Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गुणांक \( \binom{12}{5} \) है, इसलिए उत्तर (792) है। परीक्षा में ( (1+x)^n ) में \(x^r\) का गुणांक सीधे \( \binom{n}{r} \) लें। / The coefficient is \( \binom{12}{5} \), so the answer is (792). In exams, for ( (1+x)^n ), the coefficient of \(x^r\) is \( \binom{n}{r} \).
महिलाओं की संख्या (2,3,4,5) लेकर योग करने पर (596) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में सभी वैध मामलों को अलग-अलग जोड़ें। / Taking the number of women as (2,3,4,5) and adding gives (596). In such questions, add all valid cases separately.
सममिति से (4= n-2), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में \( \binom{n}{r}=\binom{n}{s} \) हो तो (r=s) या (r+s=n) जाँचें। / By symmetry, (4=n-2), so (n=6). In exams, when \( \binom{n}{r}=\binom{n}{s} \), check (r=s) or (r+s=n).
कुल रेखाखंड \( \binom{10}{2} \) हैं और (10) भुजाएँ घटाने पर (35) बचते हैं। बहुभुज में पहले सभी शीर्ष-युग्म गिनें। / The total segments are \( \binom{10}{2} \), and subtracting (10) sides gives (35). For polygons, first count all vertex pairs.
क्रमागत न होने का सूत्र \( \binom{10-3+1}{3}=\binom{8}{3}=56 \) देता है। ऐसे प्रश्नों में खाली स्थान विधि बहुत तेज होती है। / The no-consecutive formula gives \( \binom{10-3+1}{3}=\binom{8}{3}=56 \). In such questions, the gap method is very fast.
चयन \( \binom{4}{2}\binom{48}{3}=103776 \) है। ठीक वाले प्रश्नों में पहले विशेष वस्तुएँ और फिर बाकी वस्तुएँ चुनें। / The selection is \( \binom{4}{2}\binom{48}{3}=103776 \). For exactly-type questions, choose special objects first and then the remaining objects.
कुल \( \binom{12}{3} \) में से असंभव \( \binom{5}{3} \) घटाएँ, उत्तर (210) है। त्रिभुज के लिए तीन असरेखीय बिंदु चाहिए। / Subtract the impossible \( \binom{5}{3} \) from total \( \binom{12}{3} \), giving (210). A triangle needs three non-collinear points.
सभी उपसमुच्चय \(2^6\) हैं, खाली चयन हटाने पर (63) मिलते हैं। कम से कम एक में खाली स्थिति घटाना याद रखें। / There are \(2^6\) subsets, and removing the empty selection gives (63). For at least one, remember to subtract the empty case.
गिनती \( \binom{6}{3}\binom{4}{1}=80 \) है। अलग समूहों से चयन में गुणन नियम लगाएँ। / The count is \( \binom{6}{3}\binom{4}{1}=80 \). For selections from separate groups, use the multiplication rule.
रंग-वितरण (2,1,1) के तीन मामलों का योग (270) देता है। क्षमता सीमाएँ होने पर हर रंग के मामलों को अलग रखें। / The three cases of color distribution (2,1,1) add up to (270). When capacities are limited, keep the cases by color separate.
कुल (8) स्थानों में (3) ऊपर कदम चुनने हैं, इसलिए \( \binom{8}{3}=56 \) है। रास्तों में कदमों की जगहें चुनना संयोजन है। / Choose the (3) up-step positions among (8) total steps, so \( \binom{8}{3}=56 \). In paths, selecting step positions is a combination idea.
न्यूनतम मान घटाने पर (a+b+z=7) मिलता है, इसलिए \( \binom{9}{2}=36 \)। पहले शर्तों को शून्य-आधारित बनाइए। / After subtracting minimum values, (a+b+z=7), so \( \binom{9}{2}=36 \). First convert constraints to zero-based variables.
कुल \( \binom{12}{2} \) से किसी चर के (6) या अधिक होने के \(3\binom{6}{2}\) मामले घटते हैं, उत्तर (21) है। ऊपरी सीमा में पूरक गिनती उपयोगी रहती है। / From total \( \binom{12}{2} \), subtract \(3\binom{6}{2}\) cases where a variable is (6) or more, giving (21). For upper bounds, complementary counting is useful.
स्वरों की संख्या (2,3,4,5) लेकर योग (881) मिलता है। कम से कम वाली शर्त में सभी अनुमत गिनतियाँ जोड़ें। / Taking vowels as (2,3,4,5) gives a total of (881). For an at-least condition, add all permitted counts.
विषम और सम आकार के उपसमुच्चय बराबर होते हैं, इसलिए संख्या \(2^{8}=256\) है। ऐसे प्रश्नों में आधे उपसमुच्चय विषम आकार के होते हैं। / Odd- and even-sized subsets are equal in number, so the count is \(2^8=256\). In such questions, half the subsets have odd size.
क्रम का महत्व नहीं है, इसलिए \( \binom{9}{3}=84 \) है। समुच्चय बनाते समय क्रम को कभी न गिनें। / Order does not matter, so \( \binom{9}{3}=84 \). When forming a set, never count order.
