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कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं। / A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
परस्पर उपसमुच्चय संबंध से हर समुच्चय के तत्व समान हो जाते हैं इसलिए (A=B=C)। परीक्षा में द्विपक्षीय समावेशन से बराबरी सिद्ध करें। / Mutual subset inclusion makes all elements the same so (A=B=C). In exams prove equality by two way inclusion.
दो उचित बढ़ाव होने से (C) में (A) से अधिक सदस्य जरूर होंगे। इसलिए (A) (C) का उचित उपसमुच्चय है। / With two proper inclusions, (C) must have more than (A). Hence (A) is a proper subset of (C).
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है। / Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय से होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। / A proper subset has all elements from the original set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) (A) के अंदर है और (A) से छोटा है। / ({1,2,3}) lies inside (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
पूरा समुच्चय उचित उपसमुच्चय नहीं माना जाता। / The set itself is not counted as a proper subset.
(A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A\times D\) का हर युग्म \(B\times D\) में होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में संबंधित घटक देखें। / Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
दूसरे घटक में (A) के तत्व (B) में भी हैं, इसलिए \(C\times A\subset C\times B\)। उपसमुच्चय के साथ संबंधित घटक की स्थिति देखें। / Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
यदि (A) का हर तत्व (B) में है, तो \(A\times C\) का हर युग्म \(B\times C\) में भी होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में पहले घटक पर ध्यान दें। / If every element of (A) is in (B), then every pair of \(A\times C\) is also in \(B\times C\). In subset questions, focus on the first component.
जिस subset में ({1,2}) शामिल हो, उसमें (3) और (4) वैकल्पिक हैं, इसलिए \(2^2=4\)। परीक्षा में required subset को fixed block मानें। / A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
उचित उपसमुच्चय में बड़े समुच्चय की सदस्य संख्या अधिक होनी चाहिए। इसलिए (n(B)=6) असंभव है। / For a proper subset, the larger set must have more elements. So (n(B)=6) is impossible.
(r,s) वैकल्पिक हैं लेकिन (X=A) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2^2-1=3\) उत्तर है। / Elements (r,s) are optional, but \(X\ne A\). Therefore the answer is \(2^2-1=3\).
({2,4}) में (4) है जो (A) का तत्व नहीं है इसलिए यह उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में हर तत्व की सदस्यता जांचें। / The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
4, (A) का अवयव नहीं है, इसलिए ({2,4}) उपसमुच्चय नहीं है। किसी भी विकल्प में बाहरी अवयव खोजें। / 4 is not an element of (A), so ({2,4}) is not a subset. Look for any outside element in the option.
समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है पर अपने आप का उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित संबंध में बराबरी हटती है। / A set is a subset of itself but not a proper subset of itself. Proper relation excludes equality.
उचित उपसमुच्चय में (A) और (B) बराबर नहीं हो सकते, इसलिए (n(A)) (7) नहीं होगा। उचित उपसमुच्चय में कम अवयव होने चाहिए। / In a proper subset, (A) and (B) cannot be equal, so (n(A)) cannot be (7). A proper subset must have fewer elements here.
घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। / The power set has \(2^3=8\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। / In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे। / To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added.
A. संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई समुच्चय स्वयं का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। / No set is a proper subset of itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो \(A\subset C\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), then \(A\subset C\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक उपसमुच्चय और उपसमुच्चय में अंतर ध्यान से रखें। / Carefully distinguish proper subset from subset.
({1,2,3}) के उपसमुच्चय में (1) नहीं होना चाहिए। केवल (2,3) से बनने वाले \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलेंगे। / The subset of ({1,2,3}) must not contain (1). Subsets formed only from (2,3) give \(2^2=4\) choices.
(R) परावर्ती है, इसलिए (R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं। / Since (R) is reflexive, (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq T\) होने से वे सभी युग्म (T) में भी होंगे। / Because \(R\subseteq T\), those self-pairs are also in (T).
