Class 10 Mathematics - Real Numbers - Decimal expansion of rational numbers Expert Quiz

B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base

C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए/(a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)

D. \(q^2=2k^2\) होना चाहिए/It should be \(q^2=2k^2\)

A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना/Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)

B. (a) (5) का गुणज है/(a) is a multiple of (5)

C. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)

A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता/A decimal approximation is not a complete proof

C. (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा/(\gcd(a,b)) will be at least (5)

B. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), और परिमेय (2) को अपरिमेय \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है/\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), and multiplying irrational \(\sqrt{2}\) by nonzero rational (2) gives an irrational number

C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है/The rational assumption gives a contradiction

C. (a) (25) से अवश्य विभाज्य है/(a) is necessarily divisible by (25)

A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना/From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there

B. \(r\mid p\)

C. \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना/Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)

A. पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\)/First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)

A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है/The related prime factor (2,3,5) changes

B. (2) से/by (2)

A. क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा/Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined

A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)

A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) भी सम है/If \(p^2\) is even, then (p) is also even

A. (k) कोई पूर्णांक है/(k) is some integer

B. दोनों सहअभाज्य हैं/Both are coprime

C. साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/Finding a common factor will not become a decisive contradiction

C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational

A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (5)

A. क्योंकि \(q^2\) सम है और सम वर्ग का आधार सम होता है/Because \(q^2\) is even and the base of an even square is even

B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है/In both, the related prime number divides both numerator and denominator

A. यह समझ के लिए ठीक संकेत है, पर पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना चाहिए/It is a useful hint for understanding, but a full proof should assume rationality and show contradiction

B. \(5k^2\)

B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result

C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है/Because the right side is a multiple of (3)

D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational

A. (5) अभाज्य है/(5) is prime

A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form

A. (p=2k) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है/Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)

B. \(5\mid a\)

A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)

A. दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना/Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)

A. मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\)/Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)

A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए/The square of an odd number should be odd

A. सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते/The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)

A. \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं/From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary

A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है/Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers

A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (2) will be a common factor of both

A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)

A. विरोधाभासी परिणाम/Contradictory result

B. मान्यता गलत है/The assumption is false

B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime

B. सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो/Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality