(\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members, so its power set has (16) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (16). (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members, so its power set has (16) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Step 3
Exam Tip
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में (16) singleton members होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality होती है।
(\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) members, so its power set has (8) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (8). (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) members, so its power set has (8) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Step 3
Exam Tip
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में singleton members भी (8) होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality के बराबर होती है।
(A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5). (A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
Step 3
Exam Tip
(A'={1,3,5,7,9}) और (P(A')) में एकल समुच्चय (n(A')=5) होते हैं। एकल उपसमुच्चयों की संख्या मूल अवयवों जितनी होती है।
C. रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता, एक तत्व वाले समुच्चय में ठीक एक तत्व होता है/Empty set has no element, singleton set has exactly one element
Step 1
Concept
An empty set means a set with no element.
Step 2
Why this answer is correct
A singleton set has exactly one element, such as ({0}).
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and ({0}) as equal. चरण 1: रिक्त समुच्चय का अर्थ है बिना तत्व वाला समुच्चय। चरण 2: एक तत्व वाले समुच्चय में ठीक एक तत्व होता है, जैसे ({0})। चरण 3: \(\varnothing\) और ({0}) को कभी समान न मानें।
\(B=\{0\}\) contains one element (0) so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
Always distinguish ({0}) from \(\varnothing\). चरण 1: एकल समुच्चय में केवल एक तत्व होता है। चरण 2: \(B=\{0\}\) में (0) एक तत्व है इसलिए यह रिक्त नहीं है। चरण 3: ({0}) और \(\varnothing\) को अलग पहचानना बहुत जरूरी है।
A. \(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) और \(x>0})\)/\(({x\in \mathbb{Z}: x^2=4\) and \(x>0})\)
Step 1
Concept
A singleton set has exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, \(x^2=4\) gives (x=-2,2), but (x>0) keeps only (2). So it is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
Distinguish singleton and empty sets by counting their elements. चरण 1: एकल समुच्चय में ठीक एक सदस्य होता है। चरण 2: पहले विकल्प में \(x^2=4\) से (x=-2,2) मिलते हैं, लेकिन (x>0) के कारण केवल (2) बचेगा। इसलिए यह एकल समुच्चय है। चरण 3: एकल और खाली समुच्चय में अंतर गिनती से साफ करें।
From (2<x<4) and \(x\in N\), only (x=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
To identify a singleton set, count the possible elements carefully. चरण 1: एकल समुच्चय में केवल एक अवयव होता है। चरण 2: (2<x<4) और \(x\in N\) से केवल (x=3) मिलता है। चरण 3: एकल समुच्चय पहचानने के लिए संभावित अवयव गिनें।
B. \(x^2=4\) के प्राकृतिक हलों का समुच्चय/Set of natural solutions of \(x^2=4\)
Step 1
Concept
A singleton set has exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
In natural numbers, \(x^2=4\) has only (x=2).
Step 3
Exam Tip
Always check the given number system while forming a solution set. चरण 1: एकल समुच्चय में ठीक एक सदस्य होता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2=4\) का हल केवल (x=2) है। चरण 3: हलों का समुच्चय बनाते समय दिए गए संख्या-समूह को जरूर देखें।
For the complement to be singleton, the original subset must have (3) elements. There are \(\binom{4}{3}=4\) such subsets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4). For the complement to be singleton, the original subset must have (3) elements. There are \(\binom{4}{3}=4\) such subsets.
Step 3
Exam Tip
पूरक एक-तत्वीय होने के लिए मूल उपसमुच्चय में (3) तत्व होने चाहिए। ऐसे उपसमुच्चय \(\binom{4}{3}=4\) हैं।
The singleton subsets are ({a},{b},{c}), so the two sets are equal. In exams carefully check the level of elements and subsets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). The singleton subsets are ({a},{b},{c}), so the two sets are equal. In exams carefully check the level of elements and subsets.
Step 3
Exam Tip
एक-अवयवी उपसमुच्चय ({a},{b},{c}) होते हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में अवयव और उपसमुच्चय के स्तर को ध्यान से देखें।
We only need to choose the single two-element class.
