Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तीन क्रमागत पदों में मध्य पद का दुगुना बाकी दो पदों के योग के बराबर होता है, इसलिए (2(2x+5)=(3x-2)+(x+16)) से (x=2)। परीक्षा में मध्य पद नियम तेज तरीका है। / In three consecutive terms, twice the middle term equals the sum of the other two, so (2(2x+5)=(3x-2)+(x+16)) gives (x=2). The middle-term rule is a fast exam method.
(2(3p+7)=(4p+1)+(p+19)) से (p=6), इसलिए पद (25,25,25) नहीं बनते बल्कि (25,25,25) बनते हैं और (d=0)। पहले चर निकालें फिर (d) जांचें। / Using (2(3p+7)=(4p+1)+(p+19)) gives (p=6), so the terms become (25,25,25) and (d=0). First find the variable and then check (d).
कुल अंतर (29-5=24) तीन बराबर भागों में बंटता है, इसलिए (d=8), (x=13), (y=21)। दो खाली पदों में कुल अंतर को बराबर अंतरालों में बांटें। / The total difference (29-5=24) is split into three equal gaps, so (d=8), (x=13), and (y=21). For two missing terms, divide the total difference into equal gaps.
मूल (d=4) है, गुणा (3) करने से (d=12) होगा और समान (2) घटाने से (d) नहीं बदलेगा। समान जोड़-घटाव (d) को नहीं बदलता। / The original (d=4); multiplying by (3) makes (d=12), and subtracting the same (2) does not change (d). Equal addition or subtraction does not change (d).
मूल (d=-3) है और (2n) का अंतर (2) है, इसलिए नया (d=-3+2=-1)। पद संख्या वाले परिवर्तन में उसके अंतर को जोड़ें या घटाएं। / The original (d=-3), and the difference of (2n) is (2), so the new (d=-3+2=-1). For term-number changes, add or subtract its difference.
(2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)) से (2a+8=6a-12), इसलिए (a=5)। मध्य पद को पहचानकर समीकरण बनाएं। / From (2(a+4)=(2a-5)+(4a-7)), (2a+8=6a-12), so (a=5). Identify the middle term and form the equation.
क्रमागत अंतर (r,3r,5r) हैं, ये समान तभी होंगे जब (r=0)। ऐसे प्रश्नों में सभी क्रमागत अंतर लिखना जरूरी है। / The consecutive differences are (r,3r,5r), which are equal only when (r=0). In such questions it is necessary to write all consecutive differences.
मूल (d=-4) है और उलटे क्रम \(6,10,14,18,\ldots\) में (d=4) होगा। क्रम उलटने पर (d) का चिह्न बदल जाता है। / The original (d=-4), and in reverse order \(6,10,14,18,\ldots\), (d=4). Reversing the order changes the sign of (d).
पहले अनुक्रम का (d=5) और दूसरे का (d=3) है, इसलिए योग अनुक्रम का (d=8)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The first sequence has (d=5) and the second has (d=3), so the sum sequence has (d=8). In termwise addition, common differences add.
पहले अनुक्रम का (d=-6) और दूसरे का (d=5) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=-6-5=-11)। पद-दर-पद घटाव में (d) भी घटते हैं। / The first sequence has (d=-6) and the second has (d=5), so the difference sequence has (d=-6-5=-11). In termwise subtraction, the common differences also subtract.
(-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}) और अगला अंतर भी \(\frac{3}{4}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव सावधानी से करें। / (-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}), and the next difference is also \(\frac{3}{4}\). Be careful while subtracting negative fractions.
(1.35-0.80=0.55) और (1.90-1.35=0.55) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना सुरक्षित रहता है। / (1.35-0.80=0.55) and (1.90-1.35=0.55). Adding zeros makes decimal subtraction safer.
((u-2)-(u-8)=6) और ((u+4)-(u-2)=6) है। चर कटने पर स्थिर सार्व अंतर मिलता है। / ((u-2)-(u-8)=6) and ((u+4)-(u-2)=6). When variables cancel, a constant common difference remains.