Step 3
Exam Tip
परावर्ती संबंध का कोई अधिसम संबंध भी परावर्ती होगा, यदि वह \(A\times A\) के अंदर है। / A super-relation of a reflexive relation within \(A\times A\) is also reflexive.
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय को फलन कहने से पहले पूरा प्रांत जांचें। / In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, check the whole domain before calling a subset a function.
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय भी तभी फलन है जब पूरा प्रांत शामिल हो। / In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, a subset is a function only when the whole domain is covered.
पहले विकल्प में 1 और 2 दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। अन्य विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार जुड़ा है। / In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
पहले उपसमुच्चय में (1) और (2) का एक-एक प्रतिबिंब है। बाकी में कोई इनपुट दो अलग मानों से जुड़ा है या छूट गया है। / In the first subset, (1) and (2) each have one image. In the others an input has two different values or is missing.
(A) से (B) तक संबंध सदैव \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। क्रम महत्वपूर्ण है इसलिए \(B\times A\) अलग हो सकता है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). Order matters, so \(B\times A\) can be different.
\(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय (A) से (B) तक संबंध कहलाता है। यह जरूरी नहीं कि फलन हो। / Any subset of \(A\times B\) is a relation from (A) to (B). It need not be a function.
दोनों ordered pairs के घटक (A) से हैं। इसलिए \(R\subseteq A\times A\) है। / Both components of the ordered pairs are from (A). Hence \(R\subseteq A\times A\).
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। ((x,1)) में क्रम उल्टा है, इसलिए यह सदस्य नहीं है। / In \(A\times B\), the first coordinate must be from (A) and the second from (B). In ((x,1)), the order is reversed, so it is not a member.
शर्त से ((1,3),(2,2),(3,1)) मिलते हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का चुना हुआ भाग होता है। / The condition gives ((1,3),(2,2),(3,1)), so there are (3) elements. A relation is a selected part of \(A\times B\).
(2+5=7) और (3+4=7), इसलिए यही युग्म आते हैं। संबंध बनाने से पहले पूरा \(A\times B\) सोचें। / Since (2+5=7) and (3+4=7), these pairs belong to (R). Think of all pairs in \(A\times B\) before filtering.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(2,1),(6,3)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(2,1),(6,3)}) belong to \(A\times B\).
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,4),(3,5)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(1,4),(3,5)}) belong to \(A\times B\).
(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,3),(2,5)}) के दोनों युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). Only ({(1,3),(2,5)}) has both pairs in \(A\times B\).
\(A\cap B={2,3}\), इसलिए ({2}) इसका उपसमुच्चय है। उपसमुच्चय में हर अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। / \(A\cap B={2,3}\), so ({2}) is its subset. In a subset, every element must belong to the original set.
(A) fixed है और (U-A) के (5) तत्व optional हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) है। / (A) is fixed and the (5) elements of (U-A) are optional. Therefore the number is \(2^5=32\).
(A) fixed है और (U-A) के (4) तत्व optional हैं, इसलिए \(2^4=16\)। परीक्षा में containing (A) का अर्थ \(A\subseteq S\) लें। / (A) is fixed and the (4) elements of (U-A) are optional, so \(2^4=16\). In exams, containing (A) means \(A\subseteq S\).
(|\mathcal{P}(B)|=32) और (|\mathcal{P}(A)|=16) है। क्योंकि \(A\subset B\), अंतर में (32-16=16) तत्व होंगे। / (|\mathcal{P}(B)|=32) and (|\mathcal{P}(A)|=16). Since \(A\subset B\), the difference has (32-16=16) elements.
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं। / Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
(\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}) है। ({m,n}) के तत्व (m,n) इसमें नहीं हैं, इसलिए यह इसका उपसमुच्चय नहीं है। / (\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}). The elements (m,n) are not in it, so ({m,n}) is not its subset.
चार तत्वों वाला एकमात्र उपसमुच्चय (A) स्वयं है। पूरा समुच्चय अपने घात समुच्चय का तत्व होता है। / The only four-element subset is (A) itself. A set is an element of its own power set.
