कोष्ठक खोलने पर \(5(2x-3)=10x-15\) और \(-3(3x+1)=-9x-3\) मिलता है। अतः \(10x-15-9x-3=x-18\)। इसलिए सही बहुपद \(x-18\) है। \(10x-18\) में \(-9x\) को मिलाना छूट गया है। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न के साथ कोष्ठक खोलते समय प्रत्येक पद का चिह्न अवश्य बदलें। / On opening the brackets, \(5(2x-3)=10x-15\) and \(-3(3x+1)=-9x-3\). Therefore, \(10x-15-9x-3=x-18\). Hence, the correct polynomial is \(x-18\). In \(10x-18\), the \(-9x\) term has not been combined. Exam tip: When opening a bracket preceded by a negative sign, change the sign of every term inside it.
रेखीय बहुपद में x का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। विकल्प A में गुणांक \(p^2+1\) सदैव धनात्मक है, इसलिए कभी शून्य नहीं होगा। विकल्प B में \(p=0\) या \(1\) रखने पर गुणांक शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले गुणांक के शून्य होने की जाँच करें। / For a polynomial to be linear in x, the coefficient of x must never be zero. In option A, \(p^2+1>0\) for every real p, so it always has degree 1. In option B, the coefficient becomes zero at \(p=0\) or \(1\). Exam tip: always test whether a parameter-dependent coefficient can vanish.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। अतः \(p(-3)=0\) रखने पर \((k-2)(-3)+9=0\) मिलता है। इसलिए \(-3k+6+9=0\), अर्थात \(-3k+15=0\), जिससे \(k=5\) प्राप्त होता है। \(k=2\) रखने पर बहुपद का स्थिरांक 9 रह जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिए होने पर उसे सीधे \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को 0 के बराबर करें। / A zero of a polynomial is a value for which the polynomial becomes 0. So, put \(p(-3)=0\): \((k-2)(-3)+9=0\). This gives \(-3k+6+9=0\), or \(-3k+15=0\), hence \(k=5\). If \(k=2\), the polynomial reduces to the constant 9, so it cannot have \(-3\) as a zero. Exam tip: When a zero is given, substitute it for \(x\) and equate the polynomial to 0.
\(2p(x)-3q(x)=2(3x-2)-3(x+5)\) होगा। विस्तार करने पर \(6x-4-3x-15=3x-19\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(3x-19\) है। \(x-19\) में \(6x-3x\) को गलत तरीके से \(x\) माना गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / \(2p(x)-3q(x)=2(3x-2)-3(x+5)\). On expanding, \(6x-4-3x-15=3x-19\). Hence, the correct expression is \(3x-19\). The option \(x-19\) results from incorrectly simplifying \(6x-3x\) as \(x\). Exam tip: When a minus sign occurs before brackets, apply it to every term inside the bracket.
यदि \(x=4\) बहुपद का शून्यक है, तो \((2m-5)x+10\) में \(x=4\) रखने पर मान शून्य होना चाहिए। अतः \(4(2m-5)+10=0\)। सरल करने पर \(8m-20+10=0\), अर्थात \(8m=10\), इसलिए \(m=\frac{5}{4}\)। \(m=\frac{5}{2}\) रखने पर \(x\) का गुणांक शून्य हो जाता है और व्यंजक \(10\) बनता है, जिसका कोई शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान शून्य करें। / If \(x=4\) is a zero, substituting \(x=4\) in \((2m-5)x+10\) must give zero. Thus, \(4(2m-5)+10=0\). On simplifying, \(8m-20+10=0\), so \(8m=10\) and hence \(m=\frac{5}{4}\). For \(m=\frac{5}{2}\), the coefficient of \(x\) becomes zero and the expression is \(10\), which has no zero. Exam tip: Substitute the given zero in the polynomial and equate the result to zero.
शून्यक 2 होने का अर्थ है कि \(p(2)=0\)। अतः \(2a+b=0\)। \(a=5\) रखने पर \(2\times5+b=0\), इसलिए \(b=-10\) मिलता है। \(b=10\) लेने पर \(p(2)=20\) होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के शून्यक \(r\) के लिए हमेशा \(ar+b=0\) लिखें। / A zero of 2 means \(p(2)=0\). Therefore, \(2a+b=0\). Substituting \(a=5\) gives \(2\times5+b=0\), so \(b=-10\). If \(b=10\), then \(p(2)=20\), not zero. Exam tip: for a zero \(r\) of a linear polynomial \(ax+b\), write \(ar+b=0\).