तीसरे से सातवें पद तक (4) अंतर होते हैं, इसलिए (4d=28) और (d=7)। पदों की दूरी को अंतरालों की संख्या में बदलें। / From the third to the seventh term there are (4) gaps, so (4d=28) and (d=7). Convert term distance into number of gaps.
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-18) और (d=-6)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रहता है। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=-18) and (d=-6). In a decreasing progression, (d) remains negative.
नए पद (a+2, a+d+4, a+2d+6) हैं और दोनों अंतर (d+2) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (2) भी (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+2, a+d+4, a+2d+6), and both differences are (d+2). The difference (2) of the added numbers is also added to (d).
मूल (d=6) है और (n) का अंतर (1) है, इसलिए नया (d=6-1=5)। पद संख्या घटाने पर उसका अंतर भी घटता है। / The original (d=6), and (n) has difference (1), so the new (d=6-1=5). When subtracting term number, its difference is also subtracted.
पहले दो अंतर (5,5) हैं, पर (20-14=6) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / The first two differences are (5,5), but (20-14=6). It is necessary to check all available consecutive differences.
दोनों क्रमागत अंतर (6) और (6) हैं, इसलिए यह हर (x) के लिए अंकगणितीय श्रेणी है। चर तय करने से पहले अंतर सरल करें। / Both consecutive differences are (6) and (6), so it is an arithmetic progression for every (x). Simplify differences before fixing the variable.
(2(x+9)=2x+18) से पहचान समानता मिलती है, इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है। इस कारण एकमात्र (x) नहीं मिलता। / (2(x+9)=2x+18) gives an identity, so it is an arithmetic progression for every (x). Therefore no single value of (x) is obtained.
मूल (d=6) है और \(-\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर नया (d=-2) होगा। गुणक सीधे सार्व अंतर पर भी लागू होता है। / The original (d=6), and multiplying by \(-\frac{1}{3}\) gives new (d=-2). The multiplier applies directly to the common difference too.
C. अंकगणितीय श्रेणी नहीं क्योंकि अंतर समान नहीं हैं/Not an arithmetic progression because differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद (9,49,121) हैं और अंतर (40,72) हैं, जो समान नहीं हैं। वर्ग करने से सामान्यतः अंकगणितीय श्रेणी सुरक्षित नहीं रहती। / The new terms are (9,49,121), and the differences are (40,72), which are not equal. Squaring generally does not preserve an arithmetic progression.
(7+3d=34) से (d=9), इसलिए दूसरा पद (7+d=16) है। पहले (d) निकालकर मांगा गया पद बनाएं। / From (7+3d=34), (d=9), so the second term is (7+d=16). First find (d) and then form the required term.
\(15-\frac{5}{2}=\frac{25}{2}\) और आगे भी \(-\frac{5}{2}\) जुड़ता है। (a) और (d) दोनों शर्तें साथ जांचें। / \(15-\frac{5}{2}=\frac{25}{2}\), and \(-\frac{5}{2}\) continues to be added. Check both (a) and (d) conditions together.
(2(4v+1)=(3v-4)+(6v-1)) से (8v+2=9v-5), इसलिए (v=7)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाकर चर निकालें। / From (2(4v+1)=(3v-4)+(6v-1)), (8v+2=9v-5), so (v=7). Use the twice-middle-term rule to find the variable.
मूल (d=3) है और (4n) का (d=4) है, इसलिए नया (d=3-4=-1)। पद संख्या आधारित बदलाव में अंतरों को भी बदलें। / The original (d=3), and (4n) has (d=4), so the new (d=3-4=-1). In term-number based changes, change the differences too.
मध्य पद \(b=\frac{-6+18}{2}=6\), इसलिए (b-a=6-(-6)=12)। तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{-6+18}{2}=6\), so (b-a=6-(-6)=12). In three terms, the middle term is the average.
