100 results found for "reflexive-irreflexive" in all classes.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो न प्रतिवर्ती हैं और न अप्रतिवर्ती हैं?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many relations are neither reflexive nor irreflexive?
#relations
#reflexive-irreflexive
#counting
#expert
A (26 \(2^3-2\))
B \(2^9\)
C \(2^6\)
D \(2^3\)
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Correct Answer
A. (26 \(2^3-2\))
Step 1
Concept
न प्रतिवर्ती होने के लिए सभी विकर्ण युग्म मौजूद नहीं होने चाहिए। / Not reflexive means not all diagonal pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
न अप्रतिवर्ती होने के लिए कम से कम एक विकर्ण युग्म मौजूद होना चाहिए। / Not irreflexive means at least one diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण के लिए \(2^3-2\) चुनाव और बाकी (6) युग्मों के लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / Diagonal choices are \(2^3-2\), and the (6) off-diagonal pairs give \(2^6\) choices.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a\ne b\)। यह संबंध प्रतिवर्ती है या अप्रतिवर्ती?
On real numbers, (aRb) iff \(a\ne b\). Is this relation reflexive or irreflexive?
#types-of-relations
#irreflexive-relation
#not-equal
A अप्रतिवर्ती / irreflexive
B प्रतिवर्ती / reflexive
C सार्वत्रिक / universal
D पहचान संबंध / identity relation
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Correct Answer
A. अप्रतिवर्ती / irreflexive
Step 1
Concept
\(a\ne a\) कभी सही नहीं होता। / \(a\ne a\) is never true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी (a) के लिए ((a,a)) संबंध में नहीं होगा। / Therefore ((a,a)) is not in the relation for any (a).
Step 3
Exam Tip
यही अप्रतिवर्ती संबंध की पहचान है। / This is exactly the identity of an irreflexive relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(1,2)\}\) अप्रतिवर्ती क्यों नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(1,2)\}\) not irreflexive on \(A=\{1,2,3\}\)?
#types-of-relations
#not-irreflexive
#diagonal-pair
A क्योंकि ((1,1)) मौजूद है / because ((1,1)) is present
B क्योंकि ((1,2)) मौजूद है / because ((1,2)) is present
C क्योंकि ((2,1)) नहीं है / because ((2,1)) is absent
D क्योंकि संबंध में दो युग्म हैं / because the relation has two pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,1)) मौजूद है / because ((1,1)) is present
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती संबंध में कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होना चाहिए। / An irreflexive relation must not contain any pair of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,1)) मौजूद है। / Here ((1,1)) is present.
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म भी अप्रतिवर्तिता को असफल कर देता है। / Even one diagonal pair is enough to fail irreflexivity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) अप्रतिवर्ती है या नहीं?
Is \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) irreflexive on \(A=\{1,2,3\}\)?
#types-of-relations
#irreflexive-relation
#ordered-pairs
A हाँ / yes
B नहीं, क्योंकि ((1,1)) है / no, because ((1,1)) is present
C नहीं, क्योंकि ((2,2)) है / no, because ((2,2)) is present
D नहीं, क्योंकि ((3,3)) है / no, because ((3,3)) is present
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Correct Answer
A. हाँ / yes
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती संबंध में कोई विकर्ण युग्म नहीं होना चाहिए। / An irreflexive relation must have no diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) में से कोई नहीं है। / The given relation contains none of ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह संबंध अप्रतिवर्ती है। / Therefore it is irreflexive.
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अप्रतिवर्ती संबंध में कौन सा युग्म नहीं होना चाहिए?
Which type of pair must not be present in an irreflexive relation?
#types-of-relations
#irreflexive-relation
#definition
A विकर्ण युग्म ((a,a)) / diagonal pair ((a,a))
B उल्टा युग्म ((b,a)) / reverse pair ((b,a))
C कोई गैर-विकर्ण युग्म / any off-diagonal pair
D सभी युग्म / all pairs
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Correct Answer
A. विकर्ण युग्म ((a,a)) / diagonal pair ((a,a))
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती संबंध में कोई अवयव अपने-आप से संबंधित नहीं होता। / In an irreflexive relation, no element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी (a) के लिए ((a,a)) संबंध में नहीं होना चाहिए। / So ((a,a)) must not be present for any (a).
Step 3
Exam Tip
अप्रतिवर्ती में गैर-विकर्ण युग्म हो सकते हैं। / Off-diagonal pairs may still be present in an irreflexive relation.
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर सममित और अप्रतिवर्ती पर रिक्त नहीं होने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many symmetric and irreflexive but non-empty relations are there on (A)?
#relations
#symmetric-irreflexive
#non-empty
#counting
A \(2^6-1\)
B \(2^{10}-1\)
C \(3^6-1\)
D \(2^4-1\)
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Correct Answer
A. \(2^6-1\)
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती होने से कोई विकर्ण युग्म नहीं होगा। / Irreflexivity forbids all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। / Symmetry leaves (6) independent off-diagonal reverse-pair groups.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^6\) में से रिक्त संबंध हटाने पर \(2^6-1\) संबंध मिलते हैं। / Removing the empty relation from \(2^6\) gives \(2^6-1\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर अप्रतिवर्ती और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many relations on (A) are both irreflexive and antisymmetric?
#relations
#irreflexive-antisymmetric
#counting
#expert
A \(3^6\)
B \(2^4\cdot 3^6\)
C \(2^6\)
D \(3^4\)
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Correct Answer
A. \(3^6\)
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती होने के कारण सभी विकर्ण युग्म अनुपस्थित रहेंगे। / Irreflexivity forces all diagonal pairs to be absent.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े के लिए प्रतिसममितता तीन चुनाव देती है। / For each pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices.
Step 3
Exam Tip
(4) अवयवों में ऐसे (6) जोड़े हैं, इसलिए संख्या \(3^6\) है। / With (4) elements, there are (6) such pairs, so the count is \(3^6\).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर अप्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है?
If (A) has (n) elements, what is the number of irreflexive relations on (A)?
#relations
#irreflexive
#counting
#general-formula
A \(2^{n^2}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(2^n\)
D \(3^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
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Correct Answer
B. \(2^{n^2-n}\)
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती संबंध में कोई भी विकर्ण युग्म नहीं होना चाहिए। / An irreflexive relation contains no diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
कुल \(n^2\) युग्मों में से (n) विकर्ण युग्म निषिद्ध हैं। / Out of \(n^2\) pairs, the (n) diagonal pairs are forbidden.
Step 3
Exam Tip
बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) है। / The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the count is \(2^{n^2-n}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं पर अप्रतिवर्ती नहीं हो सकते?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many relations are reflexive and therefore cannot be irreflexive?
#relations
#reflexive
#counting
#expert
A \(2^{12}\)
B \(2^{16}\)
C \(2^4\)
D \(2^{8}\)
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Correct Answer
A. \(2^{12}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation must contain all (4) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The remaining (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध अप्रतिवर्ती नहीं हो सकता, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / On a non-empty set, a reflexive relation cannot be irreflexive, so the count is \(2^{12}\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R^{-1}\) के परावर्ती होने का सही कारण क्या है?
