\(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\})))\) में कितने तत्व हैं?

Correct Answer: B. 4. Explanation: यदि किसी समुच्चय A में n तत्व हों तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ A = \(\{a\}\) के लिए n = 1, अतः \(\mathcal{P}(\{a\})\) में \(2^1 = 2\) तत्व होंगे। अब उन 2 तत्वों का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\) में कुल \(2^2 = 4\) तत्व होंगे। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलता अगर शुरूआती समुच्चय में 3 तत्व होते (\(2^{2^3}=256\) नहीं—यहां चरणबद्ध गिनती लागू करें)। परीक्षा युक्ति: पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें (n), फिर सामान्य सूत्र \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert=2^{2^n}\) या चरण-दर-चरण \(2^n\) और फिर \(2^{(2^n)}\) के बजाय छोटे मामलों में सीधे \(2^{2^n}\) से गणना करें। / If a set A has n elements then its power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements. Here A = \(\{a\}) so n = 1, therefore \(\mathcal{P}(\{a\})\) has \(2^1 = 2\) elements. The power set of that set, \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\), therefore has \(2^2 = 4\) elements. Hence 4 is correct. Option C (8) is incorrect — that would correspond to a different starting size; do the counting stepwise rather than guessing. Exam tip: use the general formula \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert = 2^{2^n}\) for a set of size n, or compute \(2^n\) first and then take the power set of that result for small n.