Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^2-6x+9=(x-3)^2\) है। किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग 0 या धनात्मक होता है, इसलिए यह त्रिपद कभी ऋणात्मक नहीं होगा। विकल्प B में \((x-3)^2-1\) आता है, जो ऋणात्मक हो सकता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). The square of every real number is zero or positive, so this trinomial can never be negative. Option B equals \((x-3)^2-1\), which can be negative. Exam tip: look for a perfect-square identity.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए विकल्प A पूर्ण वर्ग है। विकल्प B सबसे निकट है, पर उसका स्थिर पद \(8\) है; \((x+3)^2\) बनाने के लिए यह \(9\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: \(x^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने के लिए जाँचें कि \(c=(b/2)^2\) है। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so option A is a perfect square. Option B is the closest distractor, but its constant term is \(8\); it must be \(9\) to form \((x+3)^2\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\) to be a perfect square, check whether \(c=(b/2)^2\).
\(9x^2-24x+16=(3x-4)^2\), क्योंकि मध्य पद \(2\times3x\times(-4)=-24x\) है। विकल्प B में स्थिर पद 16 के स्थान पर 15 है। परीक्षा टिप: प्रथम और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / \(9x^2-24x+16=(3x-4)^2\) because the middle term is \(2\times3x\times(-4)=-24x\). In option B, the constant should be 16, not 15. Exam tip: use square roots of the first and last terms to verify the middle term.
विकल्प A में \(9p^2=(3p)^2\) और \(16q^2=(4q)^2\) हैं। इनके बीच का पद \(-24pq=-2(3p)(4q)\) है। अतः \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में मध्य पद \(-20pq\), अपेक्षित \(-24pq\) नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर जाँचें कि मध्य पद \(\pm2ab\) है या नहीं। / In option A, \(9p^2=(3p)^2\) and \(16q^2=(4q)^2\). Its middle term is \(-24pq=-2(3p)(4q)\). Hence, \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), so it is a perfect square. In option B, the middle term is \(-20pq\), not the required \(-24pq\). Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term is \(\pm2ab\).
यहाँ \(a=1, b=10, c=25\) हैं और \(b^2=100=4ac\), इसलिए \(x^2+10x+25=(x+5)^2\) पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में मध्य पद का आधा लेकर उसका वर्ग जाँचें। / Here \(a=1, b=10, c=25\), and \(b^2=100=4ac\); hence \(x^2+10x+25=(x+5)^2\), a perfect square. Exam tip: halve the middle-term coefficient and square it.
\(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), इसलिए विकल्प A पूर्ण वर्ग है। विकल्प D भी पूर्ण वर्ग है, पर वह \((3x-2)^2\) का विस्तार है और उसका मध्य पद ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), so A is a perfect-square trinomial. D is also a square form, but it has a negative middle term: \((3x-2)^2\). Exam tip: compare the middle term with \(2ab\).
पूर्ण वर्ग त्रिपद में मध्य पद का गुणांक \(2ab\) और स्थिर पद \(b^2\) होता है। \(x^2+10x+21\) में \(2\times5=10\), पर \(5^2=25\), 21 नहीं। परीक्षा में स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / In a perfect-square trinomial, the middle coefficient is \(2ab\) and the constant is \(b^2\). For \(x^2+10x+21\), \(2\times5=10\), but \(5^2=25\), not 21. Exam tip: check the constant term against the middle term.
\(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\)। क्योंकि \((x+1)^2\geq 0\), इसलिए इस व्यंजक का न्यूनतम मान \(1\) है और यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए धनात्मक है। निकटतम विकल्प B, \((x-1)^2\), \(x=1\) पर \(0\) हो जाता है, इसलिए वह सदैव धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान जाँचें। / \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\). Since \((x+1)^2\geq 0\), its minimum value is \(1\), so the expression is strictly positive for every real \(x\). The closest distractor, option B, is \((x-1)^2\), which equals \(0\) at \(x=1\); hence it is not strictly positive. Exam tip: complete the square to find the minimum value of a quadratic.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए A पूर्ण वर्ग है। B का स्थिर पद \(25\) होना चाहिए था। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so A is a perfect square. In B, the constant term would need to be \(25\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(9p^2=(3p)^2\) और \(4q^2=(2q)^2\) हैं तथा मध्य पद \(2(3p)(2q)=12pq\) है। इसलिए A, \((3p+2q)^2\) है। B में मध्य पद 10pq है। परीक्षा टिप: \(a^2+2ab+b^2\) से मिलान करें। / Here \(9p^2=(3p)^2\) and \(4q^2=(2q)^2\), while the middle term is \(2(3p)(2q)=12pq\). Thus A is \((3p+2q)^2\). Option B has 10pq instead. Exam tip: compare with \(a^2+2ab+b^2\).
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\), इसलिए यह हर वास्तविक \(a\) के लिए पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में मध्य पद \(2ax\) के बजाय \(ax\) है। परीक्षा टिप: \((x+a)^2\) में मध्य पद हमेशा \(2ax\) होता है। / \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\), so it is a perfect square for every real \(a\). In option B, the middle term is \(ax\), not \(2ax\). Exam tip: the middle term of \((x+a)^2\) is always \(2ax\).
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) में \(a=4p\) और \(b=3q\) लेने पर मध्य पद \(-2(4p)(3q)=-24pq\) मिलता है। अतः A, \((4p-3q)^2\) है। परीक्षा में पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल जाँचें। / Using \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), take \(a=4p\) and \(b=3q\). The middle term is \(-2(4p)(3q)=-24pq\), so A is \((4p-3q)^2\). Exam tip: verify the middle term after checking the square terms.
द्विघात बहुपद में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। विकल्प C में \(a^2+1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए है। जबकि B में \(a=0\) लेने पर द्विघात पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात का गुणांक जाँचें। / A quadratic polynomial must have a non-zero coefficient of \(x^2\). In option C, \(a^2+1>0\) for every real \(a\). In B, taking \(a=0\) removes the quadratic term. Exam tip: always check whether the leading coefficient can become zero.
\(x^2-5x+6\) के लिए ऐसे दो पूर्णांक चाहिए जिनका गुणनफल 6 और योग \(-5\) हो। वे \(-2\) और \(-3\) हैं, अतः \((x-2)(x-3)\) मिलता है। परीक्षा में गुणनफल और योग दोनों जाँचें। / For \(x^2-5x+6\), we need two integers whose product is 6 and whose sum is \(-5\). They are \(-2\) and \(-3\), so it is \((x-2)(x-3)\). Exam tip: check both product and sum.
