पहले कोष्ठक खोलें: \(6(3x-2)=18x-12\) और \(-4(4x+5)=-16x-20\)। अतः \(18x-12-16x-20=2x-32\)। इसलिए सही बहुपद \(2x-32\) है। \(2x+8\) तब मिल सकता है जब ऋण चिह्न के साथ दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न न बदला जाए। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ऋणात्मक गुणनखंड हो, तो उसके भीतर के सभी पदों के चिह्न पर ध्यान दें। / Open the brackets first: \(6(3x-2)=18x-12\) and \(-4(4x+5)=-16x-20\). Therefore, \(18x-12-16x-20=2x-32\). Hence, the correct polynomial is \(2x-32\). The option \(2x+8\) can result from not changing the signs of both terms while multiplying by \(-4\). Exam tip: when a negative factor is outside a bracket, apply it to every term inside the bracket.
B. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि मूल व्यंजक \(x=0\) पर अपरिभाषित है।/It is not a polynomial because the original expression is undefined at \(x=0\).
Explanation
Simple Explanation
\(x\) से भाग होने के कारण मूल व्यंजक \(x=0\) पर परिभाषित नहीं है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(x\ne0\) के लिए सरल करने पर \(2x-6\) मिलता है। परीक्षा में हर में चर हो तो पहले अपरिभाषित मान जाँचें। / Because \(x\) is in the denominator, the original expression is undefined at \(x=0\), so it is not a polynomial. It equals \(2x-6\) only for \(x\ne0\). Exam tip: always check for variables in the denominator before cancelling.
चूँकि 4 बहुपद का शून्यक है, इसलिए \(p(4)=0\) होगा। अतः \((k+3)\times4-12=0\), अर्थात \(4k+12-12=0\), जिससे \(4k=0\) और \(k=0\) प्राप्त होता है। विकल्प 3 रखने पर \(p(4)=12\) आता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक \(a\) के लिए हमेशा \(p(a)=0\) रखें। / Since 4 is a zero of the polynomial, \(p(4)=0\). Thus, \((k+3)\times4-12=0\), so \(4k+12-12=0\). Hence \(4k=0\) and \(k=0\). If \(k=3\), then \(p(4)=12\), not zero. Exam tip: If \(a\) is given as a zero, substitute it and use \(p(a)=0\).
\(3p(x)-5q(x)=3(4x-7)-5(2x+3)\) होगा। अतः \(=12x-21-10x-15=2x-36\)। इसलिए सही विकल्प \(2x-36\) है। \(22x-36\) तब मिल सकता है जब \(-5(2x+3)\) में ऋण चिह्न का सही वितरण न किया जाए। परीक्षा टिप: कोष्ठक के बाहर के ऋण चिह्न को भीतर के प्रत्येक पद से गुणा करें। / We have \(3p(x)-5q(x)=3(4x-7)-5(2x+3)\). Thus, \(=12x-21-10x-15=2x-36\). Hence, \(2x-36\) is correct. The distractor \(22x-36\) can result from incorrectly handling the negative sign while expanding \(-5(2x+3)\). Exam tip: distribute a negative multiplier to every term inside the bracket.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। अतः \(x=-2\) रखने पर \((3m+1)(-2)+8=0\) होगा। इससे \(-6m-2+8=0\), अर्थात \(-6m+6=0\), इसलिए \(m=1\)। उदाहरण के लिए \(m=-1\) रखने पर बहुपद का मान 12 आता है, 0 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए शून्यक को सीधे \(x\) के स्थान पर रखकर समीकरण हल करें। / A zero is a value of \(x\) that makes the polynomial equal to 0. Substituting \(x=-2\) in \((3m+1)x+8\) gives \((3m+1)(-2)+8=0\). So, \(-6m-2+8=0\), or \(-6m+6=0\), hence \(m=1\). For instance, if \(m=-1\), the polynomial evaluates to 12, not 0. Exam tip: substitute the given zero for \(x\) first, then solve the resulting equation.
A. इसका ठीक एक शून्यक होता है/It has exactly one zero.
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=0\) रखने पर \(ax+b=0\), इसलिए \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। \(a\ne0\) होने से यह एक निश्चित वास्तविक संख्या है, अतः शून्यक ठीक एक है। दो शून्यक द्विघात बहुपद में हो सकते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद की घात 1 होती है। / Putting \(p(x)=0\) gives \(ax+b=0\), so \(x=-\frac{b}{a}\). Since \(a\ne0\), this is one definite real number; hence there is exactly one zero. Two distinct zeros may occur for a quadratic polynomial. Exam tip: a linear polynomial has degree 1.