रेखीय बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है, इसलिए \(x\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए। \(b\) शून्य हो सकता है। परीक्षा में पहले \(x\) के गुणांक की जाँच करें। / A linear polynomial must have highest power 1, so the coefficient \(a\) of \(x\) must be non-zero. \(b\) may be zero; \(b\ne0\) alone does not ensure linearity. Exam tip: check the coefficient of \(x\) first.
दिया है \(p(x)=4x+c\)। अतः \(p(3)=12+c\) और \(p(1)=4+c\)। इसलिए \(p(3)-p(1)=(12+c)-(4+c)=8\) होगा, जबकि प्रश्न की शर्त के अनुसार यह अंतर 10 होना चाहिए। \(c\) दोनों पदों में कट जाता है, इसलिए किसी भी \(c\) से शर्त पूरी नहीं हो सकती। विकल्प B गलत है क्योंकि अंतर हर \(c\) के लिए 8 ही रहता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में दो मानों का अंतर निकालते समय स्थिर पद अक्सर कट जाता है। / For \(p(x)=4x+c\), we have \(p(3)=12+c\) and \(p(1)=4+c\). Hence, \(p(3)-p(1)=(12+c)-(4+c)=8\), but the given condition requires this difference to be 10. The constant \(c\) cancels out, so no value of \(c\) can satisfy the condition. Option B is incorrect because the difference remains 8 for every \(c\). Exam tip: When comparing two values of a linear polynomial, the constant term often cancels out.
(7x+3=0) से \(x=-\frac{3}{7}\) मिलता है। भिन्न शून्यक में चिन्ह और हर ध्यान रखें। / From (7x+3=0), we get \(x=-\frac{3}{7}\). Pay attention to the sign and denominator in fractional zeros.
\(\frac{2}{5}x-6=0\) से \(\frac{2}{5}x=6\) और (x=15) मिलता है। भिन्न गुणांक में उलटा गुणा करें। / From \(\frac{2}{5}x-6=0\), \(\frac{2}{5}x=6\) and (x=15). With a fractional coefficient, multiply by the reciprocal.
यहाँ दोनों बहुपद रैखिक हैं, अर्थात प्रत्येक की डिग्री 1 है। गुणा करने पर
\((x+2)(x-5)=x^2-3x-10\)। इस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 1 प्रत्येक अलग-अलग रैखिक बहुपद की डिग्री है, उनके गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: गैर-शून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री सामान्यतः उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both given polynomials are linear, so each has degree 1. On multiplying,
\((x+2)(x-5)=x^2-3x-10\). The highest power of the variable is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual linear polynomial, not of their product. Exam tip: for non-zero polynomials, the degree of a product is generally the sum of their degrees.
यहाँ बहुपद में \(x\) के स्थान पर पूरा \(x+3\) रखना है। अतः \(p(x+3)=2(x+3)-1=2x+6-1=2x+5\)। इसलिए सही उत्तर \(2x+5\) है। \(x+5\) विकल्प में \(2\) गुणांक को गलत रूप से छोड़ दिया गया है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन करते समय दिए गए व्यंजक को कोष्ठक में रखकर लिखें। / Replace the entire variable \(x\) in the polynomial with \(x+3\). Thus, \(p(x+3)=2(x+3)-1=2x+6-1=2x+5\). Therefore, \(2x+5\) is correct. The option \(x+5\) incorrectly drops the coefficient \(2\). Exam tip: always use brackets when substituting an expression for a variable.
यहाँ बहुपद में \(x\) के स्थान पर पूरा \(2x\) रखना है: \(p(2x)=5-3(2x)=5-6x\)। अतः सही विकल्प \(5-6x\) है। \(10-6x\) तब मिलता यदि स्थिर पद 5 को भी 2 से गुणा कर दिया जाता, जो यहाँ नहीं करना है। परीक्षा टिप: \(p(kx)\) निकालते समय केवल चर \(x\) को \(kx\) से प्रतिस्थापित करें। / Replace the variable \(x\) in the polynomial by the complete expression \(2x\): \(p(2x)=5-3(2x)=5-6x\). Therefore, \(5-6x\) is correct. \(10-6x\) would result from incorrectly multiplying the constant term 5 by 2 as well. Exam tip: To find \(p(kx)\), substitute \(kx\) only for every \(x\).
