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शून्यक वे x-मान होते हैं जिनके लिए p(x)=0 होता है। तालिका में p(-1)=0 और p(3)=0 दिये हैं, अतः शून्यक \\(-1\\) और \\(3\\) हैं। इनका गुणनफल \\((-1)\\times(3)= -3\\) होगा। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वहाँ चिह्न का ध्यान नहीं रखा गया; विकल्प C (0) तब ही सही होता यदि किसी शून्यक का मान 0 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: केवल उन x-मूल्यों को लें जिनके लिए p(x)=0 लिखा हो। / Zeros are the x-values where p(x)=0. From the table p(-1)=0 and p(3)=0, so the zeros are \(-1\) and \(3\). Their product is \((-1)\times(3) = -3\). Option B (3) is incorrect because it ignores the negative sign of \(-1\); option C (0) would be correct only if one of the zeros were 0, which is not the case here. Exam tip: consider only x-values that satisfy p(x)=0 when identifying zeros.
दिए गए बिंदु बतलाते हैं कि बहुपद के शून्यक \(0\) और \(a\) हैं। शून्यकों का गुणनफल सीधे उन दोनों का गुणन है: \(0\times a=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। नजदीकी विचलन जैसे \(a\) या \(a^2\) इस कारण गलत हैं कि वे शून्य को ध्यान में नहीं रखते — यदि शून्य शून्यकों में से एक है तो समूचे गुणनफल का मान शून्य ही रहेगा। परीक्षा टिप: यदि किसी बहुपद के शून्यकों में \(0\) शामिल है तो शून्यकों का गुणनफल हमेशा 0 ही होगा, गुणन में किसी भी अन्य मान का प्रभाव नहीं। / The x-intercepts show the zeros are 0 and \(a\). The product of the zeros is \(0\times a=0\). Hence 0 is correct. Closest distractors like \(a\) or \(a^2\) are wrong because they ignore the presence of the zero root — any product containing 0 equals 0. Exam tip: whenever 0 is one of the roots of a polynomial, the product of all roots is 0 regardless of the other roots or their multiplicities.
A. \(\frac{1}{2}\) और (-4)/\(\frac{1}{2}\) and (-4)
Explanation
Simple Explanation
(2x-1=0) से \(x=\frac{1}{2}\) और (x+4=0) से (x=-4) मिलता है। परीक्षा में प्रत्येक रैखिक गुणनखंड अलग हल करें। / From (2x-1=0), \(x=\frac{1}{2}\), and from (x+4=0), (x=-4). In exams, solve each linear factor separately.
D. \(-\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\)/\(-\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-7=0\) से \(x=\pm\sqrt{7}\) मिलता है। परीक्षा में वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों वर्गमूल लें। / From \(x^2-7=0\), \(x=\pm\sqrt{7}\). In exams, take both positive and negative square roots in a square equation.
(p(1)=0) से (a+b=9) और (p(5)=0) से (5a+b=-23), इसलिए (a=-8) नहीं बल्कि (a=-8) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=9) and (p(5)=0) gives (5a+b=-23), so (a=-8). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (1+a+b+18=0), इसलिए (a+b=-19)। पूछे गए योग के लिए यह शर्त सीधे पर्याप्त है। / From (p(1)=0), (1+a+b+18=0), so (a+b=-19). This condition is directly enough for the asked sum.
(p(1)=0) से (a+b=5) और (p(2)=0) से (2a+b=-1), इसलिए (a=-6) नहीं बल्कि (a=-6) आता है। विकल्पों में कोई सही नहीं है। / (p(1)=0) gives (a+b=5) and (p(2)=0) gives (2a+b=-1), so (a=-6). None of the listed choices is correct.
(p(1)=0) से (a+b=-13) सीधे मिलता है। दूसरी शर्त संगति जांचती है लेकिन पूछे गए योग के लिए पहली शर्त पर्याप्त है। / From (p(1)=0), we directly get (a+b=-13). The second condition checks consistency, but the first is enough for the asked sum.
(p(1)=1+a+b+4=0) और (p(-1)=-1+a-b+4=0), इसलिए (2a+4=0) नहीं बल्कि जोड़ने पर (2a+8=0), अतः (a=-4)। संकेतों को सावधानी से जोड़ें। / (p(1)=1+a+b+4=0) and (p(-1)=-1+a-b+4=0); adding gives (2a+8=0), so (a=-4). Add signs carefully.
शर्तों से (a+b=-7) और (4a-2b=2), इसलिए (a=-2), (b=-5) और (a-b=3)। सही गणना से (a-b=3) मिलता है। / The conditions give (a+b=-7) and (4a-2b=2), so (a=-2), (b=-5), and (a-b=3). The correct value is (3).
यदि किसी बहुपद के ग्राफ़ पर निम्नलिखित मान दिए गए हों: \(p(-4)=0\), \(p(0)=3\), \(p(2)=0\), \(p(5)=0\)। इनमें से कितने दिए गए \(x\)-मान बहुपद के शून्यक (zeros) हैं?
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
x-अक्ष पर कटान बिंदु शून्यक (roots) होते हैं, यहाँ शून्यक 3 और 12 हैं। उनका अंकगणितीय औसत \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\) है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A (15) केवल 3 और 12 का योग है; विकल्प D (36) उनका गुणनफल है; विकल्प B (9) किसी ग़लत गणना या संख्या के गलत पढ़ने से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात के शून्यकों α और β का औसत \\(-\frac{b}{2a}\\) से भी शीघ्र ज्ञात किया जा सकता है। / The x-intercepts are the zeros (roots) 3 and 12. The arithmetic mean is \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\), so option C is correct. Option A (15) is the sum 3+12; option D (36) is the product 3×12; option B (9) is an incorrect result from a miscalculation or misreading. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the average of the two roots equals \(-\frac{b}{2a}\).
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
बहुलक के शून्य वे x‑मान हैं जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता/छूता है, यानी y = 0। दिए गए बिंदुओं में केवल (−3, 0) और (8, 0) की दूसरी निर्देशांक शून्य है, इसलिए वही शून्यक दिखाते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि (0,4) का y = 4 ≠ 0; विकल्प A और D भी गैर‑शून्य y वाले बिंदु शामिल करते हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को चुनते समय उसका दूसरा निर्देशांक (y) अवश्य देखें — y = 0 होना चाहिए। / Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis, i.e. y = 0. From the given points only (−3, 0) and (8, 0) have y = 0, so they are the zeros. Option C is incorrect because (0, 4) has y = 4 ≠ 0; options A and D include points with nonzero y. Exam tip: always check the second coordinate — zeros occur where y = 0 (x‑intercepts).
A. x-अक्ष के साथ मिलने वाले बिंदु/Points where the graph meets the x-axis
Explanation
Simple Explanation
शून्यक वे x मान होते हैं जिनके लिए \\(p(x)=0\\). ग्राफ पर यह उन बिंदुओं के y-निर्देशांक की शून्यता को दर्शाता, यानी \\(y=0\\) होने पर बिंदु x-अक्ष पर होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु \\( (a,0) \\) पर काटता है तो a बहुपद का शून्यक है। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष पर x=0 होता है और वह केवल \\(p(0)\\) देता है — जरूरी नहीं कि यह शून्य हो। विकल्प C गलत है क्योंकि टर्निंग पॉइंट्स पर अक्सर \\(\frac{dp}{dx}=0\\) होता है पर \\(p(x)=0\\) आवश्यक नहीं। विकल्प D सिर्फ उस विशेष स्थिति में सही होगा जब \\(p(0)=0\\), अन्यथा नहीं। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से शून्यक पाने के लिए उन बिंदुओं के x-निर्देशांक नोट करें जहाँ y=0। / Zeros (roots) are x-values for which \\(p(x)=0\\). On the graph these correspond to points with \\(y=0\\), i.e. where the curve meets the x-axis. So if the curve intersects the x-axis at \\( (a,0) \\), then a is a root of \\(p(x)\\). Option B is incorrect because y-axis intersections give \\(p(0)\\) (x=0) and need not be zero. Option C is incorrect since turning points relate to derivative conditions, not necessarily to the function value being zero. Option D is only true in the special case \\(p(0)=0\\). Exam tip: To read zeros from a graph, list the x-coordinates of all intersections with the x-axis.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=5)। / The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=5).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है। / For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़े से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है। इसलिए (\min(a,b)=2)। / The number of pairs equals the smaller of (a) and (b). So (\min(a,b)=2).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्यों में योग नहीं, छोटी घात काम आती है। / For trailing zeros, use the smaller exponent, not the sum.
अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़ों से बनते हैं। / Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है, इसलिए (\min(a,b)=4)। / The number of pairs equals the smaller exponent of (a) and (b), so (\min(a,b)=4).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्य में योग नहीं, छोटी घात गिनी जाती है। / For trailing zeros, count the minimum exponent, not the sum.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-समन्वय बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं ",-1", "2" और "4"। अतः गुणनफल \\((-1)\times2\times4=-8\\) होता है। सबसे निकटभ्रष्ट विकल्प C (8) केवल संख्याओं का गुणन सही है पर् चिन्ह गलत है; A और D स्पष्ट अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर दिए गए x-समन्वयों को सीधे गुणा करें, और ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखें। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -1, 2 and 4, so the product is \\((-1)\times2\times4=-8\\). The closest distractor C (8) results from ignoring the negative sign; A and D are simple arithmetic mismatches. Exam tip: multiply the x-intercepts (including their signs) to get the product of zeros.
x-अक्ष पर परिकल्पित बिंदु बताते हैं कि शून्यक (zeros) हैं: ",-7" और "2". इसलिए गुणनफल \\((-7)(2)= -14\\) होगा। विकल्प B (14) चिन्ह की गलती है — वहाँ प्लस मान लिया गया है। विकल्प C और D गलत संख्याएँ हैं जो जोड़/भिन्न या गलत चिन्ह से आ सकती हैं। परीक्षा टिप: दो शून्यकों का गुणन सीधे उनके गुणन से मिलता है; चिन्हों का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes: -7 and 2. Their product is \\((-7)(2) = -14\\). Option B (14) is the same magnitudes but with the wrong sign. Options C and D are simply incorrect results from other operations (e.g., wrong addition/subtraction). Exam tip: multiply the x-intercepts to get the product of zeroes and watch the signs carefully.
(x-2=0) से (2) और (x+3=0) से (-3) मिलता है। परीक्षा में हर गुणनखंड को (0) के बराबर रखें। / From (x-2=0) we get (2), and from (x+3=0) we get (-3). In exams, set each factor equal to (0).
(x-2-2x=x(x-2)), इसलिए शून्यक (0) और (2) हैं। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड निकालना आसान तरीका है। / (x-2-2x=x(x-2)), so the zeros are (0) and (2). In exams, taking a common factor is an easy method.
\(x^2-16=0\) से \(x=\pm4\) मिलता है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) के शून्यक दोनों ओर देखें। / From \(x^2-16=0\), \(x=\pm4\). In exams, check both sides for zeros of \(a^2-b^2\).
बहुपद के शून्यक वे मान हैं जिनपर बहुपद शून्य हो जाता है। गुणनखंड रूप \((x-1)(x+4)\) में शून्य प्राप्त करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखें: \(x-1=0\) से \(x=1\), और \(x+4=0\) से \(x=-4\)। बाहरी ऋण चिह्न केवल संपूर्ण मान बदलता है, शून्यक नहीं। करीबी ध्रुवीकरण (option B) गलत है क्योंकि वहाँ चिन्ह उल्टे कर दिए गए हैं। टिप: किसी बहुपद में किसी भी गैर‑शून्य समिश्र गुणांक (जैसे −1) से शून्यक प्रभावित नहीं होते—हर गुणनखंड को शून्य मानकर जड़ों को खोजें। / Zeros are values of x that make the polynomial equal to zero. From the factor form \((x-1)(x+4)\) set each factor to zero: \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+4=0\) gives \(x=-4\). The leading negative sign only multiplies the polynomial and does not change its roots. The closest distractor (option B) merely has the signs swapped, so it is incorrect. Exam tip: multiplying the polynomial by any nonzero constant does not change its zeros—solve each factor = 0 to find roots.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
दोहराया शून्यक 5 को अलग (distinct) शून्यकों में केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 5 और -1 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें शून्यक की आवृत्ति (multiplicity) सहित सभी दर्ज हैं, जबकि प्रश्न अलग मान पूछ रहा है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे दूसरे शून्यक को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: 'distinct' या 'अलग' का अर्थ है हर अलग मान को एक बार लिखें। / A repeated root is counted only once when listing distinct zeros. So the distinct real zeros are 5 and -1. Option C is incorrect because it lists zeros with multiplicity; B and D are wrong because they omit the other root. Exam tip: when asked for distinct/unique values, list each value once regardless of multiplicity.
ग्राफ़ का किसी बिंदु पर कटना यानी वह बिंदु \\((p(x)=0)\\) का वास्तविक शून्यक है और उस शून्यक की घनत्व (multiplicity) सम संख्या नहीं (odd) होगी। स्पर्श होने का मतलब है कि शून्यक की घनत्व सम संख्या (even) है। यहाँ कटना x=1 और स्पर्श x=6 दो अलग x‑मान दे रहे हैं, इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प 'तीन' इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श की सम घनत्व से अतिरिक्त भिन्न x‑मान नहीं बनते—वे वही x‑मान दोहराते हैं। परीक्षा टिप: अलग वास्तविक शून्यक गिनते समय केवल अलग x‑मान गिनें; multiplicity से फर्क नहीं पड़ता। / A crossing at a point means the polynomial has a zero there (\\((p(x)=0)\\)) with odd multiplicity; a touch means a zero with even multiplicity. Crossing at x=1 and touching at x=6 are two distinct x‑values, so there are 2 distinct real zeros. The common mistake is to count multiplicities (which could give a larger total count); multiplicity does not change the number of distinct zeros. Exam tip: count distinct x‑values where \\((p(x)=0)\\) rather than multiplicities.
बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जिन पर y का मान शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदुओं में केवल (-4,0) और (2,0) पर y = 0 है, अतः वास्तविक शून्यक -4 और 2 हैं। विकल्प B भ्रमित करने वाला है क्योंकि (0,3) में x=0 है पर y=3 (शून्य नहीं) और (5,-1) में y=-1 है; इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल उन बिंदुओं को चुनें जो x-अक्ष पर पड़े हों यानी जहाँ \\(y=0\\)। / Zeros of a polynomial are the x-values where the function value is zero. Among the given points only (-4,0) and (2,0) have y = 0, so the real zeros are -4 and 2. Option B is a common trap: (0,3) has x=0 but y=3 (not zero), and (5,-1) has y=-1, so neither gives a zero. Exam tip: pick points lying on the x-axis, i.e. where \(y=0\).
B. यह शून्यकों को नहीं बदलता/It does not change the zeros
Explanation
Simple Explanation
यदि हम \(p(x)=3(x+4)(x-2)\) के शून्य खोजें तो शून्य वही होंगे जहाँ \((x+4)(x-2)=0\), अर्थात् \(x=-4\) और \(x=2\)। गैर-शून्य स्थिर गुणक (यहाँ \(3\)) को दोनों पक्षों से विभाजित करने पर समीकरण \(p(x)=0\) के हल नहीं बदलते। इसलिए शून्यकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। निकटतम भ्रम (विकल्प A): स्थिर गुणक केवल फलन के मानों को स्केल करता है, शून्यकारकों को नहीं। परीक्षा टिप: शून्य जानने के लिए सीधे \(p(x)=0\) रखें और कारकों को शून्य के बराबर मानें। / Zeros are solutions of \(p(x)=0\). For \(p(x)=3(x+4)(x-2)\), setting \(p(x)=0\) gives \((x+4)(x-2)=0\), so zeros are \(x=-4\) and \(x=2\). A nonzero constant multiplier (3) scales the polynomial values but does not change where it becomes zero. Why A is wrong: multiplying the polynomial by 3 does not multiply the roots. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve the factor equation to find zeros quickly.
x-अक्ष पर कटान के बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यकों का योग सीधे उन x-मूल्यों को जोड़कर मिलता है: \(-2+1+5=4\)। विकल्प A (8) तब गलत होगा जब कोई अभ्यर्थी मात्र मानों के परिमाण जोड़ दे (\(|-2|+|1|+|5|=8\)), जो सही नहीं है क्योंकि संकेत (-) महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सुझाव: जोड़ते समय हर शून्य का संकेत ध्यान से लें; सिर्फ x-मूल्यों को जोड़ें, y-संयोजन को नहीं। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial, so sum the x-values: \(-2+1+5=4\). Option A (8) is incorrect—someone might have added absolute values (2+1+5=8), which ignores the negative sign. Exam tip: always keep the signs of the zeros while summing; only use the x-coordinates of intercepts.
बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। तालिका में \(p(-5)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, अतः शून्यक \(-5\) और \(4\) हैं। शेष दिए गए: \(p(-1)=2\) और \(p(6)=9\) शून्य नहीं हैं क्योंकि उनके लिए फलन मान 0 नहीं है। परीक्षीय सुझाव: तालिका में सीधे उन पंक्तियों को देखें जहाँ फलन मान 0 लिखा हो। / A root (zero) of a polynomial is any \(x\) for which \(p(x)=0\). From the table \(p(-5)=0\) and \(p(4)=0\), so the zeros are \(-5\) and \(4\). The other entries give \(p(-1)=2\) and \(p(6)=9\), which are not zero, so options A and B are incorrect and D is false because not all given x produce 0. Exam tip: when a table lists \(p(x)\) values, locate the rows where the function value equals 0 and read the corresponding \(x\).
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका आलेख x-अक्ष से मिलता है। \( (2,0) \) और \( (5,0) \) पर मिलने का अर्थ है दो अलग x-मूल्य: 2 और 5। ध्यान दें कि "स्पर्श" होने पर उस स्थान पर बहुपद की शून्यक की गुणात्मक बहुलकता सम (even) हो सकती है और "काटने" पर बहुलकता विषम (odd) हो सकती है — पर यह गुणात्मक बहुलकता अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या बदलती नहीं है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक = 2। टिप: परीक्षा में केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; गुणात्मक बहुलकता केवल आलेख का व्यवहार बताती है। / Distinct real zeros are the distinct x-values where the graph meets the x-axis. Here the graph meets at x=2 (touching) and x=5 (crossing), so there are two distinct zeros: 2 and 5. "Touching" usually indicates an even multiplicity and "crossing" an odd multiplicity, but multiplicity affects behavior, not the count of distinct zeros. Thus the answer is two. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the axis; multiplicity matters only for the shape at each root.
काटना (crossing) और स्पर्श (touching) दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक दर्शाते हैं। काटने वाला बिंदु सामान्यतः विषम गुणांक (odd multiplicity) वाला शून्यक होता है (यहाँ x=2), जबकि स्पर्श करने वाला बिंदु सम गुणांक (even multiplicity) वाला शून्यक होता है और वह भी एक ही x-मूल्य पर केवल एक अलग शून्यक गिना जाएगा (यहाँ x=-1)। अतः अलग वास्तविक शून्यक x=2 और x=-1 — कुल 2 हैं। निकटतम विकर्षक (तीन) इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श करने से एक ही x-मूल्य पर दो अलग शून्यक नहीं बनते; गुणांक दो होने पर वह एक ही शून्यक है। परीक्षा युक्ति: अलग शून्यकों की गिनती के लिये केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; multiplicity को अलग-गिणती मत समझें। / Both a crossing and a touching point are x-axis zeros. A crossing point typically corresponds to an odd multiplicity root (here x=2), while a touching point corresponds to an even multiplicity root but still represents one distinct x-value (here x=-1). Therefore the distinct real zeros are x=2 and x=-1 — two in total. The choice 'three' is wrong because a touch (even multiplicity) does not create an additional distinct x-value. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the x-axis; multiplicity does not increase the count of distinct zeros.
B. वे परस्पर विपरीत हैं/They are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर काटने के बिंदु उस फलन के शून्यक (zeros) के x-मान देते हैं; यहाँ शून्यक -4 और 4 हैं। ये एक-दूसरे के विपरीत हैं क्योंकि 4 = -(-4)। विकल्प A गलत है क्योंकि -4 ≠ 4; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि एक शून्य धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है। परीक्षा सुझाव: यदि x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु ±a के रूप में होते हैं तो शून्यकों का योग 0 होता है और बहुपद में \(x^2 - a^2\) गुणक होगा। / The x-intercepts give the zeros of the function: here the zeros are -4 and 4. They are opposites because 4 = -(-4). Option A is incorrect since -4 and 4 are not equal; options C and D are wrong because one root is positive and the other is negative. Exam tip: zeros at ±a imply sum 0 and the polynomial has factor \(x^2 - a^2\), which helps quickly identify symmetric roots.
दूरी का अर्थ है दो बिंदुओं के बीच का सकारात्मक अंतर, यानी अनुप्रयोग में हम absolute difference लेते हैं। यहाँ दूरी = |9 - (-3)| = |12| = 12। विकल्प A (6) आम गलती है यदि कोई दूरी की बजाय मध्यबिंदु या दूरी को आधा मान लेता है। विकल्प B (9) तब आती है जब कोई केवल 9 का मान ले लेता है और -3 को नजरअंदाज करता है — यह सही तरीका नहीं है। विकल्प D (-12) गलत है क्योंकि दूरी कभी नकारात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी दो x-स्थानांकों के बीच दूरी = |x2 - x1| लिखकर तुरंत निकालें। / Distance between two zeros on the x-axis is the absolute difference of their x-coordinates. Here distance = |9 - (-3)| = |12| = 12, so option C is correct. Option A (6) could arise from mistakenly taking half the separation (confusing midpoint with distance). Option B (9) reflects ignoring the negative sign of -3 and using only 9, which is incorrect. Option D (-12) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: compute distance as |x2 - x1| to avoid sign errors.
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर पार करता है तो उस बिंदु का \(x\)-मान बहुपद का शून्य होता है (उदाहरण: \(x=-2\) पर पार करने का अर्थ \(p(-2)=0\))। उसी प्रकार जब ग्राफ किसी बिंदु पर केवल छूता है तो भी वह बिंदु शून्य देता है (\(x=3\) पर छूने का अर्थ \(p(3)=0\))। इसलिए दोनों \(x=-2\) और \(x=3\) अलग वास्तविक शून्यक हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे केवल \(-2\) या केवल \(3\) इसलिए गलत हैं क्योंकि दोनों बिंदु पर \(p(x)=0\) होता है। परीक्षा टिप: अलग शून्यक लिखते समय सभी भिन्न \(x\)-मान गिनें और यदि पूछा हो तो उनकी गुणात्मक बहुलता (odd/even) भी बताएं। / When a graph crosses the \(x\)-axis at a point, that \(x\)-value is a zero of the polynomial (e.g. crossing at \(x=-2\) means \(p(-2)=0\)). When the graph only touches the axis at a point, that point is also a zero (touching at \(x=3\) means \(p(3)=0\)). Thus both \(x=-2\) and \(x=3\) are distinct real zeros. Close distractors stating only one of the points are incorrect because both give \(p(x)=0\). Exam tip: list all distinct \(x\)-values where the graph meets the axis; check multiplicity (odd for crossing, even for touching) if required.
x-अक्ष पर जो बिंदु ग्राफ काटता है वे बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(+1\\) हैं, अतः उनका योग \\(-1+1=0\\) है। सबसे संभावित भ्रम विकल्प B (2) तब होता है जब कोई मानों के परिमाण (absolute values) जोड़ देता है। परीक्षा टिप: यदि शून्यक सममित रूप से \(±a\) हैं तो उनका योग हमेशा 0 होगा। / Points where the graph crosses the x-axis are the zeros. Here the zeros are \(-1\) and \(+1\), so their sum is \(-1+1=0\). The common mistake giving option B (2) comes from adding absolute values instead of signed numbers. Exam tip: For symmetric roots \(±a\) the sum is always 0; use signs carefully when adding roots.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
यदि \(p(-6)=0\) है तो बहुपद का मान \(x=-6\) पर शून्य है, यानी ग्राफ का य‑निर्मित मान \(y=0\) होगा। इसलिए बिंदु \((-6,0)\) ग्राफ पर होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ x का मान +6 है न कि −6; विकल्प C और D y‑अवरोधक (x=0 पर y≠0) हैं, जो शून्य होने की परिभाषा से मेल नहीं खाते। परीक्षा‑टिप: किसी भी रूप में दिए गए "zero" या "root" का मतलब है कि वह x‑मान ग्राफ का x‑अक्ष (y=0) पर इंटरसेप्ट देता है। / \(p(-6)=0\) means the polynomial equals zero at \(x=-6\), so the graph has \(y=0\) when \(x=-6\). Hence the point \((-6,0)\) lies on the graph. Option B is wrong because it uses \(x=6\) instead of \(x=-6\). Options C and D are y‑intercepts (x=0) and do not represent a zero of the polynomial. Exam tip: a root/zero \(p(a)=0\) corresponds to the x‑intercept \((a,0)\).
