac{1}{8}). The product is \(\frac{1}{2}\).
\(27^{\frac{2}{3}}=9\), इसलिए पहला पद \(\frac{1}{9}\) है, और \(81^{\frac{3}{4}}=27\)। गुणनफल (3) है। / Here \(27^{\frac{2}{3}}=9\), so the first factor is \(\frac{1}{9}\), and \(81^{\frac{3}{4}}=27\). The product is (3).
(\left\(\frac{2}{3}\right\)^{-3}=\left\(\frac{3}{2}\right\)^{3}=\frac{27}{8}) और (\left\(\frac{9}{4}\right\)^{-1}=\frac{4}{9}), इसलिए गुणनफल (6) है। परीक्षा में ऋणात्मक घात पर भिन्न उलटें। / (\left\(\frac{2}{3}\right\)^{-3}=\left\(\frac{3}{2}\right\)^{3}=\frac{27}{8}) and (\left\(\frac{9}{4}\right\)^{-1}=\frac{4}{9}), so the product is (6). In exams, invert the fraction for negative powers.
पहला गुणनफल (7-5=2) है और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए उत्तर \(2+2\sqrt{5}\) है। परीक्षा में पहले संयुग्म गुणनफल पहचानें। / The first product is (7-5=2), and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the answer is \(2+2\sqrt{5}\). In exams, identify the conjugate product first.
(\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25) और (\left\(\frac{1}{3}\right\)^{-2}=9) है। इसलिए योग (34) है। / (\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25) and (\left\(\frac{1}{3}\right\)^{-2}=9). Therefore the sum is (34).
(\left\(\frac{1}{4}\right\)^{-2}=16) और (\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25) है। योग (41) है। / (\left\(\frac{1}{4}\right\)^{-2}=16) and (\left\(\frac{1}{5}\right\)^{-2}=25). The sum is (41).
(\left\(\frac{4}{3}\right\)^{-2}=\left\(\frac{3}{4}\right\)2=\frac{9}{16}) है। इसलिए \(\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{9}=1\) है। / (\left\(\frac{4}{3}\right\)^{-2}=\left\(\frac{3}{4}\right\)2=\frac{9}{16}). Hence \(\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{9}=1\).
(\left\(\frac{1}{3}\right\)^{-2}=9) और (\left\(\frac{1}{2}\right\)^{-2}=4) है। योग (13) है। / (\left\(\frac{1}{3}\right\)^{-2}=9) and (\left\(\frac{1}{2}\right\)^{-2}=4). The sum is (13).
(\left\(\frac{3}{2}\right\)^{-2}=\left\(\frac{2}{3}\right\)2=\frac{4}{9}) है। इसलिए \(\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}=1\) है। / (\left\(\frac{3}{2}\right\)^{-2}=\left\(\frac{2}{3}\right\)2=\frac{4}{9}). Hence \(\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{4}=1\).
(\left\(\frac{2}{3}\right\)0=1) और (\left\(\frac{1}{2}\right\)2=\frac{1}{4}) है। इसलिए योग \(\frac{5}{4}\) है। / Here (\left\(\frac{2}{3}\right\)0=1) and (\left\(\frac{1}{2}\right\)2=\frac{1}{4}). Therefore the sum is \(\frac{5}{4}\).
यहां \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-5\) है। (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=-5+2(4)+4=7) है। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-5\). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=-5+2(4)+4=7).
यहां \(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-8\) है। (\(\alpha+3\)\(\beta+3\)=-8+3(2)+9=7) है। / Here \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-8\). (\(\alpha+3\)\(\beta+3\)=-8+3(2)+9=7).
सबसे बड़ी घात \(x^4\) है, इसलिए घात (4) है। शून्य गुणांक वाले पदों को घात तय करने में नहीं गिनते। / The highest power is \(x^4\), so the degree is (4). Terms with zero coefficients do not affect the degree.
(p(1)=a+b+c) और (p(-1)=a-b+c) हैं, घटाने पर (2b=0) मिलता है। परीक्षा में सममित मानों पर जोड़-घटाव जल्दी करें। / (p(1)=a+b+c) and (p(-1)=a-b+c); subtracting gives (2b=0). In exams, use addition or subtraction for symmetric inputs.