B. \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है, इसलिए यह बहुपद नहीं है।/In \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), the power of \(x\) is negative, so it is not a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{3}{x}\) को \(3x^{-1}\) लिखा जाता है। बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2 जैसी अऋणात्मक पूर्णांक हो सकती है; अतः यह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: पहले सभी घात जाँचें, फिर घात ज्ञात करें। / \(\frac{3}{x}\) can be written as \(3x^{-1}\). A polynomial permits only non-negative integer powers such as 0, 1, and 2, so this expression is not a polynomial. Exam tip: check every exponent before finding the degree.
C. किसी भी \(k\) के लिए नहीं/For no value of \(k\)
Explanation
Simple Explanation
दिया है \(p(2)=p(-2)\)। अतः \(2k+4=-2k+4\), जिससे \(4k=0\) और \(k=0\) मिलता है। तब \(p(x)=4\), जो एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। इसलिए ऐसी शर्त के साथ \(p(x)\) किसी भी \(k\) के लिए रेखीय नहीं रह सकता। परीक्षा टिप: \(ax+b\) रेखीय तभी होता है जब \(a\ne0\)। / Given \(p(2)=p(-2)\), we get \(2k+4=-2k+4\). Thus \(4k=0\), so \(k=0\). Then \(p(x)=4\), which is a constant polynomial, not a linear polynomial. Hence, under the given condition, there is no value of \(k\) for which \(p(x)\) remains linear. Exam tip: \(ax+b\) is linear only when \(a\ne0\).
A. इसका ठीक एक शून्यक होता है/It has exactly one zero.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक बहुपद में \(a\ne0\) हो, तो \(ax+b=0\) से \(x=-b/a\) एक ही मान मिलता है। अतः इसका ठीक एक शून्यक है; अचर बहुपद अलग है। परीक्षा टिप: पहले \(a\ne0\) जाँचें। / For \(a\ne0\), \(ax+b=0\) gives one value, \(x=-b/a\). Thus a non-constant linear polynomial has exactly one zero. A constant polynomial is excluded. Exam tip: first verify \(a\ne0\).
पहले व्यंजक को सरल करें: \(q(x)-2p(x)=(5x-1)-2(2x+3)=5x-1-4x-6=x-7\)। \(x-7\) में \(x\) की उच्चतम घात 1 है और उसका गुणांक 1 (शून्य नहीं) है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। विकल्प 0 केवल अचर बहुपद के लिए होता; यहाँ \(x\) पद समाप्त नहीं हुआ है। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाने के बाद समान घात वाले पदों को मिलाकर ही डिग्री तय करें। / First simplify the expression: \(q(x)-2p(x)=(5x-1)-2(2x+3)=5x-1-4x-6=x-7\). The highest power of \(x\) in \(x-7\) is 1, with a non-zero coefficient, so its degree is 1. Option 0 would apply only to a constant polynomial; here the \(x\)-term does not cancel. Exam tip: simplify and combine like terms before deciding the degree of a polynomial.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। \(5x-11=0\) रखने पर \(5x=11\), अतः \(x=\frac{11}{5}\) मिलता है। इसलिए \(5x-11\) का शून्यक \(\frac{11}{5}\) है। निकटतम भ्रमकारी विकल्प \(11x-5\) का शून्यक \(\frac{5}{11}\) है, जो अलग है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक निकालने के लिए \(ax+b=0\) हल करें। / A zero of a polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to 0. For \(5x-11=0\), we get \(5x=11\), so \(x=\frac{11}{5}\). Hence, \(5x-11\) has zero \(\frac{11}{5}\). The close distractor \(11x-5\) has zero \(\frac{5}{11}\), which is different. Exam tip: To find the zero of \(ax+b\), solve \(ax+b=0\).
पहले p(x+1) ज्ञात करें: p(x+1)=3(x+1)-8=3x-5। अतः p(x+1)-p(x)=(3x-5)-(3x-8)=3। इसलिए सही उत्तर 3 है। विकल्प 3x सही नहीं है, क्योंकि घटाने पर x वाले पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद ax+b के लिए p(x+1)-p(x) हमेशा a होता है। / First find p(x+1): p(x+1)=3(x+1)-8=3x-5. Therefore, p(x+1)-p(x)=(3x-5)-(3x-8)=3. Hence, the correct answer is 3. The option 3x is incorrect because the x-terms cancel on subtraction. Exam tip: for a linear polynomial ax+b, p(x+1)-p(x) is always a.
शून्यक \(-\frac{6}{\lambda}\) है। \(-\frac{6}{\lambda}>-2\) और \(\lambda>0\) से \(\lambda>3\) मिलता है। / The zero is \(-\frac{6}{\lambda}\). From \(-\frac{6}{\lambda}>-2\) and \(\lambda>0\), we get \(\lambda>3\).