x-अक्ष पर स्पर्श करने का अर्थ है कि परवलय का शीर्षक (vertex) उसी बिंदु पर है और समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं — यानि द्विघात समीकरण का एक ही वास्तविक विशिष्ट शून्य है (दोहऱा मूल)। गणितीय दृष्टि से यह स्थिति \\(\Delta=0\\) अर्थात विसंगति (discriminant) शून्य होने पर आती है। इसलिए शून्यकों की संख्या एक है (मूल 2, पर गुणनफल में दोहरान होना अलग बात है)। निकटतम ग़लत विकल्प: 'दो' तब होता जब परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे; 'कोई नहीं' तब होता जब परवलय x-अक्ष से ऊपर पूरी तरह हो; 'अनंत' असम्भव है। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात के एक ही शून्य के लिए विसंगति \\(\Delta=0\\) याद रखें। / Touching the x-axis means the parabola's vertex lies on the axis and the quadratic has a repeated root — one distinct real zero (a double root). In terms of discriminant, this corresponds to \\(\Delta=0\\). So there is exactly one real zero: x=2. Why other options are wrong: 'Two' would require the parabola to intersect the axis at two distinct points; 'None' applies when the parabola does not meet the axis at all; 'Infinite' is impossible for a polynomial of finite degree. Exam tip: for a double root of a quadratic check that \\(\Delta=0\\).
x-अक्ष पर काटने के बिंदु किसी बहुपद (यहाँ परवलय) के वास्तविक शून्यक (zeros) होते हैं। दो अलग‑अलग कटाव होने का मतलब है दो अलग‑अलग वास्तविक शून्यक हैं; यहाँ शून्यक -1 और 5 हैं। विकल्प B (एक) तब होता है जब परवलय स्पर्शक हो और शून्यक की गुणांकिता अधिक हो (दोहऱा शून्यक), विकल्प C गलत है क्योंकि वे बिंदु intersections हैं, और विकल्प D गलत है क्योंकि द्विघातीय बहुपद की अधिकतम वास्तविक शून्यकों की संख्या 2 होती है। परीक्षा सुझाव: किसी परवलय के x-अक्ष पर कितने बिंदु काटे जा रहे हैं यह सीधे वास्तविक शून्यकों की संख्या देता है; द्विघात के लिए अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं। / Points where a parabola meets the x-axis are its real zeros. Two distinct intersections therefore mean two distinct real zeros; here the zeros are x = -1 and x = 5. Option B (one) would correspond to a tangent (a repeated root), option C (none) is impossible because intersections are given, and option D (three) is impossible for a quadratic since a parabola (degree 2) can have at most two real zeros. Exam tip: Count x-axis intersections for real zeros; for quadratics the maximum is 2 and a single intersection implies a repeated root.
x-अक्ष के परकीय बिंदु शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -10 और 0 हैं। उनका गुणनफल (-10) × 0 = 0 होगा क्योंकि किसी भी संख्या का 0 से गुणनफल 0 होता है. निकटवर्ती विचलन: 100 विकल्प तब गलत है जब कोई |−10|×|−10| मानकर भूल कर देता है। परीक्षा टिप: यदि आलेख origin (0,0) पर कटता है तो 0 एक शून्यक जरूर है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -10 and 0, so their product is (-10) × 0 = 0 because any number multiplied by 0 equals 0. Closest distractor: 100 is wrong; it would arise only if one mistakenly multiplied 10 by 10. Exam tip: if the graph passes through the origin (0,0), 0 is always one of the roots.
शर्तों से (a+b=-21) और (4a-b=11) मिलते हैं, इसलिए (a=-2), (b=-19) और (a-b=17)। दो शून्य दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (a+b=-21) and (4a-b=11), so (a=-2), (b=-19), and (a-b=17). When two zeros are given, form two equations.
(p(4)=0) और (p(5)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान इस बहुपद के शून्य हैं। / (p(4)=0) and (p(5)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of this polynomial.
(p(6)=0) और (p(-2)=0), इसलिए अंतर (0) है। दोनों मान अलग निकालकर ही घटाएं। / (p(6)=0) and (p(-2)=0), so the difference is (0). Find both values separately before subtracting.
शून्य (-4) और (1) होने पर बहुपद ((x+4)(x-1)=x-2+3x-4) है। इसलिए (b=-4)। / With zeros (-4) and (1), the polynomial is ((x+4)(x-1)=x-2+3x-4). Hence (b=-4).
शून्य (-2) और (5) हैं, इसलिए बहुपद ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10) है। अतः (a+b=-3-10=-13)। / The zeros are (-2) and (5), so the polynomial is ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10). Hence (a+b=-3-10=-13).
शर्तों से (2a+b=2) और (3a+b=-5) मिलते हैं, इसलिए (a=-7), (b=16) और (a+b=9)। दो मान दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (2a+b=2) and (3a+b=-5), so (a=-7), (b=16), and (a+b=9). When two values are given, form two equations.
(p(3)=0) और (p(4)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान इस बहुपद के शून्य हैं। / (p(3)=0) and (p(4)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of this polynomial.
शून्य (-1) और (5) होने पर बहुपद ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5) है। इसलिए (b=-5)। / With zeros (-1) and (5), the polynomial is ((x+1)(x-5)=x-2-4x-5). Hence (b=-5).
शून्य (2) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8) है। अतः (a+b=-6+8=2)। / The zeros are (2) and (4), so the polynomial is ((x-2)(x-4)=x-2-6x+8). Hence (a+b=-6+8=2).
(p(2)=0) और (p(3)=0), इसलिए योग (0) है। दोनों मान बहुपद के शून्य हैं। / (p(2)=0) and (p(3)=0), so the sum is (0). Both values are zeros of the polynomial.
शर्तों से (1+a+b=0) और (4+2a+b=0), इसलिए (a=-3), (b=2) और (a+b=-1)। सही विकल्प (-1) है। / The conditions give (1+a+b=0) and (4+2a+b=0), so (a=-3), (b=2), and (a+b=-1). The correct option is (-1).
\(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\) के रूप में गुणनखंड करते हैं; इसलिए \(p(x)=0\) होने पर \(x=0\) या \(x=a\)। x-अक्ष पर कटान बिंदु उन x मूल्यों के लिए y=0 होने पर बिंदु होते हैं, अतः कटान (0,0) और (a,0) होंगे। निकटवर्ती भ्रांति: विकल्प B में \(-a\) लिया गया है जो संकेत की गलती है — यहाँ गुणनखंड \(x-a\) से जड़ \(+a\) आती है न कि \(-a\)। परीक्षा सुझाव: तेजी से शून्य खोजने के लिए \(p(x)=0\) रखें और सामान्य गुणक \(x\) बाहर निकालें। / Factor: \(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\). Setting \(p(x)=0\) gives \(x=0\) or \(x=a\), so the x-intercepts are (0,0) and (a,0). Closest distractor: option B uses \(-a\) — this comes from a sign mistake; the factor is \(x-a\) so the root is \(+a\), not \(-a\). Exam tip: always set \(p(x)=0\) and factor to find zeros quickly.
A. \(\left(\frac{5}{2},0\right),\ \left(-\frac{5}{2},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कटबिंदु बहुपद के शून्य (zeros) होते हैं। \(p(x)=4x^2-25=0\) से, यह अंतर वर्ग (difference of squares) के रूप में लिखा जा सकता है: \((2x)^2-5^2=0\) अर्थात् \((2x-5)(2x+5)=0\)। अतः \(2x-5=0\) या \(2x+5=0\) से \(x=\pm\frac{5}{2}\)। इसलिए कटबिंदु \(\left(\frac{5}{2},0\right)\) और \(\left(-\frac{5}{2},0\right)\) हैं। नज़दीकी भूल: विकल्प B तब होगा जब कोई \(2x\) को अनदेखा कर के सीधे \(x=\pm5\) ले लेता है — यह गलत है। परीक्षा सुझाव: \(4x^2-25\) को \((2x)^2-5^2\) समझकर तुरंत गुणनखंड करें या दोनों पक्ष का वर्गमूल लेते समय \(\pm\) याद रखें और \(x\) के गुणांक से भाग दें। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Set \(p(x)=4x^2-25=0\). Recognize a difference of squares: \((2x)^2-5^2=0\), so \((2x-5)(2x+5)=0\). Thus \(2x-5=0\) or \(2x+5=0\) giving \(x=\pm\tfrac{5}{2}\). Therefore the intercepts are \(\left(\tfrac{5}{2},0\right)\) and \(\left(-\tfrac{5}{2},0\right)\). Closest distractor B arises from forgetting the factor 2 (mistakenly taking \(x=\pm5\)). Exam tip: factor as a difference of squares or take square roots remembering the \(\pm\) and divide by the coefficient of \(x\).
