For reflexive relation, every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
In exams, check diagonal pairs first, then test other properties. चरण 1: स्वसम होने के लिए हर अवयव के साथ उसका जोड़ा होना चाहिए। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी दिए हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। चरण 3: परीक्षा में पहले विकर्ण जोड़ों को जाँचें, फिर बाकी गुण देखें।
A reflexive relation must contain ((a,a),(b,b),(c,c)).
Step 2
Why this answer is correct
The third option misses ((b,b)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
If even one self-pair is missing, the relation is not reflexive. चरण 1: स्वसम संबंध में ((a,a),(b,b),(c,c)) तीनों होने चाहिए। चरण 2: तीसरे विकल्प में ((b,b)) नहीं है, इसलिए वह स्वसम नहीं है। चरण 3: किसी भी अवयव का अपना जोड़ा छूटे तो संबंध स्वसम नहीं रहेगा।
The smallest reflexive relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For four elements, the pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 3
Exam Tip
The number of pairs in the smallest reflexive relation equals the number of elements. चरण 1: न्यूनतम स्वसम संबंध में केवल अपने-अपने जोड़े होते हैं। चरण 2: चार अवयवों के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) होंगे। चरण 3: न्यूनतम स्वसम संबंध में जोड़ों की संख्या अवयवों की संख्या के बराबर होती है।
If (A) has (5) elements, then \(A\times A\) has \(5^2=25\) pairs.
Step 3
Exam Tip
For a universal relation, remember the count is \(n^2\). चरण 1: सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है। चरण 2: यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होंगे। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध के लिए हमेशा \(n^2\) याद रखें।
There is no pair that violates symmetry, so it is considered symmetric.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse it with reflexive, because self-pairs are absent. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। चरण 2: सममितता की शर्त को तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है, इसलिए रिक्त संबंध सममित माना जाता है। चरण 3: रिक्त संबंध को स्वसम समझने की गलती न करें, क्योंकि अपने जोड़े नहीं होते।
An identity relation contains only self-pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Here both (1) and (2) have their self-pairs and no extra pair is present.
Step 3
Exam Tip
Identity relation is also reflexive, but its specific name is identity relation. चरण 1: तत्समक संबंध में केवल ((a,a)) जैसे अपने-अपने युग्म होते हैं। चरण 2: यहाँ (1) और (2) दोनों के अपने युग्म हैं और कोई अतिरिक्त युग्म नहीं है। चरण 3: तत्समक संबंध स्वसम भी होता है, पर उसका सही विशेष नाम तत्समक है।
In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,3)) is ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
For symmetry, focus on reverse pairs, not only self-pairs. चरण 1: सममित संबंध में यदि ((a,b)) हो, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 2: ((2,3)) के लिए उल्टा युग्म ((3,2)) है। चरण 3: सममितता में उल्टे युग्म पर ध्यान दें, अपने युग्म पर नहीं।
B. क्योंकि ((3,2)) नहीं है/Because ((3,2)) is missing
Step 1
Concept
In a symmetric relation, every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
One missing reverse pair is enough to make the relation not symmetric. चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। चरण 2: ((2,3)) दिया है, पर ((3,2)) नहीं है, इसलिए सममितता टूटती है। चरण 3: केवल एक गायब उल्टा युग्म भी संबंध को असममित बना देता है।
Symmetry directly means the reverse ordered pair must exist.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((4,5)) is present, ((5,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not guarantee self-pairs, so read options carefully. चरण 1: सममितता का सीधा अर्थ उल्टे क्रमित युग्म की उपस्थिति है। चरण 2: ((4,5)) होने पर ((5,4)) अवश्य होगा। चरण 3: सममितता अपने जोड़ों की गारंटी नहीं देती, इसलिए विकल्पों को सावधानी से पढ़ें।
Transitivity means if ((a,b)) and ((b,c)) are present, then ((a,c)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,3)) are present along with ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
To test transitivity, combine linked pairs and look for the third pair. चरण 1: संक्रमणीयता में ((a,b)) और ((b,c)) होने पर ((a,c)) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) के साथ ((1,3)) भी है। चरण 3: संक्रमणीयता जाँचते समय दो जुड़े हुए युग्मों को मिलाकर तीसरा युग्म खोजें।
For transitivity, ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The relation does not contain ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
When the middle element matches, always check the resulting pair. चरण 1: संक्रमणीयता में ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) आना चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: संक्रमणीयता में बीच वाला अवयव समान हो तो बनने वाला नया युग्म अवश्य जाँचें।
B. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय है/It is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of each self-pair is itself, and transitivity is also satisfied.
