\(12=2^2\times3\) and \(180=2^2\times3^2\times5\), so the product is \(2^4\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Convert given numbers to prime form before multiplying. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: \(12=2^2\times3\) और \(180=2^2\times3^2\times5\), इसलिए गुणनफल \(2^4\times3^3\times5\) है। चरण 3: संख्या को पहले अभाज्य रूप में बदलना आसान रहता है।
A square factor must have even exponents for every prime.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count only even exponent choices for square factors. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। चरण 3: वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें।
\(18=2\times3^2\) and \(100=2^2\times5^2\), so the total power of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (p=3). चरण 1: \(1800=18\times100\) लिखें। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(100=2^2\times5^2\), इसलिए 2 की कुल घात 3 है। चरण 3: इसलिए (p=3) होगा।
\(18=2\times3^2\) and \(100=2^2\times5^2\), so \(1800=2^3\times3^2\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
Give complete prime form to both 18 and 100. चरण 1: \(1800=18\times100\) लिखें। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(100=2^2\times5^2\), इसलिए \(1800=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 3: 18 और 100 दोनों को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(18=2\times3^2\) and \(100=2^2\times5^2\), so \(1800=2^3\times3^2\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
Break 18 and 100 separately into prime form. चरण 1: \(1800=18\times100\) लिखें। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(100=2^2\times5^2\), इसलिए \(1800=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 3: 18 और 100 को अलग-अलग अभाज्य रूप में तोड़ें।
\(18=2\times3^2\) and \(10=2\times5\), so \(180=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Change all composite factors into prime form. चरण 1: \(180=18\times10\) लिखें। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(180=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: सभी संयुक्त गुणनखंडों को अभाज्य रूप में बदलें।
Product of the two numbers is \(180\times27720=4989600\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 1260, so the other number is \(4989600\div1260=3960\).
Step 3
Exam Tip
As a check, the HCF of 1260 and 3960 is 180. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(180\times27720=4989600\) होगा। चरण 2: एक संख्या 1260 है, इसलिए दूसरी संख्या \(4989600\div1260=3960\) है। चरण 3: जांच के लिए 1260 और 3960 का महत्तम समापवर्तक 180 है।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(25200=2^4\times3^2\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The power of 2 in the product is (2+4=6). चरण 1: गुणनफल \(=180\times25200\) होगा। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(25200=2^4\times3^2\times5^2\times7\)। चरण 3: गुणनफल में 2 की घात (2+4=6) होगी।
\(72=2^3\times3^2\) and \(1800=2^3\times3^2\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
The power of 3 in the product is (2+2=4). चरण 1: गुणनफल \(=72\times1800\) होगा। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) और \(1800=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 3: गुणनफल में 3 की घात (2+2=4) होगी।
Product of the two numbers is \(36\times1260=45360\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 180, so the other number is \(45360\div180=252\).
Step 3
Exam Tip
To check, the HCF of 180 and 252 is 36. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(36\times1260=45360\) होगा। चरण 2: एक संख्या 180 है, इसलिए दूसरी संख्या \(45360\div180=252\) है। चरण 3: उत्तर की जांच के लिए 180 और 252 का महत्तम समापवर्तक 36 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes it 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(1800=18\times100=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
Comparing with the given form gives (a=2). चरण 1: 180 का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(180=18\times10=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: दिए गए रूप से तुलना करने पर (a=2) है।
In \(180=2^2\times3^2\times5\), the distinct primes are 2, 3, and 5.
Step 3
Exam Tip
Even with a higher power, count the same prime once. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, उनकी घात नहीं। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) में अलग-अलग अभाज्य 2, 3 और 5 हैं। चरण 3: घात बड़ी हो तब भी उसी अभाज्य को एक बार गिनें।
\(18=2\times3^2\) and \(10=2\times5\), so \(180=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Combine repeated prime factors using powers. चरण 1: \(180=18\times10\) लिखें। चरण 2: \(18=2\times3^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(180=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात के रूप में जोड़ें।
Link it with uniform laws and modern administration. चरण 1: नेपोलियन ने शासन में सुधार किए। चरण 2: अठारह सौ चार की नागरिक संहिता उसका महत्वपूर्ण सुधार थी। चरण 3: इसे समान कानून और आधुनिक प्रशासन से जोड़कर याद रखें।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(49=7^2\), so \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 180 and 49 into prime powers. चरण 1: \(8820=180\times49\) लिखें। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(49=7^2\), इसलिए \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\)। चरण 3: 180 और 49 को अभाज्य घातों में बदलें।
Find each power separately and then multiply. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^2=9\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times25=1800\)। चरण 3: तीनों घातों का मान अलग-अलग निकालकर गुणा करें।
Simplify powers first, then multiply. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^2=9\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times25=1800\)। चरण 3: घातों को पहले सरल करें, फिर गुणा करें।
Evaluating the power first makes calculation easy. चरण 1: \(3^3=27\) निकालें। चरण 2: \(2\times27\times5=270\)। चरण 3: घात का मान पहले निकालने से गणना आसान होती है।
Product of the two numbers is \(24\times840=20160\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 120, so the other is \(20160\div120=168\).
Step 3
Exam Tip
You can check the answer by confirming that HCF of 120 and 168 is 24. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(24\times840=20160\) होगा। चरण 2: एक संख्या 120 है, इसलिए दूसरी संख्या \(20160\div120=168\) है। चरण 3: उत्तर की जांच के लिए 120 और 168 का महत्तम समापवर्तक 24 देख सकते हैं।
In larger multiplication, simplify powers first. चरण 1: \(2^5=32\), \(3^2=9\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(32\times9\times25=7200\)। चरण 3: बड़े गुणन में पहले घातों को सरल करें।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The smaller powers are \(2^2\), \(3^1\), and \(5^1\).