B. कथन गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर आता है — इसलिए यदि ग्राफ (0,0) पर है तो \(p(0)=0\) और 0 शून्यक है/The statement is wrong because (0,0) lies on both axes — if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and 0 is a zero
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्रफल या बहुपद के शून्यक (zeros) वह x–मान होते हैं जिनके लिए y = 0 होता है; अर्थात् शून्यक x = a होने पर ग्राफ़ पर बिंदु (a,0) होता है। मूल बिंदु (0,0) दोनों अक्षों पर स्थित है, अतः यदि ग्राफ (0,0) पर जाता है तो \(p(0)=0\) और 0 एक शून्यक है। विकल्प C गलत है क्योंकि उससे ऐसा संकेत मिलता है कि y-अक्ष पर कोई शून्यक कभी नहीं हो सकता — पर ऐसा केवल तब गलत होगा जब बिंदु y-अक्ष के अन्य स्थानों पर हो; मूल बिंदु विशेष है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का शून्यक खोजने के लिए देखें कि क्या ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y=0)। / A zero of a polynomial corresponds to an x-value where y = 0, i.e. an x-intercept (a,0). The origin (0,0) lies on both axes, so if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and x=0 is a root. Option C is incorrect because it wrongly asserts that no zero can lie on the y-axis — the origin is a special case where a point lies on both axes. Exam tip: to identify roots from a graph, check x-intercepts (points with y=0).
A. दोनों वास्तविक शून्यक हैं — \(x=-3\) और \(x=2\)/Both x = -3 and x = 2 are real zeroes
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है या केवल छूता है तब उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् \(p(x)=0\)। "काटना" सामान्यतः उस शून्य का विषम गुणांक (multiplicity odd) दर्शाता है और "छूना" सम गुणांक (multiplicity even) दर्शाता है। उदाहरण: \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) में \(x=-3\) पर ग्राफ काटेगा और \(x=2\) पर छुएगा; दोनों ही वास्तविक शून्यक हैं। गलत विकल्पों का कारण: B और C में केवल एक शून्यक मानें गये हैं जबकि दोनों पर \(p(x)=0\) है; D पूरी तरह गलत है। परीक्षण युक्ति: किसी बिंदु पर ग्राफ का संकेत बदलना बताता है कि वह शून्यक काट रहा है (odd multiplicity), और संकेत नहीं बदलना बताता है कि वह छू रहा है (even multiplicity). / If a polynomial's graph crosses or touches the x-axis at a point, the polynomial evaluates to zero there, i.e. \(p(x)=0\). Crossing typically corresponds to an odd multiplicity of the root, touching corresponds to an even multiplicity. For example, \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) crosses at \(x=-3\) and touches at \(x=2\); both are real zeroes. Why others are wrong: B and C claim only one zero exists though both satisfy \(p(x)=0\); D is false. Exam tip: check whether the graph changes sign at the root — sign change means crossing (odd multiplicity), no sign change means touching (even multiplicity).
\(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\) है, अतः बहुपद का द्विघात शून्यक दोहरी (repeated) है और ग्राफ \(x=k\) पर स्पर्श करेगा। निकटतम भ्रम (option A) तब होता है जब गलती से \((x+k)^2\) मान लिया जाए; यह गलत संकेत देता है। वैकल्पिक जाँच: व्युत्पन्न विधि से नहीं, पर विनिर्देश से (discriminant) \(b^2-4ac=(-2k)^2-4\cdot1\cdot k^2=0\) होने पर दोहरी जड़ है। परीक्षा टिप: द्विघात को शीघ्र ही पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें या विभेदक (discriminant) = 0 जाँचें। / Factorising gives \(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\), so the quadratic has a repeated root at \(x=k\) and the graph is tangent to the x-axis there. The closest distractor (x=-k) comes from mistakenly treating it as \((x+k)^2\) (wrong sign). Quick check: discriminant \(b^2-4ac=(-2k)^2-4\cdot1\cdot k^2=0\) confirms a double root. Exam tip: spot the perfect-square form or compute the discriminant to detect tangency.
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुगुणक के शून्य (zeroes) होते हैं। दो शून्य 2 और 14 हैं, अतः उनका औसत = \(\frac{2+14}{2}=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। निकटतम भ्रमित विकल्प 6 गलती से 2 और किसी अन्य संख्या का गलत औसत मानने पर आया होगा; 12 और 16 भी सही नहीं हैं क्योंकि वे 2 और 14 का माध्य नहीं हैं। परीक्षा-सूत्र: x-अक्ष के इंटरसेप्ट के x-निर्देशांकों का सरल अंकगणित माध्य लें — यही शून्यकों का औसत होता है। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeroes (roots) of the polynomial. Here the zeroes are 2 and 14, so their average is \(\frac{2+14}{2}=8\). Thus 8 is correct. The closest distractor 6 is incorrect (it is not the mean of 2 and 14); 12 and 16 are also not the arithmetic mean of the two roots. Exam tip: for two x-intercepts the average of the zeroes equals the midpoint of their x-coordinates, compute \(\frac{x_1+x_2}{2}\).
x-अक्ष पर कटान बिंदु वह बिंदु है जहाँ p(x)=0 होता है और y मान शून्य होता है। \(p(x)=3x-15\) को शून्य रखें: \(3x-15=0\) से \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः कटान बिंदु \((5,0)\) है। निकटभ्रामक विकल्प \((0,-15)\) y-अक्ष पर कटान (y-intercept) है क्योंकि \(p(0)=-15\)। परीक्षात्मक सुझाव: रैखिक बहुपद के x-अक्ष का छेद पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और परिणाम को \((x,0)\) रूप में लिखें। / An x-intercept occurs where p(x)=0 (y=0). Set \(p(x)=3x-15=0\) which gives \(x=5\), so the x-intercept is \((5,0)\). The option \((0,-15)\) is the y-intercept because \(p(0)=-15\). Exam tip: For a linear polynomial set \(p(x)=0\) to find the x-value, then write the intercept as \((x,0)\).
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ (x)-अक्ष को दो अलग स्थानों पर काटता है तो उन दोनों काटनों के x‑मान बहुपद के दो अलग वास्तविक शून्यक दर्शाते हैं। दोहराए हुए शून्यक (multiplicity ≥ 2) पर ग्राफ सामान्यतः अक्ष को स्पर्श करता पर पार नहीं करता — इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C और D व्यावहारिक रूप से असंगत हैं: कोई वास्तविक शून्यक न होने पर अक्ष पर कोई कटान नहीं होना चाहिए, और "हर बिंदु शून्यक" केवल शून्य बहुपद (identically zero) के लिए सत्य होता है। परीक्षात्मक टिप: अक्ष को काटना = समिक बहुलक का विषम गुणा‑घात (odd multiplicity) की संभावना; स्पर्श करना = समान्यतः सम गुणा‑घात (even multiplicity)। / When the graph crosses the (x)-axis at two different x-values, those x-values are two distinct real roots of the polynomial. A repeated root (multiplicity ≥ 2) typically causes the graph to touch the axis without crossing, so option B is incorrect. Options C and D are inconsistent with two crossings: no real root would give no crossings, and "every point is a zero" only holds for the identically zero polynomial. Exam tip: crossing the axis usually corresponds to a root of odd multiplicity, while touching without crossing corresponds to even multiplicity.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं \\((a), (0), (-a)\\)। इनका योग \\((a+0+(-a)=0)\\)। निकटवर्ती गलती वाले विकल्प \\((2a)\\) को चुनने वाले विद्यार्थी अक्सर \\(|a|+|a|\\) की तरह सोच लेते हैं; पर वास्तविक योग में विपरीत चिह्न मायने रखता है। परीक्षात्मक सुझाव: माता-पिता (opposite) जोड़े तुरंत शून्य कर देते हैं—विपरीत संख्याओं को जोड़ते समय उनका जोड़ शून्य होगा। / The x-intercepts give the zeros of the polynomial: the zeros are \\((a), (0), (-a)\\). Their sum is \\((a+0+(-a)=0)\\). A common wrong choice is \\((2a)\\) — that arises if one mistakenly adds absolute values or ignores the negative sign. Exam tip: pair opposite numbers first; they cancel to zero.
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए y‑मान शून्य होता है, यानी जब \,f(x)=0\, या सामान्य रूप से \(y=0\)। बिंदु (5, 0) में y=0 है, इसलिए x=5 निश्चित रूप से शून्यक है। बिंदु (2, 3) में y=3 है इसलिए x=2 शून्यक नहीं है; विकल्प d (x=0) तब ही शून्यक होता अगर ग्राफ पर (0,0) मौजूद होता। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y‑सहित दोनों निर्देशांकों को जाँचें — शून्यक के लिए y=0 आवश्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value for which the y‑value is zero, i.e. \(f(x)=0\) or \(y=0\). The point (5, 0) has y=0, so x=5 is definitely a zero. The point (2, 3) has y=3, so x=2 is not a zero; x=0 would be a zero only if the graph contained (0, 0). Exam tip: always check the y‑coordinate — an x‑value is a root only when the corresponding y is zero.