\(x^2-5x+6\) के लिए \(a=1, b=-5, c=6\) हैं, इसलिए \(b^2-4ac=25-24=1>0\)। अतः इसके दो भिन्न वास्तविक शून्यक हैं। विकल्प B में विवर्तक 0 है। परीक्षा टिप: दो भिन्न वास्तविक शून्यकों हेतु \(D>0\) देखें। / For \(x^2-5x+6\), \(a=1, b=-5, c=6\), so \(b^2-4ac=25-24=1>0\). Hence it has two distinct real zeroes. In option B, the discriminant is 0, giving equal zeroes. Exam tip: check \(D>0\) for distinct real zeroes.
((x+3)2=x-2+6x+9) है और (2) से गुणा करके (5) घटाएं। परीक्षा में बाहरी गुणन पूरे कोष्ठक पर लगाएं। / Since ((x+3)2=x-2+6x+9), multiply by (2) and subtract (5). Exam tip: apply the outside multiplier to the whole bracket.
पूर्ण वर्ग त्रिपद \((x+p)^2=x^2+2px+p^2\) होता है। यहाँ \(b=2p\) और \(c=p^2\), इसलिए \(b^2=4p^2=4c\)। विकल्प \(b^2=c\) में 4 का गुणक छूट जाता है। परीक्षा टिप: मध्य पद के गुणांक का वर्ग लेकर \(4c\) से मिलाएँ। / A perfect square has the form \((x+p)^2=x^2+2px+p^2\). Thus \(b=2p\) and \(c=p^2\), giving \(b^2=4c\). Option \(b^2=c\) misses the factor 4. Exam tip: square the middle coefficient and compare it with \(4c\).
\(x^2+10x+25\) में \(x^2\) और \(25=5^2\) हैं तथा मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), the last term is \(5^2\) and the middle term is \(2\times x\times5=10x\). Hence it equals \((x+5)^2\). In exams, verify the middle term using \(2ab\).
\(5x^2-9\) में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। x का पद न होना स्वीकार्य है। \(5x-9\) रैखिक है और \(5x^3-9\) घन है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात देखकर वर्ग पहचानें। / In \(5x^2-9\), the highest power of x is 2, so it is quadratic. A linear x-term need not be present. \(5x-9\) is linear, while \(5x^3-9\) is cubic. Exam tip: identify the degree from the highest exponent.
\((x+3)^2-6x=x^2+6x+9-6x=x^2+9\) है, जिसकी उच्चतम घात 2 है; इसलिए यह द्विघात है। विकल्प A और D रैखिक बनते हैं। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को मिलाकर घात पहचानें। / \((x+3)^2-6x=x^2+6x+9-6x=x^2+9\), whose highest power is 2, so it is quadratic. Options A and D simplify to linear expressions. Exam tip: combine like terms before identifying the degree.
\((2x-3)(x+4)\) में उच्चतम घात वाला पद \(2x\times x=2x^2\) है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। विकल्प B की घात 3 है। परीक्षा में भिन्न या मूल वाले पदों को बहुपद मानने से पहले जाँचें। / In \((2x-3)(x+4)\), the highest-degree term is \(2x\times x=2x^2\), so its degree is 2 and it is quadratic. Option B has degree 3. Exam tip: check for variables in denominators or radicals before calling an expression a polynomial.
विकल्प A में \(4x^2 - 12x + 9=(2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)\) है। अतः यह दो समान द्विपदों का गुणनफल है। विकल्प B सबसे निकट है, लेकिन \((2x-3)^2\) का स्थिर पद \(9\) होता है, \(8\) नहीं। परीक्षा टिप: \(ax^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने के लिए \(b^2=4ac\) जाँचें। / Option A is \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)\), so it is the product of two identical binomials. Option B is the closest distractor, but \((2x-3)^2\) has constant term \(9\), not \(8\). Exam tip: for a perfect-square trinomial \(ax^2+bx+c\), check whether \(b^2=4ac\).
\(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में अंतिम पद \(2\) है, जबकि \(2^2=4\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), so it is a perfect square. In option B, the constant should be \(4\), not \(2\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
पूर्ण वर्ग के लिए \(x^2+bx+c=(x+b/2)^2\) होना चाहिए। अतः स्थिर पद \(b^2/4\) होगा, इसलिए \(b^2=4c\)। परीक्षा में इसे विवर्तक \(b^2-4c=0\) से भी पहचानें। / For a perfect square, \(x^2+bx+c=(x+b/2)^2\). Thus the constant term must be \(b^2/4\), giving \(b^2=4c\). Exam tip: equivalently, check whether the discriminant \(b^2-4c\) is zero.
\(5x^2-3x\) में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। स्थिर पद का होना आवश्यक नहीं है। \(5x^3-3x\) घात 3 के कारण घन व्यंजक है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात देखकर वर्ग पहचानें। / In \(5x^2-3x\), the highest power of x is 2, so it is quadratic. A constant term is not compulsory. \(5x^3-3x\) is cubic because its highest power is 3. Exam tip: identify the degree from the highest exponent.
\(a\ne0\) होने से \(x^2\) पद उपस्थित रहता है, इसलिए बहुपद की सर्वोच्च घात 2 है। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं और वास्तविक शून्यक अनिवार्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात पहले जाँचें। / Since \(a\ne0\), the \(x^2\) term is present, so the highest power is 2. \(b\) or \(c\) may be zero, and real roots are not guaranteed. Exam tip: check the highest power first.
\(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), इसलिए इसके गुणनखंड संयुग्म द्विपद हैं। C समान द्विपद का वर्ग है। परीक्षा में ऋण चिह्न से जुड़े दो पूर्ण वर्ग पहचानें। / \(p^2-16q^2=p^2-(4q)^2=(p-4q)(p+4q)\), so its factors are conjugate binomials. C is a repeated-binomial square. Exam tip: spot two squares separated by a minus sign.