\(y^2-3y+2\) में (y) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। बहुपद किसी एक चर जैसे (y) में भी हो सकता है। / In \(y^2-3y+2\), the powers of (y) are whole numbers. A polynomial can be in one variable such as (y).
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है और \(\frac{1}{2}\) पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए यह (x) में बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), and \(\frac{1}{2}\) is not a whole number. So it is not a polynomial in (x).
(p(1)=12+3\cdot1+2=6) है। मान निकालते समय हर (x) की जगह दी गई संख्या रखें। / (p(1)=12+3\cdot1+2=6). While evaluating, replace every (x) with the given number.
इस बहुपद में \(x^2\) पद नहीं है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक हमेशा (0) माना जाता है। / There is no \(x^2\)-term in this polynomial, so its coefficient is (0). The coefficient of a missing term is always taken as (0).
बहुपद में (x) की घात केवल पूर्णांक और अशून्य नहीं बल्कि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। परीक्षा में हर पद की घात जांचें। / A polynomial has only non-negative integer powers of (x). In exams check the power of every term.
(p(x+1)=x-2-2x+3) और (p(x+1)-p(x)=2x-3) है। ऐसे प्रश्नों में पहले (x+1) को सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / (p(x+1)=x-2-2x+3) and (p(x+1)-p(x)=2x-3). In such questions, substitute (x+1) carefully first.
(p(x)=(x-4)2), इसलिए (p(4+t)=t-2)। ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाना आसान होता है। / (p(x)=(x-4)2), so (p(4+t)=t-2). In such questions, first form a perfect square.
शून्यकों का योग बहुपद से (a) और गुणनफल (b) है। इसलिए यदि शून्यक (a,b) हैं, तो (a+b=a) और (ab=b) होना चाहिए। / The sum of zeroes from the polynomial is (a) and the product is (b). Hence if the zeroes are (a,b), then (a+b=a) and (ab=b).
शून्यक (1) और (2) हैं, इसलिए बहुपद \(x^2-3x+2\) है। अतः (p=-3,\ q=2) और (p+q=-1)। / The zeroes are (1) and (2), so the polynomial is \(x^2-3x+2\). Thus (p=-3,\ q=2), and (p+q=-1).
मूल शून्यक (2) और (4) हैं, इसलिए नए शून्यक (4) और (16) हैं। नया बहुपद \(x^2-20x+64\) है। / The original zeroes are (2) and (4), so the new zeroes are (4) and (16). The new polynomial is \(x^2-20x+64\).
कोई वास्तविक शून्यक नहीं होने के लिए विविक्तकर (4-4c<0) चाहिए। इससे (c>1) मिलता है। / For no real zero, the discriminant must satisfy (4-4c<0). This gives (c>1).
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। (x)-अक्ष पर बिंदु ((3,0)) और ((4,0)) होंगे। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). The (x)-axis points are ((3,0)) and ((4,0)).
(p(x)) के शून्यक (-2) और (-3) हैं। (p(-x)=0) के लिए (-x=-2) या (-x=-3), इसलिए (x=2,3)। / The zeroes of (p(x)) are (-2) and (-3). For (p(-x)=0), (-x=-2) or (-x=-3), so (x=2,3).
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
(p(x)=(x-1)(x-3)) है और (1<x<3) में मान ऋणात्मक होता है। इसलिए (x=2) सही है। / (p(x)=(x-1)(x-3)), and it is negative for (1<x<3). Therefore (x=2) is correct.
A. यह कोई वास्तविक शून्यक नहीं देता/It gives no real zero
Explanation
Simple Explanation
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है। \(x^2+4\) वास्तविक (x) के लिए कभी (0) नहीं होता। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)). The factor \(x^2+4\) is never (0) for real (x).
योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-20}{5}=4\) है। पहले सामान्य गुणनखंड निकालना चाहें तो भी योग वही रहेगा। / The sum is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-20}{5}=4\). Even if a common factor is removed first, the sum remains the same.
\(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\) हैं। \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\)। / \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha\beta-\alpha-\beta+1}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\).
शून्यकों का योग (-3) है, इसलिए (p=3)। युग्म गुणनफलों का योग (-3+5-15=-13), इसलिए (q=-13) और (p+q=-10)। / The sum of zeroes is (-3), so (p=3). The pairwise product sum is (-3+5-15=-13), so (q=-13) and (p+q=-10).
