Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मान रखने पर (S_{14}=\frac{14}{2}(18+13)=217)। सरल अंतर वाले प्रश्न में गणना ध्यान से करें। / Substituting gives (S_{14}=\frac{14}{2}(18+13)=217). In questions with simple differences, calculate carefully.
\(a_{14}=103\) और (5d=60), इसलिए (d=12)। \(a_{34}=43+25\times12=343\), इसलिए दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / \(a_{14}=103\) and (5d=60), so (d=12). \(a_{34}=43+25\times12=343\), so the correct answer is not in the options.
\(a_{12}=96\) और (4d=59), इसलिए \(d=\frac{59}{4}\)। \(a_{28}=37+20\cdot\frac{59}{4}=332\), इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / \(a_{12}=96\) and (4d=59), so \(d=\frac{59}{4}\). \(a_{28}=37+20\cdot\frac{59}{4}=332\), so none of the given options is correct.
\(a_9=52\) और (4d=31) इसलिए \(d=\frac{31}{4}\)। \(a_{17}=21+12\cdot\frac{31}{4}=114\)। / \(a_9=52\) and (4d=31), so \(d=\frac{31}{4}\). \(a_{17}=21+12\cdot\frac{31}{4}=114\).
\(a_{13}=59\) और (8d=34) इसलिए \(d=\frac{17}{4}\)। \(a_{29}=25+24\cdot\frac{17}{4}=127\)। / \(a_{13}=59\) and (8d=34), so \(d=\frac{17}{4}\). \(a_{29}=25+24\cdot\frac{17}{4}=127\).
\(a_7=32\) और (4d=22) इसलिए \(d=\frac{11}{2}\)। \(a_{19}=10+16\cdot\frac{11}{2}=98\)। / \(a_7=32\) and (4d=22), so \(d=\frac{11}{2}\). \(a_{19}=10+16\cdot\frac{11}{2}=98\).
\(a_6=31\) और (3d=18) इसलिए (d=6)। \(a_{12}=31+6\times6=67\) नहीं बल्कि \(a_{12}=13+9\times6=67\)। / \(a_6=31\) and (3d=18), so (d=6). \(a_{12}=13+9\times6=67\).
दोनों लगातार अंतर (3a+2b) हैं, इसलिए ये पद समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में दोनों अंतरों की समानता भी साथ-साथ जांचें। / Both consecutive differences are (3a+2b), so the terms are in AP. In exams, also check equality of the two differences.
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है। / Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
(2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)) से (2a+8=6a-12), इसलिए (a=5)। मध्य पद को पहचानकर समीकरण बनाएं। / From (2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)), (2a+8=6a-12), so (a=5). Identify the middle term and form the equation.
(2(3a+1)=2a+(5a-1)) से (6a+2=7a-1), इसलिए (a=3)। तीन पदों में मध्य पद का दुगुना नियम जल्दी काम करता है। / From (2(3a+1)=2a+(5a-1)), (6a+2=7a-1), so (a=3). The twice-middle-term rule works quickly for three terms.
(2(2a+1)=(a-2)+(5a-4)) से (a=3), इसलिए पद (1,7,11) नहीं बल्कि (1,7,11) में अंतर समान नहीं आता; सही समीकरण से (4a+2=6a-6), अतः (a=4) और (d=9-2=7)। ऐसे प्रश्न में पहले (a) निकालकर फिर (d) निकालें। / From (2(2a+1)=(a-2)+(5a-4)), (4a+2=6a-6), so (a=4), and (d=9-2=7). In such questions find the variable first and then find (d).
दूसरे समीकरण को (2) से गुणा कर पहले से घटाएं। (b=32) और फिर (a=45) मिलता है। / Multiply the second equation by (2) and subtract the first. This gives (b=32), then (a=45).
ऊपर \(2a^{-1}+3a^{-1}=5a^{-1}\) है। इसलिए \(\frac{5a^{-1}}{5a^{-2}}=a^{1}=a\)। / The numerator is \(2a^{-1}+3a^{-1}=5a^{-1}\). Hence \(\frac{5a^{-1}}{5a^{-2}}=a^{1}=a\).
