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The number of decimal places is the larger of (4) and (n). For exactly (7) places, (n=7).
Step 3
Exam Tip
When the word exactly appears, match the larger exponent carefully. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) की घातें हैं। चरण 2: दशमलव स्थानों की संख्या (4) और (n) में बड़ी घात होगी। ठीक (7) स्थानों के लिए (n=7) चाहिए। चरण 3: ठीक शब्द आए तो बड़ी घात को बराबर मिलाइए।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
In option (D), the denominator contains (3), and after reducing \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\), the factor (3) remains. So it will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Always consider possible cancellation before deciding. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: विकल्प (D) में हर में (3) है और \(\frac{25}{2^2\cdot 3\cdot 5}\) को सरल करने पर भी (3) बचता है। इसलिए यह सांत नहीं होगा। चरण 3: विकल्प देखने से पहले संभावित कटौती भी सोचें।
\(\frac{1}{2}=0.5\), so the decimal terminates after one place.
Step 3
Exam Tip
Even with large numbers, cancel common factors first. चरण 1: \(\frac{169}{338}=\frac{1}{2}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2}=0.5\), इसलिए दशमलव एक स्थान पर समाप्त होता है। चरण 3: बड़े संख्याओं में भी समान गुणनखंड काटकर सरल करें।
The terminating decimal rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The original denominator may contain factors that cancel out.
Step 3
Exam Tip
So reduce the fraction first, then factorise the denominator. चरण 1: समाप्त दशमलव का नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। चरण 2: मूल हर में ऐसे गुणनखंड हो सकते हैं जो काटने के बाद हट जाएं। चरण 3: इसलिए पहले भिन्न घटाइए, फिर हर का गुणनखंडन कीजिए।
The denominator has only (2), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Since the exponent of (2) is (7), it terminates after (7) places. चरण 1: \(128=2^7\) है। चरण 2: हर में केवल (2) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: (2) की घात (7) होने से दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा।
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal expansion either terminates or has a fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is not rational. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या निश्चित दोहराव देता है। चरण 3: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या का नहीं होता।
The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places. चरण 1: \(6250=2\times5^5\) है। चरण 2: हर में केवल (2) और (5) हैं। चरण 3: बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
The larger exponent is (4), so it terminates after (4) places. चरण 1: \(80=2^4\times5\) है। चरण 2: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
The reduced denominator is \(8=2^3\), so it contains only the prime factor (2).
Step 3
Exam Tip
In exams, do not decide from the original denominator; reduce the fraction first. चरण 1: \(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है, इसलिए हर में केवल (2) का गुणनखंड है। चरण 3: परीक्षा में मूल हर देखकर निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरलतम रूप में बदलें।
\(\frac{1}{2}=0.5\), so the decimal terminates after (1) place.
Step 3
Exam Tip
Do not be distracted by large numbers; reduce the fraction first. चरण 1: \(\frac{121}{242}=\frac{1}{2}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2}=0.5\), इसलिए दशमलव (1) स्थान पर समाप्त होता है। चरण 3: बड़े अंकों से घबराएं नहीं, पहले भिन्न घटाएं।
A. भिन्न को सरलतम रूप में बदलना/Reduce the fraction to lowest form
Step 1
Concept
The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Without reducing, extra factors may appear in the denominator.