\(2x^2+3x+5\) के लिए विवर्तक \(b^2-4ac=3^2-4(2)(5)=-31\) है। यह ऋणात्मक है, इसलिए इसके वास्तविक रैखिक गुणनखंड नहीं हैं। परीक्षा में पहले विवर्तक जाँचें। / For \(2x^2+3x+5\), the discriminant is \(b^2-4ac=3^2-4(2)(5)=-31\). Since it is negative, the expression has no real linear factors, hence no integer-coefficient factorisation. Exam tip: check the discriminant first.
\(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\)। क्योंकि \((x+2)^2\geq0\), इसलिए इस व्यंजक का न्यूनतम मान 1 है और यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए धनात्मक रहता है। निकटतम विकल्प B में \(x=2\) रखने पर \(-1\) मिलता है, इसलिए वह सदैव धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखकर उसका न्यूनतम या अधिकतम मान जाँचें। / \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\). Since \((x+2)^2\geq0\), its minimum value is 1, so it is positive for every real \(x\). In the closest distractor, option B, substituting \(x=2\) gives \(-1\), so it is not always positive. Exam tip: complete the square to find the minimum or maximum value of a quadratic.
\((x-3)(2x+1)\) में उच्चतम घात वाला गुणनफल \(x\times2x=2x^2\) है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। B और C घन घात के हैं, जबकि D में \(x^{-1}\) है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात पहचानें। / In \((x-3)(2x+1)\), the highest-degree product is \(x\times2x=2x^2\), so its degree is 2 and it is quadratic. B and C have degree 3, while D contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: check the highest power first.
द्विघात व्यंजक में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(a\ne0\) आवश्यक है। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। परीक्षा में उच्चतम घात का अशून्य गुणांक देखें। / In a quadratic expression, the coefficient of \(x^2\) must be non-zero; hence \(a\ne0\). The values of \(b\) or \(c\) may be zero. Exam tip: check the non-zero coefficient of the highest power.
\(x^2+px+16\) को \((x\pm4)^2\) होना चाहिए। विस्तार करने पर \((x+4)^2=x^2+8x+16\) और \((x-4)^2=x^2-8x+16\) मिलता है, अतः \(p=\pm8\)। परीक्षा टिप: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / The expression must be \((x\pm4)^2\). Expanding gives \((x+4)^2=x^2+8x+16\) and \((x-4)^2=x^2-8x+16\), so \(p=\pm8\). Exam tip: take the square root of the constant term and check the middle term.
A. इसका विवर्तक \(b^2-4ac\) शून्य होता है/Its discriminant \(b^2-4ac\) is zero
Explanation
Simple Explanation
यदि व्यंजक \((px+q)^2\) है, तो \(a=p^2,\ b=2pq,\ c=q^2\)। इसलिए \(b^2-4ac=(2pq)^2-4p^2q^2=0\)। धनात्मक विवर्तक दो भिन्न जड़ें देता है, पूर्ण वर्ग नहीं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग की जाँच के लिए विवर्तक देखें। / For \((px+q)^2\), we have \(a=p^2,\ b=2pq\), and \(c=q^2\). Thus \(b^2-4ac=(2pq)^2-4p^2q^2=0\). A positive discriminant gives distinct real roots, not a repeated root. Exam tip: test a perfect-square quadratic using its discriminant.
द्विघात व्यंजक में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। विकल्प A में \(a^2+1>0\) हर वास्तविक a के लिए है, इसलिए यह सदैव द्विघात है। B में \(a=0\) पर व्यंजक रैखिक हो जाएगा। परीक्षा टिप: पहले \(x^2\) का गुणांक जाँचें। / For an expression to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be zero. In A, \(a^2+1>0\) for every real a, so it is always quadratic. In B, taking \(a=0\) makes it linear. Exam tip: check the \(x^2\) coefficient first.
द्विघात व्यंजक में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 होनी चाहिए, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात का गुणांक जाँचें। / A quadratic expression must have highest power of \(x\) equal to 2, so the coefficient \(a\) of \(x^2\) must be non-zero. Both \(b\) and \(c\) may be zero. Exam tip: check the coefficient of the highest power first.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए इसके दोनों द्विपद समान हैं। \(x^2+6x+8\) के गुणनखंड \((x+2)(x+4)\) हैं, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग में मध्य पद \(2ab\) होता है। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so it is the product of two identical binomials. \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\), whose factors differ. Exam tip: in a perfect square, the middle term is \(2ab\).
\(x^2+8x+18\) में पूर्ण वर्ग के लिए स्थिर पद (16) चाहिए था। परीक्षा में आधे मध्य गुणांक का वर्ग जाँचें। / For \(x^2+8x+18\), the constant should be (16) for a perfect square. In exams, check the square of half the middle coefficient.
\(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), इसलिए यह दो समान रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है। यहाँ \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\) तथा मध्य पद \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\) है। विकल्प B में अंतिम पद ऋणात्मक है, जबकि समान रैखिक गुणनखंडों के वर्ग में अंतिम पद धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद के लिए पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2pq\) से जाँचें। / \(9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2=(3a-2b)(3a-2b)\), so it is the product of two identical linear factors. Here \(9a^2=(3a)^2\), \(4b^2=(2b)^2\), and the middle term is \(2\times3a\times(-2b)=-12ab\). In option B, the last term is negative, whereas the square of a linear binomial has a positive last square term. Exam tip: for a perfect-square trinomial, take the square roots of the first and last terms and verify the middle term using \(\pm2pq\).
समान रैखिक गुणनखंड होने पर व्यंजक \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\) के रूप में होगा। अतः \(p=2r\) और \(q=r^2\), इसलिए \(p^2=4q\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के मध्य पद को \(2r\) से मिलाएँ। / With identical linear factors, the expression has the form \((x+r)^2=x^2+2rx+r^2\). Thus \(p=2r\) and \(q=r^2\), giving \(p^2=4q\). Exam tip: compare the middle coefficient with \(2r\) when spotting a perfect square.
वर्ग रूप \(a^2-2ab+b^2\) में होता है। यहाँ \(a=2x\), \(b=3y\) लेने पर मध्य पद \(-2ab=-12xy\) मिलता है, इसलिए A \((2x-3y)^2\) है। B में अंतिम पद \(9y^2\) होना चाहिए। परीक्षा में मध्य पद का गुणांक जाँचें। / A binomial square has the form \(a^2-2ab+b^2\). With \(a=2x\) and \(b=3y\), the middle term is \(-2ab=-12xy\), so A is \((2x-3y)^2\). In B, the last term should be \(9y^2\), not \(6y^2\). Exam tip: verify all three terms.