A. यह x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर काटता है/It intersects the x-axis at exactly one point.
Explanation
Simple Explanation
\(a\ne0\) होने पर ग्राफ एक तिरछी सीधी रेखा होता है और उसका शून्यक \(x=-\frac{b}{a}\) होता है। इसलिए वह x-अक्ष को ठीक एक बार काटता है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर \(p(x)=0\) रखें। / Since \(a\ne0\), the graph is a non-horizontal straight line with zero \(x=-\frac{b}{a}\). Hence it meets the x-axis exactly once. Exam tip: put \(p(x)=0\) to locate the x-intercept.
दिया है: \(p(x)=x+r\) और \(q(x)=x-r\)। अतः \(p(x)+q(x)=(x+r)+(x-r)=x+x+r-r=2x\)। \(+r\) और \(-r\) परस्पर कट जाते हैं। \(2r\) तब मिलता, जब \(x\) वाले पद कटते, जो यहाँ नहीं होते। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ते समय समान प्रकार के पदों को पहले साथ लिखें। / Given \(p(x)=x+r\) and \(q(x)=x-r\), \(p(x)+q(x)=(x+r)+(x-r)=x+x+r-r=2x\). The terms \(+r\) and \(-r\) cancel each other. \(2r\) would result only if the \(x\)-terms cancelled, which they do not. Exam tip: While adding polynomials, group like terms together first.
घटाने पर, (p(x)-q(x))=(x+r)-(x-r)=2r प्राप्त होता है। यहाँ r एक नियतांक है, इसलिए 2r में x का कोई पद नहीं है; अतः यह x के सापेक्ष नियतांक बहुपद है। रेखीय बहुपद में x का पद होना आवश्यक है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो बहुपदों को घटाते समय दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। यदि विशेष रूप से r=0 हो, तो परिणाम शून्य बहुपद होगा; सामान्यतः r को अशून्य नियतांक माना जाता है। / On subtraction, (p(x)-q(x))=(x+r)-(x-r)=2r. Since r is a constant, 2r has no term involving x; therefore, it is a constant polynomial in x. A linear polynomial must contain an x-term, so option A is not correct. Exam tip: while subtracting polynomials, change the sign of every term inside the second bracket. If r=0 specifically, the result is the zero polynomial; normally, r is taken as a non-zero constant here.
(p(3)=1) और (p(1)=-3) नहीं बल्कि (2(1)-5=-3) है। इसलिए सही मान (-3) नहीं दिए विकल्पों में नहीं है। / (p(3)=1) and (p(1)=2(1)-5=-3). The correct value is (-3), which is not in the options.
संयोजन में पहले अंदर वाले फलन का मान निकालते हैं। p(2)=3×2+1=7। अब p(7)=3×7+1=22, इसलिए p(p(2))=22। विकल्प 21 केवल 3×7 लेने पर मिलता है, पर स्थिर पद 1 भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: p(p(a)) में हमेशा पहले p(a) ज्ञात करके उसे फिर से p में रखिए। / For a composite expression, evaluate the inner function first. p(2)=3×2+1=7. Then p(7)=3×7+1=22, so p(p(2))=22. Option 21 results from taking only 3×7 and forgetting to add the constant term 1. Exam tip: in p(p(a)), first find p(a), then substitute that result into p again.
यदि \(x=1\), बहुपद \(((n-1)x+n+2)\) का शून्यक है, तो \(x=1\) रखने पर उसका मान 0 होना चाहिए। अतः \((n-1)(1)+n+2=0\), यानी \(2n+1=0\)। इसलिए \(n=-\frac{1}{2}\) मिलता है। \(n=1\) रखने पर व्यंजक \(3\) बनता है, इसलिए उसका शून्यक 1 नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर मान को 0 के बराबर करें। / If \(x=1\) is a zero of \(((n-1)x+n+2)\), substituting \(x=1\) must make the expression equal to 0. Thus, \((n-1)(1)+n+2=0\), giving \(2n+1=0\). Hence, \(n=-\frac{1}{2}\). For \(n=1\), the expression becomes \(3\), so it cannot have 1 as a zero. Exam tip: substitute the given zero in the polynomial and set the result equal to 0.