Step 3
Exam Tip
In exams, reduce the fraction using the highest common factor and then check the denominator. चरण 1: नियम सरलतम रूप के हर पर लागू होता है। चरण 2: सरल किए बिना हर में अनावश्यक गुणनखंड दिख सकते हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले महत्तम समापवर्तक से भिन्न घटाइए, फिर हर देखें।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
This is also confirmed by \(\frac{1}{40}=0.025\). चरण 1: \(40=2^3\times5\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होता है। चरण 3: \(\frac{1}{40}=0.025\) से भी यही बात जांची जा सकती है।
Since \(125=5^3\), the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Assuming (4) places from (4000) without reducing is a common mistake. चरण 1: \(\frac{64}{4000}=\frac{2}{125}\) है। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: हर (4000) देखकर (4) स्थान मान लेना सामान्य गलती है।
Such a fraction terminates after (3) decimal places. चरण 1: \(125=5^3\) है। चरण 2: हर में केवल (5) है और उसकी घात (3) है। चरण 3: ऐसी भिन्न का दशमलव प्रसार (3) स्थानों पर समाप्त होता है।
It contains only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, always factorise the denominator first. चरण 1: सरलतम रूप में हर \(8=2^3\) है। चरण 2: हर में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन अवश्य देखिए।
\(\frac{96}{450}\) simplifies by (6) to \(\frac{16}{75}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(75=3\times5^2\), factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If the reduced denominator has a factor other than (2) and (5), the decimal is recurring. चरण 1: \(\frac{96}{450}\) को (6) से सरल करने पर \(\frac{16}{75}\) मिलता है। चरण 2: \(75=3\times5^2\), इसलिए हर में (3) बचता है और दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सरल रूप के हर में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड हो तो दशमलव आवर्ती होता है।
\(\frac{18}{75}\) simplifies by (3) to \(\frac{6}{25}\), which is terminating, so it must be checked again.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), and \(\frac{22}{125}\) are also terminating.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Here no option is non-terminating recurring, so the given option set has no valid answer. चरण 1: \(\frac{18}{75}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{6}{25}\) नहीं बल्कि \(\frac{6}{25}\) मिलता है, यह समाप्त है; इसलिए इसे फिर जाँचते हैं। चरण 2: \(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), और \(\frac{22}{125}\) भी समाप्त हैं। चरण 3: परीक्षा सुझाव: दिए गए विकल्पों में कोई असमाप्त आवर्ती नहीं है, इसलिए प्रश्न में सही उत्तर उपलब्ध नहीं होता।
\(\frac{27}{150}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{50}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(50=2\times5^2\), the denominator has only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Always reduce the fraction to lowest form before deciding the decimal type. चरण 1: \(\frac{27}{150}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{50}\) मिलता है। चरण 2: \(50=2\times5^2\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। चरण 3: परीक्षा सुझाव: दशमलव का प्रकार बताने से पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में जरूर लिखें।
\(\frac{45}{120}\) simplifies by (15) to \(\frac{3}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), the decimal expansion is terminating.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Do not decide quickly from the original denominator; reduce the fraction first. चरण 1: \(\frac{45}{120}\) को (15) से सरल करने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए दशमलव प्रसार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: हर में (3) या (5) देखकर तुरंत निर्णय न लें, पहले भिन्न को सरल करें।
B. \(0.\overline{09}\) के रूप में आवर्ती/Recurs as \(0.\overline{09}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{11}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator (11) is not made of (2) or (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Understand the difference between (0.09) and \(0.\overline{09}\). चरण 1: \(\frac{1}{11}\) सबसे सरल रूप में है। चरण 2: हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (0.09) और \(0.\overline{09}\) में अंतर जरूर समझें।
A rational number has a decimal that either terminates or recurs.
Step 2
Why this answer is correct
Non-terminating non-recurring decimal expansion is not possible for a rational number.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: This difference helps identify rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या के लिए संभव नहीं है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: यह अंतर परिमेय और अपरिमेय संख्या को पहचानने में मदद करता है।
Exam tip: The lowest form gives the correct decision. चरण 1: \(\frac{7}{28}=\frac{1}{4}\) है। चरण 2: \(4=2^2\), इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सबसे सरल रूप ही सही निर्णय देता है।
A. जब (q) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों/When (q) has only factors (2) and (5)
Step 1
Concept
The rule is applied only after reducing the fraction to lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the denominator (q) is of the form \(2^m5^n\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Do not decide before simplifying the fraction. चरण 1: नियम हमेशा सबसे सरल रूप की भिन्न पर लगाया जाता है। चरण 2: यदि हर (q) का रूप \(2^m5^n\) है, तो दशमलव समाप्त होता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: भिन्न को सरल किए बिना निष्कर्ष न निकालें।
The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: \(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। चरण 3: आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है।
The denominator has only the prime factor (2), so the decimal expansion terminates.