गुणांक \(\dfrac{6}{2}=3\), \(a^{3-1}=a^2\) और \(b^{2-(-1)}=b^3\) है। परीक्षा में हर के ऋणात्मक घातांक को घटाते समय sign बदलता है। / The coefficient is \(\dfrac{6}{2}=3\), \(a^{3-1}=a^2\), and \(b^{2-(-1)}=b^3\). In exams, the sign changes when subtracting a negative exponent.
बाहरी घात गुणांक और सभी घातों पर लगती है। इसलिए (\(2a^2b^3\)2=4a-4b-6) है। / The outside exponent applies to the coefficient and all powers. Thus (\(2a^2b^3\)2=4a-4b-6).
\(\frac{42}{6}=7\) और \(\frac{a^7}{a^4}=a^3\) है। इसलिए उत्तर \(7a^3\) है। / \(\frac{42}{6}=7\) and \(\frac{a^7}{a^4}=a^3\). Therefore the answer is \(7a^3\).
समान पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं इसलिए (12a+9a=21a)। चर (a) नहीं बदलता। / Coefficients of like terms are added, so (12a+9a=21a). The variable (a) does not change.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2a+5)2-4(a+2)(a+3)=1) है। इसलिए हर (a) पर मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(2a+5)2-4(a+2)(a+3)=1). Thus for every (a), roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2a+3)2-4(a+1)(a+2)=1) है। इसलिए हर (a) पर मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(2a+3)2-4(a+1)(a+2)=1). Thus for every (a), roots are rational and distinct.
A. \(a^2+b^2\geq0\) के कारण मूल हमेशा वास्तविक हैं/Roots are always real because \(a^2+b^2\geq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)) है। यह हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए वास्तविक मूल मिलते हैं। / Here (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)). It is always zero or positive, so real roots exist.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2a+1)2-4a(a+1)=1) है। इसलिए (a) के हर मान पर मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(2a+1)2-4a(a+1)=1). Thus for every value of (a), the roots are rational and distinct.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। \(a^2+a-2<0\) से (-2<a<1) मिलता है। / For no real roots, (D<0) is required. From \(a^2+a-2<0\), we get (-2<a<1).
वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए (D>0) चाहिए। \(a^2+a-2>0\) से (a<-2) या (a>1) मिलता है। / For real and distinct roots, (D>0) is needed. From \(a^2+a-2>0\), we get (a<-2) or (a>1).
यहाँ (D=4(2a+1)2-12\(a^2+a+1\)=4\(a^2+a-2\)) है। वास्तविक मूलों के लिए यह (0) या अधिक होना चाहिए। / Here (D=4(2a+1)2-12\(a^2+a+1\)=4\(a^2+a-2\)). For real roots, it must be (0) or more.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=4\(a^2-6a-1\)), इसलिए \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\)। / For no real roots, (D<0) is required. Here (D=4\(a^2-6a-1\)), so \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\).
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4a)2-4(2)\(2a^2-3\)=24>0) है। इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=(-4a)2-4(2)\(2a^2-3\)=24>0). Thus roots are always real and distinct.
यह ((x-a)2-b-2=0) है, इसलिए \(x-a=\pm b\) और \(x=a\pm b\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर का प्रयोग करें। / It is ((x-a)2-b-2=0), so \(x-a=\pm b\) and \(x=a\pm b\). In exams, use the difference of squares.
यहाँ \(\alpha+\beta=2a+1\) और \(\alpha\beta=a^2+a-6\) है। (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), इसलिए धनात्मक अंतर (5) है। / Here \(\alpha+\beta=2a+1\) and \(\alpha\beta=a^2+a-6\). Since (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25), the positive difference is (5).
जड़ों का योग (2a+9) और गुणनफल ((a+4)(a+5)) है। ये (a+4) और (a+5) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+9) and the product is ((a+4)(a+5)). These match (a+4) and (a+5).
जड़ों का योग (2a+7) और गुणनफल ((a+3)(a+4)) है। ये (a+3) और (a+4) से मिलते हैं। / The sum of roots is (2a+7) and the product is ((a+3)(a+4)). These match (a+3) and (a+4).
जड़ों का योग (2a+2) और गुणनफल \(a^2+2a\) है। ये (a) और (a+2) से मिलते हैं। / The sum of roots is (2a+2) and the product is \(a^2+2a\). These match (a) and (a+2).