\(A=\{1,2,5,10\}\) है और (4) इसका सदस्य नहीं है। उपसमुच्चय जांचते समय हर सदस्य जांचें। / Here \(A=\{1,2,5,10\}\), and (4) is not its element. Check every element while testing a subset.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय हैं, और विकल्प A के सभी सदस्य ऐसे हैं। संख्या (1) को ({1}) से अलग समझें। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A), and every member in option A is such a subset. Distinguish (1) from ({1}).
\(A=\{2,3,5\}\) है और ({2,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{2,3,5\}\), and ({2,5}) lies inside it but is not equal to it. Hence it is a proper subset.
(\mathcal{P}(B)) में (8) और (\mathcal{P}(A)) में (4) सदस्य हैं। अंतर में (8-4=4) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(B)) has (8) elements and (\mathcal{P}(A)) has (4). The difference contains (8-4=4) elements.
(2) समुच्चय (A) का सदस्य नहीं है। उपसमुच्चय में हर सदस्य मूल समुच्चय में होना चाहिए। / The element (2) is not in (A). Every element of a subset must belong to the original set.
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय और समान सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त तत्व नहीं बचता इसलिए (A=B)। परीक्षा में सीमितता की शर्त महत्वपूर्ण है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
(A) के तत्व ({1,2}) और (3) हैं इसलिए ({{1,2}}) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में बड़े ब्रैकेट के अंदर के पूरे तत्व पहचानें। / The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
पूरा समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है लेकिन उचित उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में उचित उपसमुच्चय में बराबरी हटती है। / The whole set is a subset of itself but not a proper subset. In exams proper subset excludes equality.
(A) में \(\emptyset\) एक तत्व है इसलिए \({\emptyset}\) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय को तत्व के रूप में भी पहचाने। / \(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
B. (B) का हर तत्व (A) में है/Every element of (B) is in (A)
Explanation
Simple Explanation
उपसमुच्चय की परिभाषा हर तत्व के समावेशन पर आधारित है। परीक्षा में केवल कम संख्या वाले तत्व देखकर निर्णय न लें। / The definition of subset is based on inclusion of every element. In exams do not decide only by seeing fewer elements.
A. (B) (A) का घात समुच्चय है/(B) is the power set of (A)
Explanation
Simple Explanation
\(x\subset A\) का अर्थ है (x) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए (B) में सभी उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में घात समुच्चय को तत्वों के समुच्चय के रूप में समझें। / The statement \(x\subset A\) means (x) is a subset of (A), so (B) contains all subsets. In exams understand a power set as a set of subsets.
यहां \(A=\{1,2,3\}\) है और ({1,3}) इसके अंदर है लेकिन बराबर नहीं है। परीक्षा में पहले मुख्य समुच्चय निकालें। / Here \(A=\{1,2,3\}\) and ({1,3}) lies inside it but is not equal. In exams find the main set first.
हर अवयव अपने ही समुच्चय में होता है, इसलिए \(A\subseteq A\) सत्य है। इसे reflexive property की तरह याद रखें। / Every element of a set is in the same set, so \(A\subseteq A\) is true. Remember it like a reflexive property.
A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\)/Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय के लिए हर अवयव का सम्मिलन और असमानता दोनों चाहिए। केवल अवयवों की संख्या कम होना पर्याप्त नहीं है। / A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है/It is true and (A) is a proper subset
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5,6}) इसमें पूरा है पर बराबर नहीं। उचित उपसमुच्चय में कम से कम एक अवयव छूटता है। / \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5,6}) lies inside it but is not equal. A proper subset misses at least one element.
A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\)/In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय बराबर नहीं होता और सभी अवयव बड़े समुच्चय में होते हैं। चिन्ह \(\subset\) का अर्थ \(\subseteq\) से अलग समझें। / A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
यहां \(A=\{1,2,3\}\) है और ({1,2}) इसका उचित उपसमुच्चय है। उचित उपसमुच्चय पूरे समुच्चय के बराबर नहीं होता। / Here \(A=\{1,2,3\}\) and ({1,2}) is its proper subset. A proper subset is not equal to the whole set.