If (R) is reflexive on (A), what is the correct reason that \(R^{-1}\) is reflexive?
#inverse relation
#reflexive relation
#property
#mcq
A ((a,a)) का व्युत्क्रम फिर ((a,a)) ही होता है / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a))
B हर व्युत्क्रम संबंध सार्वत्रिक होता है / Every inverse relation is universal
C व्युत्क्रम लेने पर सभी युग्म हट जाते हैं / All pairs are removed when inverse is taken
D परावर्ती संबंध का व्युत्क्रम रिक्त होता है / The inverse of a reflexive relation is empty
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Correct Answer
A. ((a,a)) का व्युत्क्रम फिर ((a,a)) ही होता है / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a))
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) को उलटने पर वही ((a,a)) मिलता है। / Reversing ((a,a)) gives the same pair ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी अपने-अपने युग्म \(R^{-1}\) में भी होंगे। / Hence all self-pairs are also in \(R^{-1}\).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर सममित और अप्रतिवर्ती दोनों संबंधों की संख्या क्या है?
If (A) has (n) elements, what is the number of relations on (A) that are both symmetric and irreflexive?
#relations
#symmetric-irreflexive
#counting
#expert
A \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
B \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
C \(3^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
D \(2^{n^2-n}\)
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Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती होने से विकर्ण युग्म नहीं रखे जा सकते। / Irreflexivity forbids all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के कारण अलग अवयवों के विपरीत युग्म समूहों को साथ चुनना होगा। / Symmetry makes each off-diagonal reverse-pair group chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
ऐसे समूह (\frac{n(n-1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर परावर्ती संबंध हैं, तो \(S\circ R\) के परावर्ती होने का मुख्य कारण क्या है?
If (R) and (S) are both reflexive relations on (A), what is the main reason that \(S\circ R\) is reflexive?
#composition
#reflexive relation
#proof idea
#class 12
A हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है / The middle element (a) can be taken for every (a)
B संयोजन हमेशा सार्वत्रिक होता है / Composition is always universal
C संयोजन में केवल गैर-अपने युग्म रहते हैं / Only non-self pairs remain in composition
D परावर्ती संबंधों का संयोजन रिक्त होता है / The composition of reflexive relations is empty
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Correct Answer
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है / The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर कितने संबंध प्रतिवर्ती नहीं होंगे?
On a set with four elements, how many relations are not reflexive?
#reflexive relation
#non reflexive
#counting
A \(2^{16}\)
B \(2^{12}\)
C \(2^{16}-2^{12}\)
D \(4^2-4\)
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Correct Answer
C. \(2^{16}-2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल संबंध \(2^{4^2}=2^{16}\) होते हैं। / The total number of relations is \(2^{4^2}=2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती नहीं होने वाले संबंध \(2^{16}-2^{12}\) होंगे। / Non-reflexive relations are \(2^{16}-2^{12}\).
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर परावर्ती हैं, तो \(S\circ R\) के परावर्ती होने में कौन सा मध्य तत्व काम करता है?
If (R) and (S) are both reflexive on (A), which middle element works to show \(S\circ R\) is reflexive?
#composition of relations
#reflexive property
#advanced
#hard
A वही तत्व (a) / The same element (a)
B कोई बाहरी तत्व / An outside element
C हमेशा पहला तत्व (1) / Always the first element (1)
D कोई मध्य तत्व नहीं चाहिए / No middle element is needed
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Correct Answer
A. वही तत्व (a) / The same element (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
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3 तत्वों वाले समुच्चय पर कुल संबंधों में से कितने संबंध परावर्ती नहीं होंगे?
On a set with 3 elements, how many relations are not reflexive among all possible relations?
#relations
#functions
#reflexive relation
#non reflexive count
A 64
B 512
C 448
D 8
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Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^{3^2}=2^9=512\) है। / Total relations are \(2^{3^2}=2^9=512\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। / Reflexive relations are \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
परावर्ती नहीं संबंध (512-64=448) होंगे। / Non-reflexive relations are (512-64=448).
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क्या दो अस्ववाची संबंधों का संघ कभी स्ववाची हो सकता है?
Can the union of two non-reflexive relations ever be reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#union
#counterexample
#hard
A हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
B नहीं, कभी नहीं / No, never
C हाँ, केवल रिक्त समुच्चय पर / Yes, only on the empty set
D नहीं, क्योंकि संघ में युग्म घटते हैं / No, because union removes pairs
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Correct Answer
A. हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
Step 1
Concept
प्रत्येक अलग संबंध में कुछ विकर्ण युग्म छूट सकते हैं। / Each separate relation may miss some diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में दोनों संबंधों के युग्म मिलते हैं, इसलिए छूटे हुए विकर्ण युग्म दूसरे संबंध से आ सकते हैं। / In the union, pairs from both relations are combined, so missing diagonal pairs may be supplied by the other relation.
Step 3
Exam Tip
संघ के प्रश्नों में संयुक्त विकर्ण सूची देखें। / For union questions, check the combined diagonal list.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची है और \(B \subseteq A\), तो (R \cap \(B \times B\)) किस समुच्चय पर स्ववाची होगा?
If (R) is reflexive on (A) and \(B \subseteq A\), on which set is (R \cap \(B \times B\)) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#restriction
#hard
A (B) पर / On (B)
B केवल (A) पर / Only on (A)
C किसी भी समुच्चय पर नहीं / On no set
D केवल (A-B) पर / Only on (A-B)
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Correct Answer
A. (B) पर / On (B)
Step 1
Concept
(B) का हर अवयव (A) में भी है। / Every element of (B) is also in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्ववाची होने से हर \(b \in B\) के लिए \((b,b) \in R\) है और \((b,b) \in B \times B\) भी है। / Since (R) is reflexive, \((b,b) \in R\) for every \(b \in B\), and also \((b,b) \in B \times B\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिबंधित संबंध (B) पर स्ववाची रहेगा। / Thus the restricted relation is reflexive on (B).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर (R) स्वतुल्य है और \(R\subseteq S\subseteq A\times A\) है। (S) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (R) is reflexive and \(R\subseteq S\subseteq A\times A\). What is correct about (S)?
#superset of reflexive relation
#subset relation
#reflexive
A (S) स्वतुल्य होगा / (S) will be reflexive
B (S) स्वतुल्य नहीं होगा / (S) will not be reflexive
C (S) रिक्त होगा / (S) will be empty
D (S) में कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं होगा / (S) will have no self-pair
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Correct Answer
A. (S) स्वतुल्य होगा / (S) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं। / (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से (R) के सभी युग्म (S) में भी होंगे। / Since \(R\subseteq S\), every pair of (R) is also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (S) में भी सभी अपने-आप वाले युग्म रहेंगे। / Hence (S) also contains all self-pairs and is reflexive.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,3),(3,1)\}\) क्यों परावर्ती नहीं है?
Why is \(R=\{(1,1),(2,2),(1,3),(3,1)\}\) not reflexive on \(A=\{1,2,3\}\)?