Step 2
Why this answer is correct
Two elements can be chosen from (4) elements in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining two elements become singleton classes. चरण 1: केवल एक दो-अवयवी वर्ग चुनना है। चरण 2: (4) अवयवों में से ऐसे दो अवयव \(\binom{4}{2}=6\) तरीकों से चुने जा सकते हैं। चरण 3: शेष दो अवयव अलग-अलग वर्ग बनाते हैं।
C. सिर्फ ( 2 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 2 )
Step 1
Concept
( [2,2] ) contains only ( 2 ). A single included value is shown by a closed dot.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सिर्फ ( 2 ) पर बंद बिंदु / Only a closed dot at ( 2 ). ( [2,2] ) contains only ( 2 ). A single included value is shown by a closed dot.
Step 3
Exam Tip
( [2,2] ) में केवल ( 2 ) शामिल होता है। एकल शामिल मान को बंद बिंदु से दिखाते हैं।
C. सिर्फ ( 3 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 3 )
Step 1
Concept
The only common point in both intervals is ( 3 ), and ( 3 ) is included in both. Therefore, one closed dot appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सिर्फ ( 3 ) पर बंद बिंदु / Only a closed dot at ( 3 ). The only common point in both intervals is ( 3 ), and ( 3 ) is included in both. Therefore, one closed dot appears.
Step 3
Exam Tip
दोनों अंतरालों में केवल ( 3 ) साझा है और दोनों में ( 3 ) शामिल है। इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा।
A. सिर्फ ( -4 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -4 )
Step 1
Concept
Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x+4|=0 ) gives ( x=-4 ). So only one closed dot appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सिर्फ ( -4 ) पर बंद बिंदु / Only a closed dot at ( -4 ). Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x+4|=0 ) gives ( x=-4 ). So only one closed dot appears.
Step 3
Exam Tip
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x+4|=0 ) पर ( x=-4 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा।
B. सिर्फ ( 8 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 8 )
Step 1
Concept
Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x-8|=0 ) gives ( x=8 ). So only one closed dot appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सिर्फ ( 8 ) पर बंद बिंदु / Only a closed dot at ( 8 ). Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x-8|=0 ) gives ( x=8 ). So only one closed dot appears.
Step 3
Exam Tip
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x-8|=0 ) पर ( x=8 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा।
B. सिर्फ ( -3 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -3 )
Step 1
Concept
Both conditions are true together only at ( x=-3 ). A single solution is shown by a closed dot.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सिर्फ ( -3 ) पर बंद बिंदु / Only a closed dot at ( -3 ). Both conditions are true together only at ( x=-3 ). A single solution is shown by a closed dot.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तें केवल ( x=-3 ) पर साथ सत्य हैं। एकल समाधान को बंद बिंदु से दिखाते हैं।
C. सिर्फ ( 1 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 1 )
Step 1
Concept
Both conditions are true together only at ( x=1 ). When two rays meet only at the boundary, the result is one closed dot.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सिर्फ ( 1 ) पर बंद बिंदु / Only a closed dot at ( 1 ). Both conditions are true together only at ( x=1 ). When two rays meet only at the boundary, the result is one closed dot.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तें एक साथ केवल ( x=1 ) पर सत्य हैं। जब दो किरणें सिर्फ सीमा पर मिलें, तो एक बंद बिंदु बनता है।
B. \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु/One closed point at \(\frac{4}{5}\)
Step 1
Concept
A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at \(\frac{4}{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु / One closed point at \(\frac{4}{5}\). A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at \(\frac{4}{5}\).
Step 3
Exam Tip
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु बनेगा।
A. सिर्फ (-14) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (-14)
Step 1
Concept
A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore a closed point is drawn at (-14).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सिर्फ (-14) पर भरा बिंदु / Only a closed point at (-14). A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore a closed point is drawn at (-14).
Step 3
Exam Tip
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-14) पर भरा बिंदु बनेगा।
A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at (-6).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-6) पर एक भरा बिंदु / One closed point at (-6). A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at (-6).