Step 3
Exam Tip
In exams, first check the prime factors of the simplified denominator. चरण 1: \(8=2^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) का गुणनखंड है, इसलिए दशमलव विस्तार समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में देखकर भाजक के गुणनखंड जांचें।
A. पूर्वी घाट तट से दूर और अधिक खंडित हैं/Eastern Ghats are farther from the coast and more broken
Step 1
Concept
Eastern Ghats are farther and broken, making the Eastern Coastal Plain wider. Exam tip: link it with large deltas.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्वी घाट तट से दूर और अधिक खंडित हैं / Eastern Ghats are farther from the coast and more broken. Eastern Ghats are farther and broken, making the Eastern Coastal Plain wider. Exam tip: link it with large deltas.
Step 3
Exam Tip
पूर्वी घाट तट से दूर और खंडित हैं जिससे पूर्वी तटीय मैदान अधिक विस्तृत है। परीक्षा में इसे बड़े डेल्टाओं से जोड़ें।
A. पूर्वी घाट तट से दूर और बड़ी नदियों का निक्षेपण/Eastern Ghats away from coast and deposition by large rivers
Step 1
Concept
Eastern Ghats are some distance from the coast and rivers form deltas. For exams remember eastern coastal plain as broad.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्वी घाट तट से दूर और बड़ी नदियों का निक्षेपण / Eastern Ghats away from coast and deposition by large rivers. Eastern Ghats are some distance from the coast and rivers form deltas. For exams remember eastern coastal plain as broad.
Step 3
Exam Tip
पूर्वी घाट तट से कुछ दूरी पर हैं और नदियां डेल्टा बनाती हैं। परीक्षा में पूर्वी तटीय मैदान को चौड़ा याद रखें।
The Eastern Ghats extend along India's eastern coast. For exams remember they are more discontinuous than the Western Ghats.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पूर्वी तट / Eastern coast. The Eastern Ghats extend along India's eastern coast. For exams remember they are more discontinuous than the Western Ghats.
Step 3
Exam Tip
पूर्वी घाट भारत के पूर्वी तट के साथ फैले हैं। परीक्षा में ये पश्चिमी घाट की तुलना में अधिक टूटे हुए हैं।
Since \(19^2\) remains, the decimal is non-terminating recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (4). In such questions, separate recurrence from the initial delay.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). Since \(19^2\) remains, the decimal is non-terminating recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (4). In such questions, separate recurrence from the initial delay.
Step 3
Exam Tip
\(19^2\) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। ऐसे प्रश्न में आवर्तीपन और आरंभिक देरी अलग-अलग देखें।
After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\). Since (17) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. After cancellation, the denominator becomes \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\). Since (17) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
कटौती के बाद हर \(2^4\cdot 5^2\cdot 17\) बचेगा। (17) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
Since \(320=2^6\cdot 5\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. Since \(320=2^6\cdot 5\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(320=2^6\cdot 5\) कटने पर हर \(2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
The factor (41) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (7), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (7). The factor (41) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (7), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
Step 3
Exam Tip
(41) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (7) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है।
After cancelling \(22=2\cdot 11\), the denominator becomes \(2\cdot 5^4\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. After cancelling \(22=2\cdot 11\), the denominator becomes \(2\cdot 5^4\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(22=2\cdot 11\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (7) places
Step 1
Concept
The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (7) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (7) places. The reduced denominator is \(10^7\), so the decimal terminates exactly after (7) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^7\) है इसलिए दशमलव ठीक (7) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए।
Since \(245=5\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. Since \(245=5\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(245=5\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
After cancelling \(55=5\cdot 11\), the denominator becomes \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. After cancelling \(55=5\cdot 11\), the denominator becomes \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(55=5\cdot 11\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (9) स्थान / (9) places. The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
Step 3
Exam Tip
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें।
After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^3\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
Since \(200=2^3\cdot 5^2\), the reduced denominator is \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. Since \(200=2^3\cdot 5^2\), the reduced denominator is \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(200=2^3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
The factor (31) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (6), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6). The factor (31) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (6), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
Step 3
Exam Tip
(31) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (6) अनावर्ती आरंभ देगी। मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है।
After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(2\cdot 5^3\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(2\cdot 5^3\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(2\cdot 5^3\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Step 1
Concept
The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त / Terminates exactly after (6) places. The reduced denominator is \(10^6\), so the decimal terminates exactly after (6) places. If the denominator is reduced, do not assume further cancellation.