कुल \( \binom{12}{5} \) में से दोनों विशेष व्यक्तियों वाले \( \binom{10}{3} \) चयन घटते हैं, उत्तर (672) है। साथ न होने पर निषिद्ध स्थिति घटाएँ। / From total \( \binom{12}{5} \), subtract \( \binom{10}{3} \) selections containing both particular persons, giving (672). For not-together conditions, subtract forbidden cases.
कुल \( \binom{11}{5} \) से (A,B) दोनों न होने वाले \( \binom{9}{5} \) घटाएँ, उत्तर (336) है। कम से कम एक के लिए पूरक सबसे सरल है। / Subtract \( \binom{9}{5} \), where neither (A) nor (B) is selected, from total \( \binom{11}{5} \), giving (336). For at least one, complement is simplest.
शर्त से लड़के (2) और लड़कियाँ (4) होंगी, इसलिए \( \binom{8}{2}\binom{6}{4}=420 \)। पहले संख्या-वितरण निकालें। / The condition gives (2) boys and (4) girls, so \( \binom{8}{2}\binom{6}{4}=420 \). First find the distribution of numbers.
(6) क्षैतिज और (5) ऊर्ध्व रेखाओं में से दो-दो चुनने पर \( \binom{6}{2}\binom{5}{2}=150 \) मिलता है। आयत के लिए दो क्षैतिज और दो ऊर्ध्व रेखाएँ चाहिए। / Choosing two horizontal lines from (6) and two vertical lines from (5) gives \( \binom{6}{2}\binom{5}{2}=150 \). A rectangle needs two horizontal and two vertical lines.
एक समांतर चतुर्भुज के लिए हर परिवार से (2) रेखाएँ चाहिए, इसलिए \( \binom{4}{2}\binom{5}{2}=60 \)। दो-दो समानांतर रेखाएँ चुनना मुख्य विचार है। / A parallelogram needs (2) lines from each family, so \( \binom{4}{2}\binom{5}{2}=60 \). The key idea is choosing two parallel lines from each family.
सूत्र \( \binom{15-4+1}{4}=\binom{12}{4}=495 \) देता है। क्रमागत-वर्जित चयन में घटे हुए स्थानों से संयोजन लें। / The formula gives \( \binom{15-4+1}{4}=\binom{12}{4}=495 \). For no-consecutive selections, take combinations from reduced positions.
योग सम तब होगा जब (3) सम या (2) विषम और (1) सम चुने जाएँ, कुल (28) हैं। सम-विषम मामलों को अलग-अलग गिनें। / The sum is even when (3) even numbers or (2) odd and (1) even number are chosen, giving (28). Count parity cases separately.
किसी एक सूट से \( \binom{13}{5} \) चयन और (4) सूट हैं, इसलिए (5148) है। सूट चुनना और फिर पत्ते चुनना दो चरण हैं। / From one suit there are \( \binom{13}{5} \) selections and there are (4) suits, so the count is (5148). Choose the suit and then the cards.
चयन \( \binom{5}{3}\binom{9}{4}=1260 \) है। ठीक (3) का अर्थ है बाकी (4) बाहर वाले समूह से आएँगे। / The selection is \( \binom{5}{3}\binom{9}{4}=1260 \). Exactly (3) means the remaining (4) come from outside the fixed group.
सममिति से (r+(r+2)=12), इसलिए (r=5) है। ऐसे प्रश्नों में निचले सूचकांकों का योग (n) के बराबर रखें। / By symmetry, (r+(r+2)=12), so (r=5). In such questions, make the lower indices add to (n).
सममिति से (r+(r-3)=11), इसलिए (r=7) है। \( \binom{n}{a}=\binom{n}{b} \) में अक्सर (a+b=n) काम आता है। / By symmetry, (r+(r-3)=11), so (r=7). In \( \binom{n}{a}=\binom{n}{b} \), often (a+b=n) is useful.
पहले (4) दंपति चुनें और हर दंपति से (1) व्यक्ति लें, \( \binom{8}{4}2^4=1120 \)। जोड़े से केवल एक चुनने पर (2) विकल्प बनते हैं। / First choose (4) couples and then (1) person from each, giving \( \binom{8}{4}2^4=1120 \). Choosing only one from a couple gives (2) choices.
जोड़ा \( \binom{6}{1} \), बाकी (3) दंपति \( \binom{5}{3} \), और उनसे एक-एक व्यक्ति \(2^3\), कुल (480) है। ठीक एक जोड़ा रखने के बाद बाकी जोड़ों से केवल एक व्यक्ति चुनें। / Choose the couple \( \binom{6}{1} \), then (3) other couples \( \binom{5}{3} \), and one person from each \(2^3\), giving (480). After fixing exactly one couple, choose only one person from each remaining couple.
ठीक (2) विशेष और ठीक (3) विशेष के मामलों का योग (140) है। कम से कम (2) में दोनों वैध मामले जोड़ें। / The cases of exactly (2) special and exactly (3) special persons add to (140). For at least (2), add both valid cases.
यह \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\) के अशून्येतर नहीं बल्कि शून्य सहित हल हैं, इसलिए \( \binom{9}{3}=84 \)। असीमित समान प्रकारों में सितारे और पट्टियाँ लगाएँ। / This is the number of nonnegative solutions of \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\), so \( \binom{9}{3}=84 \). For unlimited identical types, use stars and bars.
