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शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
शेष योग \(18^2-10^2=224\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का उपयोग करें। / The remaining sum is \(18^2-10^2=224\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
\(\frac{3}{8}\) परिमेय है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्या \(0,1,2,\ldots\) होती हैं। / \(\frac{3}{8}\) is rational but not a whole number. Whole numbers are \(0,1,2,\ldots\).
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए \(60^2=3600\)। परीक्षा में यह परिणाम सीधे याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(60^2=3600\). Exam tip: remember this result directly.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए (n=24)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(1,3,5,\ldots\) भी मान सकते हैं। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so (n=24). Exam tip: you can also treat it as the AP \(1,3,5,\ldots\).
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(25^2=625\)। यह परिणाम तेज गणना में उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(25^2=625\). This result is useful for quick calculation.
विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। / An odd integer can be written as (2k+1).
Step 2
Why this answer is correct
उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। / Its square becomes \(4k^2+4k+1\), which is odd.
Step 3
Exam Tip
यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है। / This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof.
विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain the prime (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। / Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें। / When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero.
संख्याएँ \(117,135,\ldots,999\) हैं और (50) पदों का योग (27900) है। विषम गुणजों में अंतर (18) होगा। / The numbers are \(117,135,\ldots,999\), and the sum of (50) terms is (27900). For odd multiples, the common difference is (18).
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=1570) से (x=27) मिलता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1570), (x=27).
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=650) से (x=17) मिलता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=650), (x=17).
(x(x+2)=399) से (x=19), इसलिए बड़ी संख्या (21) है। ऐसे प्रश्नों में (x+2) का प्रयोग करें। / (x(x+2)=399) gives (x=19), so the larger number is (21). In such questions, use (x+2).
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं, इसलिए (x(x+2)=255) से (x=15) है। विषम लगातार संख्याओं में अंतर (2) होता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2), so (x(x+2)=255) gives (x=15). Consecutive odd numbers differ by (2).
(x(x+2)=195) से (x=13), इसलिए बड़ी संख्या (15) है। विषम संख्याओं के लिए (x) और (x+2) सही रूप है। / (x(x+2)=195) gives (x=13), so the larger number is (15). For odd numbers, (x) and (x+2) is the correct form.
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) होंगी, इसलिए (x(x+2)=143) से (x=11) मिलता है। विषम लगातार संख्याओं में अंतर (2) होता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2), so (x(x+2)=143) gives (x=11). Consecutive odd numbers differ by (2).
2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। / When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। / An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है। / For even-odd questions, take 2 as the divisor.
विषम घातों \(x^5\), \(x^3\) और (x) के गुणांक (-5), (4) और (1) हैं। उनका योग (0) है। / The coefficients of odd powers \(x^5\), \(x^3\), and (x) are (-5), (4), and (1). Their sum is (0).
विषम घातों \(x^5\), \(x^3\) और (x) के गुणांक (5), (2) और (-1) हैं। उनका योग (6) है। / The coefficients of odd powers \(x^5\), \(x^3\), and (x) are (5), (2), and (-1). Their sum is (6).
विषम घात वाला केवल (2x) पद है, इसलिए योग (2) है। \(x^0\) को विषम घात न मानें। / The only odd-power term is (2x), so the sum is (2). Do not treat \(x^0\) as an odd power.
संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x(x+2)=483) से (x=21) मिलता है इसलिए बड़ी संख्या (23) है। / The integers are (x) and (x+2). From (x(x+2)=483), (x=21), so the larger integer is (23).
छोटा विषम पूर्णांक (x) हो, तो (x-2+(x+2)2=394)। इससे \(x^2+2x-195=0\), इसलिए (x=13)। / Let the smaller odd integer be (x), then (x-2+(x+2)2=394). This gives \(x^2+2x-195=0\), so (x=13).
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=399)। \(19\times21=399\), इसलिए छोटा पूर्णांक (19) है। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=399). Since \(19\times21=399\), the smaller integer is (19).
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=195)। (x=13) सही है क्योंकि \(13\times15=195\)। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=195). (x=13) is correct because \(13\times15=195\).