Step 3
Exam Tip
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-6) पर एक भरा बिंदु बनेगा।
A. सिर्फ (12) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (12)
Step 1
Concept
The interval ([12,12]) includes only (12). A closed interval with equal endpoints shows one closed point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सिर्फ (12) पर भरा बिंदु / Only a closed point at (12). The interval ([12,12]) includes only (12). A closed interval with equal endpoints shows one closed point.
Step 3
Exam Tip
([12,12]) में केवल (12) शामिल है। समान सीमाओं वाला बंद अंतराल एक भरा बिंदु दिखाता है।
B. सिर्फ (7) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (7)
Step 1
Concept
In ([7,7]), the start and end are the same and that value is included. So only a closed point at (7) is drawn.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सिर्फ (7) पर भरा बिंदु / Only a closed point at (7). In ([7,7]), the start and end are the same and that value is included. So only a closed point at (7) is drawn.
Step 3
Exam Tip
([7,7]) में आरंभ और अंत समान हैं और वह मान शामिल है। इसलिए केवल (7) पर भरा बिंदु बनेगा।
\(|A\times B|=6\), so there are (6) ways to choose a one-element relation. A singleton relation is just one ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (6). \(|A\times B|=6\), so there are (6) ways to choose a one-element relation. A singleton relation is just one ordered pair.
Step 3
Exam Tip
\(|A\times B|=6\), इसलिए (1) अवयव वाला संबंध चुनने के (6) तरीके हैं। एकल संबंध सीधे एक क्रमित युग्म होता है।
(n\(A\times B\)=3\times1=3), so the number of subsets is \(2^3=8\). For counting relations, remember \(2^{n(A\times B)}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (8). (n\(A\times B\)=3\times1=3), so the number of subsets is \(2^3=8\). For counting relations, remember \(2^{n(A\times B)}\).
Step 3
Exam Tip
(n\(A\times B\)=3\times1=3), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है। संबंध गिनने में \(2^{n(A\times B)}\) याद रखें।
The first element is taken from (A) and the second from (B). Since (B) has only (5), the second entry in both pairs is (5).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(2,5),(3,5)}). The first element is taken from (A) and the second from (B). Since (B) has only (5), the second entry in both pairs is (5).
Step 3
Exam Tip
पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से लिया जाता है। (B) में केवल (5) है, इसलिए दोनों युग्मों में दूसरा अवयव (5) होगा।
A. \(A\times B={(6,9)}\) और \(B\times A={(9,6)}\)/\(A\times B={(6,9)}\) and \(B\times A={(9,6)}\)
Step 1
Concept
In \(A\times B\), (6) is first and (9) is second. In \(B\times A\), the order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B={(6,9)}\) और \(B\times A={(9,6)}\) / \(A\times B={(6,9)}\) and \(B\times A={(9,6)}\). In \(A\times B\), (6) is first and (9) is second. In \(B\times A\), the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में (6) पहले और (9) दूसरे स्थान पर है। \(B\times A\) में क्रम उल्टा हो जाता है।
(8) stays in the first position and elements of (B) come in the second position. Order does not change even with a singleton set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(8,1),(8,3),(8,5)}). (8) stays in the first position and elements of (B) come in the second position. Order does not change even with a singleton set.
Step 3
Exam Tip
(8) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल समुच्चय होने पर भी क्रम नहीं बदलता।
A. \(A\times B={(1,2)}\) और \(B\times A={(2,1)}\)/\(A\times B={(1,2)}\) and \(B\times A={(2,1)}\)
Step 1
Concept
In the first product, (1) is in the first position, and in the second, (2) is in the first position. Order matters even with one element each.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B={(1,2)}\) और \(B\times A={(2,1)}\) / \(A\times B={(1,2)}\) and \(B\times A={(2,1)}\). In the first product, (1) is in the first position, and in the second, (2) is in the first position. Order matters even with one element each.
Step 3
Exam Tip
पहले गुणन में (1) पहले स्थान पर है और दूसरे में (2) पहले स्थान पर है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है।
The only element (7) of (A) stays in the first position. All elements of (B) come in the second position one by one.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(7,2),(7,4),(7,6)}). The only element (7) of (A) stays in the first position. All elements of (B) come in the second position one by one.