हर विद्यार्थी को (2) देने के बाद (6) कलमें बचती हैं, इसलिए \( \binom{8}{2}=28 \)। न्यूनतम शर्त घटाकर फिर शून्य सहित हल गिनें। / After giving (2) pens to each student, (6) pens remain, so \( \binom{8}{2}=28 \). Subtract the minimum condition and then count nonnegative solutions.
न्यूनतम (5,1,1,1) घटाने पर (12) बचता है, इसलिए \( \binom{15}{3}=455 \)। असमान न्यूनतम शर्तों को पहले घटाएँ। / After subtracting minimums (5,1,1,1), (12) remains, so \( \binom{15}{3}=455 \). Subtract unequal minimum conditions first.
कुल \( \binom{21}{3} \) से \(x_1\ge6\) वाले \( \binom{15}{3} \) घटते हैं, उत्तर (875) है। ऊपरी सीमा में प्रतिबंधित हल घटाना आसान है। / Subtract \( \binom{15}{3} \) cases with \(x_1\ge6\) from total \( \binom{21}{3} \), giving (875). For upper limits, subtract forbidden solutions.
कुल \( \binom{9}{5} \) से तीनों विशेष अवयवों वाले \( \binom{6}{2} \) घटाएँ, उत्तर (111) है। नहीं वाले प्रश्न में निषिद्ध चयन घटाएँ। / Subtract \( \binom{6}{2} \) subsets containing all three special elements from total \( \binom{9}{5} \), giving (111). In not-type questions, subtract forbidden selections.
चयन \( \binom{3}{2}\binom{6}{3}=60 \) है। ठीक (2) विशेष होने पर बाकी (3) सामान्य अवयवों से लें। / The selection is \( \binom{3}{2}\binom{6}{3}=60 \). With exactly (2) special elements, take the remaining (3) from ordinary elements.
(a) निश्चित रूप से चुना और (b) निश्चित रूप से छोड़ा गया, बाकी (8) अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^8=256\)। निश्चित अवस्थाओं को पहले स्थिर करें। / (a) is fixed as selected and (b) is fixed as not selected, so the remaining (8) elements are free, giving \(2^8=256\). Fix compulsory states first.
विशेष अवयवों की संख्या (2,3,4) लेकर योग (456) है। छोटे विशेष समूह में सीधे वैध मामलों को जोड़ना आसान है। / Taking the number of special elements as (2,3,4) gives (456). With a small special group, directly add valid cases.
गुणनफल विषम तभी होगा जब चारों संख्याएँ विषम हों, इसलिए \( \binom{8}{4}=70 \)। गुणनफल की सम-विषम प्रकृति में सभी कारकों पर ध्यान दें। / The product is odd only when all four numbers are odd, so \( \binom{8}{4}=70 \). For product parity, check every factor.
योग विषम के लिए (1) विषम और (2) सम या (3) विषम चुनें, कुल (570) है। सम-विषम संयोजन तालिका बनाकर गलती घटती है। / For an odd sum, choose (1) odd and (2) even or (3) odd numbers, giving (570). Making a parity case table reduces errors.
सम योग के लिए विषम संख्याओं की संख्या (0,2,4) हो सकती है, कुल (255) है। चयन की संख्या पर नहीं, विषम चुने गए तत्वों की संख्या पर ध्यान दें। / For an even sum, the number of odd selected numbers can be (0,2,4), giving (255). Focus on how many odd elements are selected, not only on total selection size.
पहली समिति \( \binom{10}{3} \) और दूसरी \( \binom{7}{4} \) तरीकों से बनेगी, कुल (4200) है। नामित समितियों में चरणों का क्रम महत्त्व रखता है। / The first committee can be formed in \( \binom{10}{3} \) ways and the second in \( \binom{7}{4} \) ways, giving (4200). For named committees, the stages matter.
दोनों चुने जाने पर \( \binom{11}{4} \) और दोनों न चुने जाने पर \( \binom{11}{6} \), कुल (792) है। या तो दोनों या कोई नहीं को दो अलग मामलों में बाँटें। / If both are selected, count \( \binom{11}{4} \); if neither is selected, count \( \binom{11}{6} \), giving (792). Split either both or neither into two cases.
विशेष व्यक्ति चुनने के (2) तरीके और बाकी (4) व्यक्ति (8) में से, इसलिए \(2\binom{8}{4}=140\)। ठीक एक का अर्थ है दो समान मामले। / There are (2) ways to choose the special person and then (4) from the other (8), so \(2\binom{8}{4}=140\). Exactly one means two symmetric cases.
चतुर्भुज के लिए हर रेखा से (2) बिंदु चाहिए, इसलिए \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \)। एक ही रेखा से (3) बिंदु लेने पर चतुर्भुज नहीं बनेगा। / A quadrilateral needs (2) points from each line, so \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \). Taking (3) points from one line cannot form a quadrilateral.
अक्षर-सीमाएँ \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), \(P\le2\) रखकर कुल (21) चयन मिलते हैं। बहुलता वाले अक्षरों में सीमित पूर्णांक हल गिनें। / Using the limits \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), and \(P\le2\), the total selections are (21). For repeated letters, count bounded integer solutions.
वैध चयन \(A^3N^2\), \(BA^2N^2\), और \(BA^3N\) हैं, इसलिए कुल (3) हैं। छोटे बहुलता प्रश्नों में वैध वितरण सीधे लिखें। / The valid selections are \(A^3N^2\), \(BA^2N^2\), and \(BA^3N\), so the total is (3). In small repetition questions, list valid distributions directly.