A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a whole number is not always rational
Step 1
Concept
(5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। / (5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं माना जा सकता। / Since (5) is not the square of an integer, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें। / In exams, distinguish a number from its square root.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=625\) और (n=25)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=625\) and (n=25). Recognizing perfect squares is useful.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=441\) और (n=21)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=441\) and (n=21). Recognizing perfect squares is useful.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(16^2=256\)। यह सूत्र याद रखने योग्य है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(16^2=256\). This formula is worth remembering.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(13^2=169\)। विषम संख्याओं के लिए यह पैटर्न याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(13^2=169\). Remember this pattern for odd numbers.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(15^2=225\)। यह छोटा सूत्र परीक्षा में समय बचाता है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(15^2=225\). This short formula saves time in exams.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(12^2=144\)। यह पैटर्न जल्दी उत्तर देता है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(12^2=144\). This pattern gives a quick answer.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(18^2=324\)। यह एक तेज परीक्षा सूत्र है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(18^2=324\). This is a quick exam formula.
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। / The square root of a perfect square is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। / (9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
(0.125) सांत है और \(\sqrt{169}=13\) है। पहले विकल्प की सभी संख्याएँ परिमेय हैं। / (0.125) is terminating and \(\sqrt{169}=13\). All numbers in the first option are rational.
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। / (14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें। / In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। / (15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें। / For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square.
A. मुख्य और गौण भाग में अंतर कम हो सकता है/Difference between main and secondary parts may reduce
Explanation
Simple Explanation
समान रेखा भार से प्रमुखता कम हो सकती है। परीक्षा में मुख्य भाग के लिए अलग रेखा भार रखें। / Equal line weight can reduce emphasis. In exams keep different line weight for the main area.
A. रेडियल व्यवस्था का जोर कम होगा/Emphasis of radial arrangement will reduce
Explanation
Simple Explanation
रेडियल संतुलन केंद्र से संचालित होता है। परीक्षा में radial design में centre strength देखें। / Radial balance is driven by the centre. Exam tip: observe centre strength in radial design.
A. प्रतिनिधित्व का असंतोष पूर्ण स्वराज का लक्ष्य और नमक प्रतीक मिलकर सविनय अवज्ञा की राह बने/Dissatisfaction over representation the goal of complete independence and the salt symbol together prepared the path of Civil Disobedience
Step 1
Concept
साइमन आयोग के विरोध ने राष्ट्रीय असंतोष को तेज किया। / Protest against the Simon Commission intensified national dissatisfaction.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण स्वराज ने लक्ष्य दिया और नमक ने जनता को जोड़ा। / Complete independence gave the goal and salt connected the people.
Step 3
Exam Tip
निष्कर्ष में पृष्ठभूमि लक्ष्य प्रतीक और जन कार्रवाई साथ लिखें। / In conclusion write background goal symbol and mass action together.
A. प्रतिनिधित्व का असंतोष पूर्ण स्वराज का लक्ष्य और नमक प्रतीक मिलकर सविनय अवज्ञा की राह बने/Dissatisfaction over representation the goal of complete independence and the salt symbol together prepared the path of Civil Disobedience
Step 1
Concept
साइमन आयोग के विरोध ने राष्ट्रीय असंतोष को तेज किया। / Protest against the Simon Commission intensified national dissatisfaction.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण स्वराज ने लक्ष्य दिया और नमक ने जनता को जोड़ा। / Complete independence gave the goal and salt connected the people.
Step 3
Exam Tip
निष्कर्ष में पृष्ठभूमि लक्ष्य प्रतीक और जन कार्रवाई साथ लिखें। / In conclusion write background goal symbol and mass action together.
A. प्रतिनिधित्व के असंतोष पूर्ण स्वराज के लक्ष्य और नमक प्रतीक ने सविनय अवज्ञा को जन्म दिया/Dissatisfaction over representation the goal of complete independence and the salt symbol gave birth to Civil Disobedience
Step 1
Concept
साइमन आयोग के विरोध ने राष्ट्रीय असंतोष को तेज किया। / Protest against the Simon Commission intensified national dissatisfaction.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण स्वराज ने लक्ष्य दिया और नमक ने जनता को जोड़ा। / Complete independence gave the goal and salt connected the people.
Step 3
Exam Tip
निष्कर्ष में पृष्ठभूमि लक्ष्य प्रतीक और जन कार्रवाई साथ लिखें। / In conclusion write background goal symbol and mass action together.
A. अवध किसान लगान बेगार गुडेम आदिवासी वन अधिकार असम मजदूर घर वापसी की जोड़ी बनाना/Making pairs of Awadh peasants rent forced labour Gudem tribals forest rights and Assam workers return home
Step 1
Concept
इस उपविषय में तीन प्रमुख सामाजिक उदाहरण हैं। / This subtopic has three major social examples.