Step 3
Exam Tip
(A) का एकमात्र तत्व (7) पहले स्थान पर रहेगा। दूसरे स्थान पर (B) के सभी तत्व क्रम से आएंगे।
A. \(A\times B={(0,1)}\) और \(B\times A={(1,0)}\)/\(A\times B={(0,1)}\) and \(B\times A={(1,0)}\)
Step 1
Concept
In \(A\times B\), (0) is first and (1) is second, while in \(B\times A\) the order is reversed. Order remains important even with one element in each set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B={(0,1)}\) और \(B\times A={(1,0)}\) / \(A\times B={(0,1)}\) and \(B\times A={(1,0)}\). In \(A\times B\), (0) is first and (1) is second, while in \(B\times A\) the order is reversed. Order remains important even with one element in each set.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में (0) पहले और (1) दूसरे स्थान पर है, जबकि \(B\times A\) में क्रम उल्टा है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है।
The only element (0) of (A) stays in the first position and all elements of (B) come in the second position. Do not reverse order even for singleton sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(0,1),(0,2),(0,3)}). The only element (0) of (A) stays in the first position and all elements of (B) come in the second position. Do not reverse order even for singleton sets.
Step 3
Exam Tip
(A) का एकमात्र तत्व (0) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के सभी तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल तत्व वाले समुच्चय में भी क्रम न बदलें।
The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So the power set contains ({k}), not just (k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \({\varnothing,{k}}\). The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So the power set contains ({k}), not just (k).
Step 3
Exam Tip
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए घात समुच्चय में ({k}) आएगा, केवल (k) नहीं।
The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So ({5}), not (5), is an element of the power set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \({\varnothing,{5}}\). The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So ({5}), not (5), is an element of the power set.
Step 3
Exam Tip
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए (5) नहीं, बल्कि ({5}) घात समुच्चय का तत्व है।
({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({20}). ({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
Step 3
Exam Tip
({20}) (A) का एक उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) में होगा। सीधे (20) को घात समुच्चय का तत्व न समझें।
One-element subsets are formed by taking one element at a time.
Step 2
Why this answer is correct
({p},{q},{r}) are the three such subsets.
Step 3
Exam Tip
A set with (n) elements has (n) one-element subsets. चरण 1: एक अवयव वाले उपसमुच्चय एक-एक अवयव से बनते हैं। चरण 2: ({p},{q},{r}) तीन ऐसे उपसमुच्चय हैं। चरण 3: किसी समुच्चय में (n) अवयव हों तो एक अवयव वाले उपसमुच्चय (n) होते हैं।
The two intervals meet only at (5). Hence the intersection is ({5}).
Step 3
Exam Tip
A single common number is best written as a set, not an interval. चरण 1: (A) में (5) शामिल है और (B) में भी (5) शामिल है। चरण 2: दोनों अंतराल केवल (5) पर मिलते हैं। इसलिए प्रतिच्छेद ({5}) है। चरण 3: एक अकेली साझा संख्या को अंतराल नहीं, समुच्चय रूप में लिखना बेहतर है।
Since (a) is in (A), \({a}\subseteq A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: understand the difference between the element (a) and the set ({a}). चरण 1: ({a}) एक समुच्चय है जिसका अकेला अवयव (a) है। चरण 2: (a), (A) में है, इसलिए \({a}\subseteq A\) सही है। चरण 3: परीक्षा संकेत: अवयव (a) और समुच्चय ({a}) में अंतर समझें।
Only (x=2) satisfies this condition, so the set is ({2}).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: a closed interval with equal endpoints becomes a singleton set. चरण 1: ([2,2]) में शर्त \(2\le x\le 2\) है। चरण 2: केवल (x=2) ही यह शर्त पूरी करता है, इसलिए समुच्चय ({2}) होगा। चरण 3: परीक्षा संकेत: समान सिरों वाले बंद अंतराल को एकल अवयव वाला समुच्चय समझें।
A. क्योंकि (1), ({1,2}) में है/because (1) is in ({1,2})
Step 1
Concept
({1}) has only one element, (1).