दिया है \(p(x)=\frac{x}{3}+a\)। \(x=6\) रखने पर \(p(6)=\frac{6}{3}+a=2+a\) होगा। क्योंकि \(p(6)=5\), इसलिए \(2+a=5\), अतः \(a=3\)। विकल्प 2 केवल \(\frac{6}{3}\) का मान है, a का नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का दिया हुआ मान होने पर पहले उस इनपुट को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=\frac{x}{3}+a\), substitute \(x=6\): \(p(6)=\frac{6}{3}+a=2+a\). Since \(p(6)=5\), we get \(2+a=5\), so \(a=3\). Option 2 is only the value of \(\frac{6}{3}\), not the value of a. Exam tip: when a value of a polynomial is given, substitute the input first and then solve the resulting equation.
दूसरे विकल्प में अंतर (x+8) है जिसकी डिग्री (1) है। बाकी में अंतर नियतांक या शून्य है। / In the second option, the difference is (x+8), whose degree is (1). In the others, the difference is constant or zero.
पहले p(x) और q(x) को जोड़ें: p(x)+q(x)=2x+a+x-3=3x+a-3। चूँकि 1 इसका शून्यक है, इसलिए x=1 रखने पर 3(1)+a-3=0 मिलता है। अतः a=0। विकल्प -1 लेने पर बहुपद का मान -1 होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक दिया हो तो उस x-मान को बहुपद में रखकर उसे 0 के बराबर करें। / First add the polynomials: p(x)+q(x)=2x+a+x-3=3x+a-3. Since 1 is its zero, substituting x=1 gives 3(1)+a-3=0. Therefore, a=0. If a=-1, the value of the polynomial at x=1 would be -1, not zero. Exam tip: when a zero is given, substitute that value of x in the polynomial and set the result equal to 0.
यदि \(-4\), \(p(x)\) का शून्यक है, तो \(p(-4)=0\) होगा। अतः \((c+1)(-4)+2c=0\), यानी \(-4c-4+2c=0\)। इससे \(-2c-4=0\) और \(c=-2\) प्राप्त होता है। \(c=-1\) रखने पर बहुपद \(-2\) बनता है, जिसका कोई शून्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखें। / If \(-4\) is a zero of \(p(x)\), then \(p(-4)=0\). Thus, \((c+1)(-4)+2c=0\), or \(-4c-4+2c=0\). This gives \(-2c-4=0\), so \(c=-2\). For \(c=-1\), the polynomial becomes the constant \(-2\), which has no zero. Exam tip: for a given zero \(a\), always use \(p(a)=0\).
चूँकि \(-4\), बहुपद \(p(x)\) का शून्यक है, इसलिए \(p(-4)=0\) होगा। अतः \(-4(c+1)+2c=0\Rightarrow -2c-4=0\Rightarrow c=-2\)। इसलिए सही विकल्प \(c=-2\) है। \(c=-1\) रखने पर स्थिर पद \(-2\) मिलता है, इसलिए \(-4\) शून्यक नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखें। / Since \(-4\) is a zero of \(p(x)\), we must have \(p(-4)=0\). Thus, \(-4(c+1)+2c=0\Rightarrow -2c-4=0\Rightarrow c=-2\). Therefore, the correct option is \(c=-2\). If \(c=-1\), the constant term becomes \(-2\), so \(-4\) is not a zero. Exam tip: For a given zero \(a\), always use \(p(a)=0\).
दिया है कि \(p(x)=rx+5\) और \(p(2)=15\)। अतः \(2r+5=15\), जिससे \(2r=10\) और \(r=5\) मिलता है। अब \(p(-1)=5(-1)+5=-5+5=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। \(5\) केवल गुणांक \(r\) का मान है, \(p(-1)\) का नहीं। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान की शर्त से अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर मांगे गए \(x\)-मान को फलन में रखें। / Given \(p(x)=rx+5\) and \(p(2)=15\), we get \(2r+5=15\). Hence \(2r=10\), so \(r=5\). Now \(p(-1)=5(-1)+5=-5+5=0\). Therefore, the correct answer is 0. The value \(5\) is only the coefficient \(r\), not the value of \(p(-1)\). Exam tip: first use the given function value to find the unknown coefficient, then substitute the required value of \(x\).
दिया है कि \(p(x)=ax-6\)। अतः \(p(2)=2a-6\) और \(p(5)=5a-6\)। शर्त \(p(2)=p(5)-9\) में रखने पर \(2a-6=(5a-6)-9\) मिलता है। इसलिए \(2a=5a-9\), जिससे \(3a=9\) और \(a=3\) प्राप्त होता है। विकल्प 2 लेने पर दी गई शर्त संतुष्ट नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए बहुपद में दोनों x-मान रखकर समीकरण बनाइए। / Given \(p(x)=ax-6\), we have \(p(2)=2a-6\) and \(p(5)=5a-6\). Substituting these in \(p(2)=p(5)-9\) gives \(2a-6=(5a-6)-9\). Hence, \(2a=5a-9\), so \(3a=9\) and \(a=3\). For example, \(a=2\) does not satisfy the given condition. Exam tip: first evaluate the polynomial at each stated value of x, then form the equation carefully.