द्विघात व्यंजक में x की उच्चतम घात 2 होनी चाहिए, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\ne0\) आवश्यक है। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। परीक्षा टिप: उच्चतम घात के गुणांक को पहले जाँचें। / A quadratic expression must have highest power 2, so the coefficient of \(x^2\) must satisfy \(a\ne0\). The values of b or c may be zero. Exam tip: first check that the leading coefficient is non-zero.
\(x^2-y^2\) वर्गों के अंतर का रूप है: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)। गुणा करने पर \(+xy\) और \(-xy\) कट जाते हैं। परीक्षा में समान वर्गों के बीच ऋण चिह्न देखें। / \(x^2-y^2\) is a difference of squares: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\). On multiplication, \(+xy\) and \(-xy\) cancel. In exams, look for a minus sign between two square terms.
यदि \(x^2+px+q=(x+a)^2\), तो विस्तार करने पर \(x^2+2ax+a^2\) मिलता है। अतः \(p=2a\) और \(q=a^2\), इसलिए \(p^2=4q\)। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग, स्थिर पद के चार गुने से मिलाएँ। / If \(x^2+px+q=(x+a)^2\), expanding gives \(x^2+2ax+a^2\). Thus \(p=2a\) and \(q=a^2\), so \(p^2=4q\). Exam tip: compare the square of the middle coefficient with four times the constant term.
\(x^2+\frac{3}{x}+2\) में \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) है। बहुपद में \(x\) की घात ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए यह द्विघात बहुपद नहीं है। \(\sqrt{2}\) जैसा गुणांक मान्य है। परीक्षा टिप: घातों को पहले जाँचें। / In \(x^2+\frac{3}{x}+2\), the term \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) has a negative power of \(x\). A polynomial cannot contain negative exponents, so it is not quadratic. An irrational coefficient such as \(\sqrt{2}\) is allowed. Exam tip: check powers first.
द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यक समान होते हैं जब विविक्तक \(b^2-4ac=0\) हो। विकल्प A में \(36-4\times1\times9=0\) है। विकल्प B में विविक्तक 4 है, इसलिए उसके शून्यक अलग हैं। परीक्षा टिप: समान शून्यकों के लिए विविक्तक को शून्य जाँचें। / A quadratic \(ax^2+bx+c\) has equal zeroes when its discriminant \(b^2-4ac\) is zero. For option A, \(36-4\times1\times9=0\). Option B has discriminant 4, so its zeroes are distinct. Exam tip: check whether the discriminant is zero for equal zeroes.
\(4x^2-3x+6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है तथा \(x\) की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(x\) में द्विघात बहुपद है। \(x^3-2x+1\) की घात 3 है, इसलिए वह घन बहुपद है। \(5x+\frac{2}{x}\) में \(x^{-1}\) और \(\sqrt{x}+x\) में \(x^{1/2}\) आता है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, 3 जैसे ऋणेतर पूर्णांक होती है। / In \(4x^2-3x+6\), the highest power of \(x\) is 2, and every exponent of \(x\) is a non-negative integer. Hence, it is a quadratic polynomial in \(x\). \(x^3-2x+1\) has degree 3, so it is cubic. \(5x+\frac{2}{x}\) contains \(x^{-1}\), while \(\sqrt{x}+x\) contains \(x^{1/2}\); therefore, neither is a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as 0, 1, 2, or 3.
दो समान द्विपदों का गुणनफल, जैसे \((x+3)(x+3)=(x+3)^2\), पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है। दो वर्गों का अंतर \((a+b)(a-b)\) से बनता है, इसलिए वह समान गुणनखंडों वाला नहीं है। परीक्षा में समान दोनों गुणनखंड देखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / The product of identical binomials, such as \((x+3)(x+3)=(x+3)^2\), is a perfect-square trinomial. A difference of squares has factors \((a+b)(a-b)\), which are not identical. Exam tip: identical binomial factors signal a perfect square.
पूर्ण वर्ग \((px+q)^2\) को फैलाने पर \(p^2x^2+2pqx+q^2\) मिलता है। अतः \(a=p^2,\ b=2pq,\ c=q^2\), इसलिए \(b^2=4ac\)। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग जाँचें। / Expanding \((px+q)^2\) gives \(p^2x^2+2pqx+q^2\). Thus \(a=p^2\), \(b=2pq\), and \(c=q^2\), so \(b^2=4ac\). Exam tip: square the middle coefficient and compare it with \(4ac\).
\(9x^2-4=(3x)^2-2^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((3x-2)(3x+2)\) बनेगा। A और D पूर्ण वर्ग त्रिपद हैं। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के वर्ग पहचानें। / \(9x^2-4=(3x)^2-2^2\), so it is a difference of squares and factors as \((3x-2)(3x+2)\). A and D are perfect-square trinomials. Exam tip: first check whether both terms are squares.
\(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्येतर होने पर व्यंजक की उच्चतम घात 2 रहती है, इसलिए वह द्विघात है। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात का शून्येतर गुणांक देखें। / When \(a\ne0\), the highest power of \(x\) is 2, so the expression is quadratic. \(b\) and \(c\) may be zero; if \(a=0\), it becomes linear or constant. Exam tip: check the non-zero coefficient of the highest power first.
विकल्प A में \(9x^2=(3x)^2\) तथा \(16y^2=(4y)^2\) हैं। इन वर्गों का आवश्यक मध्य पद \(-2(3x)(4y)=-24xy\) है। अतः \(9x^2-24xy+16y^2=(3x-4y)^2\), इसलिए यह द्विपद का पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में अंतिम पद \(16y^2\) के स्थान पर \(12y^2\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं बनता। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर जाँचें कि मध्य पद \(\pm2ab\) के बराबर है या नहीं। / In option A, \(9x^2=(3x)^2\) and \(16y^2=(4y)^2\). The required middle term for these squares is \(-2(3x)(4y)=-24xy\). Hence, \(9x^2-24xy+16y^2=(3x-4y)^2\), so it is the perfect square of a binomial. In option B, the last term is \(12y^2\), not \(16y^2\), so it cannot form this perfect square. Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term equals \(\pm2ab\).