(p(x)=(x+2)2), इसलिए (p(-2+h)=h-2)। पूर्ण वर्ग रूप से प्रतिस्थापन आसान हो जाता है। / (p(x)=(x+2)2), so (p(-2+h)=h-2). Perfect square form makes substitution easier.
योग \(\frac{7}{2}\) और गुणनफल \(\frac{5}{2}\) है। उनका अंतर \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\) है। / The sum is \(\frac{7}{2}\) and the product is \(\frac{5}{2}\). Their difference is \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\).
शून्यक (t) और (4t) मानें, तो \(4t^2=36\) से (t=3) है। योग (15) है, इसलिए (k=15)। / Let the zeroes be (t) and (4t), then \(4t^2=36\) gives (t=3). The sum is (15), so (k=15).
A. (p(x)) शून्य बहुपद है/(p(x)) is the zero polynomial
Explanation
Simple Explanation
अधिकतम द्विघात बहुपद के तीन अलग-अलग शून्यक तभी हो सकते हैं जब वह शून्य बहुपद हो। घात से अधिक अलग शून्यक असंभव होते हैं। / A polynomial of degree at most (2) can have three distinct zeroes only if it is the zero polynomial. A non-zero polynomial cannot have more distinct zeroes than its degree.
(2) और (3), (p(x)) के शून्यक हैं, इसलिए (p(2)=0) और (p(3)=0)। इसलिए योग (0) है। / (2) and (3) are zeroes of (p(x)), so (p(2)=0) and (p(3)=0). Hence the sum is (0).
(p(x)) के शून्यक (4) और (-2) हैं। (x+3=4) या (x+3=-2) से शून्यक (1) और (-5) मिलते हैं। / The zeroes of (p(x)) are (4) and (-2). From (x+3=4) or (x+3=-2), the zeroes are (1) and (-5).
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (-3,0,3) हैं। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक (3) हैं। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so the zeroes are (-3,0,3). Hence there are (3) distinct real zeroes.
योग (1+3-4=0) है, इसलिए (a=0)। युग्म गुणनफलों का योग (3-4-12=-13), इसलिए (b=-13) और (a+b=-13)। / The sum (1+3-4=0), so (a=0). The sum of pairwise products is (3-4-12=-13), so (b=-13) and (a+b=-13).
(x-4-5x-2+4=\(x^2-1\)\(x^2-4\)) है। इसलिए वास्तविक शून्यक (-2,-1,1,2) हैं। / (x-4-5x-2+4=\(x^2-1\)\(x^2-4\)). Therefore the real zeroes are (-2,-1,1,2).
(4x-2-4x+1=(2x-1)2), इसलिए शून्यक \(\frac{1}{2}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप तुरंत समान शून्यक देता है। / (4x-2-4x+1=(2x-1)2), so the zero \(\frac{1}{2}\) occurs twice. Perfect square form gives equal zeroes directly.
(p(x)=(x-7)(x+4)), इसलिए शून्यक (7) और (-4) हैं। दूरी (|7-(-4)|=11) है। / (p(x)=(x-7)(x+4)), so the zeroes are (7) and (-4). The distance is (|7-(-4)|=11).
(p(x)) के शून्यक (5) और (6) हैं। (p(x-2)=0) के लिए (x-2=5) या (x-2=6), इसलिए शून्यक (7,8) हैं। / The zeroes of (p(x)) are (5) and (6). For (p(x-2)=0), (x-2=5) or (x-2=6), so the zeroes are (7,8).
परस्पर व्युत्क्रम शून्यकों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए यह संभव नहीं है। / Reciprocal zeroes must have product (1). Here the product is (16), so it is not possible.
(p(x)=3\(x^2-4x+5\)=3((x-2)2+1)), जो सदा धनात्मक है। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / (p(x)=3\(x^2-4x+5\)=3((x-2)2+1)), which is always positive. Hence there are no real zeroes.
यह (p(x)=(x-2)3) है, इसलिए (2) तीन बार शून्यक है। घन पूर्ण पहचान को पहचानना उपयोगी है। / This is (p(x)=(x-2)3), so (2) is a zero three times. Recognizing cube identities is useful.