Step 3
Exam Tip
सरलतम हर \(10^6\) है इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। सरलतम हर दिया हो तो अंश से और कटौती नहीं माननी चाहिए।
Since \(175=5^2\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. Since \(175=5^2\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(175=5^2\cdot 7\) कटने पर हर \(2^2\cdot 5\cdot 7\) बचता है। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (4) places
Step 1
Concept
Since \(147=3\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत और (4) स्थानों पर समाप्त / Terminating after (4) places. Since \(147=3\cdot 7^2\), the reduced denominator is \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
\(147=3\cdot 7^2\) कटने पर हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8) स्थान / (8) places. The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
Step 3
Exam Tip
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें।
Since \(242=2\cdot 11^2\), the reduced denominator becomes \(2^2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so reduce first and then count decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4) स्थान / (4) places. Since \(242=2\cdot 11^2\), the reduced denominator becomes \(2^2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so reduce first and then count decimal places.
Step 3
Exam Tip
\(242=2\cdot 11^2\), इसलिए कटौती के बाद हर \(2^2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए पहले सरल करें फिर दशमलव स्थान गिनें।
After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. After cancellation, the denominator becomes \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
कटौती के बाद हर \(2^3\cdot 5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
The factor (37) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (4), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). The factor (37) makes the decimal recurring, and the larger exponent of (2) and (5) is (4), giving the non-repeating start. In mixed denominators, the larger exponent gives the delay.
Step 3
Exam Tip
(37) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (4) अनावर्ती आरंभ देगी। ऐसे मिश्रित हर में बड़ी घात से देरी मिलती है।
After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. After cancelling \(14=2\cdot 7\), the denominator becomes \(5^2\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(14=2\cdot 7\) कटने पर हर \(5^2\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा।
A. सांत और (2) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (2) places
Step 1
Concept
Since \(189=3^3\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\). The larger exponent is (2), so the decimal terminates after (2) places.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सांत और (2) स्थानों पर समाप्त / Terminating after (2) places. Since \(189=3^3\cdot 7\), the reduced denominator is \(2^2\cdot 5\). The larger exponent is (2), so the decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
\(189=3^3\cdot 7\), इसलिए सरल हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा। बड़ी घात (2) है, इसलिए दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा।
Even after \(125=5^3\) cancels, (11) remains in the denominator. If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असांत आवर्ती / Non-terminating recurring. Even after \(125=5^3\) cancels, (11) remains in the denominator. If a reduced denominator has a prime other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(125=5^3\) कटने पर भी हर में (11) बचता है। सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य रहे तो दशमलव असांत आवर्ती होता है।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (7) स्थान / (7) places. The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (7). In exams, do not add the exponents.
Step 3
Exam Tip
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (7) होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की गलती न करें।
After cancellation, the denominator becomes \(2^5\cdot 5^3\). The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
Always reduce the fraction before counting decimal places. चरण 1: \(45=3^2\cdot 5\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2^5\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: दशमलव स्थान गिनने से पहले अंश और हर को सरलतम रूप में जरूर लिखें।
\(111=3\cdot 37\), which has factors other than (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Fractions from recurring decimals often have denominators made from (9)'s. चरण 1: \(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\) है। चरण 2: \(111=3\cdot 37\), जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: आवर्ती दशमलव से आई भिन्नों में हर में अक्सर (9) वाले गुणनखंड होते हैं।
A decimal terminates when the reduced denominator contains only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(q=2^4\cdot 5^3\) satisfies this condition. The other options contain (3), (7), or (11).
Step 3
Exam Tip
Check the prime factors of the denominator carefully. चरण 1: सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने पर दशमलव सांत होता है। चरण 2: \(q=2^4\cdot 5^3\) इस शर्त को पूरा करता है। बाकी विकल्पों में (3), (7), या (11) हैं। चरण 3: हर के अभाज्य गुणनखंडों को ध्यान से देखें।
The numerator \(3^2\cdot 5\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^6\cdot 5^3\). The larger exponent is (6), so the decimal terminates after (6) places.