मानक रूप में \(x^2\) वाला पद पहले, फिर (x) वाला पद और फिर स्थिर पद आता है। परीक्षा में पदों को घात के घटते क्रम में रखें। / In standard form, the \(x^2\) term comes first, then the (x) term, then the constant term. In exams arrange terms in descending powers.
B. \(a\ne0\) होना आवश्यक है/\(a\ne0\) must be necessary
Explanation
Simple Explanation
द्विघात व्यंजक में \(x\) की उच्चतम घात 2 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\ne0\) होना चाहिए। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात का गुणांक जाँचें। / A quadratic expression must have degree 2, so the coefficient of \(x^2\), namely \(a\), must be non-zero. The coefficients \(b\) and \(c\) may be zero. Exam tip: check that the highest-power coefficient is non-zero first.
विकल्प B को सरल करने पर \((x+3)(x-3)+9=x^2-9+9=x^2\) प्राप्त होता है। इसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। विकल्प A और D क्रमशः 4 तथा 1 बन जाते हैं, जबकि विकल्प C, \(5x\) बनता है और रैखिक है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक की घात ज्ञात करने से पहले उसे पूरी तरह सरल करें। / On simplifying option B, \((x+3)(x-3)+9=x^2-9+9=x^2\). Its highest power is 2, so it is a quadratic expression. Options A and D simplify to 4 and 1 respectively, while option C simplifies to \(5x\), which is linear. Exam tip: simplify an expression completely before identifying its degree.
पहचान \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\) में मध्य पद कट जाता है। इसलिए \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\) है। \(x^2+18x+81\) पूर्ण वर्ग है, संयुग्म द्विपदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: विपरीत अचर पद हों तो \(x\) का मध्य पद शून्य होता है। / In \((x+p)(x-p)=x^2-p^2\), the middle terms cancel. Hence \(x^2-81=x^2-9^2=(x+9)(x-9)\). \(x^2+18x+81\) is a perfect square, not a product of conjugate binomials. Exam tip: opposite constants give a zero middle term.
\(3x^2\), \(xy\) और \(y^2\) के प्रत्येक पद की घात 2 है; जैसे \(xy\) की घात \(1+1=2\) होती है। इसलिए विकल्प A द्विघात है। विकल्प B के पदों की घात 3 है। परीक्षा टिप: पदों की घातें जोड़कर व्यंजक की घात पहचानें। / Every variable term in \(3x^2-2xy+y^2+5\) has total degree 2; for example, the degree of \(xy\) is \(1+1=2\). Hence A is quadratic. In B, each term has degree 3. Exam tip: add exponents in each term to identify its degree.
द्विघात के शून्यक \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) होते हैं। दो अलग वास्तविक शून्यक तभी मिलते हैं जब वर्गमूल के भीतर का मान धनात्मक हो, अर्थात \(b^2-4ac>0\)। \(=0\) होने पर दोनों शून्यक समान होते हैं। परीक्षा टिप: शून्यकों की प्रकृति के लिए पहले विवर्तक जाँचें। / The zeroes are \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Two distinct real zeroes require a positive quantity inside the square root, so \(b^2-4ac>0\). If it equals zero, the two zeroes coincide. Exam tip: check the discriminant first to identify the nature of zeroes.
A. p और q का योग 7 तथा गुणनफल 12 है/The sum of p and q is 7 and their product is 12
Explanation
Simple Explanation
(y-p)(y-q)=y-2-(p+q)y+pq
होता है। अतः
y-2-7y+12
से p+q=7 और pq=12 मिलते हैं। -7 लेने पर मध्य पद +7y बनता। परीक्षा में गुणनखंडों के चिन्ह विस्तार करके जाँचें। / (y-p)(y-q)=y-2-(p+q)y+pq
. Comparing it with
y-2-7y+12
gives p+q=7 and pq=12. A sum of -7 would produce +7y. Exam tip: expand the signs once to verify the middle term.
पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(a^2\pm2ab+b^2\) होता है। यहाँ \(9p^2=(3p)^2\) और \(16q^2=(4q)^2\) हैं तथा \(-2(3p)(4q)=-24pq\) है। अतः \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में अंतिम पद \(16q^2\) के स्थान पर \(15q^2\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2ab\) से जाँचें। / A perfect-square trinomial has the form \(a^2\pm2ab+b^2\). Here, \(9p^2=(3p)^2\) and \(16q^2=(4q)^2\), while \(-2(3p)(4q)=-24pq\). Therefore, \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), so option A is correct. In option B, the last term is \(15q^2\) instead of \(16q^2\), so it is not a perfect square. Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term equals \(\pm2ab\).
समान गुणनखंड (5) निकालने पर (5\(x^2-4x+4\)) मिलता है। परीक्षा में पहले समान गुणनखंड निकालें फिर पहचान लगाएं। / Taking common (5) gives (5\(x^2-4x+4\)). In exams first take the common factor and then apply identities.
वितरण गुण का प्रयोग करें: \((x-4)(x+2)=x(x+2)-4(x+2)=x^2+2x-4x-8=x^2-2x-8\)। अतः सही व्यंजक \(x^2-2x-8\) है। \(x^2+6x-8\) में \(-4x\) के ऋण चिह्न को गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: पहले चारों गुणनफल लिखें, फिर समान पदों को मिलाएँ। / Use the distributive property: \((x-4)(x+2)=x(x+2)-4(x+2)=x^2+2x-4x-8=x^2-2x-8\). Therefore, the correct expression is \(x^2-2x-8\). In \(x^2+6x-8\), the negative sign of \(-4x\) has been handled incorrectly. Exam tip: write all four products first, then combine like terms.
व्यंजक 3x² + 5x + 8 में x² और x के गुणांक 3 तथा 5 हैं। उनका योग 3 + 5 = 8 है, जो स्थिर पद है। विकल्प B में 2 + 7 = 9, 10 नहीं। परीक्षा में गुणांकों के चिन्ह सहित जोड़ें। / In 3x² + 5x + 8, the coefficients of x² and x are 3 and 5. Their sum is 3 + 5 = 8, which equals the constant term. In option B, 2 + 7 = 9, not 10. Exam tip: include signs while adding coefficients.
विकल्प A में \((x+1)(x-1)+1=x^2-1+1=x^2\) मिलता है, जिसकी उच्चतम घात 2 है; अतः यह द्विघात है। विकल्प B में पद कटकर 1 बचता है। परीक्षा में सरलीकरण के बाद उच्चतम घात देखें। / In option A, \((x+1)(x-1)+1=x^2-1+1=x^2\), whose highest power is 2, so it is quadratic. In option B, all variable terms cancel and only 1 remains. Exam tip: check the highest power after simplifying.
