A square factor must have even exponents for every prime.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count only even exponent choices for square factors. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। चरण 3: वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें।
In \(180=2^2\times3^2\times5\), the distinct primes are 2, 3, and 5.
Step 3
Exam Tip
Even with a higher power, count the same prime once. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, उनकी घात नहीं। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) में अलग-अलग अभाज्य 2, 3 और 5 हैं। चरण 3: घात बड़ी हो तब भी उसी अभाज्य को एक बार गिनें।
यदि \(\frac{n}{180}\) का दशमलव प्रसार सांत है और \(\frac{n}{180}\) सरलतम रूप में नहीं दिया गया है, तो (n) में कम से कम कौन-सा गुणनखंड अवश्य होना चाहिए?
For a terminating decimal, \(3^2\) must cancel completely from the denominator. So (n) must contain \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Focus on removing denominator primes other than (2) and (5). चरण 1: \(180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\) है। चरण 2: सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर से \(3^2\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (n) में \(3^2\) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: हर के (2) और (5) नहीं, बल्कि अन्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाना जरूरी होता है।
\(12=2^2\times3\) and \(180=2^2\times3^2\times5\), so the product is \(2^4\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Convert given numbers to prime form before multiplying. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: \(12=2^2\times3\) और \(180=2^2\times3^2\times5\), इसलिए गुणनफल \(2^4\times3^3\times5\) है। चरण 3: संख्या को पहले अभाज्य रूप में बदलना आसान रहता है।
\(18=2\times3^2\) and \(10=2\times5\), so \(180=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Change all composite factors into prime form. चरण 1: \(180=18\times10\) लिखें। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(180=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: सभी संयुक्त गुणनखंडों को अभाज्य रूप में बदलें।
The sales form the decreasing AP \(180,168,156,\ldots\) and \(S_{11}=1320\). Exam tip: keep (d) negative for decreasing sales.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1320). The sales form the decreasing AP \(180,168,156,\ldots\) and \(S_{11}=1320\). Exam tip: keep (d) negative for decreasing sales.
Step 3
Exam Tip
बिक्री \(180,168,156,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी है और \(S_{11}=1320\)। परीक्षा में कम होती बिक्री में (d) ऋणात्मक रखें।
The user numbers are \(180,210,240,\ldots\) and \(a_{12}=510\). Exam tip: find a particular day's value using the (n)th term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (510). The user numbers are \(180,210,240,\ldots\) and \(a_{12}=510\). Exam tip: find a particular day's value using the (n)th term.
Step 3
Exam Tip
उपयोगकर्ता संख्या \(180,210,240,\ldots\) है और \(a_{12}=510\)। परीक्षा में किसी खास दिन का मान (n)वें पद से निकालें।
The production is the AP \(180,200,220,\ldots\) and \(S_8=2000\). Exam tip: treat the daily increase as the common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (2000). The production is the AP \(180,200,220,\ldots\) and \(S_8=2000\). Exam tip: treat the daily increase as the common difference.
Step 3
Exam Tip
उत्पादन \(180,200,220,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_8=2000\)। परीक्षा में दैनिक वृद्धि को सार्व अंतर मानें।
Each next angle decreases by \(30^\circ\), so the difference is \(-30^\circ\). In exams, keep the unit in the answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(-30^\circ\). Each next angle decreases by \(30^\circ\), so the difference is \(-30^\circ\). In exams, keep the unit in the answer.
Step 3
Exam Tip
हर अगले कोण में \(30^\circ\) की कमी है, इसलिए अंतर \(-30^\circ\) है। परीक्षा में इकाई को भी उत्तर में बनाए रखें।
The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अनंत हल / Infinitely many solutions. The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
Step 3
Exam Tip
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं।
If breadth is (x), then (x(x+11)=180), giving (x=9) and length (20). Write only the dimension asked in the question.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (20) सेमी / (20) cm. If breadth is (x), then (x(x+11)=180), giving (x=9) and length (20). Write only the dimension asked in the question.
Step 3
Exam Tip
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+11)=180), जिससे (x=9) और लंबाई (20) है। प्रश्न में पूछा गया आयाम ही उत्तर में लिखें।
\(\alpha+\beta=27\) and \(\alpha\beta=180\), so (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (369). \(\alpha+\beta=27\) and \(\alpha\beta=180\), so (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=27\) और \(\alpha\beta=180\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें।
Therefore the decimal expansion is terminating. चरण 1: सरल करने के बाद हर (20) है। चरण 2: \(20=2^2\times5\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। चरण 3: इसलिए दशमलव समाप्त होगा।
\(\frac{56}{180}\) simplifies by (4) to \(\frac{14}{45}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(45=3^2\times5\), the denominator still contains (3).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Even if (5) is present, a remaining factor (3) makes the decimal recurring. चरण 1: \(\frac{56}{180}\) को (4) से सरल करने पर \(\frac{14}{45}\) मिलता है। चरण 2: \(45=3^2\times5\), इसलिए हर में (3) भी है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: (5) मौजूद होने पर भी यदि (3) बच जाए तो दशमलव समाप्त नहीं होता।
Prime factorise: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), and (7), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
Count distinct prime bases, not powers. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड देखें: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (7) होंगे, इसलिए कुल (4) हैं। चरण 3: घातों को नहीं, अलग अभाज्य आधारों को गिनें।
Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(216=2^3\times3^3\), so LCM \(=2^4\times3^3\times5=2160\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest divisible number, find the LCM. चरण 1: शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। चरण 2: \(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(216=2^3\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5=2160\) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
When difference is asked, find both values clearly first. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{180\times252}{36}=1260\) है। चरण 2: अंतर (1260-36=1224) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले दोनों मान स्पष्ट निकालें।
\(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (3) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(135=3^3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ही आती है।
The other number is \(\frac{36\times1620}{180}=324\).