गुणनफल ( (1+x)^{12} ) है, इसलिए गुणांक \( \binom{12}{8}=495 \)। द्विपद गुणन में घातें जोड़कर सरल करें। / The product is ( (1+x)^{12} ), so the coefficient is \( \binom{12}{8}=495 \). In binomial products, combine powers first.
वैंडरमोंड सर्वसमिका से योग \( \binom{14}{4}=1001 \) है। ऐसे योग में ऊपर की संख्याएँ जोड़कर कुल चयन देखें। / By Vandermonde's identity, the sum is \( \binom{14}{4}=1001 \). In such sums, view it as total selection after adding upper counts.
\( \binom{10}{2}=45 \) से (n=10), इसलिए \( \binom{10}{4}=210 \)। पहले (n) निकालें, फिर माँगा गया संयोजन रखें। / Since \( \binom{10}{2}=45 \), (n=10), so \( \binom{10}{4}=210 \). First find (n), then evaluate the required combination.
अनुपात \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\) होगा, इसलिए (n=14)। परीक्षा में पहले अनुपात लिखें। / The ratio is \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\), so (n=14). In exams write the ratio first.
समान (n) के लिए \(^{n}C_{r}=^{n}C_{s}\) होने पर (r=s) या (r+s=n)। यहां (n=10) है। / For same (n), \(^{n}C_{r}=^{n}C_{s}\) implies (r=s) or (r+s=n). Here (n=10).
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}=\frac{7}{2}\) से (n=21.5) नहीं आता, इसलिए सही अनुपात जांचना जरूरी है। यहां कोई पूर्णांक (n) संभव नहीं है। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}=\frac{7}{2}\) gives no integer (n). Always check validity of the ratio.
दोनों विशेष चुने जाएं तो \(^{10}C_{3}\), और दोनों न चुने जाएं तो \(^{10}C_{5}\)। कुल (120+252=372)। / If both special students are selected, count \(^{10}C_{3}\); if both are not selected, count \(^{10}C_{5}\). Total (120+252=372).
मामले (3W2M), (4W1M), (5W0M) हैं। मान \(^{6}C_{3}{}^{8}C_{2}+^{6}C_{4}{}^{8}C_{1}+^{6}C_{5}=560\)। / Cases are (3W2M), (4W1M), and (5W0M). The value is \(^{6}C_{3}{}^{8}C_{2}+^{6}C_{4}{}^{8}C_{1}+^{6}C_{5}=560\).
कुल \(^{10}C_{4}=210\) हैं। दोनों विशेष साथ होने वाले \(^{8}C_{2}=28\) हटाएं, उत्तर (182)। / Total selections are \(^{10}C_{4}=210\). Remove \(^{8}C_{2}=28\) selections containing both special players, giving (182).
कुल \(^{7}C_{4}=35\) हैं। दोनों निर्धारित पुस्तकें साथ होने पर \(^{5}C_{2}=10\) चयन हटेंगे। / Total selections are \(^{7}C_{4}=35\). If both specified books are together, \(^{5}C_{2}=10\) selections are removed.
कुल \(^{11}C_{3}=165\) से कोलिनियर \(^{5}C_{3}=10\) घटाएं। उत्तर (155) है। / Subtract collinear choices \(^{5}C_{3}=10\) from total \(^{11}C_{3}=165\). The answer is (155).
दो शीर्ष चुनने के कुल तरीके \(^{10}C_{2}\) हैं। भुजाएं (10) घटाने पर विकर्ण (35) मिलते हैं। / Total ways to choose two vertices are \(^{10}C_{2}\). Subtract (10) sides to get (35) diagonals.
किसी भी (4) शीर्षों से एक चतुर्भुज बनता है। इसलिए संख्या \(^{12}C_{4}=495\) है। / Any (4) vertices form one quadrilateral. Thus the number is \(^{12}C_{4}=495\).
कुल \(^{13}C_{6}\) से (0) और (1) गेंदबाज वाले मामले घटाएं। (1716-7-120=1589)। / Subtract cases with (0) and (1) bowler from \(^{13}C_{6}\). (1716-7-120=1589).
कुल \(^{11}C_{4}=330\) से केवल भारतीय \(^{6}C_{4}=15\) और केवल विदेशी \(^{5}C_{4}=5\) हटाएं। उत्तर (310)। / Subtract all-Indian \(^{6}C_{4}=15\) and all-foreign \(^{5}C_{4}=5\) from total \(^{11}C_{4}=330\). Answer (310).
पहले (5) में से (3,4,5) चुनकर बाकी (10) से पूर्ति करें। \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\)। / Choose (3,4,5) from the first (5) and complete from the remaining (10). \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\).
एक परीक्षा में खंड (A) में (6) और खंड (B) में (7) प्रश्न हैं। कुल (8) प्रश्न चुनने हैं और प्रत्येक खंड से कम से कम (3) प्रश्न होने चाहिए। कितने चयन संभव हैं?
मामले (3,5), (4,4), और (5,3) हैं। योग \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\)। / Cases are (3,5), (4,4), and (5,3). Sum \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\).
विशेष अभ्यर्थी को निश्चित मानें और बाकी (2) को (7) में से चुनें। संख्या \(^{7}C_{2}=21\)। / Fix the particular candidate and choose remaining (2) from (7). The number is \(^{7}C_{2}=21\).