#relations
#functions
#reflexive
#non-reflexive
A ((1,1)) नहीं है / ((1,1)) is missing
B ((2,2)) नहीं है / ((2,2)) is missing
C ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
D ((1,3)) है / ((1,3)) is present
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Correct Answer
C. ((3,3)) नहीं है / ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
(3) भी समुच्चय का तत्व है। / Element (3) is also in the set.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती होने के लिए ((3,3)) आवश्यक है। / Reflexivity requires ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
गैर-विकर्ण युग्मों से पहले विकर्ण युग्मों की जांच करें। / Check diagonal pairs before looking at non-diagonal pairs.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) क्यों स्वसम नहीं है?
Why is \(R=\{(a,b):a<b\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\) not reflexive?
#relations
#irreflexive
#inequality
A क्योंकि ((a,a)) कभी नहीं हो सकता / Because ((a,a)) can never occur
B क्योंकि (a<b) सममित है / Because (a<b) is symmetric
C क्योंकि \(R=A \times A\) / Because \(R=A \times A\)
D क्योंकि \(A=\varnothing\) / Because \(A=\varnothing\)
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Correct Answer
A. क्योंकि ((a,a)) कभी नहीं हो सकता / Because ((a,a)) can never occur
Explanation
Simple Explanation
किसी भी (a) के लिए (a<a) असत्य है। स्वसमता के लिए सभी ((a,a)) चाहिए। / For no (a) is (a<a) true. Reflexivity requires every ((a,a)).
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 7 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस तथ्य पर आधारित है?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 7}). What fact proves that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#difference
#divisibility
A हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)
B हर (a) (7) से विभाज्य है / Every (a) is divisible by (7)
C (7) समुच्चय में है / (7) belongs to the set
D हर युग्म में (a>b) है / In every pair, (a>b)
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Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए ((a,a)) लें। / To test reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (a-a=0) होता है, और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero number.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2<2ab\}\), is (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#quadratic
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर / Only for (1)
D सभी युग्म हैं / All pairs are present
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) रखने से \(a^2+a^2<2a^2\) मिलेगा। / On the diagonal, put (a=b), giving \(a^2+a^2<2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(2a^2<2a^2\) है, जो असत्य है। / This becomes \(2a^2<2a^2\), which is false.
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म शर्त पूरी नहीं करता, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / No diagonal pair satisfies the condition, so the relation is not reflexive.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#equality
#quadratic expression
A क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं / Because both sides become equal on the diagonal
B क्योंकि सभी युग्म अलग हैं / Because all pairs are different
C क्योंकि \(a^2-a\) हमेशा (0) है / Because \(a^2-a\) is always (0)
D क्योंकि (A) में (5) तत्व हैं / Because (A) has (5) elements
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Correct Answer
A. क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं / Because both sides become equal on the diagonal
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर बायां पक्ष \(a^2-a\) और दायां पक्ष भी \(a^2-a\) है। / For ((a,a)), the left side is \(a^2-a\) and the right side is also \(a^2-a\).
Step 2
Why this answer is correct
समान मात्रा हमेशा अपने बराबर होती है। / A quantity is always equal to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore all diagonal pairs belong to the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#product equation
A 1
B 2
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण शर्त केवल (a=2) पर पूरी होती है। / The diagonal condition holds only for (a=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore the remaining four diagonal pairs must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,6,12}) पर (R={(a,b):a\mid b\) या b\mid a}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का कारण क्या है?
\(On (A={1,2,3,4,6,12}), (R={(a,b):a\mid b\) or \(b\mid a}). What is the reason for (R) being reflexive\)?
#reflexive relation
#divisibility
#or condition
A हर (a) स्वयं को विभाजित करता है / Every (a) divides itself
B हर (a) (12) को विभाजित करता है / Every (a) divides (12)
C हर (b) (1) है / Every (b) is (1)
D सभी युग्म \(A\times A\) में नहीं हैं / Not all pairs are in \(A\times A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) स्वयं को विभाजित करता है / Every (a) divides itself
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) लें। / For reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए \(a\mid a\) सत्य है, इसलिए या वाली शर्त पूरी हो जाती है। / For every (a), \(a\mid a\) is true, so the or condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
स्वयं से विभाजन प्रतिवर्तिता का सीधा प्रमाण देता है। / Self-divisibility directly proves reflexivity.
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\(यदि (A={1,2,4,8,16}) और (R={(a,b):\frac{b}{a}\) 2 की पूर्णांक घात है}) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
\(If (A={1,2,4,8,16}) and (R={(a,b):\frac{b}{a}\) is an integral power of 2}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#ratio
#powers
A क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\) / Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)
B क्योंकि हर अनुपात (2) है / Because every ratio is (2)
C क्योंकि सभी युग्म समान हैं / Because all pairs are equal
D क्योंकि \(16=2^4\) / Because \(16=2^4\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\) / Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), जो (2) की पूर्णांक घात है। / Then \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), which is an integral power of (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (R) में ((a,b)) तभी है जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \((a,b)\in R\) only when (a) and (b) have a common prime factor, is (R) reflexive?
#reflexive relation
#prime factor
#number theory
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर हाँ / Yes only for (1)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) too.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा। / The number (1) has no prime factor, so ((1,1)) will not belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / Missing even one diagonal pair makes a relation non-reflexive.
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यदि \(S=\{1,2,3,4\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है, तो (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?
If \(S=\{1,2,3,4\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), how many reflexive relations are possible on (A)?
#reflexive relation
#power set
#counting
A \(2^{240}\)
B \(2^{256}\)
C \(2^{16}\)
D \(2^{120}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{240}\)
Step 1
Concept
(A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has \(2^4=16\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
(A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। / The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).
Step 3
Exam Tip
\(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है। / Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर एक संबंध में ठीक (18) युग्म हैं और वह प्रतिवर्ती है। अनिवार्य विकर्ण युग्मों के अलावा कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), a relation has exactly (18) pairs and is reflexive. How many pairs are present besides the compulsory diagonal pairs?
#reflexive relation
#ordered pairs
#counting
A 5
B 10
C 13
D 18
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (18) युग्म दिए हैं। / The relation has (18) total pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण या अतिरिक्त युग्म (18-5=13) होंगे। / The additional non-diagonal pairs are (18-5=13).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (11) युग्म हों?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations contain exactly (11) ordered pairs?
#reflexive relation
#combinations
#ordered pairs
A \(\binom{12}{7}\)
B \(\binom{16}{11}\)
C \(\binom{11}{4}\)
D \(2^{11}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{7}\)
Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (11) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (11) total pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
(12) अविकर्ण युग्मों में से (7) चुनने के तरीके \(\binom{12}{7}\) हैं। / The number of ways is \(\binom{12}{7}\).
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पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जो पहचान संबंध भी नहीं हैं और सार्वत्रिक संबंध भी नहीं हैं?
On a five-element set, how many reflexive relations are neither the identity relation nor the universal relation?
#reflexive relation
#identity
#universal
#counting
A \(2^{20}-2\)
B \(2^{25}-2\)
C \(2^{20}-1\)
D \(2^{15}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{20}-2\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। / On a five-element set, the number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध दोनों शामिल हैं। / This includes the identity relation and the universal relation.