विकल्प B में x का गुणांक 0 है। इसलिए (0x+8) = 8, जो एक नियतांक बहुपद है; इसकी घात 0 होती है, अतः इसे रेखीय बहुपद नहीं कहा जा सकता। इसके विपरीत, विकल्प A, C और D में x का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए वे रेखीय बहुपद हैं। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद में x का गुणांक अनिवार्य रूप से अशून्य होना चाहिए। / In option B, the coefficient of x is 0. Hence, (0x+8) = 8, which is a constant polynomial of degree 0, so it cannot be called a linear polynomial. In contrast, the coefficient of x is non-zero in options A, C, and D; therefore, they are linear polynomials. Exam tip: For a polynomial to be linear, the coefficient of x must be non-zero.
दिया है कि \(p(x)=2x-7\)। इसलिए \(p(a)=2a-7\) होगा। शर्त \(p(a)=a\) रखने पर \(2a-7=a\) मिलता है। अतः \(a=7\)। विकल्प 5 सही नहीं है, क्योंकि \(p(5)=3\), जो 5 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(p(a)=a\) का अर्थ है कि \(a\), बहुपद का स्थिर बिंदु है; इसमें \(x\) के स्थान पर \(a\) रखकर समीकरण हल करें। / Given \(p(x)=2x-7\), we have \(p(a)=2a-7\). Using the condition \(p(a)=a\), we get \(2a-7=a\). Hence, \(a=7\). Option 5 is not correct because \(p(5)=3\), which is not equal to 5. Exam tip: \(p(a)=a\) means that \(a\) is a fixed point of the polynomial; substitute \(a\) for \(x\) and solve the resulting equation.
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। \(x=0\) रखने पर \(p(0)=n=4\), अतः \(n=4\)। अब \(x=2\) रखने पर \(2m+n=10\) मिलता है। \(n=4\) रखने से \(2m+4=10\), इसलिए \(m=3\)। अतः \(m+n=3+4=7\)। विकल्प 4 केवल \(n\) का मान है, \(m+n\) का नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद के दिए गए मानों में पहले सुविधाजनक \(x\)-मान रखकर गुणांकों के समीकरण बनाइए। / Given \(p(x)=mx+n\). Substituting \(x=0\), we get \(p(0)=n=4\), so \(n=4\). Now, substituting \(x=2\) gives \(2m+n=10\). Using \(n=4\), \(2m+4=10\), hence \(m=3\). Therefore, \(m+n=3+4=7\). Option 4 is only the value of \(n\), not of \(m+n\). Exam tip: Substitute the most convenient given values of \(x\) first to form equations for the coefficients.
दिया है \(p(x)=mx+n\)। अतः \(p(1)=m+n=5\) और \(p(3)=3m+n=13\)। दूसरी समीकरण में से पहली समीकरण घटाने पर \(2m=8\) मिलता है, इसलिए \(m=4\)। \(8\) अंतर \(p(3)-p(1)\) है, \(m\) नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद के दो दिए गए मानों को घटाने पर स्थिर पद \(n\) हट जाता है। / Given \(p(x)=mx+n\), we have \(p(1)=m+n=5\) and \(p(3)=3m+n=13\). Subtracting the first equation from the second gives \(2m=8\), so \(m=4\). \(8\) is the difference \(p(3)-p(1)\), not the value of \(m\). Exam tip: Subtract two value equations of a linear polynomial to eliminate the constant term \(n\).
विकल्प C में \(p(x)=x-2\) है। \(x=2\) रखने पर \(p(2)=2-2=0\) मिलता है। इसकी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। विकल्प D में भी \(p(2)=0\) मिलता है, लेकिन उसकी घात 2 है; अतः वह रेखीय नहीं, द्विघात बहुपद है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद की उच्चतम घात हमेशा 1 होती है। / In option C, \(p(x)=x-2\). On substituting \(x=2\), we get \(p(2)=2-2=0\). Its degree is 1, so it is a linear polynomial. Option D also gives \(p(2)=0\), but its degree is 2; therefore, it is quadratic, not linear. Exam tip: the highest power in a linear polynomial is always 1.