Step 3
Exam Tip
An identity relation is usually reflexive, symmetric and transitive. चरण 1: सभी अपने जोड़े हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। चरण 2: अपने जोड़ों के उल्टे वही युग्म होते हैं और संक्रमणीयता भी नहीं टूटती। चरण 3: तत्समक संबंध प्रायः स्वसम, सममित और संक्रमणीय तीनों होता है।
An equivalence relation has three conditions: reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The question gives exactly these three properties.
Step 3
Exam Tip
For exams, remember these three words together for equivalence relation. चरण 1: तुल्यता संबंध की तीन शर्तें होती हैं: स्वसम, सममित और संक्रमणीय। चरण 2: प्रश्न में यही तीनों गुण दिए गए हैं। चरण 3: परीक्षा में तुल्यता संबंध के लिए इन तीन शब्दों को साथ में याद रखें।
B. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय है/It is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
So all self-pairs, reverse pairs and required transitive pairs are present.
Step 3
Exam Tip
The universal relation can also be an equivalence relation. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए अपने युग्म, उल्टे युग्म और संक्रमणीयता के लिए जरूरी युग्म सभी मिल जाते हैं। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को कई बार तुल्यता संबंध भी माना जा सकता है।
So the relation is limited to ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
Whenever you see (a=b), identify the identity relation. चरण 1: शर्त (a=b) केवल अपने-अपने युग्म बनाती है। चरण 2: इसलिए संबंध ((1,1),(2,2),(3,3)) तक सीमित है। चरण 3: (a=b) दिखते ही तत्समक संबंध पहचानें।
Hence (aRa) is true for every (a), so the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
Divisibility is reflexive, but it is generally not symmetric. चरण 1: कोई भी प्राकृतिक संख्या स्वयं को विभाजित करती है। चरण 2: इसलिए (aRa) हर (a) के लिए सत्य है और संबंध स्वसम है। चरण 3: विभाज्यता में स्वसमता आती है, पर सममितता सामान्यतः नहीं आती।
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Adding two even differences gives an even difference, so it is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: दो सम अंतरों को जोड़ने पर फिर सम अंतर मिलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
A. क्योंकि (a-a=0) विषम नहीं है/Because (a-a=0) is not odd
Step 1
Concept
For reflexivity, (aRa) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a-a=0), and (0) is not odd.
Step 3
Exam Tip
To test self-pairs, substitute (a-a). चरण 1: स्वसमता के लिए हर (a) पर (aRa) सत्य होना चाहिए। चरण 2: यहाँ (a-a=0) है, और (0) विषम संख्या नहीं है। चरण 3: अपने युग्म की जाँच में अक्सर (a-a) लगाकर देखें।
A. यह स्वसम और संक्रमणीय है/It is reflexive and transitive
Step 1
Concept
\(a\le a\) is always true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not treat \(\le\) as symmetric, because \(2\le3\) but \(3\le2\) is false. चरण 1: \(a\le a\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रमणीयता है। चरण 3: \(\le\) को सममित न मानें, क्योंकि \(2\le3\) है पर \(3\le2\) नहीं।
(a<b) does not imply (b<a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive. चरण 1: (a<a) कभी सत्य नहीं, इसलिए स्वसमता नहीं है। चरण 2: (a<b) से (b<a) नहीं मिलता, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए संक्रमणीयता है।
A. स्वसम है, पर सममित नहीं/Reflexive but not symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Test reflexivity and symmetry separately. चरण 1: सभी अपने जोड़े मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। चरण 2: ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: स्वसमता और सममितता को अलग-अलग जाँचें।
For symmetry, reverse pairs must be present together.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are both present, but not all self-pairs are present.