कुल \(^{9}C_{4}=126\) हैं। दोनों विरोधी साथ होने पर \(^{7}C_{2}=21\) हटाएं, उत्तर (105)। / Total selections are \(^{9}C_{4}=126\). Remove \(^{7}C_{2}=21\) selections containing both rivals, answer (105).
ठीक (2) भौतिकी के लिए \(^{4}C_{2}\) और (3) गणित के लिए \(^{5}C_{3}\)। गुणन से (60) मिलता है। / For exactly (2) physics books use \(^{4}C_{2}\), and for (3) mathematics books use \(^{5}C_{3}\). Product is (60).
कुल \(^{18}C_{6}=18564\) से दोनों विशेष शामिल वाले \(^{16}C_{4}=1820\) नहीं, सही हटाना यही है और उत्तर (16744) होगा। दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / Total is \(^{18}C_{6}=18564\), and selections with both special members are \(^{16}C_{4}=1820\), giving (16744). None of the options is correct.
दो विशेष में से (1) चुनें और बाकी (5) को (18) में से चुनें। संख्या \(^{2}C_{1}{}^{18}C_{5}=17136\) होती है। / Choose (1) of the two special students and (5) from the remaining (18). The number is \(^{2}C_{1}{}^{18}C_{5}=17136\).
दो (n) आकार के समूहों से (3) चुनने में सभी (3) एक समूह से या (2,1) विभाजन से आते हैं। यही पहचान है। / While choosing (3) from two groups of size (n), either all (3) come from one group or the split is (2,1). This proves the identity.
कुल \(^{14}C_{3}=364\) है। अमान्य चयन \(^{6}C_{3}+^{4}C_{3}=24\), इसलिए उत्तर (340) नहीं बल्कि (340) है। / Total is \(^{14}C_{3}=364\). Invalid selections are \(^{6}C_{3}+^{4}C_{3}=24\), so the answer is (340).
कुल युग्म \(^{10}C_{2}=45\) हैं। (4) कोलिनियर बिंदुओं के \(^{4}C_{2}=6\) युग्मों की जगह (1) रेखा होगी, इसलिए (45-6+1=40)। / Total pairs are \(^{10}C_{2}=45\). The \(^{4}C_{2}=6\) pairs among collinear points give only (1) line, so (45-6+1=40).
कुल चालें (9) हैं जिनमें (5) दाएं और (4) ऊपर हैं। रास्ते \(^{9}C_{5}=126\) हैं। / There are (9) moves with (5) right and (4) up. Paths are \(^{9}C_{5}=126\).
पहले भाग के रास्ते \(^{5}C_{2}=10\) और दूसरे भाग के रास्ते \(^{6}C_{4}=15\) नहीं, सही दूसरा \(^{6}C_{4}=15\) है। कुल (150) होता है। / First part has \(^{5}C_{2}=10\) paths and the second part has \(^{6}C_{4}=15\) paths. Total is (150).
कोई दो लगातार न हों तो सूत्र \(^{n-r+1}C_{r}\) है। यहां \(^{17}C_{4}=2380\), इसलिए सही विकल्प (2380) है। / If no two are consecutive, use \(^{n-r+1}C_{r}\). Here \(^{17}C_{4}=2380\), so the correct answer is (2380).
अलगाव विधि से संख्या \(^{15-5+1}C_{5}=^{11}C_{5}=462\)। ऐसी समस्याओं में पहले अंतर की शर्त पहचानें। / By the gap method, the count is \(^{15-5+1}C_{5}=^{11}C_{5}=462\). In such problems identify the gap condition first.
मामले (2) विशेष और (3) अन्य, या (3) विशेष और (2) अन्य हैं। \(^{3}C_{2}{}^{9}C_{3}+^{3}C_{3}{}^{9}C_{2}=288\) होता है। / Cases are (2) special and (3) others, or (3) special and (2) others. The value is \(^{3}C_{2}{}^{9}C_{3}+^{3}C_{3}{}^{9}C_{2}=288\).
कुल \(^{9}C_{5}=126\) से दोनों न चुने जाने वाले \(^{7}C_{5}=21\) घटते हैं। उत्तर (105) है। / Subtract cases where neither is chosen, \(^{7}C_{5}=21\), from total \(^{9}C_{5}=126\). The answer is (105).
शिक्षक अधिक होने के मामले (4T2S), (5T1S), (6T0S) हैं। योग \(^{7}C_{4}{}^{8}C_{2}+^{7}C_{5}{}^{8}C_{1}+^{7}C_{6}=1155\) होता है। / Cases are (4T2S), (5T1S), and (6T0S). Sum is \(^{7}C_{4}{}^{8}C_{2}+^{7}C_{5}{}^{8}C_{1}+^{7}C_{6}=1155\).
एक जैसी वस्तुओं में से (0) से (4) तक ली जा सकती हैं। योग \(\sum_{k=0}^{4}{}^{10}C_{4-k}=386\) नहीं, सही \(^{10}C_{4}+^{10}C_{3}+^{10}C_{2}+^{10}C_{1}+1=386\) है। / We can take (0) to (4) identical objects. The total is \(^{10}C_{4}+^{10}C_{3}+^{10}C_{2}+^{10}C_{1}+1=386\).