बहुपद का शून्यक \(x=a\) होने का अर्थ है कि \(p(a)=0\)। ग्राफ़ पर इसका मतलब है कि बिंदु \((a,0)\) मौजूद है। इसलिए \(x=9\) शून्यक होने के लिए बिंदु \((9,0)\) होना आवश्यक और पर्याप्त है। गलत विकल्पों का संक्षेप में कारण: \((0,9)\) और \((9,9)\) में y ≠ 0 है, इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते; \((-9,0)\) पर y = 0 जरूर है पर x = -9 है न कि 9। परिक्षा टिप: शून्यक की जाँच के लिए हमेशा y = 0 (x-अक्ष) देखें। / A zero \(x=a\) of a polynomial means \(p(a)=0\). On the graph this appears as the point \((a,0)\). Thus to show \(x=9\) is a zero the graph must contain \((9,0)\). Why other options fail: \((0,9)\) and \((9,9)\) have y ≠ 0 so they are not x-intercepts; \((-9,0)\) has y = 0 but x = -9, not 9. Exam tip: to test a claimed zero, check whether the point with that x-coordinate lies on the x-axis (y=0).
x-अक्ष पर किसी बिंदु \((a,0)\) का x-निर्देशांक \(a\) उस बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ शून्यक हैं \(-3,0,6\)। उनका योग \(-3+0+6=3\)। निकटभ्रामक विकल्प: 6 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल सकारात्मक दो शून्यों का जोड़ नहीं है; -3 और 0 को भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के परस्पर छेद के x-निर्देशांकों को ही शून्यक मानकर सीधे जोड़ें। / A point \((a,0)\) on the x-axis corresponds to a zero \(a\) of the polynomial. The zeros here are \(-3,0,6\), so their sum is \(-3+0+6=3\). Why other choices are wrong: 6 is incorrect because it ignores the contribution of \(-3\) and \(0\). Exam tip: take the x-coordinates of all x-intercepts (including the origin) and add them directly.
एक बहुपद का शून्य वही x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। दिए गए बिंदु \((r,0)\) का प्रथम निर्देशांक \(r\) है और शर्त में \(r>0\) दिया है, अतः शून्य धनात्मक होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(r>0\) के विपरीत कहता है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(r=0\) हो, जो यहाँ नहीं दिया गया; विकल्प D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर कटान का मौजूद होना शून्य के होने की प्रत्यक्ष पहचान है। परीक्षा-टिप: किसी भी x-अक्ष के कटान पर बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्य (root) होता है और उसका चिह्न उसी संख्या से मिलता है। / The root (zero) of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis. At the point \((r,0)\) the x-coordinate is \(r\), and since \(r>0\) the root is positive. Option A is wrong because it contradicts \(r>0\); option C would be true only if \(r=0\), which is not given; option D is incorrect because an x-axis intersection means the polynomial evaluates to zero there. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept to get the root and its sign.
B. ग्राफ (0,0) से गुजरता है/The graph passes through (0,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद को हम p(x) मानें तो 0 वास्तविक शून्यक तभी होगा जब \(p(0)=0\)। ज्यामितीय अर्थ में यह तब होता है जब बहुपद का ग्राफ मूल बिंदु (0,0) से गुज़रता है। विकल्प C (ग्राफ (5,0) से गुजरना) केवल बताता है कि \(p(5)=0\) यानी 5 एक शून्यक है, परन्तु 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में x=0 रखकर तुरंत \(p(0)\) निकालें — अगर परिणाम 0 आए तो 0 शून्यक है। / If the polynomial is denoted by p(x), 0 is a real zero exactly when \(p(0)=0\). Geometrically this means the graph passes through the origin (0,0). Choice C (graph passing through (5,0)) indicates \(p(5)=0\), so 5 is a root but not 0. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial; if \(p(0)=0\) then 0 is a root.
x-अक्ष पर दो बिंदुओं x1 और x2 के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर का परिमाण होती है। यहाँ दूरी = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13। विकल्प B (9) गलत है — यह केवल एक शून्यक का मान है, न कि दोनों के बीच की दूरी। विकल्प A (5) गलत होगा जब कोई गलती से 9 - 4 कर ले। विकल्प D (-13) गलत है क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है। परीक्षा टिप: दूरी के लिये हमेशा परिमाण (absolute value) लें, यानी |x2 - x1|। / Distance on the x-axis between two points x1 and x2 is the absolute difference |x2 - x1|. Here distance = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13. Option B (9) is wrong — it is just one zero’s coordinate, not the separation. Option A (5) is a common mistake from doing 9 - 4 instead of 9 - (-4). Option D (-13) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: always use absolute value: distance = |x2 - x1|.
A. क्योंकि यह y-अक्ष पर बिंदु है और यहाँ \(y\ne0\); शून्यक के लिए बिंदु x-अक्ष पर \((a,0)\) होना चाहिए/Because this is a y-axis point and here \(y\ne0\); for a zero the point must lie on the x-axis \((a,0)\).
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((0,-6)\) पर फलन का मान \(f(0)=-6\) है, न कि 0। किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान \(a\) है जिसके लिए \(f(a)=0\), और वह बिंदु रूप में \((a,0)\) x-अक्ष पर होना चाहिए। विकल्प C भ्रमित करने वाला है — सिर्फ इसलिए कि x का मान 0 है नहीं मतलब है कि वह मूल है; उसे तभी मूल कहा जाएगा जब \(f(0)=0\)। परीक्षा टिप: किसी दिए बिंदु को शून्यक मानने से पहले उसकी y-समन्वय देखें — y = 0 होना अनिवार्य है। / At the point \((0,-6)\) the function value is \(f(0)=-6\), not 0. A zero (root) of a polynomial is an x-value \(a\) with \(f(a)=0\); geometrically the point must be \((a,0)\) on the x-axis. Distractor C is misleading: x=0 is not automatically a root unless \(f(0)=0\). Exam tip: always check the y-coordinate — only points with y = 0 correspond to zeros.
A. \(x=5\) पर स्पर्श करेगा/It will touch at \(x=5\)
Explanation
Simple Explanation
क्यों सही है: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\) होता है, इसलिए बहुपद का शून्यक \(x=5\) पर द्विमात्रक (repeated) है और परावर्तक x-अक्ष को सिर्फ एक बिंदु पर स्पर्श करेगा।
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प C गलत है क्योंकि भेदक (discriminant) \(b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0\) है, अतः दो अलग शून्यक नहीं होते। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्यक \(+5\) है न कि \(-5\)। विकल्प D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है इसलिए ग्राफ़ x-अक्ष से मिलता ही है।
परीक्षा टिप: क्वाड्रेटिक के लिए तुरंत भेदक \(b^2-4ac\) निकालें — यदि यह शून्य हो तो ग्राफ़ x-अक्ष को स्पर्श करेगा। / Why correct: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so the polynomial has a repeated root at \(x=5\). The parabola therefore touches the x-axis at a single point \(x=5\).
Why others are wrong: Option C is wrong because the discriminant \(b^2-4ac=100-100=0\) — not positive — so there are not two distinct x-intercepts. Option B is wrong because the root is +5, not −5. Option D is wrong because a real root exists, so the graph does meet the x-axis.
Exam tip: Use the discriminant quickly — >0 two intercepts, =0 one (touch), <0 none.
x-अक्ष पर कटान बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\) अर्थात् बिंदु का स्वरूप \((a,0)\) होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(-3)=0\) और \(p(8)=0\) हैं, अतः कटान बिंदु \((-3,0)\) और \((8,0)\) हैं। विकल्प B में \((2,5)\) दिया है पर \(p(2)=5\) शून्य नहीं है, इसलिए वह x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा सलाह: हमेशा देखें कि दिया गया बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है या नहीं (यानी क्या \(p(a)=0\))। / An x-axis intersection occurs at points \((a,0)\) where \(p(a)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(8)=0\), the x-intercepts are \((-3,0)\) and \((8,0)\). Option B lists \((2,5)\), but \(p(2)=5\) is not zero, so that point is not on the x-axis. Exam tip: to find x-intercepts from function values, check which input values give \(p(x)=0\).
यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) है तो बिंदु \((a,0)\) x-अक्ष पर होता है क्योंकि x-अक्ष पर y‑समन = 0 होता है। यहाँ केवल \(p(2)=0\) दिया है, अतः \((2,0)\) x-अक्ष पर है। \(p(1)<0\) और \(p(3)>0\) केवल फलन के संकेत (negative/positive) दर्शाते हैं, वे शून्य नहीं हैं; इसलिए \((1,0)\) या \((3,0)\) सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: कोई बिंदु x-अक्ष पर तभी होगा जब उस x‑मान पर फलन का मान शून्य हो। / A point \((a,0)\) lies on the x-axis exactly when the polynomial satisfies \(p(a)=0\) (y = 0). Here only \(p(2)=0\), so \((2,0)\) is the x-intercept. The facts \(p(1)<0\) and \(p(3)>0\) give signs of the function (negative/positive) but are not zeros, so \((1,0)\) and \((3,0)\) are incorrect. Quick exam tip: check for equality to zero to identify x-axis points, not inequalities.