Step 3
Exam Tip
दोनों को हटाने पर \(2^{20}-2\) संबंध बचते हैं। / Removing both gives \(2^{20}-2\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (2) अविकर्ण युग्म हों और ((1,2)) उनमें से एक हो?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have exactly (2) non-diagonal pairs and ((1,2)) is one of them?
#reflexive relation
#counting
#exact non diagonal
A 11
B 12
C 22
D 66
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (2) अविकर्ण युग्म चाहिए और ((1,2)) पहले से तय है। / Exactly (2) non-diagonal pairs are needed and ((1,2)) is already fixed.
Step 3
Exam Tip
दूसरा अविकर्ण युग्म बाकी (11) में से चुना जाएगा, इसलिए (11) संबंध बनेंगे। / The second non-diagonal pair can be chosen from the remaining (11), so there are (11) relations.
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) और ((2,1)) दोनों न हों?
On a four-element set, how many reflexive relations do not contain both ((1,2)) and ((2,1))?
#reflexive relation
#counting
#restricted non diagonal pairs
A \(3\cdot2^{10}\)
B \(2^{10}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^{12}-1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3\cdot2^{10}\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर (12) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हो सकते हैं। / On a four-element set, (12) non-diagonal pairs are optional.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) के लिए दोनों साथ-साथ शामिल नहीं होने चाहिए, इसलिए इनके (3) मान्य चुनाव हैं। / For ((1,2)) and ((2,1)), they must not both be included, so there are (3) valid choices.
Step 3
Exam Tip
बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, अतः संख्या \(3\cdot2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(3\cdot2^{10}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें कोई विशेष अविकर्ण युग्म ((p,q)), जहां \(p\neq q\), अवश्य शामिल हो?
If (A) has (n) elements, how many reflexive relations must contain one fixed non-diagonal pair ((p,q)), where \(p\neq q\)?
#reflexive relation
#general counting
#restricted pair
A \(2^{n^2-n-1}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(2^{n^2-1}\)
D \(n^2-n-1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{n^2-n-1}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अविकर्ण युग्मों की संख्या \(n^2-n\) है, जिनमें से एक विशेष युग्म भी अनिवार्य कर दिया गया। / There are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, and one fixed non-diagonal pair is also compulsory.
Step 3
Exam Tip
बाकी \(n^2-n-1\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n-1}\) है। / The remaining \(n^2-n-1\) pairs are optional, giving \(2^{n^2-n-1}\).
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छह तत्वों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी है?
How many reflexive relations are possible on a set with six elements?
#reflexive relation
#counting formula
#class 12
A \(2^{30}\)
B \(2^{36}\)
C \(2^6\)
D \(6^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{30}\)
Step 1
Concept
(6) तत्वों पर \(A\times A\) में (36) युग्म हैं। / For (6) elements, \(A\times A\) has (36) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (36-6=30) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (6) diagonal pairs are compulsory, leaving (36-6=30) optional pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^{30}\) होंगे। / Hence the number of reflexive relations is \(2^{30}\).
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यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (12) युग्म हों?
If (A) has (5) elements, how many reflexive relations have exactly (12) ordered pairs?
#reflexive relation
#counting
#combinations
A \(\binom{20}{7}\)
B \(\binom{25}{12}\)
C \(2^{20}\)
D \(\binom{12}{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{20}{7}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (12) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (12) pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः संख्या \(\binom{20}{7}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{20}{7}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#cartesian product
#missing diagonal
A 1
B 2
C 3
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए चारों विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation needs all four diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए युग्मों में ((1,1)) और ((4,4)) विकर्ण हैं, पर ((2,3)) विकर्ण नहीं है। / Among the removed pairs, ((1,1)) and ((4,4)) are diagonal, while ((2,3)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल दो विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore only two diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#absolute value
#minimum addition
A 0
B 1
C 2
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (|a-a|=0) होगा। / On the diagonal, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(0\leq a-1\) है, जो (a=0) पर असत्य और (a=1,2,3,4) पर सत्य है। / The condition is \(0\leq a-1\), which fails for (a=0) and holds for (a=1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#minimum addition
A 0
B 2
C 4
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a-b=0) है। / On the diagonal, (a-b=0).
Step 2
Why this answer is correct
तब ((a-b)2 =0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Then ((a-b)2 =0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं है, इसलिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / No diagonal pair is present, so all four diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
A 0
B 1
C 2
D 3
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कुल (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A total of (5) diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण शर्त (a(a-2)\geq0) है, जो (-2,-1,0,2) पर सत्य और (1) पर असत्य है। / The diagonal condition (a(a-2)\geq0) is true for (-2,-1,0,2) and false for (1).
Step 3
Exam Tip
केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Only ((1,1)) must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#self divisibility
A हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
B हर (a) पर (a+1=1) / For every (a), (a+1=1)
C हर (b) शून्य है / Every (b) is zero
D सभी युग्म अविकर्ण हैं / All pairs are non-diagonal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / Put (b=a) on the diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a+1\mid a+1\) मिलता है, और कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Then \(a+1\mid a+1\), and any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#squares
A क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
B क्योंकि \(b^2\) हमेशा (1) है / Because \(b^2\) is always (1)
C क्योंकि हर (a) अभाज्य है / Because every (a) is prime
D क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएं हैं / Because (A) contains only even numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a\mid a^2\) बनेगी, जो हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a\mid a^2\), which is true for every positive integer (a).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में स्वयं के वर्ग को देखना तेज तरीका है। / In divisibility relations, checking the square of the same number is a quick method.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#quadratic
A 1
B 2
C 3
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में केवल (a=0) और (a=2) पर विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a^3-b\) सम है}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a^3-b\) is even}). What is the correct reason that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#parity
#cubic expression
A क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
B क्योंकि हर \(a^3\) सम है / Because every \(a^3\) is even
C क्योंकि (b) हमेशा (1) है / Because (b) is always (1)
D क्योंकि संबंध रिक्त है / Because the relation is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^3-a\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^3-a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a-3 -a=a(a-1)(a+1)) है, जिसमें लगातार तीन संख्याओं का गुणन है, इसलिए यह सम होगा। / (a-3 -a=a(a-1)(a+1)), a product of three consecutive integers, so it is even.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर अभिव्यक्ति को गुणनखंडों में बदलना उपयोगी तरीका है। / Factoring the diagonal expression is a useful exam method.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 6 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस बात पर आधारित है?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 6}). What is the basis for (R) being reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#difference
A हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
B क्योंकि हर (a) (6) से विभाज्य है / Because every (a) is divisible by (6)
C क्योंकि (A) में (6) है / Because (A) contains (6)
D क्योंकि सभी युग्म अलग-अलग हैं / Because all pairs are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) देखें। / For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (a-a=0) होता है, और (0) (6) से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
अंतर की विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा शून्य होता है। / In difference-divisibility relations, the diagonal difference is always zero.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#quadratic
A 2
B 3
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this five-element set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में केवल (a=0) और (a=1) वाले विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b\leq ab\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
A 0
B 1
C 2
D 4
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Step 1
Concept
पिछले विचार से विकर्ण पर \(2a\leq a^2\) चाहिए। / On the diagonal, the condition is \(2a\leq a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (a=1) पर असत्य है और (a=2,3,4,5) पर सत्य है। / This fails for (a=1) and holds for (a=2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Therefore only ((1,1)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) का समान गुणनखंड (1) से बड़ा है(}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) have a common factor greater than (1)(}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#common factor
#number theory
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (2,3,4,5) पर हाँ / Yes only for (2,3,4,5)
D केवल (1) पर हाँ / Yes only for (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity also requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का (1) से बड़ा कोई गुणनखंड नहीं है। / The number (1) has no factor greater than (1).