Step 2
Why this answer is correct
Since (1) is present in ({1,2}), the subset relation is correct.
Step 3
Exam Tip
For a singleton subset, check that one element only. चरण 1: ({1}) में केवल एक सदस्य (1) है। चरण 2: (1), ({1,2}) में मौजूद है, इसलिए उपसमुच्चय संबंध सही है। चरण 3: एक-सदस्यीय समुच्चय में केवल उसी एक सदस्य की जाँच करें।
The closed interval ([2,2]) includes the endpoint (2).
Step 2
Why this answer is correct
There is no other number between the same endpoints, so it is ({2}).
Step 3
Exam Tip
A closed interval with equal endpoints is a singleton set. चरण 1: बंद अंतराल ([2,2]) में (2) सीमा के रूप में शामिल है। चरण 2: बीच में कोई अलग संख्या नहीं, इसलिए यह केवल ({2}) है। चरण 3: समान सीमा वाले बंद अंतराल को एक-सदस्यीय समुच्चय की तरह समझें।
A one-element subset contains exactly one element.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has three elements, the one-element subsets are ({1},{2},{3}).
Step 3
Exam Tip
Put elements inside braces when writing subsets. चरण 1: एक-सदस्यीय उपसमुच्चय में केवल एक सदस्य होगा। चरण 2: (A) के तीन सदस्य हैं, इसलिए ({1},{2},{3}) मिलेंगे। चरण 3: उपसमुच्चय बनाते समय सदस्यों को कोष्ठकों में रखें।
They are the empty set and the singleton set itself.
Step 3
Exam Tip
Repeating an element does not create a new subset. चरण 1: एक-सदस्यीय समुच्चय के दो उपसमुच्चय होते हैं। चरण 2: वे हैं रिक्त समुच्चय और वही एक-सदस्यीय समुच्चय। चरण 3: किसी सदस्य को दो बार लिखने से नया उपसमुच्चय नहीं बनता।
In ([1,1]), the left and right endpoints are the same and included.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore only (1) belongs to it.
Step 3
Exam Tip
A closed interval with equal endpoints is a singleton set. चरण 1: ([1,1]) में बायाँ और दायाँ सिरा समान है और शामिल है। चरण 2: इसलिए केवल (1) ही आता है। चरण 3: समान सिरों वाले बंद अंतराल को एक अवयव वाला समुच्चय मानें।
B. \(A\neq B\) क्योंकि \(B=\{0\}\)/\(A\neq B\) because \(B=\{0\}\)
Step 1
Concept
The integer solution of \(x^2=0\) is (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
So \(B=\{0\}\), which is a singleton set.
Step 3
Exam Tip
\(\varnothing\) and ({0}) are not equal. चरण 1: \(x^2=0\) का पूर्णांक हल (x=0) है। चरण 2: इसलिए \(B=\{0\}\), जो एकांक समुच्चय है। चरण 3: \(\varnothing\) और ({0}) समान नहीं होते।
C. \(\varnothing\) रिक्त है पर \({\varnothing}\) एकांक है/\(\varnothing\) is empty but \({\varnothing}\) is singleton
Step 1
Concept
\(\varnothing\) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) has one element, namely \(\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, they are not equal. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: \({\varnothing}\) में एक तत्व है और वह \(\varnothing\) है। चरण 3: इसलिए दोनों समान नहीं हैं।
Hence (x=0), so the set is ({0}). चरण 1: वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: \(x^2\le 0\) तभी संभव है जब \(x^2=0\)। चरण 3: इससे (x=0), इसलिए समुच्चय ({0}) है।
Since there is only one element, it is a singleton set. चरण 1: (x-2-2x+1=(x-1)2) है। चरण 2: ((x-1)2=0) से (x=1) मिलता है। चरण 3: केवल एक तत्व होने से यह एकांक समुच्चय है।
\({\varnothing}\) contains one element, and that element is \(\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
So its number of elements is (1).