A. \(x=11\) एक वास्तविक शून्य है और इसकी गुणता सम (even multiplicity) है।
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर छूता है तो उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है, अतः \(x=11\) एक शून्य (root) है. और यदि ग्राफ अक्ष को छूता है पर कटता नहीं है तो उस शून्य की गुणता सम होती है (जैसे गुणा 2,4,...). विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है मान 0 होना; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे अन्य x-मानों को शून्य घोषित करते हैं जो दिए हुए चित्र से समर्थित नहीं हैं. परीक्षीय संकेत: ग्राफ का अक्ष को छूना = सम गुणता (कोई साइन परिवर्तन नहीं), अक्ष को पार करना = विषम गुणता (साइन बदलता है)। / If the graph touches the x-axis at a point, the polynomial value there is 0, so \(x=11\) is a root. Touching without crossing indicates the root has even multiplicity (2,4,...). Option B is incorrect because touching implies f(11)=0; options C and D claim different x-values as zeros which are not supported. Exam tip: touching (no sign change) ⇒ even multiplicity; crossing (sign change) ⇒ odd multiplicity.
A. x = 3 शून्यक है पर x = 7 नहीं/x = 3 is a zero but x = 7 is not
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root/zero) का अर्थ है वह x‑मान जहाँ p(x) का मान शून्य हो। यहाँ p(3)=0 दिया है, अतः x=3 बहुपद का शून्यक है। परन्तु p(7)=4 है, जो शून्य नहीं है, अतः x=7 शून्यक नहीं। नज़ारीय अर्थ: ग्राफ़ x=3 पर x‑अक्ष को छूता/काटता है, पर x=7 पर बिंदु (7,4) x‑अक्ष से ऊपर स्थित है। गलत विकल्पों का संक्षेप: B उल्टा है (गलत क्योंकि p(3)=0 है), C और D भी गलत हैं क्योंकि p(7) = 4 ≠ 0। परीक्षीय सुझाव: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा p(a) की मान को 0 से सीधे जाँचें। / A zero (root) means p(a)=0 at that x‑value. Since p(3)=0, x=3 is a root. Because p(7)=4 (not 0), x=7 is not a root. Geometrically, the graph meets the x‑axis at x=3, whereas the point (7,4) lies above the x‑axis. Why others are wrong: B reverses the facts, C is false because p(7)≠0, and D is false because x=3 is indeed a zero. Exam tip: always substitute the x‑value into p(x) and check if the result is exactly 0.
जब \(p(a)=0\) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर छेदता है। यहाँ दिए गए शून्य हैं \(2,5,9\) — ये तीन भिन्न x‑मान हैं, अत: ग्राफ पर तीन भिन्न x-अक्ष छेदन बिंदु होंगे: \((2,0),(5,0),(9,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 'दो' गलत है क्योंकि तीन भिन्न जड़ों को दो में समेटा नहीं जा सकता। परीक्षण‑टिप: हमेशा जड़ों की भिन्नता (distinctness) जाँचें — आवर्ती (repeated) जड़ें एक ही बिंदु देती हैं और यदि बहुपद शून्य बहुपद (identically zero) हो तो अनन्त छेदन हो सकते हैं। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at the point \((a,0)\). Given zeros 2, 5 and 9 are three distinct x-values, so the graph has three distinct x‑intercepts: \((2,0),(5,0),(9,0)\). The nearest distractor 'Two' is incorrect because three distinct roots produce three distinct intercepts. Exam tip: always check whether roots are distinct; repeated roots coincide at one intercept, and if the polynomial is identically zero the x-axis is the graph (infinitely many intersections).
C. यह \\(x\\)-अक्ष के समांतर है और इसे नहीं काटता/It is parallel to the x-axis and does not intersect it
Explanation
Simple Explanation
यदि \\(p(x)=5\\), तो बहुपद एक स्थिर (constant) है और उसका आलेख क्षैतिज रेखा \\(y=5\\) होता है। इस रेखा का y-मान कभी \\0\\ नहीं होगा, इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है और यह \\(x\\)-अक्ष को नहीं काटती। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि वे कम से कम एक ऐसा x मान मान लेते हैं जिसके लिए \\(p(x)=0\\ होना चाहिए, जो असंभव है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि उसका अर्थ होता कि हर x पर \\(p(x)=0\\, जो \\(p(x)=5\\) से विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: कोई भी गैर-शून्य स्थिर बहुपद (degree 0) का वास्तविक शून्यक नहीं होता। / For \\(p(x)=5\\) the polynomial is a nonzero constant, so its graph is the horizontal line \\(y=5\\). Since y never equals \\0\\, the graph does not meet the x-axis and there are no real zeros. Options A and B would require at least one x with \\(p(x)=0\\, which is impossible here; option D wrongly asserts \\(p(x)=0\\ for every x. Exam tip: a nonzero constant polynomial has degree \\0\\ and no real roots (zeros).
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
C. (a) एक वास्तविक शून्यक है और इसकी बहुलकता सम (even) है/(a) is a real zero with even multiplicity
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \\(x\\)-अक्ष पर बिंदु \\((a,0)\\) पर छूता है तो बहुपद का मान वहाँ शून्य होता है, अर्थात् \\({p(a)=0}\\)। इसके अतिरिक्त, छूने का अर्थ है कि ग्राफ-अक्ष के दूसरी तरफ नहीं जाता — इसका मतलब उस शून्य की बहुलकता सम (even) होती है। इसलिए (a) वास्तविक शून्यक है और उसकी बहुलकता सम है। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम (odd) बहुलकता पर ग्राफ़ अक्ष को काटता (cross) है, न कि केवल छूता। विकल्प A और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि छूने पर मान शून्य होता है और यह y-अक्ष से ही कटने का विवरण नहीं है। परीक्षाई टिप: किसी बिंदु पर "छूना" सूचित करता है कि शून्यक की बहुलकता सम है; "काटना" सूचित करता है कि बहुलकता विषम है। / If the graph of a polynomial touches the x-axis at \\((a,0)\\), then the polynomial has value zero there, i.e. \\({p(a)=0}\\). Touching (without crossing) indicates the root at a has even multiplicity, so (a) is a real zero with even multiplicity. Option B is incorrect because an odd multiplicity root causes the graph to cross the x-axis, not merely touch it. Options A and D are incorrect since touching implies a zero on the x-axis, not a non-zero or only a y-intercept. Exam tip: "touching" ⇨ even multiplicity; "crossing" ⇨ odd multiplicity — use this to decide root behaviour quickly.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु का x-समन्वय शून्यक होता है। यहाँ प्रतिच्छेदन बिंदु (-5, 0) है, इसलिए शून्यक -5 है। "पार करना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणांक विषम (आम तौर पर 1) है। विकल्प A गलत है क्योंकि संकेत नकारात्मक है; विकल्प C गलत है क्योंकि 0 y-मान है न कि x-मान; विकल्प D गलत है क्योंकि कोई अन्य विकल्प सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर बने बिंदु का x-मान ही शून्य बताता है — चिह्न बदलने से बचें। / The x-coordinate of an x-axis intersection is the zero. Since the intersection is at (-5, 0), the real zero is -5. The fact that the curve crosses there indicates an odd multiplicity (typically 1). Option A is wrong because it ignores the negative sign; C confuses the y-value (0) with the x-value; D is incorrect because a valid zero is given. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept and keep its sign unchanged.
यदि \(p(a)=0\), तो \(x=a\) पर फलन का मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होता है। यहाँ \(p(-2)=0\) और \(p(3)=0\) होने पर क्रमशः बिंदु \((-2,0)\) और \((3,0)\) ग्राफ पर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह x‑समन्वय 0 मानकर y‑मूल्यों को पहले और दूसरे समन्वय के स्थान पर उल्टा डालता है; विकल्प C और D दोनों में समन्वय और मान बदल दिए गए हैं और इसलिए गलत हैं. टिप: शॉर्ट‑हैंड में याद रखें — शून्य देने वाला x‑मान पहले समन्वय में और शून्य हमेशा y‑समन्वय होता है। / If \(p(a)=0\), then at \(x=a\) the function value is zero, so the graph contains the point \((a,0)\). Given \(p(-2)=0\) and \(p(3)=0\), the corresponding points are \((-2,0)\) and \((3,0)\). Option B is the closest distractor: it mistakenly treats the zeros as y‑coordinates at \(x=0\). Options C and D swap or pair coordinates incorrectly, so they are not points where the polynomial equals zero. Exam tip: the x‑value that makes the polynomial zero is the first coordinate; the y‑coordinate is 0.