Step 3
Exam Tip
A symmetric relation need not be reflexive. चरण 1: सममितता के लिए उल्टे युग्म साथ होने चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, पर सभी अपने जोड़े नहीं हैं। चरण 3: सममित संबंध स्वसम हो ही, यह जरूरी नहीं है।
A. क्योंकि ((3,3)) नहीं है/Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
Reflexivity requires the self-pair of every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(3) is in the set, but ((3,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
List all elements and tick their self-pairs. चरण 1: स्वसमता के लिए (A) के हर अवयव का अपना युग्म चाहिए। चरण 2: (3) समुच्चय में है, पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। चरण 3: सभी अवयवों की सूची बनाकर अपने जोड़े टिक करें।
Therefore \(R\cap S\) also contains every ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Intersection keeps pairs common to both, so self-pairs remain. चरण 1: दोनों स्वसम संबंधों में हर ((a,a)) मौजूद होगा। चरण 2: इसलिए समान भाग \(R\cap S\) में भी हर ((a,a)) रहेगा। चरण 3: प्रतिच्छेद में वही युग्म बचते हैं जो दोनों में हों, अपने युग्म यहाँ सुरक्षित रहते हैं।
In a symmetric relation, every pair has its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
Any pair in \(R\cup S\) comes from either (R) or (S), and its reverse comes with it.
Step 3
Exam Tip
The union of two symmetric relations remains symmetric. चरण 1: सममित संबंध में युग्म के साथ उसका उल्टा भी होता है। चरण 2: \(R\cup S\) में जो युग्म आएगा, उसका उल्टा उसी संबंध से साथ आएगा। चरण 3: दो सममित संबंधों का संघ सममित रहता है।
Transitivity requires a third pair from two linked pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In a union, one pair may come from one relation and the second from another, so the third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
Always test transitivity of a union separately. चरण 1: संक्रमणीयता में जुड़े हुए युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: संघ में एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे से आ सकता है, तब तीसरा युग्म छूट सकता है। चरण 3: संघ के लिए संक्रमणीयता अलग से जाँचें, सीधे मानकर न चलें।
In transitivity, check only pairs that can be linked through a middle element. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: दूसरे विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। चरण 3: संक्रमणीयता में केवल जुड़े हुए युग्मों से बनने वाले युग्मों को जाँचें।
B. नहीं, क्योंकि ((3,2)) नहीं है/No, because ((3,2)) is missing
Step 1
Concept
Symmetry depends on reverse pairs, not on the number of pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,3)) is ((3,2)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
Even one non-self pair without its reverse breaks symmetry. चरण 1: सममितता युग्म की संख्या पर नहीं, उल्टे युग्म पर निर्भर करती है। चरण 2: ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है, जो नहीं है। चरण 3: एक भी बिना उल्टे वाला असमान युग्म सममितता को तोड़ देता है।
A. क्योंकि ((2,2)) का उल्टा वही है/Because the reverse of ((2,2)) is itself
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse of every pair to be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,2)) is again ((2,2)), which is present.
Step 3
Exam Tip
Self-pairs automatically satisfy symmetry. चरण 1: सममितता में हर युग्म का उल्टा संबंध में होना चाहिए। चरण 2: ((2,2)) का उल्टा फिर ((2,2)) ही है, जो मौजूद है। चरण 3: अपने युग्म सममितता को अपने आप संतुष्ट करते हैं।
For reflexivity, ((1,1),(2,2)) are fixed, while the other two pairs may be chosen or not.
Step 3
Exam Tip
Therefore the count is \(2^2=4\). चरण 1: \(A\times A\) में \(2^2=4\) युग्म हैं। चरण 2: स्वसमता के लिए ((1,1),(2,2)) निश्चित रूप से लेने होंगे, बाकी दो युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी।
For reflexivity, (3) self-pairs are fixed, so (9-3=6) pairs are free.