गुणनफल (a-2+3a+2=(a+1)(a+2)) है और योग (2a+3) है। इसलिए जड़ें (a+1) और (a+2) हैं। / The product is (a-2+3a+2=(a+1)(a+2)) and the sum is (2a+3). Hence the roots are (a+1) and (a+2).
A. जड़ें (a) और (a+1) हैं/The roots are (a) and (a+1)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का योग (2a+1) और गुणनफल (a(a+1)) है। ये (a) और (a+1) की योग-गुणनफल जोड़ी से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+1) and the product is (a(a+1)). These match the pair (a) and (a+1).
A. योग (a+2) और गुणनफल (2a) है/Sum is (a+2) and product is (2a)
Explanation
Simple Explanation
मूल (2) और (a) का योग (a+2) तथा गुणनफल (2a) है। इसलिए दिया गया मोनिक समीकरण सही बनता है। / The roots (2) and (a) have sum (a+2) and product (2a). Therefore the given monic equation is correct.
समीकरण ((x-a)2-49=0) है, इसलिए मूल (a+7) और (a-7) हैं। उनका अंतर (14) है। / The equation is ((x-a)2-49=0), so the roots are (a+7) and (a-7). Their difference is (14).
समीकरण ((x-a)2-36=0) है, इसलिए मूल (a+6) और (a-6) हैं। उनका अंतर (12) है। / The equation is ((x-a)2-36=0), so the roots are (a+6) and (a-6). Their difference is (12).
समीकरण ((x-a)2-25=0) है, इसलिए मूल (a+5) और (a-5) हैं। उनका अंतर (10) है। / The equation is ((x-a)2-25=0), so the roots are (a+5) and (a-5). Their difference is (10).
समीकरण ((x-a)2-16=0) है, इसलिए मूल (a+4) और (a-4) हैं। उनका अंतर (8) है। / The equation is ((x-a)2-16=0), so the roots are (a+4) and (a-4). Their difference is (8).
समीकरण ((x-a)2-9=0) है, इसलिए मूल (a+3) और (a-3) हैं। उनका अंतर (6) है। / The equation is ((x-a)2-9=0), so the roots are (a+3) and (a-3). Their difference is (6).
A. वे \(a+\sqrt{7}\) और \(a-\sqrt{7}\) हैं/They are \(a+\sqrt{7}\) and \(a-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=(x-a)2-7), इसलिए \(x=a\pm\sqrt{7}\) है। पूर्ण वर्ग रूप पहचानना कठिन प्रश्नों में समय बचाता है। / (p(x)=(x-a)2-7), so \(x=a\pm\sqrt{7}\). Recognizing a perfect-square form saves time in hard questions.
A. शून्यक \(a+\sqrt{b}\) और \(a-\sqrt{b}\) हैं, दोनों वास्तविक अपरिमेय हो सकते हैं/Zeroes are \(a+\sqrt{b}\) and \(a-\sqrt{b}\), both can be real irrational
Explanation
Simple Explanation
बहुपद ((x-a)2-b) के बराबर है, इसलिए \(x=a\pm\sqrt{b}\) है। जब (b) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{b}\) अपरिमेय होता है। / The polynomial equals ((x-a)2-b), so \(x=a\pm\sqrt{b}\). When (b) is not a perfect square, \(\sqrt{b}\) is irrational.
A. योग (2a) और गुणनफल \(a^2-5\) हैं/Sum is (2a) and product is \(a^2-5\)
Explanation
Simple Explanation
(\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) और (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5)। यही बहुपद से मेल खाता है। / (\(a+\sqrt{5}\)+\(a-\sqrt{5}\)=2a) and (\(a+\sqrt{5}\)\(a-\sqrt{5}\)=a-2-5). These match the polynomial.
यह ((x-a)2-9) है, इसलिए \(x-a=\pm3\) और शून्यक (a-3), (a+3) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-a)2-9), so \(x-a=\pm3\) and the zeroes are (a-3), (a+3). Tip: use difference of squares.
(8=5+3), इसलिए (2a=5(2q+1)+3) और शेषफल (3) है। / (8=5+3), so (2a=5(2q+1)+3) and the remainder is (3).
Step 3
Exam Tip
गुणा वाले प्रश्न में पहले शेषफल को गुणा करके फिर भाजक से बाँटें। / In multiplication-based questions, first multiply the old remainder and then divide by the divisor.