यहाँ \(4x^2=(2x)^2\) और \(9=3^2\) है। अतः \(4x^2-9=(2x)^2-3^2\) वर्गों का अंतर है। पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने पर \((2x-3)(2x+3)\) मिलता है। विकल्प \((2x-3)^2\) के प्रसार में \(-12x\) मध्य पद आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गों के अंतर का गुणनखंड करते समय दोनों पूर्ण वर्गों के वर्गमूल लेकर उनके योग और अंतर के गुणनखंड लिखें। / Here, \(4x^2=(2x)^2\) and \(9=3^2\). Therefore, \(4x^2-9=(2x)^2-3^2\) is a difference of squares. Applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) gives \((2x-3)(2x+3)\). Option \((2x-3)^2\) expands with a middle term \(-12x\), so it is not correct. Exam tip: for a difference of squares, take the square roots of both terms and write their difference and sum as factors.
द्विघात व्यंजक में \(x\) की उच्चतम घात 2 होनी चाहिए, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं हो सकता। यदि \(a=0\) हो, तो व्यंजक अधिकतम रैखिक रह जाएगा। परीक्षा टिप: उच्चतम घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / A quadratic expression must have highest power 2, so the coefficient \(a\) of \(x^2\) cannot be zero. If \(a=0\), the expression becomes at most linear. Exam tip: first check the coefficient of the highest-power term.
द्विघात व्यंजक का सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\), जहाँ \(a\ne0\), होता है। इसका ग्राफ परवलय होता है, जो \(a\) के चिह्न के अनुसार ऊपर या नीचे खुलता है। सीधी रेखा रैखिक व्यंजक का ग्राफ है। परीक्षा टिप: \(x^2\) पद दिखे तो परवलय पहचानें। / A quadratic expression has the form \(ax^2+bx+c\), where \(a\ne0\). Its graph is a parabola, opening upward or downward according to the sign of \(a\). A straight line represents a linear expression. Exam tip: an \(x^2\) term indicates a parabola.
\(4x^2-7x\) में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात है; इसका अचर पद 0 है। \(4x^2-7\) का अचर पद −7 है। परीक्षा टिप: अचर पद वह पद है जिसमें x नहीं होता। / In \(4x^2-7x\), the highest power of x is 2, so it is quadratic, and its constant term is 0. \(4x^2-7\) has constant term −7. Exam tip: the constant term contains no x.
द्विघात व्यंजक में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(a\ne0\) आवश्यक है। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात का गुणांक जाँचें। / A quadratic expression must retain an \(x^2\) term, so its coefficient must satisfy \(a\ne0\). The coefficients \(b\) and \(c\) may be zero. Exam tip: check the coefficient of the highest power first.
\(x^2-16\) में दो पद हैं और अधिकतम घात (2) है। परीक्षा में द्विपद और द्विघात दोनों शर्तें जांचें। / \(x^2-16\) has two terms and highest power (2). Exam tip: check both binomial and quadratic conditions.
क्षेत्रफल = \((x+5)(x-2)\)। गुणा करने पर \(x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10\) मिलता है। विकल्प D में स्थिर पद का चिह्न गलत है। परीक्षा में मध्य पदों को जोड़ने से पहले उनके चिह्न अवश्य जाँचें। / Area = \((x+5)(x-2)\). Expanding gives \(x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10\). Option D has the wrong sign for the constant term. Exam tip: track signs carefully while multiplying binomials.
\(7p^2-4p+1\) में \(p\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। विकल्प B घन है और C रैखिक है। परीक्षा में सबसे बड़ी घात देखकर वर्गीकरण करें। / In \(7p^2-4p+1\), the highest power of \(p\) is 2, so it is quadratic. Option B is cubic and option C is linear. Exam tip: classify a polynomial by its highest exponent.
\((x+a)^2\) को विस्तार करने पर \(x^2+2ax+a^2\) मिलता है, इसलिए यह उसी का पूर्ण वर्ग रूप है। \((x-a)^2\) में मध्य पद \(-2ax\) होता है। परीक्षा टिप: मध्य पद का चिह्न देखकर वर्ग पहचानें। / Expanding \((x+a)^2\) gives \(x^2+2ax+a^2\), so it is the required perfect-square form. In \((x-a)^2\), the middle term is \(-2ax\). Exam tip: use the sign of the middle term to identify the square.
A. इसमें \(x\) की उच्चतम घात 2 है/The highest power of \(x\) is 2
Explanation
Simple Explanation
द्विघात व्यंजक में चर की उच्चतम घात 2 होती है। यहाँ पद \(5x^2\) की घात 2 है, इसलिए यह द्विघात है। स्थिर पद या पदों की संख्या से घात तय नहीं होती। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात देखें। / A quadratic expression has degree 2. Here, the term \(5x^2\) gives the highest power of \(x\) as 2, so it is quadratic. The constant term and number of terms do not decide the degree. Exam tip: check the highest exponent.
द्विघात व्यंजक में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है और \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होता। \(x^3+x^2+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात व्यंजक है, द्विघात नहीं। अन्य तीनों व्यंजकों की सबसे बड़ी घात 2 है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए उसके सरल रूप में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A quadratic expression has highest power 2, with a non-zero coefficient of \(x^2\). In \(x^3+x^2+1\), the highest power of \(x\) is 3, so it is a cubic expression, not a quadratic one. Each of the other expressions has highest power 2. Exam tip: to find the degree of a polynomial, check the highest power of the variable after simplification.
विकल्प A में \(y\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। B घन व्यंजक और C रैखिक व्यंजक है; D में चर हर में है। परीक्षा टिप: चर की उच्चतम घात देखकर व्यंजक की कोटि पहचानें। / In option A, the highest power of \(y\) is 2, so it is quadratic. B is cubic and C is linear, while D has the variable in the denominator. Exam tip: identify an expression’s degree by checking the highest power of the variable.
द्विघात व्यंजक में x की उच्चतम घात 2 होनी चाहिए, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए। यदि \(a=0\), तो व्यंजक अधिकतम रैखिक रह जाएगा। परीक्षा टिप: उच्चतम घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / A quadratic expression must have highest power 2, so the coefficient of \(x^2\), namely \(a\), cannot be zero. If \(a=0\), the expression becomes at most linear. Exam tip: first check the coefficient of the highest-power term.