Step 3
Exam Tip
Remember that \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) are not equal. चरण 1: \({\varnothing}\) में एक तत्व है और वह तत्व \(\varnothing\) है। चरण 2: इसलिए इसमें तत्वों की संख्या (1) है। चरण 3: ध्यान रखें कि \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) समान नहीं होते।
C. ({0}) एकांक है और \(\varnothing\) रिक्त है/({0}) is singleton and \(\varnothing\) is empty
Step 1
Concept
({0}) contains one element, namely (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\varnothing\) contains no element.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse zero as an element with no element. चरण 1: ({0}) में (0) नाम का एक तत्व है। चरण 2: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 3: परीक्षा में (0) और रिक्तता को अलग पहचानना बहुत जरूरी है।
In natural numbers, (1) is neither prime nor composite.
Step 2
Why this answer is correct
Other natural numbers less than (12) are either prime or composite, so only (1) remains.
Step 3
Exam Tip
In prime and composite questions, remember the special status of (1). चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में (1) न अभाज्य है और न भाज्य है। चरण 2: (12) से छोटी अन्य संख्याएँ या तो अभाज्य हैं या भाज्य, इसलिए केवल (1) बचेगा। चरण 3: अभाज्य और भाज्य के प्रश्नों में (1) की विशेष स्थिति याद रखें।
The only solution is (x=2), so the set has one element.
Step 3
Exam Tip
A repeated root is not counted twice in a set. चरण 1: (x-2-4x+4=(x-2)2) है। चरण 2: हल केवल (x=2) है, इसलिए समुच्चय में एक अवयव है। चरण 3: दोहराए हुए मूल को समुच्चय में दो बार नहीं गिनते।
B. \(({x\in\mathbb{Z}:x^2=9\) और \(x>0})\)/\(({x\in\mathbb{Z}:x^2=9\) and \(x>0})\)
Step 1
Concept
The integer solutions of \(x^2=9\) are (-3) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x>0) leaves only (3), so there is exactly one element.
Step 3
Exam Tip
An extra inequality can reduce two solutions to one. चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (-3) और (3) हैं। चरण 2: (x>0) शर्त से केवल (3) बचता है, इसलिए एक अवयव है। चरण 3: एक अतिरिक्त असमानता दो हलों को एक हल में बदल सकती है।
The even natural numbers less than (10) are (2,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
Only (2) among them is prime.
Step 3
Exam Tip
When even and prime appear together, check (2) specially. चरण 1: (10) से छोटे सम प्राकृतिक मान (2,4,6,8) हैं। चरण 2: इनमें केवल (2) अभाज्य है। चरण 3: सम और अभाज्य साथ दिखें तो (2) को विशेष रूप से जाँचें।
The integer solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x<0) leaves only (-4).
Step 3
Exam Tip
An extra condition can reduce the solution set. चरण 1: \(x^2=16\) के पूर्णांक हल (-4) और (4) हैं। चरण 2: (x<0) शर्त के कारण केवल (-4) बचेगा। चरण 3: अतिरिक्त शर्त समाधान-समुच्चय को छोटा कर सकती है।
Hence (-3<x<-1), and the only integer there is (-2).
Step 3
Exam Tip
In strict absolute-value inequalities, do not include the endpoints. चरण 1: (|x+2|<1) से (-1<x+2<1) मिलता है। चरण 2: इसलिए (-3<x<-1), और इस बीच केवल पूर्णांक (-2) है। चरण 3: निरपेक्ष मान की कठोर असमानता में खुले सिरों को न लें।
B. \(A=\{1\}\), एक अवयव वाला समुच्चय/\(A=\{1\}\), singleton set
Step 1
Concept
An absolute value is (0) only when the inside expression is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(x-1=0) gives (x=1).