Step 3
Exam Tip
Each free pair has two choices, so the number is \(2^6\). चरण 1: कुल युग्म \(3^2=9\) होते हैं। चरण 2: स्वसमता के लिए (3) अपने युग्म निश्चित हैं, इसलिए (9-3=6) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: हर स्वतंत्र युग्म के दो विकल्प होते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है।
The number of subsets of \(n^2\) pairs is \(2^{n^2}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: कोई भी संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 3: \(n^2\) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n^2}\) होती है।
The remaining \(n^2-n\) pairs are free, so the count is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: कुल युग्म \(n^2\) होते हैं। चरण 2: स्वसमता के लिए (n) अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 3: बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है।
In a symmetric relation, self-pairs are chosen independently and non-self pairs are chosen in reverse-pair groups.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3) self-pairs and (3) non-self pair groups, giving (6) independent choices.
Step 3
Exam Tip
Thus the number is \(2^6\). चरण 1: सममित संबंध में अपने युग्म अलग से चुने जा सकते हैं और असमान युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। चरण 2: (3) अपने युग्म और (3) असमान जोड़ी-समूह हैं, कुल (6) स्वतंत्र चुनाव हैं। चरण 3: इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) है।
The non-self reverse-pair groups are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the count is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: (n) अपने युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 2: असमान युग्मों के (\frac{n(n-1)}{2}) उल्टे-जोड़ी समूह स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है।
All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Transitivity needs a separate check and should not be assumed immediately. चरण 1: तीनों अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: संक्रमणीयता अलग से जाँचनी पड़ेगी, तुरंत मानना ठीक नहीं।
Missing even one required pair destroys transitivity. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) दोनों संबंध में हैं। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर वह नहीं है। चरण 3: किसी एक आवश्यक युग्म की कमी संक्रमणीयता को समाप्त कर देती है।
C. हर तत्समक संबंध स्वसम होता है/Every identity relation is reflexive
Step 1
Concept
An identity relation contains the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
That is exactly the condition for reflexivity.
Step 3
Exam Tip
The other statements are not generally true, so match with definitions. चरण 1: तत्समक संबंध में हर अवयव का अपना युग्म होता है। चरण 2: यही स्वसमता की मूल शर्त है। चरण 3: बाकी कथन सामान्यतः गलत हैं, इसलिए परिभाषा से मिलान करें।
D. स्वसम संबंध में कोई अपना युग्म नहीं होता/A reflexive relation has no self-pair
Step 1
Concept
Reflexive relation is defined by the presence of self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
So saying it has no self-pair is always false.
Step 3
Exam Tip
Identify statements that directly contradict definitions. चरण 1: स्वसम संबंध की परिभाषा ही अपने युग्मों की उपस्थिति है। चरण 2: इसलिए यह कहना कि उसमें कोई अपना युग्म नहीं होता, हमेशा गलत है। चरण 3: परिभाषा के विपरीत कथनों को तुरंत पहचानें।
A. स्वसम और संक्रमणीय, पर सममित नहीं/Reflexive and transitive, but not symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so transitivity is satisfied here.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) lacks ((2,1)), so it is not symmetric. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है, इसलिए मुख्य संक्रमणीय शर्त पूरी है। चरण 3: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है।
For three elements, \(A\times A\) has (9) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The given relation contains all (9) possible pairs.