समान रैखिक गुणनखंड, जैसे \((x-3)(x-3)=(x-3)^2\), एक दोहरा मूल देते हैं। इसलिए परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है, काटता नहीं। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड दिखें तो दोहरा मूल पहचानें। / Identical linear factors, such as \((x-3)(x-3)=(x-3)^2\), give a repeated root. Hence the parabola touches the x-axis at one point rather than crossing it. Exam tip: equal factors indicate a double root.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए इसके दोनों रैखिक गुणक समान हैं। \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) में गुणक अलग हैं। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाइए। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so both linear factors are identical. In contrast, \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\) has different factors. Exam tip: compare the middle term with \(2ab\).
द्विघात व्यंजक में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(a\ne0\) आवश्यक है। \(a=0\) होने पर उच्चतम घात अधिकतम 1 रह जाती है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात का गुणांक पहले जाँचें। / In a quadratic expression, the coefficient of \(x^2\) must be non-zero; hence \(a\ne0\). If \(a=0\), the highest possible power is 1, making it linear. Exam tip: always check the coefficient of the highest power first.
\(x^2-5x+6\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 है और यह \(x\) का बहुपद है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। \(4x-9\) रैखिक व्यंजक है, \(2x^3+x\) घन व्यंजक है, जबकि \(\frac{3}{x}+2\) में \(x\) हर में है, इसलिए वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: द्विघात बहुपद में चर की उच्चतम घात 2 होती है। / In \(x^2-5x+6\), the highest power of \(x\) is 2, and it is a polynomial in \(x\); therefore, it is a quadratic expression. \(4x-9\) is linear, \(2x^3+x\) is cubic, and \(\frac{3}{x}+2\) is not a polynomial because \(x\) occurs in the denominator. Exam tip: a quadratic polynomial has highest exponent 2.
द्विघात व्यंजक में \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(a\ne0\) आवश्यक है। यदि \(a=0\) हो, तो उच्चतम घात अधिकतम 1 रह जाती है। परीक्षा टिप: व्यंजक की उच्चतम घात पहले देखें। / In a quadratic expression, the coefficient of \(x^2\) must be non-zero, so \(a\ne0\) is necessary. If \(a=0\), the highest possible power becomes 1. Exam tip: first identify the highest power with a non-zero coefficient.
द्विघात व्यंजक में चर की उच्चतम घात 2 होती है और उसका गुणांक शून्य नहीं होता। विकल्प B, 2x-2 - 3x + 1 में x की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। विकल्प A रैखिक है, जबकि विकल्प C घन व्यंजक है; विकल्प D अचर व्यंजक है। परीक्षा टिप: व्यंजक की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A quadratic expression has degree 2, meaning that the highest power of its variable is 2 with a non-zero coefficient. In option B, 2x-2 - 3x + 1, the highest power of x is 2, so it is quadratic. Option A is linear, option C is cubic, and option D is a constant expression. Exam tip: determine an expression’s degree by identifying the highest exponent of the variable.
एक चर में द्विघात व्यंजक में केवल एक चर होता है और उस चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है। 3x² - 5x + 2 में केवल x है तथा उसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात व्यंजक है। x³ + x की घात 3 है, इसलिए वह घन व्यंजक है; जबकि x + y² में दो चर हैं। परीक्षा टिप: पहले चर की संख्या जाँचें, फिर उच्चतम घात देखें। / A quadratic expression in one variable contains only one variable, with highest exponent 2. In 3x² - 5x + 2, x is the only variable and its highest power is 2, so it is quadratic. x³ + x is cubic because its degree is 3, while x + y² has two variables. Exam tip: first check the number of variables, then identify the highest exponent.
\(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), इसलिए इसके गुणक संयुग्मी हैं। विकल्प C और D पूर्ण वर्ग हैं, जबकि \(x^2+49\) अंतर-वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2\) में मध्य पद नहीं होता। / \(x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)\), so its factors are conjugates. Options C and D are perfect squares, while \(x^2+49\) is not a difference of squares. Exam tip: \(a^2-b^2\) has no middle term.
पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) होता है। विकल्प A में \(36=6^2\) और मध्य पद \(12x=2\times 6\times x\) है। अतः \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। विकल्प D में स्थिर पद \(36\) है, पर \(6^2\) के लिए मध्य पद \(12x\) होना चाहिए, \(6x\) नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर उसके दोगुने को मध्य पद के गुणांक से मिलाइए। / A perfect-square trinomial has the form \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\). In option A, \(36=6^2\) and the middle term is \(12x=2\times 6\times x\). Therefore, \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Option D has the constant term \(36\), but a square ending in \(6^2\) must have middle term \(12x\), not \(6x\). Exam tip: take the square root of the constant term and compare twice that value with the coefficient of the middle term.
\(x^2+10x+25\) में \(x^2=x^2\), \(25=5^2\) तथा मध्य पद \(10x=2\times x\times5\) है। अतः यह पहचान \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) के अनुसार \((x+5)^2\) है। विकल्प B में मध्य पद तो \(10x\) है, लेकिन अंतिम पद \(25\) के स्थान पर \(20\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग जाँचने के लिए अंतिम पद के वर्गमूल का दोगुना लेकर उसे \(x\) के गुणांक से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), we have \(x^2=x^2\), \(25=5^2\), and the middle term \(10x=2\times x\times5\). Therefore, using \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), it becomes \((x+5)^2\). In option B, the middle term is \(10x\), but the constant term is \(20\) instead of \(25\), so it is not a perfect-square trinomial. Exam tip: for a perfect square, compare the middle coefficient with twice the square root of the constant term.
द्विघात व्यंजक में x की उच्चतम घात 2 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए। \(a=0\) होने पर व्यंजक रैखिक या अचर बन जाता है। परीक्षा में उच्चतम घात पहले जाँचें। / A quadratic expression must have highest power 2, so the coefficient \(a\) of \(x^2\) cannot be zero. If \(a=0\), it becomes linear or constant. Exam tip: check the highest non-zero power first.
द्विघात व्यंजक में चर की अधिकतम घात (2) होती है। परीक्षा में सबसे बड़ी घात देखकर पहचान करें। / A quadratic expression has the highest power (2). Exam tip: identify it by checking the highest power.