Step 3
Exam Tip
Write the relation first and then simplify the division. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{36\times1620}{180}=324\) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले संबंध लिखें और फिर भाग को सरल करें।
\(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(300=2^2\times3\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
HCF uses the smallest power. चरण 1: (2) की घातों की तुलना करें। चरण 2: \(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(300=2^2\times3\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है।
Then \(\frac{1260}{36}=35\), so the value is (35).
Step 3
Exam Tip
First find the LCM, then simplify the ratio. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{180\times252}{36}=1260\) होगा। चरण 2: अब \(\frac{1260}{36}=35\), इसलिए अनुपात का मान (35) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें, फिर अनुपात सरल करें।
LCM is \(2^2\times3^3\times5=540\), so the ratio is (540:36=15:1).
Step 3
Exam Tip
Always reduce the ratio to its simplest form. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^2=36\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है, इसलिए अनुपात (540:36=15:1) है। चरण 3: अनुपात को अंत में सबसे सरल रूप में लिखें।
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such two whole numbers are not possible
Step 1
Concept
The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(180) is not exactly divisible by (9), so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before searching for pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (180) को (9) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़े खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF. चरण 1: पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें।
\(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\), and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(7\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
Before addition or subtraction, write all radicals in like form. चरण 1: \(\sqrt{245}=7\sqrt{5}\), \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\), और \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)। चरण 2: \(7\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}\)। चरण 3: जोड़-घटाव से पहले सभी वर्गमूलों को समान रूप में लिखें।
The greatest number that divides all exactly is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), and \(180=2^2\times 3^2\times 5\). The common smallest part is \(2^2\times 3^2=36\).
Step 3
Exam Tip
When the greatest exact divisor is asked, find the HCF. चरण 1: ऐसी सबसे बड़ी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 2: \(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), और \(180=2^2\times 3^2\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^2\times 3^2=36\) है। चरण 3: सबसे बड़ी पूर्ण भाजक संख्या पूछी हो तो महत्तम समापवर्तक निकालें।
\(18=2 \times 3^2\) and \(10=2 \times 5\), so \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Focus on the required exponent instead of memorising the whole number. चरण 1: \(180=18 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(18=2 \times 3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: मांगी गई घात ही देखें, पूरी संख्या याद रखना जरूरी नहीं है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^2\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(4\times27\times5=540\), so the answer is (540). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), \(3^3\) और (5) हैं। चरण 3: \(4\times27\times5=540\), इसलिए उत्तर (540) है।
\(4\times9=36\), so the HCF is (36). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(4\times9=36\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (36) है।
For two numbers, product equals HCF multiplied by LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(9\times180=1620\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first apply this relation and then multiply carefully. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल बराबर महत्तम समापवर्तक गुणा लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(9\times180=1620\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले यह संबंध याद करें, फिर गुणा करें।
Product of the two numbers is \(180\times27720=4989600\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 1260, so the other number is \(4989600\div1260=3960\).
Step 3
Exam Tip
As a check, the HCF of 1260 and 3960 is 180. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(180\times27720=4989600\) होगा। चरण 2: एक संख्या 1260 है, इसलिए दूसरी संख्या \(4989600\div1260=3960\) है। चरण 3: जांच के लिए 1260 और 3960 का महत्तम समापवर्तक 180 है।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(25200=2^4\times3^2\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The power of 2 in the product is (2+4=6). चरण 1: गुणनफल \(=180\times25200\) होगा। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(25200=2^4\times3^2\times5^2\times7\)। चरण 3: गुणनफल में 2 की घात (2+4=6) होगी।
Product of the two numbers is \(36\times1260=45360\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 180, so the other number is \(45360\div180=252\).
Step 3
Exam Tip
To check, the HCF of 180 and 252 is 36. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(36\times1260=45360\) होगा। चरण 2: एक संख्या 180 है, इसलिए दूसरी संख्या \(45360\div180=252\) है। चरण 3: उत्तर की जांच के लिए 180 और 252 का महत्तम समापवर्तक 36 है।
Comparing with the given form gives (a=2). चरण 1: 180 का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(180=18\times10=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: दिए गए रूप से तुलना करने पर (a=2) है।
\(18=2\times3^2\) and \(10=2\times5\), so \(180=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Combine repeated prime factors using powers. चरण 1: \(180=18\times10\) लिखें। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(180=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात के रूप में जोड़ें।
एक आयताकार फोटो की लंबाई चौड़ाई से (7 cm) अधिक है। उसके चारों ओर (1 cm) चौड़ा फ्रेम लगाने पर कुल क्षेत्रफल \(180 cm^2\) हो जाता है। फोटो की चौड़ाई क्या है?