Step 3
Exam Tip
For (|u|=0), take only (u=0), not two values. चरण 1: निरपेक्ष मान (0) तभी होता है जब अंदर का मान (0) हो। चरण 2: (x-1=0) से (x=1) मिलता है। चरण 3: (|u|=0) में केवल (u=0) ही लें, दो मान नहीं।
C. \({\varnothing}\) में एक अवयव है, इसलिए यह रिक्त नहीं है/\({\varnothing}\) has one element, so it is not empty
Step 1
Concept
\(\varnothing\) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) has one element, namely \(\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Distinguish an empty set from a set containing the empty set. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: \({\varnothing}\) में एक अवयव है, और वह अवयव \(\varnothing\) है। चरण 3: किसी समुच्चय को अवयव के रूप में रखने और खाली समुच्चय में अंतर समझें।
B. \(A=\{0\}\) और \(A\ne B\)/\(A=\{0\}\) and \(A\ne B\)
Step 1
Concept
The only integer solution of \(x^2=0\) is (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(A=\{0\}\), which has one element.
Step 3
Exam Tip
Identify ({0}) and \(\varnothing\) separately. चरण 1: \(x^2=0\) का पूर्णांक हल केवल (x=0) है। चरण 2: इसलिए \(A=\{0\}\), जिसमें एक अवयव है। चरण 3: ({0}) और \(\varnothing\) को अलग-अलग पहचानें।
The condition \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\), so (x=0).
Step 3
Exam Tip
In non-negative square questions, check zero separately. चरण 1: किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। चरण 2: \(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\), यानी (x=0)। चरण 3: गैर-ऋणात्मक वर्ग से जुड़े प्रश्नों में (0) को अलग से जाँचें।
For every integer (k), \(0\cdot k=0\), so only (0) occurs.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse multiples of (0) with factors of (0). चरण 1: (0) का गुणज \(0\cdot k\) के रूप में होता है। चरण 2: किसी भी पूर्णांक (k) के लिए \(0\cdot k=0\), इसलिए केवल (0) मिलता है। चरण 3: (0) के गुणज और (0) के गुणनखंड में भ्रम न करें।
B. ({2}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय/({2}), singleton finite set
Step 1
Concept
(2) is the only even prime number.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{2\}\), a singleton finite set.
Step 3
Exam Tip
In questions about even primes, remember the special role of (2). चरण 1: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 2: इसलिए \(A=\{2\}\), जो एक अवयव वाला परिमित समुच्चय है। चरण 3: सम अभाज्य से जुड़े प्रश्नों में (2) को विशेष रूप से याद रखें।
B. ({1}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय/({1}), singleton finite set
Step 1
Concept
(x-2-2x+1=(x-1)2).
Step 2
Why this answer is correct
The only solution is (x=1), and a repeated root is written once in a set.
Step 3
Exam Tip
Identical elements are not counted repeatedly in a set. चरण 1: (x-2-2x+1=(x-1)2) है। चरण 2: हल केवल (x=1) है, दोहराया मूल भी समुच्चय में एक बार ही लिखा जाता है। चरण 3: समुच्चय में समान अवयव बार-बार नहीं गिने जाते।
The set \({\varnothing}\) has one element, namely the empty set itself.
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as equal. चरण 1: \(\varnothing\) और ({}) दोनों में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: \({\varnothing}\) में एक अवयव है, और वह अवयव खुद रिक्त समुच्चय है। चरण 3: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को कभी समान न मानें।
The integer solutions of \(x^2=49\) are (7) and (-7).
Step 2
Why this answer is correct
The negative condition keeps only (-7).
Step 3
Exam Tip
Equal sets must have exactly the same elements. चरण 1: \(x^2=49\) के पूर्णांक हल (7) और (-7) हैं। चरण 2: ऋणात्मक शर्त के कारण केवल (-7) चुना जाएगा। चरण 3: बराबर समुच्चय में अवयव बिल्कुल समान होने चाहिए।
Extra conditions can reduce the solution set. चरण 1: \(x^2=49\) से (x=7) या (x=-7) मिलता है। चरण 2: शर्त (x>0) होने के कारण केवल (7) रहेगा। चरण 3: अतिरिक्त शर्तें हलों को घटा सकती हैं।
The only integer strictly between (-1) and (1) is (0).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{0\}\), equal to (B).