Step 3
Exam Tip
Look for the larger exponent only after cancellation. चरण 1: अंश का \(3^2\cdot 5\) हर से कटेगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^6\cdot 5^3\) बचेगा। बड़ी घात (6) है, इसलिए दशमलव (6) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: कटौती के बाद ही बड़ी घात देखें।
After cancellation, the denominator becomes \(5\cdot 7\). Since (7) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Check whether the whole power cancels or only part of it cancels. चरण 1: \(98=2\cdot 7^2\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(5\cdot 7\) बचेगा। (7) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: घात पूरी कटे या नहीं, यह ध्यान से देखें।
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (3) places
Step 1
Concept
\(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(125=5^3\), the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Even for small fractions, reduce to lowest form first. चरण 1: \(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\) है। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: छोटी भिन्नों में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
The reduced denominator becomes \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\). Since (3) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
A prime factor may cancel only partially. चरण 1: अंश से \(2^4\cdot 3\) कटेगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^3\cdot 3\cdot 5^2\) बचेगा। इसमें (3) बचा है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: एक ही अभाज्य गुणनखंड आंशिक रूप से कट सकता है।
B. यह सांत दशमलव के बराबर है/It is equal to a terminating decimal
Step 1
Concept
In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Continuing zeros at the end still represent a terminating value. चरण 1: \(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। चरण 3: अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
Dividing \(\frac{35}{280}\) by (35) gives \(\frac{1}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), the decimal terminates. The reason correctly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, also check whether the reason explains the assertion. चरण 1: \(\frac{35}{280}\) को (35) से भाग देने पर \(\frac{1}{8}\) मिलता है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए दशमलव सांत होगा। कारण कथन को सही ढंग से समझाता है। चरण 3: कथन-कारण प्रश्न में कारण की व्याख्या भी जाँचें।
The powers are (0) for (2) and (6) for (5). So the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
Practise identifying higher powers of (5). चरण 1: \(15625=5^6\) है। चरण 2: हर में (2) की घात (0) और (5) की घात (6) है। इसलिए बड़ी घात (6) होगी। चरण 3: (5) की बड़ी घातों को पहचानने का अभ्यास करें।
\(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
Calculate prime powers carefully. चरण 1: \(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। चरण 2: \(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: घातों की गणना सावधानी से करें।
For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
Step 3
Exam Tip
(2) and (5) may remain, but (3) must not. चरण 1: \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं।
The fraction is in lowest form, so the factor (17) will not cancel.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator has (17) besides (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal of a rational number is recurring. चरण 1: भिन्न सरलतम रूप में है, इसलिए हर का (17) नहीं कटेगा। चरण 2: सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (17) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है।
Look for any factor other than (2) and (5) that remains in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\), \(50=2\cdot 5^2\) cancels, but (7) remains. So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
The remaining prime factors after cancellation decide the type. चरण 1: हर में (2) और (5) के अलावा बचने वाले गुणनखंड को देखें। चरण 2: \(\frac{50}{2\cdot 5^2\cdot 7}\) में \(50=2\cdot 5^2\) कटता है, लेकिन (7) हर में बचता है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: पूरी कटौती के बाद बचे अभाज्य गुणनखंड निर्णायक होते हैं।
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (3) places
Step 1
Concept
\(154=2\cdot 7\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
After cancelling \(2\cdot 7\cdot 11\), the denominator becomes \(5^3\). So the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Extra factors may cancel with the numerator, so reduce first. चरण 1: \(154=2\cdot 7\cdot 11\) है। चरण 2: हर से \(2\cdot 7\cdot 11\) कटने पर \(5^3\) बचता है। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: अतिरिक्त गुणनखंड अंश से कट सकते हैं, इसलिए पहले सरल करें।
For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
Step 3
Exam Tip
When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors. चरण 1: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। चरण 2: हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए।
\(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
For exact places, match the larger exponent. चरण 1: \(6250=2\cdot 5^5\) है। चरण 2: \(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। चरण 3: ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए।
A. यदि \(q=2^m5^n\), तो दशमलव सांत होगा/If \(q=2^m5^n\), the decimal will terminate
Step 1
Concept
The rule applies to the denominator in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If \(q=2^m5^n\), the denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates. The other statements are incomplete because (q) may contain other prime factors.