पहले तीन विकल्पों में (d=-9) है, लेकिन \(70,62,54,46,\ldots\) में (d=-8) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों जांचें। / The first three options have (d=-9), but \(70,62,54,46,\ldots\) has (d=-8). Check both value and sign in the options.
(5+d=-1) से (d=-6), और (5+2d=-7) से भी यही सत्य होता है। सामान्य रूप को दिए पदों से मिलाएं। / From (5+d=-1), (d=-6), and (5+2d=-7) confirms it. Match the general form with the given terms.
A. (d=1) वाली अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression with (d=1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों सार्व अंतर (5) और (-4) हैं, इसलिए योग अनुक्रम का (d=1)। दो अंकगणितीय श्रेणियों का पद-दर-पद योग भी अंकगणितीय श्रेणी होता है। / The common differences are (5) and (-4), so the sum sequence has (d=1). The termwise sum of two arithmetic progressions is also an arithmetic progression.
स्थिर अनुक्रम का (d=0) और दूसरे का (d=3) है, इसलिए नया (d=0-3=-3)। स्थिर अनुक्रम घटाव में भी (d) बदल सकता है। / The constant sequence has (d=0), and the second has (d=3), so the new (d=0-3=-3). Even with a constant sequence, subtraction can change (d).
(2) से (8) तक अंतर (6) है, इसलिए (s=2-6=-4)। पीछे की ओर चलते समय वही (d) घटाएं। / The difference from (2) to (8) is (6), so (s=2-6=-4). While moving backward, subtract the same (d).
मूल (d=6) है, आधा लेने से (d=3) होगा और समान (5) जोड़ने से (d) नहीं बदलेगा। गुणा या भाग (d) बदलता है, समान जोड़ नहीं। / The original (d=6); taking half makes (d=3), and adding the same (5) does not change (d). Multiplication or division changes (d), equal addition does not.
(2(2q+1)=(q-3)+(4q-1)) से (4q+2=5q-4), इसलिए (q=6)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाते समय संकेतों पर ध्यान दें। / From (2(2q+1)=(q-3)+(4q-1)), (4q+2=5q-4), so (q=6). Watch signs while applying the twice-middle-term rule.
A. \(3,\frac{11}{5},\frac{7}{5},\frac{3}{5},\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प में \(\frac{11}{5}-3=-\frac{4}{5}\) और अगला अंतर भी \(-\frac{4}{5}\) है। भिन्नों में हर समान करके घटाएं। / In the first option, \(\frac{11}{5}-3=-\frac{4}{5}\), and the next difference is also \(-\frac{4}{5}\). Use common denominators while subtracting fractions.
C. नहीं, क्योंकि नए अंतर समान नहीं होंगे/No, because new differences will not be equal
Explanation
Simple Explanation
नए जोड़े गए वर्ग \(1,4,9,\ldots\) के अंतर \(3,5,\ldots\) समान नहीं हैं, इसलिए नया अनुक्रम अंकगणितीय नहीं रहेगा। पद संख्या के वर्ग से समान अंतर नहीं बनता। / The added squares \(1,4,9,\ldots\) have differences \(3,5,\ldots\), which are not equal, so the new sequence will not remain arithmetic. Squares of term numbers do not create equal differences.
(a+3d-a=3d=27), इसलिए (d=9)। पहले और चौथे पद के बीच (3) समान अंतर होते हैं। / (a+3d-a=3d=27), so (d=9). There are (3) equal gaps between the first and fourth terms.
कुल अंतर (26-2=24) तीन समान भागों में बंटता है, इसलिए (d=8) और दूसरा पद (10) होना चाहिए; अतः (x=10), पर तीसरा (3x=30) होगा, इसलिए कोई समाधान नहीं। / The total difference (26-2=24) splits into three equal gaps, so (d=8) and the second term should be (10); hence (x=10), but the third (3x=30), so there is no solution.