([0,10]) में (0) से (10) तक की सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / ([0,10]) contains all real numbers from (0) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
((2,8]) की हर संख्या इसी सीमा के अंदर आती है। / Every number in ((2,8]) lies within this range.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय अंतराल चुनते समय दोनों सिरों को मूल सीमा के अंदर रखें। / Exam tip: while choosing a subset interval, keep both endpoints within the original limits.
उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय में होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। / A proper subset has all its elements in the given set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({2,4}) के दोनों अवयव (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। / Both (2) and (4) are in (A), and ({2,4}) is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: बराबर समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें। / Exam tip: the whole set is a subset, but not a proper subset of itself.
उचित उपसमुच्चय में सभी सदस्य मूल समुच्चय से होते हैं और वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। / A proper subset has all elements from the original set but is not equal to the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({2,4}) के सभी सदस्य (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। / ({2,4}) is contained in (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
समान समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें। / Do not treat an equal set as a proper subset.
विकर्ण पर \(X\subset X\) असत्य है। / On the diagonal, \(X\subset X\) is false.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(X\cap X=X\) सत्य है। / But \(X\cap X=X\) is true.
Step 3
Exam Tip
या वाली शर्त में दूसरा भाग सत्य होने से हर ((X,X)) संबंध में आता है। / In the or condition, the second part includes every ((X,X)), so the relation is reflexive.
(r,s) निश्चित हैं और (v) नहीं लेना है। शेष (t,u) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (r,s) are fixed and (v) is excluded. The remaining (t,u) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
({a,b}) को रखना जरूरी है और (c) वैकल्पिक है। इसलिए ({a,b}) और ({a,b,c}), कुल (2) हैं। / ({a,b}) must be included and (c) is optional. Thus ({a,b}) and ({a,b,c}), total (2), work.
यदि \(A\supseteq B\) और \(B\supseteq C\), तो (A) में (C) के सभी तत्व होंगे। / If \(A\supseteq B\) and \(B\supseteq C\), then (A) contains every element of (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\supseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\supseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
बड़े समुच्चय से छोटे समुच्चय की श्रृंखला ध्यान से देखें। / Follow the chain from larger set to smaller set carefully.
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
बड़े संबंध (S) में अतिरिक्त युग्म जोड़े जा सकते हैं। / The larger relation (S) may contain additional pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई अतिरिक्त युग्म अपने उल्टे के बिना जुड़ जाए, तो (S) सममित नहीं रहेगा। / If an extra pair is added without its reverse, (S) may fail to be symmetric.
Step 3
Exam Tip
अधिसंबंध में गुण ऊपर जाना जरूरी नहीं होता। / A property need not pass upward to every superset relation.
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) है जिससे \((a,b)\in f\)/For every \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) satisfies \((a,b)\in f\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें प्रत्येक इनपुट की ठीक एक छवि होती है। सहप्रांत के हर अवयव का उपयोग होना जरूरी नहीं है। / A function is a special relation where each input has exactly one image. It is not necessary to use every element of the codomain.
A. हर \(a \in A\) के लिए ठीक एक ((a,b)) वाला उपसमुच्चय/A subset with exactly one ((a,b)) for every \(a \in A\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष रूप है जिसमें हर प्रांत अवयव की ठीक एक छवि होती है। यह परिभाषा आधारित प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु है। / A function is a special relation where each domain element has exactly one image. This is the key point in definition-based questions.
A से B में हर संबंध A×B का उपसमुच्चय होता है। फलन भी ऐसा ही विशेष संबंध है। / Every relation from A to B is a subset of A×B. A function is also such a special relation.
(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। फलन उसी संबंध का विशेष रूप है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
संबंध (A) से (B) तक हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल पहचानें। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). In exams, identify the Cartesian product first.