Step 3
Exam Tip
Be careful with words like always and never. चरण 1: नियम सरलतम हर पर लागू होता है। चरण 2: यदि \(q=2^m5^n\), तो हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी कथन अधूरे हैं क्योंकि (q) में अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हो सकते हैं। चरण 3: हमेशा और कभी नहीं जैसे शब्दों पर सावधानी रखें।
The numerator (13) cancels only one factor (13) from \(13^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^2\cdot 5^2\cdot 13\). Since (13) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between complete and partial cancellation. चरण 1: अंश का (13) हर के \(13^2\) में से केवल एक (13) काटेगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^2\cdot 5^2\cdot 13\) बचेगा। (13) बचने से दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: पूरी और आंशिक कटौती में फर्क समझें।
The larger exponent is (7), so the decimal terminates after (7) places.
Step 3
Exam Tip
Convert the denominator directly into powers of (2) and (5). चरण 1: \(640=64\cdot 10=2^6\cdot 2\cdot 5=2^7\cdot 5\) है। चरण 2: बड़ी घात (7) है, इसलिए दशमलव (7) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: हर को सीधे (2) और (5) की घातों में बदलें।
For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
Step 3
Exam Tip
(2) and (5) may remain, but other prime factors must not. चरण 1: \(2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। चरण 3: (2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं।
The reduced denominator contains (3), a prime other than (2) and (5). Hence the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
When the numerator is (1), the denominator test is direct. चरण 1: अंश (1) है, इसलिए हर का \(3^c\) कट नहीं सकता। चरण 2: सरलतम हर में (3) बचता है, जो (2) और (5) से अलग अभाज्य गुणनखंड है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: अंश (1) हो तो हर की जाँच सीधी होती है।
\(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) and \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (1), whose decimal (1.0) is terminating.
Step 3
Exam Tip
The sum of recurring decimals can sometimes be terminating. चरण 1: \(0.\overline{6}=\frac{2}{3}\) और \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\) है। चरण 2: योग (1) है, जिसका दशमलव (1.0) के रूप में सांत है। चरण 3: आवर्ती दशमलवों का योग कभी-कभी सांत भी हो सकता है।
After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5\cdot 11\). Since (11) remains, the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
After partial cancellation, always check the remaining factors. चरण 1: \(55=5\cdot 11\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2\cdot 5\cdot 11\) बचेगा। (11) बचने के कारण दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: आंशिक कटौती के बाद बचे हुए गुणनखंडों को जरूर जाँचें।
A. सांत और (5) दशमलव स्थान/Terminating with (5) decimal places
Step 1
Concept
\(7^0=1\), so there is no actual factor (7) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator is \(2^5\cdot 5^3\), so the decimal terminates with (5) places.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by a zero exponent. चरण 1: \(7^0=1\), इसलिए हर में (7) का वास्तविक गुणनखंड नहीं है। चरण 2: हर \(2^5\cdot 5^3\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा और बड़ी घात (5) स्थान देगी। चरण 3: शून्य घात को देखकर भ्रमित न हों।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
\(\frac{17}{200}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(200=2^3\cdot 5^2\), so the denominator has only (2) and (5). Hence the decimal terminates, and the reason explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason truly explains the assertion. चरण 1: \(\frac{17}{200}\) सरलतम रूप में है। चरण 2: \(200=2^3\cdot 5^2\), यानी हर में केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा और कारण सही समझाता है। चरण 3: कथन-कारण में कारण की व्याख्या करने की क्षमता भी देखें।
After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
Carefully cancel prime powers present in the numerator. चरण 1: \(18=2\cdot 3^2\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: अंश में मौजूद अभाज्य घातों को ध्यान से काटें।
\(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\), whose denominator is (3), so the decimal is non-terminating recurring. The other options reduce to denominators with only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
Check the lowest form of every option first. चरण 1: विकल्पों को सरल करें। चरण 2: \(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\) है, जिसका हर (3) है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। बाकी विकल्प सरल होकर (2) और (5) वाले हर देते हैं। चरण 3: हर विकल्प में सरलतम रूप सबसे पहले देखें।
For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
Step 3
Exam Tip
The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel. चरण 1: \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: (5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए।
\(91=7\cdot 13\), so the factor (13) in the denominator cancels.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^2\cdot 5\), containing only (2) and (5). Hence the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