A. हर (x) के लिए अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression for every (x)
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतर (3x-3) और (3x-3) हैं, इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है। समान बीजगणितीय अंतर पर्याप्त है। / Both differences are (3x-3) and (3x-3), so it is an arithmetic progression for every (x). Equal algebraic differences are sufficient.
पहले अनुक्रम का (d=-4) और दूसरे का (d=2) है, इसलिए योग अनुक्रम का (d=-2)। योग में सार्व अंतरों को जोड़ें। / The first sequence has (d=-4) and the second has (d=2), so the sum sequence has (d=-2). Add common differences in a sum.
विपरीत लेने का अर्थ (-1) से गुणा करना है, इसलिए (d=5) से (-5) हो जाएगा; समान (4) जोड़ने से (d) नहीं बदलेगा। चिह्न परिवर्तन पर ध्यान दें। / Taking opposites means multiplying by (-1), so (d=5) becomes (-5); adding the same (4) does not change (d). Pay attention to sign change.
(2(2k+4)=(k+1)+(4k-2)) से (4k+8=5k-1), इसलिए (k=9)। समीकरण बनाते समय मध्य पद को सही पहचानें। / From (2(2k+4)=(k+1)+(4k-2)), (4k+8=5k-1), so (k=9). Identify the middle term correctly while forming the equation.
C. नहीं, क्योंकि नए अंतर समान नहीं हैं/No, because new differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद \(1,8,21,\ldots\) हैं और अंतर \(7,13,\ldots\) हैं, जो समान नहीं हैं। पद संख्या से गुणा करना (d) को स्थिर नहीं रखता। / The new terms are \(1,8,21,\ldots\), and the differences are \(7,13,\ldots\), which are not equal. Multiplying by term number does not keep (d) constant.
(4) से (19) तक कुल अंतर (15) है, इसलिए (d=5), दूसरा पद (9) और तीसरा (14) होना चाहिए; इससे (x=7) और \(x=\frac{13}{2}\) दोनों मिलते हैं। इसलिए कोई एक (x) संभव नहीं है। / The total difference from (4) to (19) is (15), so (d=5), the second term should be (9) and the third (14); this gives (x=7) and \(x=\frac{13}{2}\). Therefore no single (x) is possible.
सभी पदों को (-3) से गुणा करने पर (d) भी (-3) से गुणा होगा, इसलिए नया (d=21)। ऋणात्मक गुणक से चिह्न बदल सकता है। / When all terms are multiplied by (-3), (d) is also multiplied by (-3), so the new (d=21). A negative multiplier can change the sign.
(2(3m+1)=(2m-3)+(5m-2)) से (6m+2=7m-5), इसलिए (m=7) और (d=22-11=11)। पहले चर निकालें, फिर क्रमागत अंतर निकालें। / From (2(3m+1)=(2m-3)+(5m-2)), (6m+2=7m-5), so (m=7) and (d=22-11=11). Find the variable first, then the consecutive difference.
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-6=-2)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=4-6=-2). In termwise difference, take the difference of common differences.
(6+d=11) से (d=5), और (6+3d=21) इसकी पुष्टि करता है। दो शर्तें हों तो दोनों से उत्तर जांचें। / From (6+d=11), (d=5), and (6+3d=21) confirms it. When two conditions are given, verify the answer with both.
(2(x+2)=x+(2x+1)) से (2x+4=3x+1), इसलिए (x=3) और (d=5-3=2)। (x) मिलने के बाद ही (d) तय करें। / From (2(x+2)=x+(2x+1)), (2x+4=3x+1), so (x=3) and (d=5-3=2). Decide (d) only after finding (x).
(25-4=21) तीन समान अंतरालों में बंटता है, इसलिए (d=7) और (x+1=11) से (x=10)। चार क्रमागत पदों में पहले और अंतिम पद से (d) निकालना तेज होता है। / (25-4=21) is split into three equal gaps, so (d=7), and (x+1=11) gives (x=10). In four consecutive terms, finding (d) from first and last terms is fast.