एक जैसी टॉफियों की संख्या (0) से (4) तक हो सकती है। योग \(^{7}C_{4}+^{7}C_{3}+^{7}C_{2}+^{7}C_{1}+1=99\)। / The number of identical candies can be (0) to (4). Sum \(^{7}C_{4}+^{7}C_{3}+^{7}C_{2}+^{7}C_{1}+1=99\).
समान पुरस्कार और अधिकतम एक पुरस्कार का अर्थ है केवल (5) विद्यार्थियों का चयन। संख्या \(^{12}C_{5}=792\) है। / Identical prizes with at most one per student means choosing (5) students. The number is \(^{12}C_{5}=792\).
हर हाथ मिलाना (2) लोगों के चयन के बराबर है। इसलिए संख्या \(^{8}C_{2}=28\)। / Each handshake corresponds to choosing (2) people. Hence the number is \(^{8}C_{2}=28\).
\(^{n}C_{2}=435\) से (n=30) उपस्थित हैं। अतः अनुपस्थित (35-30=5)। / From \(^{n}C_{2}=435\), (n=30) people were present. Therefore absent people are (35-30=5).
यह \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_{r}=^{n+1}C_{r}\) का रूप है। इसे पास्कल नियम कहते हैं। / This is the form \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_{r}=^{n+1}C_{r}\). It is called Pascal's rule.
क्योंकि \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), योग \(2,^{15}C_{7}\) है। पास्कल से यह \(^{16}C_{8}\) भी है। / Since \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), the sum is \(2,^{15}C_{7}\). By Pascal's rule it is also \(^{16}C_{8}\).
चयन \(^{10}C_{3}+^{10}C_{4}=120+210=330\) है। या का अर्थ यहां जोड़ना है। / The selection count is \(^{10}C_{3}+^{10}C_{4}=120+210=330\). Here OR means addition.
न चुने जाने वाले छात्र को हटाकर (12) में से (5) चुनें। संख्या \(^{12}C_{5}=792\)। / Remove the forbidden student and choose (5) from (12). The number is \(^{12}C_{5}=792\).
कुल \(^{12}C_{4}=495\) से सभी लाल \(^{5}C_{4}=5\) और सभी काली \(^{7}C_{4}=35\) हटाएं। उत्तर (455)। / Subtract all-red \(^{5}C_{4}=5\) and all-black \(^{7}C_{4}=35\) from total \(^{12}C_{4}=495\). Answer (455).
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0,2,4) होनी चाहिए। गणना \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\) है। / For an even sum, the number of odd digits must be (0,2,4). Count \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\).
(6) विषम और (6) सम संख्याएं हैं। विषम योग के लिए (1) या (3) विषम चुनें, संख्या \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\)। / There are (6) odd and (6) even numbers. For odd sum choose (1) or (3) odd numbers, giving \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\).
कुल \(^{11}C_{2}=55\) से केवल वृत्त \(^{5}C_{2}=10\) घटाने चाहिए। सही संख्या (45) है। / Subtract circle-only selections \(^{5}C_{2}=10\) from total \(^{11}C_{2}=55\). The correct count is (45).
विशेष खिलाड़ियों की संख्या (0,1,2) हो सकती है, पर (7) अन्य ही हैं। योग \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\) है। / The number of special players can be (0,1,2), with (7) ordinary players available. Sum \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\).
समानता में पूरक सूचकांक का योग (n) है। इसलिए (r+(r+1)=n), अतः (n=2r+1)। / For equality, complementary indices add to (n). Thus (r+(r+1)=n), so (n=2r+1).
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\) होता है। इसे \(\frac{11}{5}\) के बराबर रखने पर (n=15)। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\). Equating it to \(\frac{11}{5}\) gives (n=15).
निश्चित सदस्य को पहले चुन लें और बाकी (2) को (17) में से चुनें। संख्या \(^{17}C_{2}=136\) है। / Fix the required member first and choose the remaining (2) from (17). The number is \(^{17}C_{2}=136\).
संभव मामले (2G3B) और (3G2B) हैं। योग \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\)। / The possible cases are (2G3B) and (3G2B). The sum is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\).
ठीक (4) शिक्षक के लिए \(^{10}C_{4}\) और (2) छात्र के लिए \(^{8}C_{2}\) लें। गुणन से (5880) मिलता है। / Choose (4) teachers using \(^{10}C_{4}\) and (2) students using \(^{8}C_{2}\). Multiplication gives (5880).
विशेष लोगों में से (1) और बाकी (4) लोगों को शेष (9) में से चुनें। संख्या \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\)। / Choose (1) special person and the remaining (4) people from the other (9). The number is \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\).
कुल चयन \(^{14}C_{6}\) हैं। कोई नामित विद्यार्थी न चुने जाने वाले \(^{11}C_{6}\) घटाने पर (2541) मिलता है। / Total selections are \(^{14}C_{6}\). Subtract selections with no named student \(^{11}C_{6}\) to get (2541).
वरिष्ठ सदस्यों की संख्या (2), (3), या (4) हो सकती है। योग \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\)। / The number of senior members can be (2), (3), or (4). The sum is \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\).
(13) बिंदुओं में (5) बिंदु एक रेखा पर और (4) बिंदु दूसरी रेखा पर हैं। ये दोनों समूह अलग हैं और अन्य कोई (3) बिंदु सरल रेखा पर नहीं हैं। कितने त्रिभुज बनेंगे?