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म गायब होने से संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता। / Missing even one diagonal pair makes the relation non-reflexive.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) पर \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
For \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)), \(R=\{(X,Y):X\cup Y=X\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (S) पर / Only for (S)
D केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। / For reflexivity, put (Y=X).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(X\cup X=X\), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। / Then \(X\cup X=X\), which is true for every set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। / Hence every ((X,X)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कोई भी अविकर्ण युग्म न हो?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many reflexive relations have no non-diagonal pair?
#reflexive relation
#identity relation
#counting
A 1
B 5
C 10
D \(2^5\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में पांचों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain all five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कोई अविकर्ण युग्म न होने पर संबंध केवल पहचान संबंध होगा। / If no non-diagonal pair is allowed, the relation is exactly the identity relation.
Step 3
Exam Tip
ऐसा संबंध केवल (1) है। / Therefore only (1) such relation exists.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) प्रतिवर्ती है और (R) में ठीक (9) युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and has exactly (9) pairs. How many such relations are possible?
#reflexive relation
#combinations
#exact pairs
A \(\binom{12}{5}\)
B \(\binom{16}{9}\)
C \(\binom{9}{4}\)
D \(2^9\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{5}\)
Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (9) युग्म के लिए (5) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (9) total pairs, choose (5) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
(12) अविकर्ण युग्मों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}\) हैं। / Choosing (5) from (12) non-diagonal pairs gives \(\binom{12}{5}\).
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तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म हो?
On a three-element set, how many reflexive relations contain at least one non-diagonal pair?
#reflexive relation
#non diagonal
#counting
A (63)
B (64)
C (6)
D \(2^9\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तीन तत्वों पर कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) हैं। / On a three-element set, there are \(2^6=64\) reflexive relations.
Step 2
Why this answer is correct
जिनमें कोई अविकर्ण युग्म नहीं है, वह केवल पहचान संबंध है। / The only one with no non-diagonal pair is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म वाले संबंध (64-1=63) होंगे। / Hence the number with at least one non-diagonal pair is (64-1=63).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) अवश्य हो और ((2,1)) अवश्य न हो?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations must contain ((1,2)) and must not contain ((2,1))?
#reflexive relation
#counting
#restricted pairs
A \(2^{10}\)
B \(2^{11}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^8\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
(4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
(12) अविकर्ण युग्मों में से ((1,2)) अनिवार्य है और ((2,1)) वर्जित है। / Among the (12) non-diagonal pairs, ((1,2)) is compulsory and ((2,1)) is forbidden.
Step 3
Exam Tip
बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(2^{10}\) relations.
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और पहचान संबंध से अलग हैं?
On a four-element set, how many relations are reflexive and different from the identity relation?
#reflexive relation
#identity relation
#counting
A \(2^{12}-1\)
B \(2^{16}-1\)
C \(2^{12}\)
D (12)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{12}-1\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / On a four-element set, the number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध भी प्रतिवर्ती है। / The identity relation is one of them.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को हटाने पर \(2^{12}-1\) संबंध मिलते हैं। / Removing it leaves \(2^{12}-1\) relations.
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तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और सार्वत्रिक संबंध नहीं हैं?
On a three-element set, how many relations are reflexive but not the universal relation?
#reflexive relation
#universal relation
#counting
A (63)
B (64)
C (511)
D (512)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तीन तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। / On a three-element set, the number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें सार्वत्रिक संबंध भी शामिल है। / This count includes the universal relation.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हटाने पर (64-1=63) संबंध बचते हैं। / Excluding the universal relation gives (64-1=63).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी जिनमें ठीक (n+2) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, how many reflexive relations have exactly (n+2) ordered pairs?
#reflexive relation
#general formula
#counting
A \(\binom{n^2-n}{2}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(\binom{n^2}{n+2}\)
D \(n^2-n\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{2}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+2) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (n+2) pairs, choose (2) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म \(n^2-n\) हैं, अतः संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) है। / Since there are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, the number is \(\binom{n^2-n}{2}\).
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पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें न्यूनतम संख्या से ठीक (6) अधिक युग्म हों?
On a five-element set, how many reflexive relations have exactly (6) more pairs than the minimum possible number?
#reflexive relation
#counting
#minimum relation
A \(\binom{20}{6}\)
B \(\binom{25}{6}\)
C \(2^{20}\)
D \(\binom{6}{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{20}{6}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध में (5) विकर्ण युग्म होते हैं। / On a five-element set, the minimum reflexive relation has (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम से (6) अधिक युग्म का मतलब (6) अविकर्ण युग्म चुनना है। / Having (6) more pairs means choosing (6) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{20}{6}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the count is \(\binom{20}{6}\).
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चार तत्वों वाले समुच्चय (A) पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (7) युग्म हों?
How many reflexive relations with exactly (7) ordered pairs are possible on a four-element set (A)?
#reflexive relation
#counting
#combinations
A \(\binom{12}{3}\)
B \(\binom{16}{7}\)
C \(2^7\)
D \(\binom{7}{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{3}\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a four-element set, (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (7) युग्म चाहिए, इसलिए (3) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (7) pairs, choose (3) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (16-4=12) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है। / There are (16-4=12) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{12}{3}\).
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a=b\) और a+b विषम है}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a=b\) and a+b is odd}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#and condition
#odd even
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर / Only for (1)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) तो सत्य है। / On the diagonal, (a=b) is true.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (a+b=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / But (a+b=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
और वाली शर्त में दोनों भाग सत्य होने चाहिए, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / In an and condition, both parts must be true, so the relation is not reflexive.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):|a-b|\) सम है}) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):|a-b|\) is even}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#absolute value
#parity
A क्योंकि (|a-a|=0) और (0) सम है / Because (|a-a|=0) and (0) is even
B क्योंकि सभी अंतर (2) हैं / Because all differences are (2)
C क्योंकि सभी संख्याएं सम हैं / Because all numbers are even
D क्योंकि (A) में (6) तत्व हैं / Because (A) has (6) elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (|a-a|=0) और (0) सम है / Because (|a-a|=0) and (0) is even
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म में दोनों तत्व समान होते हैं। / In a diagonal pair, both elements are the same.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|a-a|=0), और (0) सम संख्या है। / Therefore (|a-a|=0), and (0) is even.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण हर ((a,a)) संबंध में है। / Hence every ((a,a)) belongs to the relation.
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यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab<a^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab<a^2\}\), is (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#product
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर सत्य / True only at (0)
D केवल धनात्मक तत्वों पर सत्य / True only for positive elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(ab=a^2\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a^2<a^2\) बनती है, जो किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं है। / The condition becomes \(a^2<a^2\), which is false for every (a).