दिया है \(p(x)=3x-4\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=3(-x)-4=-3x-4\) प्राप्त होता है। अतः \(p(x)+p(-x)=(3x-4)+(-3x-4)=-8\)। \(0\) निकटतम भ्रमक हो सकता है, लेकिन केवल \(x\) वाले पद कटते हैं; स्थिर पद \(-4\) और \(-4\) मिलकर \(-8\) बनाते हैं। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद में \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखें। / Given \(p(x)=3x-4\). Replacing \(x\) by \(-x\) gives \(p(-x)=3(-x)-4=-3x-4\). Therefore, \(p(x)+p(-x)=(3x-4)+(-3x-4)=-8\). \(0\) is a close distractor because only the terms containing \(x\) cancel; the two constant terms, \(-4\) and \(-4\), add to \(-8\). Exam tip: while finding \(p(-x)\), replace every occurrence of \(x\) with \(-x\).
दिया है \(p(x)=3x-4\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=3(-x)-4=-3x-4\) मिलता है। अतः \(p(x)-p(-x)=(3x-4)-(-3x-4)=3x-4+3x+4=6x\)। इसलिए सही उत्तर \(6x\) है। \(-8\) केवल स्थिर पदों को गलत ढंग से घटाने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद में \(x\) को \(-x\) से बदलें। / Given \(p(x)=3x-4\). Replacing \(x\) with \(-x\) gives \(p(-x)=3(-x)-4=-3x-4\). Therefore, \(p(x)-p(-x)=(3x-4)-(-3x-4)=3x-4+3x+4=6x\). Hence, \(6x\) is correct. \(-8\) may result from incorrectly subtracting only the constant terms. Exam tip: while finding \(p(-x)\), replace \(x\) by \(-x\) in every term containing \(x\).
शून्यक (0) होने के लिए नियतांक पद (s=0) होना चाहिए। (s=0) पर (x) का गुणांक (-2) है इसलिए बहुपद रेखीय है। / For the zero to be (0), the constant term (s) must be (0). At (s=0), the coefficient of (x) is (-2), so the polynomial is linear.
दिए गए बहुपदों को जोड़ने पर
\(p(x)+q(x)=(2x+a)+(4x-a)=6x\) मिलता है। इसमें \(a\) वाले पद कट जाते हैं, इसलिए योग बहुपद किसी भी \(a\) के लिए समान रहता है। \(6x\) का शून्यक \(x=0\) है, क्योंकि \(6(0)=0\)। अतः इसका शून्यक \(-1\) नहीं हो सकता और \(a\) का कोई मान संभव नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक जाँचने के लिए बहुपद को पहले सरल करें, फिर उसे शून्य के बराबर रखें। / Adding the given polynomials gives \(p(x)+q(x)=(2x+a)+(4x-a)=6x\). The terms containing \(a\) cancel, so the sum polynomial is the same for every value of \(a\). The zero of \(6x\) is \(x=0\), since \(6(0)=0\). Hence, its zero cannot be \(-1\), and no value of \(a\) is possible. Exam tip: First simplify the polynomial, then set it equal to zero to find its zero.
\(p(x)-q(x)=(2x+a)-(4x-a)\) है। दूसरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके सभी पदों के चिन्ह बदलते हैं: \(2x+a-4x+a=-2x+2a\)। इसलिए सही उत्तर \(-2x+2a\) है। \(2x\) केवल \(x\) वाले पदों को सही ढंग से घटाने पर भी नहीं मिलता, क्योंकि \(a-(-a)=2a\) होता है। परीक्षा टिप: बहुपद घटाते समय दूसरे बहुपद को कोष्ठक में रखकर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \(p(x)-q(x)=(2x+a)-(4x-a)\). Since a minus sign precedes the second bracket, the signs of all its terms change: \(2x+a-4x+a=-2x+2a\). Therefore, the correct answer is \(-2x+2a\). \(2x\) cannot be obtained because \(a-(-a)=2a\), not zero. Exam tip: While subtracting polynomials, write the second polynomial in brackets and change the sign of every term.
((x+3)(2x-1)) में उच्चतम पद \(2x^2\) है। इसलिए गुणनफल की डिग्री (2) है और यह रेखीय नहीं है। / In ((x+3)(2x-1)), the highest term is \(2x^2\). So the product has degree (2) and is not linear.