कुल \(^{13}C_{3}\) में से अमान्य चयन \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) घटाएं। उत्तर (286-14=272)। / Subtract invalid choices \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) from total \(^{13}C_{3}\). The answer is (286-14=272).
कुल युग्म \(^{12}C_{2}\) हैं। (5) कोलिनियर बिंदुओं के \(^{5}C_{2}\) युग्मों की जगह (1) रेखा होगी, इसलिए (66-10+1=57)। / Total pairs are \(^{12}C_{2}\). The \(^{5}C_{2}\) pairs from collinear points give only (1) line, so (66-10+1=57).
दो शीर्ष चुनने के तरीके \(^{18}C_{2}\) हैं। इनमें से (18) भुजाएं घटाने पर (135) विकर्ण मिलते हैं। / The ways to choose two vertices are \(^{18}C_{2}\). Subtracting (18) sides gives (135) diagonals.
वृत्त पर कोई भी (4) बिंदु एक चतुर्भुज बनाते हैं। इसलिए संख्या \(^{11}C_{4}=330\)। / Any (4) points on the circle form a quadrilateral. Hence the number is \(^{11}C_{4}=330\).
हर आंतरिक प्रतिच्छेद (4) शीर्षों के चयन से बनता है। इसलिए संख्या \(^{10}C_{4}=210\) है। / Each interior intersection is determined by choosing (4) vertices. Hence the number is \(^{10}C_{4}=210\).
वृत्तीय गैर-आसन्न चयन का सूत्र \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\) है। यहां \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\)। / The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
कुल (11) चालों में से (7) दाईं चालों के स्थान चुनें। संख्या \(^{11}C_{7}=330\) है। / Choose the positions of (7) right moves among (11) moves. The number is \(^{11}C_{7}=330\).
पहले भाग में \(^{5}C_{3}\) और दूसरे भाग में \(^{6}C_{4}\) रास्ते हैं। कुल \(10\times15=150\)। / The first part has \(^{5}C_{3}\) paths and the second part has \(^{6}C_{4}\) paths. Total \(10\times15=150\).
कुल रास्ते \(^{11}C_{6}=462\) हैं। उस बिंदु से होकर जाने वाले \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\) घटाएं, उत्तर (252)। / Total paths are \(^{11}C_{6}=462\). Subtract paths through that point \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\), giving (252).
गैर-लगातार चयन के लिए सूत्र \(^{n-r+1}C_{r}\) है। यहां \(^{21}C_{5}=20349\)। / For non-consecutive selection, use \(^{n-r+1}C_{r}\). Here \(^{21}C_{5}=20349\).
वृत्तीय चयन में संख्या \(\frac{10}{10-3}\times{}^{7}C_{3}\) है। इसका मान (50) है। / For circular selection, the count is \(\frac{10}{10-3}\times{}^{7}C_{3}\). Its value is (50).
स्टार और बार विधि से संख्या \(^{15+3-1}C_{3-1}=^{17}C_{2}\) है। इसका मान (136) है। / By the stars and bars method, the count is \(^{15+3-1}C_{3-1}=^{17}C_{2}\). Its value is (136).
धन पूर्णांक हलों के लिए पहले हर चर को (1) दें। संख्या \(^{19}C_{4}=3876\) है। / For positive integer solutions, give (1) to each variable first. The count is \(^{19}C_{4}=3876\).
कुल \(^{16}C_{3}\) से \(x_i\geq6\) वाले मामले घटाकर दोहरे मामले जोड़ें। (560-480+24=104)। / Subtract cases with \(x_i\geq6\) from total \(^{16}C_{3}\) and add double-overlap cases. (560-480+24=104).
कुल \(^{12}C_{2}=66\) हल हैं। \(x\geq4\) वाले \(^{8}C_{2}=28\) घटाने पर (38) मिलते हैं। / There are \(^{12}C_{2}=66\) total solutions. Subtract \(^{8}C_{2}=28\) cases with \(x\geq4\) to get (38).
पहले (4) सूटों में से सूट चुनें और फिर (13) में से (5) पत्ते चुनें। संख्या \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\)। / First choose one of (4) suits and then choose (5) cards from (13). The number is \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\).
दिल के (2) पत्ते \(^{13}C_{2}\) तरीकों से और बाकी (3) पत्ते \(^{39}C_{3}\) तरीकों से चुने जाएंगे। गुणन से (712842)। / Choose (2) hearts in \(^{13}C_{2}\) ways and the other (3) cards in \(^{39}C_{3}\) ways. Multiplication gives (712842).
कुल \(^{52}C_{5}\) से बिना इक्के वाले \(^{48}C_{5}\) हाथ घटाएं। उत्तर (886656) है। / Subtract hands with no ace \(^{48}C_{5}\) from total \(^{52}C_{5}\). The answer is (886656).
(4) रानियों में से (3) चुनें और बाकी (3) पत्ते (48) गैर-रानी पत्तों से चुनें। संख्या \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\)। / Choose (3) queens from (4) and the other (3) cards from (48) non-queen cards. The number is \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\).
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0), (2), या (4) होनी चाहिए। गणना \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\)। / For an even sum, the number of odd digits must be (0), (2), or (4). The count is \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\).