Step 3
Exam Tip
\(4\times3\times5=60\), so the HCF is 60. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लें। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\), \(3^1\) और \(5^1\) हैं। चरण 3: \(4\times3\times5=60\), इसलिए महत्तम समापवर्तक 60 है।
When converting prime factorisation into a number, multiply all factors. चरण 1: \(2^3=8\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times5=360\)। चरण 3: दिए गए अभाज्य गुणनखंडन को संख्या में बदलते समय सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^2\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(2^2\times3^2=4\times9=36\), so the answer is 36. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं, छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(2^2\times3^2=4\times9=36\), इसलिए उत्तर 36 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^2\), \(3^2\), and \(5^1\), so \(4\times9\times5=180\).
Step 3
Exam Tip
Use highest powers for LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), \(3^2\) और \(5^1\) हैं, इसलिए \(4\times9\times5=180\)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घातों का प्रयोग करें।
The smaller powers are \(2^1\), \(3^1\), and \(5^1\), so the HCF is \(2\times3\times5=30\).
Step 3
Exam Tip
Take smaller powers for HCF. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^1\), \(3^1\) और \(5^1\) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times5=30\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात लें।
First evaluate the powers: \(2^2=4\) and \(3^2=9\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\times9\times5=180\), so the number is 180.
Step 3
Exam Tip
Simplify powers first, then multiply. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें: \(2^2=4\) और \(3^2=9\)। चरण 2: \(4\times9\times5=180\), इसलिए संख्या 180 है। चरण 3: पहले घात सरल करें, फिर गुणा करें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
For multiplication, multiply the remainders 12 and 15.
Step 2
Why this answer is correct
\(12\times15=180\), and \(180=17\times10+10\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, multiply the remainders and then find the final remainder. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 12 और 15 को गुणा करें। चरण 2: \(12\times15=180\), और \(180=17\times10+10\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में शेषफलों का गुणा करके अंतिम शेषफल निकालें।
The Napoleonic Civil Code belonged to post-revolutionary France.
Step 2
Why this answer is correct
It was introduced in 1804.
Step 3
Exam Tip
Connect it with equality, property rights, and modern law. चरण 1: नेपोलियन की नागरिक संहिता क्रांति के बाद के फ्रांस से जुड़ी थी। चरण 2: इसे अठारह सौ चार में लागू किया गया। चरण 3: इसे समानता, संपत्ति अधिकार और आधुनिक कानून से जोड़ें।
A. 1789 में और इसने जनता आधारित राष्ट्र की भावना बढ़ाई/In 1789 and it promoted the idea of a people-based nation
Step 1
Concept
The French Revolution began in 1789.
Step 2
Why this answer is correct
It made the people the basis of nation and sovereignty.
Step 3
Exam Tip
Remember both the year and the idea together. चरण 1: फ्रांसीसी क्रांति वर्ष 1789 में शुरू हुई। चरण 2: इसने जनता को राष्ट्र और संप्रभुता का आधार माना। चरण 3: वर्ष और विचार दोनों को साथ याद रखें।
Connect it with uniform laws and modern administration. चरण 1: प्रश्न नेपोलियन के कानूनी सुधार से जुड़ा है। चरण 2: नागरिक संहिता वर्ष 1804 में लागू हुई थी। चरण 3: इसे समान कानून और आधुनिक प्रशासन से जोड़कर याद रखें।
A. 1789 में और इसने जनता आधारित राष्ट्र की भावना को बढ़ाया/In 1789 and it promoted the idea of a people-based nation
Step 1
Concept
The French Revolution began in 1789.
Step 2
Why this answer is correct
It made the people the basis of nation and sovereignty.
Step 3
Exam Tip
Remember both the year and the idea together. चरण 1: फ्रांसीसी क्रांति वर्ष 1789 में शुरू हुई। चरण 2: इसने जनता को राष्ट्र और संप्रभुता का आधार माना। चरण 3: वर्ष और विचार दोनों को साथ याद रखें।
Connect it with uniform laws and modern administration. चरण 1: प्रश्न नेपोलियन के कानूनी सुधार से जुड़ा है। चरण 2: नागरिक संहिता वर्ष 1804 में लागू की गई थी। चरण 3: इसे समान कानून और आधुनिक प्रशासन से जोड़कर याद रखें।
Napoleon introduced legal reforms during his rule.
Step 2
Why this answer is correct
The Civil Code was introduced in 1804.
Step 3
Exam Tip
Both the year and the name are important for exams. चरण 1: नेपोलियन ने अपने शासन में कानूनी सुधार किए। चरण 2: नागरिक संहिता अठारह सौ चार में लागू हुई। चरण 3: वर्ष और नाम दोनों परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण हैं।
The French Revolution was a major event in European history.
Step 2
Why this answer is correct
It began in 1789.
Step 3
Exam Tip
Remember this year as a starting point for modern nationalism in France. चरण 1: फ्रांसीसी क्रांति यूरोप के इतिहास की बड़ी घटना थी। चरण 2: यह सत्रह सौ नवासी में शुरू हुई। चरण 3: परीक्षा में इस वर्ष को राष्ट्रवाद की शुरुआत से जोड़कर याद रखें।