\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) में \(p=2a\) और \(q=a^2\) होते हैं। अतः \(p^2=(2a)^2=4a^2=4q\)। परीक्षा में मध्य पद के गुणांक का वर्ग लेकर उसे \(4q\) से मिलाइए। / In \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\), we have \(p=2a\) and \(q=a^2\). Hence \(p^2=(2a)^2=4a^2=4q\). In exams, square the middle coefficient and compare it with \(4q\).
\(x^2-49=x^2-7^2\) दो वर्गों का अंतर है, इसलिए \((x+7)(x-7)\) होगा। विकल्प C और D पूर्ण-वर्ग त्रिपद हैं। परीक्षा टिप: बीच में \(x\) वाला पद न हो तो वर्गों का अंतर जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\) is a difference of two squares, so it factorises as \((x+7)(x-7)\). Options C and D are perfect-square trinomials. Exam tip: first check for a missing middle \(x\)-term.
\(x^2-6x+9\) में पहला और अंतिम पद \(x^2\) तथा \(3^2\) हैं, और मध्य पद \(-2\times x\times3=-6x\) है। इसलिए \(x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2\)। विकल्प A के गुणनखंड अलग हैं। परीक्षा टिप: समान गुणनखंडों के लिए मध्य पद \(\pm2ab\) जाँचें। / In \(x^2-6x+9\), the first and last terms are \(x^2\) and \(3^2\), while the middle term is \(-2\times x\times3=-6x\). Hence \(x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2\). Option A has unequal factors. Exam tip: check whether the middle term is \(\pm2ab\).
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\) है, जहाँ \(a\ne0\) होना आवश्यक है। यदि \(a=0\), तो उच्चतम घात अधिकतम 1 रह जाती है; \(b\ne0\) पर रैखिक और \(b=0\) पर स्थिर बहुपद मिलता है। परीक्षा टिप: घात तय करने से पहले अग्रणी गुणांक जाँचें। / A quadratic polynomial has the form \(ax^2+bx+c\), where \(a\ne0\). If \(a=0\), the highest possible power is 1: it is linear when \(b\ne0\) and constant when \(b=0\). Exam tip: check the leading non-zero coefficient before identifying the degree.
द्विघात बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 होनी चाहिए, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं हो सकता। \(c=0\) होने पर भी बहुपद द्विघात हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात देखें। / A quadratic polynomial must have highest power 2, so the coefficient of \(x^2\), namely \(a\), cannot be zero. \(c=0\) does not prevent it from being quadratic. Exam tip: check the highest non-zero power first.
A. यदि \(a=0\) हो, तो \(x^2\) वाला पद हट जाता है और व्यंजक द्विघात नहीं रहता।/If \(a=0\), the \(x^2\) term disappears and the expression is no longer quadratic.
Explanation
Simple Explanation
द्विघात व्यंजक की उच्चतम घात 2 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए। \(a=0\) होने पर घात अधिकतम 1 रह जाती है। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। परीक्षा में पहले \(x^2\) का गुणांक जाँचें। / A quadratic expression must have degree 2, so the coefficient \(a\) of \(x^2\) cannot be zero. If \(a=0\), its degree becomes at most 1. Unlike \(a\), \(b\) and \(c\) may be zero. Exam tip: check the highest-power term first.
द्विघात व्यंजक में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 होनी चाहिए, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं हो सकता। \(b\) या \(c\) शून्य हो सकते हैं। यदि \(a=0\) और \(b\ne0\) हो, तो व्यंजक रैखिक बन जाता है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी गैर-शून्य घात देखकर वर्गीकरण करें। / A quadratic expression must have highest power of \(x\) equal to 2, so the coefficient \(a\) of \(x^2\) cannot be zero. Values of \(b\) and \(c\) may be zero. If \(a=0\) and \(b\ne0\), the expression is linear. Exam tip: classify an expression by its highest non-zero power.
\(x^2+4x+4\) में तीन पद हैं: \(x^2\), \(4x\) और \(4\)। इसकी सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात त्रिपद है। \(x^3+x+1\) में तीन पद हैं, लेकिन इसकी घात 3 है, इसलिए वह घन त्रिपद है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या गिनें, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / \(x^2+4x+4\) has three terms: \(x^2\), \(4x\), and \(4\). Its highest power is 2, so it is a quadratic trinomial. \(x^3+x+1\) also has three terms, but its degree is 3, making it a cubic trinomial. Exam tip: count the terms first, then check the highest power of the variable.
\(x^2-9\) एक द्विपद है, क्योंकि इसमें दो पद हैं: \(x^2\) और \(-9\)। इसकी सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात अभिव्यक्ति है। \(x^2+3x+2\) द्विघात तो है, पर उसमें तीन पद हैं, इसलिए वह त्रिपद है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या गिनें, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / \(x^2-9\) is a binomial because it has two terms: \(x^2\) and \(-9\). Its highest power is 2, so it is a quadratic expression. \(x^2+3x+2\) is quadratic, but it has three terms and is therefore a trinomial. Exam tip: first count the terms, then check the highest power.
\(7x^2\) एक द्विघात एकपद है, क्योंकि इसमें केवल एक पद है और चर \(x\) की घात 2 है। \(x^2+7\) द्विपद है तथा \(x^2+7x+1\) त्रिपद है; इनमें अधिक पद हैं। परीक्षा टिप: एकपद पहचानने के लिए पहले पदों की संख्या गिनें, फिर उसकी घात जाँचें। / \(7x^2\) is a quadratic monomial because it has only one term and the exponent of \(x\) is 2. \(x^2+7\) is a binomial, while \(x^2+7x+1\) is a trinomial, so neither is a monomial. Exam tip: first count the terms, then check the degree.
\(x^3+x+1\) में सबसे बड़ी घात (3) है। परीक्षा में द्विघात के लिए सबसे बड़ी घात (2) होनी चाहिए। / The highest power in \(x^3+x+1\) is (3). Exam tip: for a quadratic, the highest power must be (2).
यह दो चरों वाला पूर्ण वर्ग त्रिपद है। परीक्षा में (2xy) को बीच का दोगुना गुणन मानें। / This is a perfect square trinomial in two variables. Exam tip: treat (2xy) as the middle double product.