Step 3
Exam Tip
कड़ी असमानता में बराबर मान विकर्ण युग्मों को असफल कर देते हैं। / Strict inequalities fail when both sides become equal on the diagonal.
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समुच्चय \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\leq a^2\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab\leq a^2\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#inequality
#product
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर असफल / Fails only at (0)
D केवल ऋणात्मक तत्वों पर / Only for negative elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(ab=a^2\) होगा, इसलिए शर्त \(a^2\leq a^2\) बनती है, जो सत्य है। / Then \(ab=a^2\), so the condition becomes \(a^2\leq a^2\), which is true.
Step 3
Exam Tip
बराबरी वाली स्थिति भी \(\leq\) में शामिल होती है। / Equality is included in \(\leq\), so every diagonal pair works.
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यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq 4\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq 4\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#inequality
#squares
A 0
B 1
C 2
D 3
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2\leq4\) से \(a^2\leq2\) मिलता है, इसलिए (a=-1,0,1) काम करते हैं। / \(2a^2\leq4\) gives \(a^2\leq2\), so (a=-1,0,1) work.
Step 3
Exam Tip
((-2,-2)) और ((2,2)) गायब हैं, इसलिए (2) युग्म जोड़ने होंगे। / The missing diagonal pairs are ((-2,-2)) and ((2,2)), so (2) pairs are needed.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#class 12
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) पर / Only for (1)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a+1\mid a+1\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a+1\mid a+1\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी विकर्ण युग्म शामिल हैं और संबंध प्रतिवर्ती है। / Therefore all diagonal pairs are included, so the relation is reflexive.
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समुच्चय \(A=\{2,3,4,6,8,12\}\) पर \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\leq 12\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{2,3,4,6,8,12\}\), \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\leq 12\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#lcm
#inequality
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (8) पर असफल / Fails only at (8)
D केवल (12) पर असफल / Fails only at (12)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए (A) का हर तत्व (12) से छोटा या बराबर है। / Every element of (A) is less than or equal to (12).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है और (R) प्रतिवर्ती है। / Therefore every diagonal pair satisfies the condition, so (R) is reflexive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)>1\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)>1\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#minimum addition
A 0
B 1
C 2
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a>1) के लिए शर्त सत्य है, पर (a=1) पर (\gcd(1,1)=1) है। / The condition is true for (a>1), but for (a=1), (\gcd(1,1)=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Hence only ((1,1)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a^2-a=b^2-b\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#equality
#quadratic expression
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) और (2) पर / Only for (1) and (2)
D केवल सम तत्वों पर / Only for even elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। / Put (b=a) to test reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
तब दोनों ओर \(a^2-a\) ही मिलेगा, इसलिए समानता हर (a) के लिए सत्य है। / Both sides become \(a^2-a\), so the equality is true for every (a).
Step 3
Exam Tip
जब दोनों ओर एक ही व्यंजक बन जाए, तो विकर्ण युग्म निश्चित रूप से शामिल होते हैं। / If both sides become the same expression on the diagonal, all diagonal pairs are included.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{4}\)}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण कौन-सा है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{4}\)}). What is the correct reason for (R) being reflexive?
#reflexive relation
#congruence
#modulo
#class 12
A हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) / For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)
B हर वर्ग (4) से विभाज्य है / Every square is divisible by (4)
C सभी युग्म \(A\times A\) में हैं / All pairs are in \(A\times A\)
D केवल (0) और (4) के कारण / Only because of (0) and (4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) / For every (a), \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) को जांचते हैं। / To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\) बनती है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a^2\equiv a^2 \pmod{4}\), which is true for every element.
Step 3
Exam Tip
समानता या समान शेषफल वाली शर्त में विकर्ण युग्म सामान्यतः तुरंत मिल जाते हैं। / Equality or same-remainder conditions usually include all diagonal pairs.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती है। यदि \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), तो (S) के बारे में कौन सा निष्कर्ष निश्चित है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive. If \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), what conclusion about (S) is certain?
#super relation
#reflexive guarantee
#subset condition
#hard
A (S) परावर्ती है / (S) is reflexive
B (S) परावर्ती नहीं है / (S) is not reflexive
C (S) पहचान संबंध है / (S) is the identity relation
D (S) रिक्त संबंध है / (S) is the empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (S) परावर्ती है / (S) is reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म (R) में हैं। / Since (R) is reflexive, all self-pairs are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से वे सभी अपने-अपने युग्म (S) में भी होंगे। / Because \(R\subseteq S\), all those self-pairs are also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (S) निश्चित रूप से परावर्ती है। / Therefore (S) is definitely reflexive.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is reflexive on (A), which statement about \(R\cup R^{-1}\) is always true?
#union inverse
#reflexive symmetric
#relation property
#class 12
A यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
B यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह हमेशा पहचान संबंध है / It is always the identity relation
D यह हमेशा \(A\times A\) है / It is always \(A\times A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं, इसलिए वे संघ में भी रहेंगे। / (R) contains all self-pairs, so they remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup R^{-1}\) में किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा भी आ जाता है। / In \(R\cup R^{-1}\), every pair appears with its reverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह संबंध परावर्ती और सममित दोनों होता है। / Therefore the relation is both reflexive and symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें ((1,2)) होने पर ((2,1)) नहीं हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations satisfy that if ((1,2)) is present then ((2,1)) is absent?
#conditional counting
#reflexive relation
#ordered pairs
#hard
A 48
B 32
C 16
D 64
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 3 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,1)) के लिए मान्य चुनाव हैं: कोई नहीं, केवल ((1,2)), या केवल ((2,1)); दोनों साथ नहीं हो सकते। / For ((1,2),(2,1)), valid choices are neither, only ((1,2)), or only ((2,1)); both together are not allowed.
Step 3
Exam Tip
बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^4=48\) है। / The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^4=48\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे परावर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें ठीक (n+3) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, what is the number of reflexive relations having exactly (n+3) pairs?
#general formula
#reflexive relation
#exact pairs
#hard
A \(\binom{n^2-n}{3}\)
B \(\binom{n^2}{3}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(n^2-n\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{3}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+3) युग्मों के लिए 3 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चाहिए। / To have exactly (n+3) pairs, 3 additional non-self pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
\(n^2-n\) गैर-अपने युग्मों में से 3 चुनने होंगे, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{3}\) है। / Choose 3 from \(n^2-n\) non-self pairs, so the count is \(\binom{n^2-n}{3}\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती है और (R) में ठीक 7 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and has exactly 7 pairs. How many such relations are possible?
#exact size
#reflexive relation
#combination
#mcq
A \(\binom{12}{3}\)
B \(\binom{16}{7}\)
C \(\binom{12}{7}\)
D \(\binom{4}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{3}\)
Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 7 युग्मों के लिए (7-4=3) गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। / To have 7 total pairs, choose (7-4=3) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
गैर-अपने युग्म 12 हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है। / There are 12 non-self pairs, so the count is \(\binom{12}{3}\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(I_A\) पहचान संबंध है, तो \(R\cap I_A\) के बारे में क्या सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(I_A\) is the identity relation, what is correct about \(R\cap I_A\)?