Step 3
Exam Tip
Do not include boundary values in strict inequalities. चरण 1: (-1) और (1) के बीच केवल पूर्णांक (0) है। चरण 2: इसलिए \(A=\{0\}\), जो (B) के बराबर है। चरण 3: कड़ी असमानता में सीमा के मान शामिल न करें।
A. \(A=\{0\}\) और यह परिमित है/\(A=\{0\}\) and it is finite
Step 1
Concept
\(0\leq x\leq 0\) means (x) can only be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{0\}\).
Step 3
Exam Tip
Equal closed boundaries can form a singleton set. चरण 1: \(0\leq x\leq 0\) का अर्थ है कि (x) केवल (0) हो सकता है। चरण 2: इसलिए \(A=\{0\}\) है। चरण 3: बंद सीमा समान हो तो एकल समुच्चय बन सकता है।
The only solution is (3), and repetitions in (B) are not counted.
Step 3
Exam Tip
A repeated root and a repeated element are both written once in a set. चरण 1: (x-2-6x+9=(x-3)2) है। चरण 2: हल केवल (3) है और (B) में दोहराव गिना नहीं जाता। चरण 3: दोहराया मूल और दोहराया अवयव दोनों समुच्चय में एक बार लिखे जाते हैं।
(A) has two distinct elements: \(\varnothing\) and \({\varnothing}\).
Step 2
Why this answer is correct
They are not equal because the first is empty while the second has one element.
Step 3
Exam Tip
When the empty set is placed as an element, it counts as an element. चरण 1: (A) के दो अलग अवयव हैं: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\)। चरण 2: ये दोनों समान नहीं हैं, क्योंकि पहला रिक्त है और दूसरा एक अवयव वाला समुच्चय है। चरण 3: रिक्त समुच्चय को अवयव के रूप में रखने पर गिनती बदलती है।
Among natural numbers, only (x=1) lies in this range.
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, select elements only from the given number set. चरण 1: \(x^2<2x\) से (x(x-2)<0) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में केवल (x=1) इस सीमा के बीच आता है। चरण 3: असमानता हल करने के बाद दिए हुए संख्या-समूह में ही अवयव चुनें।
A. \(A=\{0\}\) और यह परिमित है/\(A=\{0\}\) and it is finite
Step 1
Concept
\(x^2+2=2\) gives \(x^2=0\).
Step 2
Why this answer is correct
The only real solution is (x=0), so \(A=\{0\}\).
Step 3
Exam Tip
A one-element set is finite, not empty. चरण 1: \(x^2+2=2\) से \(x^2=0\) मिलता है। चरण 2: इसका वास्तविक हल केवल (x=0) है, इसलिए \(A=\{0\}\)। चरण 3: एक अवयव वाला समुच्चय परिमित होता है, रिक्त नहीं।
A repeated solution is written only once in a set. चरण 1: समीकरण को \(x^2-2x+1=0\) लिखें। चरण 2: यह ((x-1)2=0) है, इसलिए (x=1)। चरण 3: दोहराया हल समुच्चय में एक ही बार लिखा जाता है।
(2) does not divide every natural number, for example it does not divide (3).
Step 3
Exam Tip
For an all-elements condition, one counterexample can eliminate a wrong option. चरण 1: (1) हर प्राकृतिक संख्या का गुणनखंड होता है। चरण 2: (2) हर प्राकृतिक संख्या को भाग नहीं देता, जैसे (3) को नहीं। चरण 3: सभी के लिए वाली शर्त में एक भी प्रतिवाद गलत विकल्प हटाने के लिए काफी है।
A repeated root is written only once in a set. चरण 1: (x-2+2x+1=(x+1)2) है। चरण 2: ((x+1)2=0) से (x=-1) मिलता है। चरण 3: दोहराया मूल भी समुच्चय में एक ही बार लिखा जाता है।
\(\varnothing\) has no element, but \({\varnothing}\) has one element.
Step 2
Why this answer is correct
That one element is the empty set itself.
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as the same set. चरण 1: \(\varnothing\) का अर्थ कोई अवयव नहीं है, लेकिन \({\varnothing}\) में एक अवयव है। चरण 2: वह एक अवयव स्वयं रिक्त समुच्चय है। चरण 3: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को कभी समान न मानें।