(3) के (5) गुणज और (10) गैर-गुणज हैं। चयन \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\) होगा। / There are (5) multiples of (3) and (10) non-multiples. The selection count is \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\).
आयत के लिए (6) क्षैतिज रेखाओं में से (2) और (7) ऊर्ध्व रेखाओं में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\)। / For a rectangle, choose (2) horizontal lines from (6) and (2) vertical lines from (7). The count is \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\).
पहले (5) विद्यार्थी \(^{10}C_{5}\) तरीकों से चुने जाते हैं। दो समूह अनाम हैं, इसलिए (2) से भाग दें और उत्तर (126) है। / First choose (5) students in \(^{10}C_{5}\) ways. Since the two groups are unnamed, divide by (2) to get (126).
पहले (4) लोगों को \(^{8}C_{4}\) तरीकों से चुनें और उन्हें (3) तरीकों से दो जोड़ों में बांटें। कुल \(70\times3=210\)। / First choose (4) people in \(^{8}C_{4}\) ways and split them into two pairs in (3) ways. Total \(70\times3=210\).
पहले (6) जोड़ों में से (4) जोड़े चुनें और हर चुने जोड़े से (1) व्यक्ति चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\)। / Choose (4) couples from (6) and then choose (1) person from each selected couple. The number is \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\).
एक जैसी टॉफियों की संख्या (0) से (4) तक हो सकती है। योग \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\)। / The number of identical candies can be from (0) to (4). Sum \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\).
पत्रिकाएं (2), (3), या (4) ली जा सकती हैं। इसलिए संख्या \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\)। / The number of magazines can be (2), (3), or (4). Hence the count is \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\).
हर डिब्बे में पहले (1) गेंद रखें। बची (3) गेंदों का वितरण \(^{6}C_{3}=20\) तरीकों से होगा। / Place (1) ball in each box first. The remaining (3) balls can be distributed in \(^{6}C_{3}=20\) ways.
कुल \(^{11}C_{2}=55\) वितरण हैं। किसी एक डिब्बे में कम से कम (5) गेंदें होने वाले \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) घटाएं, उत्तर (10)। / Total distributions are \(^{11}C_{2}=55\). Subtract \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) cases where one box has at least (5) balls, giving (10).
ठीक (5) तत्वों वाला उपसमुच्चय चुनना (12) में से (5) तत्व चुनना है। संख्या \(^{12}C_{5}=792\) है। / Choosing a subset with exactly (5) elements means choosing (5) elements from (12). The number is \(^{12}C_{5}=792\).
किसी (n) तत्वों वाले समुच्चय में विषम आकार के उपसमुच्चय \(2^{n-1}\) होते हैं। यहां \(2^{9}=512\)। / In an (n)-element set, the number of odd-sized subsets is \(2^{n-1}\). Here \(2^{9}=512\).
आकार (6), (7), और (8) के उपसमुच्चय गिनें। योग \(^{8}C_{6}+^{8}C_{7}+^{8}C_{8}=37\)। / Count subsets of sizes (6), (7), and (8). The sum is \(^{8}C_{6}+^{8}C_{7}+^{8}C_{8}=37\).
वैंडरमोंड पहचान से यह योग \(^{12}C_{4}\) के बराबर है। इसलिए मान (495) है। / By Vandermonde's identity, the sum equals \(^{12}C_{4}\). Hence the value is (495).
गुणांक \(^{10}C_{4}\times2^{4}\) होगा। इसका मान \(210\times16=3360\) है। / The coefficient is \(^{10}C_{4}\times2^{4}\). Its value is \(210\times16=3360\).
\(a^{3}b^{5}\) के लिए (a) वाले (3) स्थान चुनें। गुणांक \(^{8}C_{3}=56\) है। / For \(a^{3}b^{5}\), choose the (3) positions of (a). The coefficient is \(^{8}C_{3}=56\).
विजेता संख्याओं में से (4) और गैर-विजेता (24) में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\)। / Choose (4) winning numbers and (2) numbers from the (24) non-winning numbers. The count is \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\).
मामले (1S1C1O), (1S2C), और (2S1C) हैं। कुल \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\)। / The cases are (1S1C1O), (1S2C), and (2S1C). Total \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\).
(9) सदस्यों में से (4) चुनने हैं। एक जोड़ी (P) के दोनों सदस्य साथ नहीं चुने जा सकते और दूसरी जोड़ी (Q) से कम से कम (1) सदस्य चुना जाना चाहिए। दोनों जोड़ियां अलग हैं। कितने चयन संभव हैं?
पहले (Q) से कम से कम (1) सदस्य वाले चयन \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\) हैं। इनमें (P) की दोनों सदस्य वाली \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) स्थितियां घटाएं, उत्तर (80)। / First count selections with at least (1) member from (Q): \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\). Subtract \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) cases containing both members of (P), giving (80).
हर पेशे से (2) चुनें और परिणामों को गुणा करें। संख्या \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\)। / Choose (2) people from each profession and multiply the results. The number is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\).
निश्चित सदस्य को शामिल मानकर शेष (14) में से (5) चुनें और दोनों विशेष साथ वाले \(^{12}C_{3}\) घटाएं। उत्तर \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\) है। / After fixing the required member, choose (5) from the remaining (14) and subtract cases where both special members are together, \(^{12}C_{3}\). The answer is \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\).