#identity relation
#intersection
#reflexive relation
#hard
A यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
B यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
C यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
D यह कभी परावर्ती नहीं है / It is never reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
Step 1
Concept
परावर्ती (R) में पहचान संबंध \(I_A\) पूरा शामिल होता है। / A reflexive (R) contains the whole identity relation \(I_A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(I_A\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल वही अपने-अपने युग्म बचते हैं। / Intersecting with \(I_A\) keeps exactly those self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cap I_A=I_A\) है। / Therefore \(R\cap I_A=I_A\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(I_A\) पहचान संबंध है, तो \(R\cup I_A\) के बारे में क्या सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(I_A\) is the identity relation, what is correct about \(R\cup I_A\)?
#identity relation
#union
#reflexive relation
#class 12
A यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
B यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
C यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
D यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए \(I_A\subseteq R\) है। / Since (R) is reflexive, \(I_A\subseteq R\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय में उसका उपसमुच्चय मिलाने पर वही बड़ा समुच्चय रहता है। / The union of a set with its subset is the larger set itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup I_A=R\) होगा। / Therefore \(R\cup I_A=R\).
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\(A=\{2,4,6,8\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम मान क्या है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\). What is the minimum value of (k) for (R) to be reflexive?
#parameter
#sum inequality
#reflexive relation
#hard
A 12
B 14
C 16
D 8
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर ((a,a)) नियम पूरा करे। / For reflexivity, every ((a,a)) must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने योग (4,8,12,16) हैं। / The self-sums are (4,8,12,16).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ा अपने-अपने योग 16 है, इसलिए न्यूनतम (k=16) होगा। / The largest self-sum is 16, so the minimum (k) is 16.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3,4\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। इस संबंध में परावर्ती युग्मों की संख्या कितनी है?
On the power set of \(S=\{1,2,3,4\}\), (XRY) when \(X\subseteq Y\). How many reflexive pairs are in this relation?
#power set
#self pairs
#reflexive relation
#class 12
A 16
B 4
C 64
D 81
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होते हैं। / The power set has \(2^4=16\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती युग्म हर तत्व (X) के लिए ((X,X)) होता है। / A reflexive pair is ((X,X)) for each element (X) of the power set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्ती युग्मों की संख्या घात समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर 16 है। / Hence the number of reflexive pairs is 16.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती और सममित है तथा (R) में कुल 12 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and symmetric and has 12 total pairs. How many such relations are possible?
#reflexive symmetric
#total pairs
#combinations
#hard
A 20
B 15
C 6
D 64
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 12 युग्मों के लिए 8 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 4 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में चुनी जाएंगी। / For 12 total pairs, 8 non-self pairs are needed, meaning 4 unordered pairs are chosen in both directions.
Step 3
Exam Tip
6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 4 चुनने के \(\binom{6}{4}=15\) तरीके हैं। / Choose 4 of the 6 unordered pairs in \(\binom{6}{4}=15\) ways.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R^{-1}\cap R\) के बारे में निश्चित रूप से क्या कहा जा सकता है?
If (R) is reflexive on (A), what can certainly be said about \(R^{-1}\cap R\)?
#inverse relation
#intersection
#reflexive symmetric
#hard
A यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
B यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह हमेशा सार्वत्रिक संबंध है / It is always the universal relation
D यह हमेशा रिक्त संबंध है / It is always the empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। / Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in it.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का व्युत्क्रम भी ((a,a)) है, इसलिए ये युग्म \(R^{-1}\) में भी हैं। / The inverse of ((a,a)) is also ((a,a)), so these pairs are in \(R^{-1}\) too.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे और \(R^{-1}\cap R\) सममित भी होगा। / The intersection keeps all self-pairs and \(R^{-1}\cap R\) is also symmetric.
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यदि (A) अरिक्त है और (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(A\times A-R\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (A) is non-empty and (R) is reflexive on (A), which statement about \(A\times A-R\) is correct?
#complement relation
#not reflexive
#non empty set
#mcq
A यह हमेशा परावर्ती है / It is always reflexive
B यह परावर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
C यह हमेशा पहचान संबंध है / It is always the identity relation
D यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह परावर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A-R\) में (R) के सभी युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट जाते हैं। / In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so the self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता। / On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें ((1,2)), ((2,3)), ((3,1)) में से ठीक एक युग्म शामिल हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations contain exactly one of ((1,2)), ((2,3)), and ((3,1))?
#exactly one
#reflexive relation
#ordered pairs
#hard
A 12
B 24
C 8
D 16
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / The 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए 3 गैर-अपने युग्मों में से ठीक 1 चुनने के \(\binom{3}{1}=3\) तरीके हैं। / Choose exactly 1 of the given 3 non-self pairs in \(\binom{3}{1}=3\) ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी 3 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^3=24\) है। / The remaining 3 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^3=24\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें अधिकतम 6 युग्म हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have at most 6 pairs?
#at most pairs
#reflexive relation
#counting
#class 12
A 79
B 13
C 66
D \(2^{12}-79\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / Four self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम 6 कुल युग्मों का अर्थ है कि 12 गैर-अपने युग्मों में से 0, 1, या 2 युग्म चुने जा सकते हैं। / At most 6 total pairs means choosing 0, 1, or 2 pairs from the 12 non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\) है। / The count is \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जो पहचान संबंध नहीं हैं, लेकिन सार्वत्रिक संबंध हो सकते हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations are not the identity relation but may be the universal relation?
#identity relation
#reflexive counting
#universal relation
#mcq
A \(2^{12}-2\)
B \(2^{12}-1\)
C \(2^{16}-1\)
D \(2^4-1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(2^{12}-1\)
Step 1
Concept
4 तत्वों पर कुल परावर्ती संबंध \(2^{16-4}=2^{12}\) हैं। / On 4 elements, the total number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध इनमें से ठीक एक है। / The identity relation is exactly one of them.
Step 3
Exam Tip
केवल पहचान संबंध हटाना है, इसलिए संख्या \(2^{12}-1\) है। / Only the identity relation is removed, so the count is \(2^{12}-1\).
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यदि (A) में 6 तत्व हैं, तो (A) पर ठीक 9 युग्मों वाले परावर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has 6 elements, what is the number of reflexive relations on (A) having exactly 9 pairs?
#exact pair count
#reflexive relation
#combinations
#hard
A \(\binom{30}{3}\)
B \(\binom{36}{9}\)
C \(\binom{30}{9}\)
D \(\binom{6}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{30}{3}\)
Step 1
Concept
6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 6 elements, 6 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{30}{3}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(P=\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\) है, तो (A) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध (R) होंगे जिनमें \(P\subseteq R\)?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(P=\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\), how many reflexive relations (R) on (A) satisfy \(P\subseteq R\)?
#reflexive relation
#counting
#fixed pairs
#class 12
A \(2^{12}\)
B \(2^{10}\)
C \(2^9\)
D \(2^{11}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) इस प्रकार परिभाषित है: \((a,b)\in R\) तभी जब (a=b) या (a+b=5)। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is defined as \((a,b)\in R\) if (a=b) or (a+b=5). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#or condition
#identity
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल ((1,4)) और ((4,1)) के कारण / Only because of ((1,4)) and ((4,1))
D केवल जब (a+b=5) / Only when (a+b=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) रखें। / For reflexivity, test ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
दी गई शर्त में (a=b) वाला भाग हर विकर्ण युग्म के लिए सत्य है। / The condition (a=b) is true for every diagonal pair.