B. आलेख (0,5) से गुजरता है/The graph passes through (0,5)
Explanation
Simple Explanation
यदि आलेख (0,5) से गुजरता है तो उस बिंदु पर y का मान 5 है, यानी
\(p(0)=5\). चूँकि शून्यक का अर्थ होता है कि उस x-मूल्य के लिए y=0 हो, यहाँ \(y\neq0\) है इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। नज़दीकी विकर्शक गलत क्यों है: आलेख का (0,0) से गुजरना या \(p(0)=0\) लिखना स्पष्ट रूप से यह दर्शाते हैं कि \(p(0)=0\), अतः वहां \(x=0\) शून्यक होगा। परीक्षा-सूत्र: y-अक्ष पर बिंदु (0,k) में k=0 तब ही हो तो x=0 शून्यक है — अन्यथा नहीं। / If the graph passes through (0,5) then the y-value at x=0 is 5, i.e. \(p(0)=5\). A zero at x=0 requires the value to be 0, so here \(x=0\) is not a zero because \(y\neq0\). Why the nearest distractor is wrong: passing through (0,0) or stating \(p(0)=0\) explicitly means \(p(0)=0\), so in those cases x=0 would be a zero. Exam tip: check the y-value at x=0 — if it is 0 then x=0 is a root, otherwise it is not.
A. x-अक्ष को \(x=6\) पर स्पर्श करेगा/It will touch the x-axis at \(x=6\)
Explanation
Simple Explanation
यह बहुपद \(p(x)=(x-6)^2\) में शून्यक \(x=6\) की गुणाभाज्यता (multiplicity) 2 है — यानी वही शून्य दोहरा है। गुणाभाज्यता जोड़ी (even) होने पर ग्राफ आमतौर पर x-अक्ष को स्पर्श करता है और उससे पार नहीं होता (bounce)। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को \(x=6\) पर स्पर्श करेगा। निकट विकल्पों का तर्क: C गलत है क्योंकि केवल एक ही शून्य है (दोहरा), B गलत है क्योंकि शून्य \(-6\) नहीं है, D गलत है क्योंकि \(x=6\) पर बहुपद शून्य देता है। परीक्षा टिप: शून्यक की multiplicity की parity देखें — सम multiplicity पर स्पर्श, विषम पर काटना। / The polynomial \(p(x)=(x-6)^2\) has the zero \(x=6\) with multiplicity 2 (a repeated root). When the multiplicity is even the graph touches the x-axis at that root and does not cross (it bounces). Hence the graph touches the x-axis at \(x=6\). Why others are wrong: C is incorrect because there is only one (repeated) root, B is wrong because the root is not \(-6\), D is wrong because the polynomial is zero at \(x=6\) so it does meet the axis. Exam tip: determine parity of the root's multiplicity — even means touch, odd means cross.
\(x^2-2x\) को गुणा करके लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)\). जब किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा, अतः \(x=0\) या \(x=2\). विकल्प B गलत है क्योंकि \(p(1)=1-2=-1\) शून्य नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(-2)=4+4=8\) शून्य नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=0\) को अनदेखा करता है। टिप: x-अक्ष पर कटने के लिए \(p(x)=0\) लिखकर बहुपद को फैक्टर करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)\). The x-intercepts satisfy \(p(x)=0\), so \(x=0\) or \(x=2\). Option B is incorrect because \(p(1)=1-2=-1\) (not zero); option C is incorrect because \(p(-2)=4+4=8\) (not zero); option D is incomplete because it omits \(x=0\). Exam tip: set \(p(x)=0\) and factor out the common term to find zeros quickly.
A. आलेख \((0,-3)\) से गुजरता है/The graph passes through \((0,-3)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p(0)=-3\), तो बहुपद का y-अक्ष पर छेदन बिंदु \((0,p(0))\) होता है, अतः आलेख निश्चित रूप से \((0,-3)\) से गुजरेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) तभी शून्यक होगा जब \(p(0)=0\), परन्तु यहां \(p(0)\neq0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि x-अक्ष पर छेदन पॉइंट उस x पर होता है जहाँ \(p(x)=0\); हमें \(p(-3)\) का मान नहीं दिया गया। विकल्प D भी सिद्ध नहीं किया जा सकता—बहुपद के शून्यक अन्य x‑मूल्यों पर हो सकते हैं। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु \(x=a\) के लिए \(p(a)\) देखकर तय करें कि वह शून्यक है (\(p(a)=0\)) या y‑intercept (\(p(a)\neq0\))। / Given \(p(0)=-3\), the y-intercept of the polynomial is \((0,p(0))\), so the graph passes through \((0,-3)\). Option B is wrong because \(x=0\) would be a zero only if \(p(0)=0\), which is not the case. Option C is incorrect since the x-axis is crossed at values where \(p(x)=0\); we are not given \(p(-3)\). Option D cannot be concluded — the polynomial may have zeros at other x-values. Exam tip: evaluate \(p(a)\); if \(p(a)=0\) then x=a is a root, otherwise it gives the y-intercept value at x=a.
हर रेखीय कारक को शून्य मानकर शून्यांक निकाले जाते हैं: \(x+7=0\) से \(x=-7\) और \(x-1=0\) से \(x=1\)। x-अक्ष पर y का मान 0 होता है, अतः बिंदु \\((-7,0)\\) और \\((1,0)\\) होंगे। विकल्प A में संकेत उल्टे हैं, विकल्प B y-अक्ष के बिंदु हैं और विकल्प D अनावश्यक अवयव दे रहा है। परीक्षा टिप: प्रत्येक कारक को 0 के बराबर रखें और प्राप्त x-मूलों के साथ y=0 लिखें। / Set each linear factor to zero: \(x+7=0\) gives \(x=-7\) and \(x-1=0\) gives \(x=1\). For x-axis intercepts y=0, so the points are (-7,0) and (1,0). Option A has the signs reversed; option B lists y-axis points; option D gives unrelated coordinates. Exam tip: equate each factor to zero to find x-zeros, then pair with y=0 for the intercepts.
दो शून्यकों के बीच का मध्य मान उनके औसत के बराबर होता है। इसलिए मध्य मान होगा \(\frac{-4+6}{2}=1\)। जियोमेट्रिक अर्थ: परवलय की समाक्ष (axis of symmetry) दोनों शून्यकों के मध्य से होकर गुज़रती है, और क्वाड्रैटिक के लिए यह मध्य मान \(\frac{\alpha+\beta}{2}\) के बराबर होता है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: 5 अधिक निकट लगता है क्योंकि यह दूसरे शून्यक 6 के पास है, परंतु यह औसत नहीं है। परीक्षा टिप: यदि परवलय का समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हो तो शून्यकों का मध्य मान \(-\tfrac{b}{2a}\) से शीघ्र पाया जा सकता है। / The midpoint of two zeroes is their average. So midpoint = \(\frac{-4+6}{2}=1\). Geometric meaning: the parabola's axis of symmetry passes through the midpoint of its roots, and for a quadratic the midpoint equals \(\frac{\alpha+\beta}{2}\). Note on distractors: 5 is close to the root 6 but is not the average; 0 and -2 are averages for other pairs, not for -4 and 6. Exam tip: for a quadratic \(ax^2+bx+c\), the midpoint of the roots equals \(-\tfrac{b}{2a}\), useful to compute quickly.
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
शून्यक वे x-मान हैं जिन पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(-x^2+25=0\) से \(x^2=25\) और अतः \(x=\pm5\)। वैकल्पिक रूप से विभाजन करें: \(-x^2+25=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)\) से भी शून्यक \(x=5, -5\) मिलते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह 25 को x के रूप में ले रहा है — यहाँ 25 y का मान (ऊपर की ओर शिखर) नहीं x-मूल है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(0)=25\), न कि 0। टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और यदि संभव हो तो घटक निकाल कर (factor) जांचें। / Zeros are x-values where the polynomial equals zero, so set \(p(x)=0\): \(-x^2+25=0\) gives \(x^2=25\) and hence \(x=\pm5\). You can also factor: \(-x^2+25=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)\), yielding \(x=5,-5\). Option B is incorrect because it mistakes 25 (a y-value in the vertex) for the x-root. Option C is wrong since \(p(0)=25\), not 0. Exam tip: set the polynomial equal to zero first and factor when possible to find roots quickly.