पहले
\(p(0)=a(0)+1=1\) ज्ञात करें। इसलिए \(p(p(0))=p(1)=a(1)+1=a+1\)। दिया है कि \(p(p(0))=7\), अतः \(a+1=7\), जिससे \(a=6\) मिलता है। विकल्प 7 लेने पर \(p(1)=8\) होगा, जो दी गई शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें। / First, find \(p(0)=a(0)+1=1\). Hence, \(p(p(0))=p(1)=a(1)+1=a+1\). Since \(p(p(0))=7\), we get \(a+1=7\), so \(a=6\). If \(a=7\), then \(p(1)=8\), which does not satisfy the given condition. Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first.
दिया है, \(p(x)=x+a\)। इसलिए \(p(0)=a\)। अब \(p(p(0))=p(a)=a+a=2a\)। शर्त \(p(p(0))=0\) से \(2a=0\), अतः \(a=0\)। \(-1\) रखने पर \(p(p(0))=-2\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में पहले भीतर वाले फलन का मान निकालें, फिर उसे बाहरी फलन में रखें। / Given \(p(x)=x+a\), we get \(p(0)=a\). Therefore, \(p(p(0))=p(a)=a+a=2a\). Since \(p(p(0))=0\), \(2a=0\), so \(a=0\). If \(a=-1\), then \(p(p(0))=-2\), so it is not correct. Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first and substitute its value into the outer function.
दिया है \(p(x)=mx+n\)। इसलिए \(p(1)=m+n\) और \(p(2)=2m+n\) होंगे। \(p(1)=p(2)\) रखने पर \(m+n=2m+n\), अतः \(m=0\) मिलता है। लेकिन रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए; \(m=0\) होने पर \(p(x)=n\), जो स्थिर बहुपद है। इसलिए ऐसा बहुपद कभी रेखीय नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद के लिए \(x\) का गुणांक हमेशा अशून्य जाँचें। / For \(p(x)=mx+n\), we have \(p(1)=m+n\) and \(p(2)=2m+n\). Given \(p(1)=p(2)\), \(m+n=2m+n\), which gives \(m=0\). However, a linear polynomial must have a non-zero coefficient of \(x\). When \(m=0\), \(p(x)=n\) is a constant polynomial, not a linear polynomial. Hence, it can never be linear. Exam tip: always check that the coefficient of \(x\) is non-zero for a linear polynomial.
B. इसका ठीक एक शून्यक होता है/It has exactly one zero
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=0\) रखने पर \(ax+b=0\), इसलिए \(x=-b/a\) मिलता है। \(a\ne0\) होने से यह एक निश्चित मान है, अतः केवल एक शून्यक होगा। परीक्षा टिप: घात 1 वाला अशून्य बहुपद रैखिक होता है। / Putting \(p(x)=0\) gives \(ax+b=0\), so \(x=-b/a\). Since \(a\ne0\), this is one unique value; therefore two or infinitely many zeroes are impossible. Exam tip: a non-zero polynomial of degree 1 is linear.
यहाँ p(x+2)=7(x+2)-2=7x+12 तथा p(x-1)=7(x-1)-2=7x-9 है। अतः p(x+2)-p(x-1)=(7x+12)-(7x-9)=21। विकल्प 14 केवल 2 के स्थानांतरण से जुड़ा दिख सकता है, पर दोनों इनपुटों x+2 और x-1 के बीच का अंतर 3 है, इसलिए 7×3=21 मिलता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद ax+b में p(x+r)-p(x+s)=a(r-s) होता है। / Here, p(x+2)=7(x+2)-2=7x+12 and p(x-1)=7(x-1)-2=7x-9. Therefore, p(x+2)-p(x-1)=(7x+12)-(7x-9)=21. Option 14 may seem related to the shift by 2, but the inputs x+2 and x-1 differ by 3, so the result is 7×3=21. Exam tip: for a linear polynomial ax+b, p(x+r)-p(x+s)=a(r-s).
पहले आंतरिक मान निकालें: \(p(3)=2\times3-5=1\)। अब \(p(1)=2\times1-5=-3\)। इसलिए \(p(p(3))=-3\), अतः सही विकल्प C है। विकल्प B केवल \(p(3)\) का मान है, अंतिम संयुक्त मान नहीं। परीक्षा टिप: \(p(p(a))\) में पहले भीतर वाले \(p(a)\) को निकालकर उसे फिर से \(p\) में रखें। / First evaluate the inner expression: \(p(3)=2\times3-5=1\). Then \(p(1)=2\times1-5=-3\). Hence, \(p(p(3))=-3\), so option C is correct. Option B is only the value of \(p(3)\), not the final composite value. Exam tip: In \(p(p(a))\), find the inner \(p(a)\) first and substitute that result into \(p\) again.