An extra prime factor may cancel with the numerator. चरण 1: \(91=7\cdot 13\), इसलिए हर का (13) कट जाएगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^2\cdot 5\) बचेगा, जिसमें केवल (2) और (5) हैं। इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड अंश से कट सकता है।
Cancelling \(3\cdot 5^2\) from the denominator leaves \(2^3\). So the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Always complete cancellation before counting decimal places. चरण 1: \(75=3\cdot 5^2\) है। चरण 2: हर से \(3\cdot 5^2\) कटने पर हर \(2^3\) बचेगा। इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: पहले अंश और हर की पूरी कटौती करें।
\(81=3^4\), so \(3^4\) cancels completely from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^4\cdot 5^2\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
First check cancellation of prime factors other than (2) and (5). चरण 1: \(81=3^4\), इसलिए हर का \(3^4\) पूरा कट जाएगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^4\cdot 5^2\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: पहले गैर जरूरी अभाज्य गुणनखंडों की कटौती देखें।
A. सांत और (1) दशमलव स्थान/Terminating with (1) decimal place
Step 1
Concept
\(44=2^2\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
Cancelling \(2^2\cdot 11\) from \(2^3\cdot 5\cdot 11\) leaves \(2\cdot 5=10\). So the decimal terminates after (1) place.
Step 3
Exam Tip
Count decimal places only after complete cancellation. चरण 1: \(44=2^2\cdot 11\) है। चरण 2: हर \(2^3\cdot 5\cdot 11\) से \(2^2\cdot 11\) कटने पर \(2\cdot 5=10\) बचता है। इसलिए दशमलव (1) स्थान पर समाप्त होगा। चरण 3: पूरी कटौती के बाद ही दशमलव स्थान गिनें।
A. सांत और (2) दशमलव स्थान/Terminating with (2) decimal places
Step 1
Concept
\(44=2^2\cdot 11\).
Step 2
Why this answer is correct
After cancellation, the denominator becomes \(2\cdot 5=10\). So the decimal terminates after (1) place. Since that exact statement is not listed, the given options contain an issue.
Step 3
Exam Tip
Complete your calculation before trusting the options. चरण 1: \(44=2^2\cdot 11\) है। चरण 2: कटौती के बाद हर \(2\cdot 5\) बचेगा, जो (10) है। इसलिए दशमलव (1) स्थान पर समाप्त होगा। दिए गए विकल्पों में यह बात सीधे नहीं है, इसलिए सबसे निकट भी गलत होगा। चरण 3: विकल्पों से पहले अपनी गणना पूरी करें।
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) or (5) may also be present, but some other prime must remain. चरण 1: परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। चरण 2: ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। चरण 3: (2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा।
The factor (5) and one (7) cancel, but one (7) remains. The reduced denominator is \(2^2\cdot 7\). So the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
After partial cancellation, check what factor remains. चरण 1: \(35=5\cdot 7\) है। चरण 2: हर से (5) और एक (7) कटेगा, पर एक (7) बच जाएगा। सरलतम हर \(2^2\cdot 7\) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: आंशिक कटौती के बाद बचे गुणनखंड को जरूर देखें।
C. यह असांत आवर्ती होगा/It is non-terminating recurring
Step 1
Concept
The denominator has (7), and the numerator (1) cannot cancel it.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator has (7) besides (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Having (2) and (5) in the denominator does not guarantee termination. चरण 1: हर में (7) है और अंश (1) होने से वह कट नहीं सकता। चरण 2: सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (7) बचता है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: (2) और (5) की मौजूदगी सांत होने की गारंटी नहीं देती।
B. परिमेय और असांत आवर्ती/Rational and non-terminating recurring
Step 1
Concept
The block (36) repeats in the decimal.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is always rational, but it is not terminating. So it is rational and non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
When a repeating block appears, identify the number as rational. चरण 1: दशमलव में (36) बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है, लेकिन यह सांत नहीं है। इसलिए यह परिमेय और असांत आवर्ती है। चरण 3: आवर्ती खंड दिखते ही परिमेयता पहचानें।
\(16=2^4\), so \(2^4\) cancels from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(2^3\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
Include powers hidden in the numerator during cancellation. चरण 1: \(16=2^4\), इसलिए हर से \(2^4\) कटेगा। चरण 2: सरलतम हर \(2^3\cdot 5^4\) होगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: अंश में छिपी घातों को कटौती में शामिल करें।
The denominator has power (0) of (2) and power (5) of (5). So the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
Remembering \(3125=5^5\) helps in quick factorisation. चरण 1: \(3125=5^5\) है। चरण 2: हर में (2) की घात (0) और (5) की घात (5) है। इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: (5) की घातें पहचानने के लिए \(3125=5^5\) याद रखना उपयोगी है।
For a terminating decimal, (7) must not remain in the reduced denominator. Therefore (m) must contain (7).
Step 3
Exam Tip
Cancel all denominator primes other than (2) and (5). चरण 1: \(56=2^3\cdot 7\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (7) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (m) में (7) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: हर से (2) और (5) के अलावा बाकी अभाज्य गुणनखंड कटवाएँ।
\(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring. चरण 1: \(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। चरण 3: परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है।
\(110=2\cdot 5\cdot 11\), so (11) remains in the denominator. Hence the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
If a reduced denominator has a prime other than (2) or (5), it will not terminate. चरण 1: \(\frac{27}{990}=\frac{3}{110}\) है। चरण 2: \(110=2\cdot 5\cdot 11\), जिसमें (11) बचता है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड रहे तो सांत नहीं होगा।
\(\frac{99}{9900}\) reduces to \(\frac{1}{100}\) because \(9900\div 99=100\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(100=2^2\cdot 5^2\), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
With large numbers, check reduction carefully by division. चरण 1: \(\frac{99}{9900}=\frac{1}{100}\) नहीं है; सही सरल रूप \(\frac{1}{100}\) तब बनता है क्योंकि \(9900\div 99=100\)। चरण 2: सरलतम हर \(100=2^2\cdot 5^2\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: बड़ी संख्याओं में भाग देकर सरलता सावधानी से जाँचें।
A reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(80=2^4\cdot 5\), so it is possible. (48), (84), and (98) contain primes like (3) or (7).
Step 3
Exam Tip
If lowest form is given, check the prime factors of the denominator directly. चरण 1: सरलतम हर में केवल (2) और (5) होने चाहिए। चरण 2: \(80=2^4\cdot 5\), इसलिए यह संभव है। (48), (84), और (98) में (3) या (7) जैसे गुणनखंड हैं। चरण 3: सरलतम रूप बताया हो तो हर की सीधी अभाज्य जाँच करें।
B. यह परिमेय है और सांत दशमलव है/It is rational and terminating
Step 1
Concept
In \(0.125000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it is a terminating decimal and equals \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Trailing zeros do not make a decimal non-terminating. चरण 1: \(0.125000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह सांत दशमलव है और \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) के रूप में परिमेय है। चरण 3: अंत में लिखे शून्य दशमलव को असांत नहीं बनाते।
The reduced denominator has (11) along with (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a rational number has a non-terminating recurring decimal. Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
A rational non-terminating decimal is always recurring. चरण 1: सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा (11) भी है। चरण 2: ऐसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। असांत अनावर्ती रूप अपरिमेय संख्याओं से जुड़ा होता है। चरण 3: परिमेय संख्या का असांत दशमलव हमेशा आवर्ती होता है।
Reduce each option. \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), and \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\), so they terminate.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), and the denominator still has (3), so it is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Reducing every option is the safest method. चरण 1: विकल्पों को सरल करें। \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), और \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\) सांत हैं। चरण 2: \(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), जिसके हर में (3) बचता है, इसलिए यह असांत आवर्ती है। चरण 3: हर विकल्प को सरल करना ही सुरक्षित तरीका है।