Step 2
Why this answer is correct
हर उदाहरण को उसके क्षेत्र समूह और मुख्य मुद्दे से जोड़ें। / Connect each example with its region group and main issue.
Step 3
Exam Tip
याद रखने के लिए छोटी जोड़ी बनाएं और स्वराज अर्थ भी जोड़ें। / Make short pairs for memory and add the meaning of swaraj too.
A. भारतीय राष्ट्रवाद स्थानीय पीड़ाओं और साझा स्वराज कल्पना के मेल से जन आंदोलन बना/Indian nationalism became a mass movement through the meeting of local sufferings and shared imagination of swaraj
Step 1
Concept
किसान आदिवासी और मजदूर अपनी अलग पीड़ाओं के साथ जुड़े। / Peasants tribals and workers joined with their different sufferings.
Step 2
Why this answer is correct
स्वराज की साझा आशा ने उन्हें बड़े आंदोलन से जोड़ा। / The shared hope of swaraj connected them with the larger movement.
Step 3
Exam Tip
अंतिम उत्तर में स्थानीयता विविधता और जन भागीदारी तीनों लिखें। / In the final answer write local context diversity and mass participation together.
A. प्रजनन जाति को बनाए रखता है और विविधता बदलते वातावरण में सहायक हो सकती है/Reproduction maintains species and variation can help in changing environments
Step 1
Concept
प्रजनन से नए जीव बनते हैं और जाति बनी रहती है। / Reproduction forms new organisms and maintains the species.
Step 2
Why this answer is correct
आनुवंशिक सूचना संतान तक पहुंचती है। / Genetic information passes to offspring.
Step 3
Exam Tip
विशेषकर लैंगिक प्रजनन में विविधता बनती है जो अनुकूलन में सहायक हो सकती है। / Especially in sexual reproduction variation forms and can help adaptation.
A. वे कोशिकाओं को पदार्थ और ऊर्जा देकर अपशिष्ट हटाने की संगठित व्यवस्था हैं/They are an organized system that gives materials and energy to cells and removes wastes
Step 1
Concept
जीवन प्रक्रियाएं केवल अलग अलग नाम नहीं हैं। / Life processes are not just separate names.
Step 2
Why this answer is correct
ये कोशिकाओं को पोषण ऑक्सीजन और ऊर्जा उपलब्ध कराती हैं। / They provide nutrition oxygen and energy to cells.
Step 3
Exam Tip
ये अपशिष्ट हटाकर शरीर को संतुलित रखती हैं। / They remove wastes and maintain body balance.
A. जीन लक्षणों को नियंत्रित करते हैं विविधता चयन का आधार देती है और पीढ़ियों में विकास होता है/Genes control traits variation gives the basis for selection and evolution occurs across generations
Step 1
Concept
जीन और गुणसूत्र लक्षणों की आनुवंशिक सूचना रखते हैं। / Genes and chromosomes carry hereditary information for traits.
Step 2
Why this answer is correct
विविधता जीवों में अंतर बनाती है जिस पर चयन या संयोग काम कर सकते हैं। / Variation creates differences on which selection or chance can act.
Step 3
Exam Tip
कई पीढ़ियों में ऐसे बदलाव क्रमिक विकास का रूप लेते हैं। / Across many generations such changes take the form of evolution.
A. आनुवंशिक सूचना लक्षण बनाती है विविधता चयन को आधार देती है और लंबे समय में विकास होता है/Genetic information forms traits variation gives basis for selection and evolution occurs over long time
Step 1
Concept
जीन और गुणसूत्र लक्षणों की आनुवंशिक सूचना रखते हैं। / Genes and chromosomes carry hereditary information for traits.
Step 2
Why this answer is correct
विविधता के कारण जीवों में अंतर बनता है जिस पर चयन काम कर सकता है। / Variation creates differences on which selection can act.
Step 3
Exam Tip
कई पीढ़ियों में ऐसे बदलाव क्रमिक विकास से जुड़ते हैं। / Across many generations such changes are linked with evolution.
A. वे अधूरे प्रमाण हो सकते हैं पर पुराने जीवन और क्रमिक बदलावों की झलक देते हैं/They may be incomplete evidence but show ancient life and gradual changes
Step 1
Concept
सभी पुराने जीव जीवाश्म नहीं बनते। / All ancient organisms do not become fossils.