Step 3
Exam Tip
A relation containing all possible pairs is universal. चरण 1: (A) के तीन अवयवों के लिए \(A\times A\) में (9) युग्म होते हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में सभी (9) संभव युग्म हैं। चरण 3: सभी संभव युग्म होने पर संबंध सार्वत्रिक होता है।
A. रिक्त में कोई युग्म नहीं, सार्वत्रिक में सभी संभव युग्म/Empty has no pair, universal has all possible pairs
Step 1
Concept
The empty relation has no ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
The universal relation is \(A\times A\), so it contains all possible pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not interchange these two definitions in exams. चरण 1: रिक्त संबंध में एक भी क्रमित युग्म नहीं होता। चरण 2: सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है, इसलिए सभी संभव युग्म रखता है। चरण 3: दोनों को उल्टा याद करने से प्रश्न गलत हो जाता है।
A. क्योंकि इसमें ((a,a)) जैसे अपने युग्म नहीं हैं/Because it has no self-pairs like ((a,a))
Step 1
Concept
A reflexive relation needs the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair at all, so it has no self-pairs.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, the empty relation is not reflexive. चरण 1: स्वसम संबंध में हर अवयव का अपना युग्म चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं होता, इसलिए अपने युग्म भी नहीं होते। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध स्वसम नहीं होता।
B. रिक्त संबंध \(\varnothing\) है और तत्समक संबंध ({(1,1)}) है/Empty relation is \(\varnothing\) and identity relation is ({(1,1)})
Step 1
Concept
The empty relation has no pair.
Step 2
Why this answer is correct
On a one-element set, the identity relation contains ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
Even for a small set, distinguish empty and identity relations. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। चरण 2: एक अवयव वाले समुच्चय पर तत्समक संबंध में ((1,1)) होता है। चरण 3: छोटा समुच्चय होने पर भी रिक्त और तत्समक को अलग पहचानें।
B. पूरे संबंध की स्वसमता/Reflexivity of the whole relation
Step 1
Concept
((a,b)) and ((b,a)) are reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
This shows symmetry for these pairs, but says nothing about self-pairs of all elements.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity must be checked separately using ((x,x)). चरण 1: ((a,b)) और ((b,a)) एक-दूसरे के उल्टे हैं। चरण 2: इससे इन युग्मों के लिए सममितता दिखती है, पर हर अवयव के अपने युग्मों की जानकारी नहीं मिलती। चरण 3: स्वसमता के लिए अलग से ((x,x)) जाँचें।
The pairs show the first element is greater than or equal to the second.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (3) is related to (2) and (1), and (2) is related to (1).
Step 3
Exam Tip
Recognize this pattern as similar to the \(\ge\) relation. चरण 1: दिए गए युग्मों में बड़ा या बराबर पहला अवयव दूसरे से संबंधित है। चरण 2: जैसे (3) का (2) और (1) से संबंध है, और (2) का (1) से। चरण 3: ऐसे पैटर्न को \(\ge\) संबंध की तरह पहचानें।
Every person has the same birthday date as themselves, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (a)'s date matches (b)'s date, then (b)'s date matches (a)'s date, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Matching the same date passes through a third person, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर व्यक्ति का जन्मदिन अपने ही जन्मदिन जैसा है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a) की तारीख (b) जैसी है, तो (b) की तारीख (a) जैसी है, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान तारीख का संबंध तीसरे व्यक्ति तक भी जुड़ता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
Every student is in the same class as themselves, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is in the same class as (b), then (b) is in the same class as (a), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The same-class link transfers to a third student, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर विद्यार्थी अपने साथ उसी कक्षा में है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a), (b) की कक्षा में है, तो (b), (a) की कक्षा में है, इसलिए सममितता है। चरण 3: एक ही कक्षा की कड़ी तीसरे विद्यार्थी तक भी सही रहती है, इसलिए तुल्यता संबंध है।
A person is not taller than themselves, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is taller than (b), then (b) is not taller than (a).
Step 3
Exam Tip
If (a) is taller than (b) and (b) is taller than (c), then (a) is taller than (c), so it is transitive. चरण 1: कोई व्यक्ति स्वयं से लंबा नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। चरण 2: यदि (a), (b) से लंबा है, तो (b), (a) से लंबा नहीं होगा। चरण 3: यदि (a), (b) से और (b), (c) से लंबा है, तो (a), (c) से लंबा होगा, इसलिए संक्रमणीयता है।
The first option has all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is paired with ((2,1)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The required linked-pair conditions are also satisfied, so it is an equivalence relation. चरण 1: पहले विकल्प में सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) है, इसलिए सममितता है। चरण 3: जुड़े हुए युग्मों से बनने वाली शर्तें भी पूरी हैं, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