Step 3
Exam Tip
या वाली शर्त में एक भाग सत्य हो तो पूरा कथन सत्य होता है। / In an or condition, one true part is enough to include the pair.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#intersection
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
D केवल (S) पर / Only for (S)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((X,X)) रखने पर \(X\cap X=X\) मिलता है। / For ((X,X)), the condition becomes \(X\cap X=X\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है। / The intersection of a set with itself is the same set.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय संक्रियाओं में विकर्ण पर समान समुच्चय रखकर जांचें। / In set-operation relations, substitute the same set on the diagonal.
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समुच्चय \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (XRY) तभी जब \(X\subseteq Y\)। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\), relation (R) is defined by (XRY) if \(X\subseteq Y\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#subset relation
#sets
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल ({1,2}) पर / Only for ({1,2})
D केवल एकल समुच्चयों पर / Only for singleton sets
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए हर \(X\in A\) पर \(X\subseteq X\) चाहिए। / Reflexivity requires \(X\subseteq X\) for every \(X\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। / Every set is a subset of itself.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध हमेशा अपने आधार समुच्चय पर प्रतिवर्ती होता है। / The subset relation is reflexive on any collection of sets.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)=a\}\) है। (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)=a\}\). Why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#lcm
#class 12
A क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,a)=a) / Because (\operatorname{lcm}(a,a)=a)
B क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,b)) हमेशा (1) है / Because (\operatorname{lcm}(a,b)) is always (1)
C क्योंकि हर संख्या (6) को विभाजित करती है / Because every number divides (6)
D क्योंकि (R) में केवल अविकर्ण युग्म हैं / Because (R) has only non-diagonal pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,a)=a) / Because (\operatorname{lcm}(a,a)=a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) जांचना है। / For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी संख्या का स्वयं के साथ लघुत्तम समापवर्त्य वही संख्या होती है, इसलिए (\operatorname{lcm}(a,a)=a)। / The least common multiple of a number with itself is the number itself, so (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 3
Exam Tip
समान संख्याओं पर मान निकालना सबसे सरल तरीका है। / Evaluating the expression at equal numbers is the simplest method.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#coprime relation
A 1
B 2
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
यह (1) के बराबर केवल (a=1) पर है, इसलिए सिर्फ ((1,1)) मौजूद है। / This equals (1) only for (a=1), so only ((1,1)) is present.
Step 3
Exam Tip
बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / The other four diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=a\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=a\}\), is (R) reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#class 12
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल अभाज्य तत्वों पर / Only on prime elements
D केवल (1) पर / Only at (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Hence \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक वाले प्रश्न में समान संख्याओं का मान याद रखें। / For greatest common divisor relations, remember the value for equal numbers.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):a+b>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
A 2
B 3
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कुल पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / Five diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) और ((2,2)) पहले से हैं, क्योंकि उनका योग धनात्मक है। / ((1,1)) and ((2,2)) are already present because their sums are positive.
Step 3
Exam Tip
बाकी ((-2,-2),(-1,-1),(0,0)) जोड़ने होंगे, इसलिए संख्या (3) है। / The remaining three diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq0\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq0\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#product condition
#non negative
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर / Only at (0)
D केवल (-1) और (1) पर / Only at (-1) and (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (a=b) रखने पर \(ab=a^2\) मिलता है। / For reflexivity, put (a=b), giving \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक संख्या का वर्ग (0) या धनात्मक होता है, इसलिए \(a^2\geq0\) सत्य है। / The square of any real number is non-negative, so \(a^2\geq0\) is true.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल वाले संबंध में विकर्ण पर वर्ग बनता है। / Product-based diagonal checks often reduce to squares.
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यदि \(A=\{0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab>0\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab>0\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#product condition
#zero
A 0
B 1
C 2
D 3
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(ab=a^2\) होगा। / On the diagonal, \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1,2) पर \(a^2>0\) सत्य है, पर (a=0) पर (0>0) असत्य है। / For (a=1,2), \(a^2>0\) is true, but for (a=0), (0>0) is false.
Step 3
Exam Tip
केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab=0\Rightarrow a=b\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab=0\Rightarrow a=b\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#implication
#expert
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) के कारण नहीं / No only because of (0)
D केवल धनात्मक तत्वों पर / Only on positive elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए शर्त \(a^2=0\Rightarrow a=a\) बनती है। / For ((a,a)), the condition is \(a^2=0\Rightarrow a=a\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=0) हो तो निष्कर्ष (0=0) सत्य है, और यदि \(a\neq0\) हो तो आरंभिक बात असत्य होने से कथन सत्य माना जाता है। / If (a=0), the conclusion (0=0) is true; if \(a\neq0\), the implication is still true because its premise is false.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में निहित कथन को सावधानी से पढ़ें। / Read implication-based conditions carefully.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=6\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=6\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#class 12
A 1
B 3
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on five elements needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
दी गई शर्त में केवल ((3,3)) विकर्ण युग्म है। / The given relation contains only the diagonal pair ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-1=4) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-1=4) diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=5\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=5\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#linear equation
#missing diagonal
A 2
B 3
C 4
D 0
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म के लिए (a+b=2a) होगा। / For a diagonal pair, (a+b=2a).
Step 2
Why this answer is correct
(2a=5) का कोई पूर्णांक हल (A) में नहीं है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं है। / The equation (2a=5) has no integer solution in (A), so no diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / All four diagonal pairs must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a^2+b^2\) सम है}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a^2+b^2\) is even}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#parity
#squares
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल सम तत्वों पर / Only on even elements
D केवल विषम तत्वों पर / Only on odd elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2\) हमेशा सम है, इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / \(2a^2\) is always even, so every ((a,a)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर अभिव्यक्ति को सरल करना तेज तरीका है। / Simplifying the expression on the diagonal is the fastest method.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#squares
A क्योंकि \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) for every (a)
B क्योंकि सभी वर्ग (3) से विभाज्य हैं / Because all squares are divisible by (3)
C क्योंकि (A) में (3) है / Because (A) contains (3)
D क्योंकि (R) खाली है / Because (R) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) for every (a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता में ((a,a)) को शर्त में रखें। / For reflexivity, substitute ((a,a)) into the condition.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) मिलेगा, जो समानता के कारण हमेशा सत्य है। / This gives \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\), which is always true by equality.
Step 3
Exam Tip
घात और शेषफल वाले संबंध में भी पहले समान तत्व की जांच करें। / Even in power and modulo relations, test the same element first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#congruence
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल सम तत्वों पर / Only on even elements
D केवल विषम तत्वों पर / Only on odd elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। / To test reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए \(a\equiv a \pmod{2}\) सत्य है। / For every (a), \(a\equiv a \pmod{2}\) is true.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाला संबंध हमेशा विकर्ण युग्मों को शामिल करता है। / Congruence with the same element always includes diagonal pairs.
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