Step 2
Why this answer is correct
फिर भी मिले हुए जीवाश्म पुराने जीवन की जानकारी देते हैं। / Still the fossils found give information about ancient life.
Step 3
Exam Tip
अलग परतों से बदलावों का क्रम समझा जा सकता है। / Different layers can help understand the order of changes.
A. क्योंकि पहचान संदेश विश्लेषण और प्रतिक्रिया सभी एक श्रृंखला की तरह जुड़े हैं/Because detection message interpretation and response are linked like a chain
Step 1
Concept
पहले उत्तेजना पहचानी जाती है। / First stimulus is detected.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संदेश का विश्लेषण और आदेश बनता है। / Then the message is interpreted and command is formed.
Step 3
Exam Tip
अंत में प्रभावक प्रतिक्रिया देता है इसलिए किसी भी कड़ी की गलती पूरी क्रिया बदल सकती है। / Finally effector responds so error in any link can change the whole action.
A. क्योंकि केवल लक्ष्य अंगों में उन हार्मोन के प्रति प्रतिक्रिया की क्षमता होती है/Because only target organs have the ability to respond to those hormones
Step 1
Concept
हार्मोन रक्त द्वारा कई जगह पहुंच सकते हैं। / Hormones can reach many places through blood.
Step 2
Why this answer is correct
पर सभी कोशिकाएं हर हार्मोन पर प्रतिक्रिया नहीं देतीं। / But all cells do not respond to every hormone.
Step 3
Exam Tip
प्रतिक्रिया करने वाले विशेष अंग लक्ष्य अंग कहलाते हैं। / Specific responding organs are called target organs.
A. युद्धकालीन संकट दमनकारी कानून और एकता की राजनीति ने असहयोग को जन्म दिया/Wartime crisis repressive law and politics of unity produced Non-Cooperation
Step 1
Concept
प्रथम विश्वयुद्ध ने आर्थिक और सामाजिक संकट बढ़ाया। / The First World War increased economic and social crisis.
Step 2
Why this answer is correct
रौलेट अधिनियम और जलियाँवाला बाग ने दमन की प्रकृति दिखाई। / The Rowlatt Act and Jallianwala Bagh revealed repression.
Step 3
Exam Tip
खिलाफत और स्वराज की राजनीति ने असहयोग को व्यापक रूप दिया। / Khilafat and swaraj politics gave Non-Cooperation a broad form.
A. यदि संख्या विषम होती, तो उसका वर्ग विषम होता; पर वर्ग सम है, इसलिए संख्या सम है/If the number were odd, its square would be odd; but the square is even, so the number is even
Step 1
Concept
विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
जब वर्ग सम मिला, तो मूल संख्या विषम नहीं हो सकती। / When the square is even, the original number cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस विचार से (p) और (q) दोनों के सम होने का प्रमाण बनता है। / This idea proves both (p) and (q) even.
(2) से भाग देने पर शेषफल (1) हो तो संख्या (2q+1) के रूप में होती है। / If division by (2) leaves remainder (1), the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्या विषम होती है। / Such a number is odd.
Step 3
Exam Tip
हर विषम संख्या अभाज्य या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए जल्दी निष्कर्ष न निकालें। / Not every odd number is prime or a perfect square, so avoid quick assumptions.
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है/\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Explanation
Simple Explanation
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें। / \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(-\frac{p}{q}\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय मानना पड़ेगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि को पहचानें। / Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है; सही परिमेय विकल्प नहीं दिखता, अतः ध्यान दें कि \(\sqrt{7}\sqrt{14}=7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। / Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The sum can be rational or irrational
Explanation
Simple Explanation
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है पर \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए एक ही स्थायी नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
पहले विकल्प में कोई भी संख्या पूर्ण वर्ग की जड़ नहीं है। इसलिए सभी अपरिमेय हैं। / In the first option none is the root of a perfect square. So all are irrational.
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{12}\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग और परिमेय संख्या वाले विकल्प हटाएँ। / \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
पहले समूह की सभी संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखी जा सकती हैं। बाकी समूहों में अपरिमेय संख्या है। / All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है। लेकिन परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता। / The product of two rational numbers is rational. But the result is not always an integer.
दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। इसे परिमेय संख्याओं की बंदता कहा जाता है। / The sum of two rational numbers is rational. This is called closure of rational numbers.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