B. \(c\) का प्रत्येक वास्तविक मान/Every real value of \(c\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(4)=5\times4+c=20+c\) और \(p(1)=5\times1+c=5+c\) है। अतः \(p(1)+15=(5+c)+15=20+c=p(4)\)। यहाँ दोनों पक्षों में \(c\) समान रूप से आता है, इसलिए शर्त \(c\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए सत्य है। \(c=0\) या \(c=15\) केवल विशेष मान हैं, आवश्यक शर्त नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दिए गए दोनों \(x\)-मानों को बहुपद में रखकर स्थिर पदों को ध्यान से सरल करें। / \(p(4)=5\times4+c=20+c\), while \(p(1)=5\times1+c=5+c\). Hence, \(p(1)+15=(5+c)+15=20+c=p(4)\). The \(c\)-term occurs equally on both sides, so the condition is true for every real value of \(c\). \(c=0\) and \(c=15\) are only particular values, not necessary ones. Exam tip: substitute the given \(x\)-values carefully and simplify the constant terms before deciding the parameter's value.
(8x+5=0) से \(x=-\frac{5}{8}\) मिलता है। भिन्न शून्यक में चिन्ह और हर ध्यान रखें। / From (8x+5=0), we get \(x=-\frac{5}{8}\). Pay attention to the sign and denominator in fractional zeros.
\(\frac{3}{7}x-9=0\) से \(\frac{3}{7}x=9\) और (x=21) मिलता है। भिन्न गुणांक में उलटा गुणा करें। / From \(\frac{3}{7}x-9=0\), \(\frac{3}{7}x=9\) and (x=21). With a fractional coefficient, multiply by the reciprocal.
यहाँ दोनों बहुपद रैखिक हैं। गुणन करने पर
\((x-3)(x+8)=x^2+5x-24\)। इसमें शून्येतर गुणांक वाला उच्चतम घात का पद \(x^2\) है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 गलत है क्योंकि वह प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, उनके गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both given polynomials are linear. On multiplying,
\((x-3)(x+8)=x^2+5x-24\). The highest-power term with a non-zero coefficient is \(x^2\), so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: the degree of the product of two non-zero polynomials equals the sum of their degrees.
दिया है \(p(x)=4x-9\)। \(p(x+2)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर पूरे \((x+2)\) को रखें: \(p(x+2)=4(x+2)-9=4x+8-9=4x-1\)। इसलिए सही उत्तर \(4x-1\) है। \(4x-7\) तब मिलता यदि स्थिर पद \(-9\) को गलत तरीके से बदला जाता। परीक्षा टिप: फलन में प्रतिस्थापन करते समय नए व्यंजक को कोष्ठक में रखें। / Given \(p(x)=4x-9\), substitute the entire expression \((x+2)\) for \(x\): \(p(x+2)=4(x+2)-9=4x+8-9=4x-1\). Hence, \(4x-1\) is correct. \(4x-7\) results from incorrectly handling the constant term \(-9\). Exam tip: always enclose the substituted expression in brackets.
दिया है \(p(x)=11-2x\)। \(p(3x)\) ज्ञात करने के लिए बहुपद में \(x\) के स्थान पर पूरा \(3x\) रखेंगे: \(p(3x)=11-2(3x)=11-6x\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(33-6x\) तब मिलता, जब स्थिर पद 11 को भी 3 से गुणा कर दिया जाता, जो यहाँ नहीं करना है। परीक्षा टिप: \(p(3x)\) में केवल इनपुट \(x\) को \(3x\) से प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=11-2x\), replace the entire input \(x\) by \(3x\): \(p(3x)=11-2(3x)=11-6x\). Hence, option B is correct. \(33-6x\) would result from incorrectly multiplying the constant term 11 by 3. Exam tip: In \(p(3x)\), substitute \(3x\) only for the variable \(x\).
A. विद्यार्थी गलत है; \(x\) की उच्चतम घात 1 है और अपरिमेय संख्या भी वास्तविक गुणांक हो सकती है।/The student is wrong; the highest power of \(x\) is 1, and an irrational number can be a real coefficient.
Explanation
Simple Explanation
विद्यार्थी का कथन गलत है। \(7-\sqrt{5}x\) में \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। \(\sqrt{5}\) वास्तविक गुणांक है; केवल घात देखकर डिग्री पहचानें। / The student is wrong. In \(7-\sqrt{5}x\), the highest exponent of \(x\) is 1, so it is linear. \(\sqrt{5}\) is a real coefficient; in exams, determine degree from the variable’s exponent.
शर्त \(p(3)=p(-1)\) लगाने पर \(3k-5=-k-5\) मिलता है, अतः \(4k=0\) और \(k=0\)। तब \(p(x)=-5\) होता है, जो अचर बहुपद है और जिसकी घात 0 है; इसलिए यह रेखीय बहुपद नहीं है। \(k=5\) रखने पर दी गई शर्त पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / Using \(p(3)=p(-1)\), we get \(3k-5=-k-5\). Hence \(4k=0\), so \(k=0\). Then \(p(x)=-5\), which is a constant polynomial of degree 0, not a linear polynomial. Taking \(k=5\) does not satisfy the given condition. Exam tip: for a polynomial to be linear, the coefficient of \(x\) must be non-zero.
A. इसका ग्राफ एक सीधी रेखा होता है।/Its graph is a straight line.
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=ax+b\) में \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए इसका ग्राफ सीधी रेखा होता है। परवलय द्विघात बहुपद से बनता है। परीक्षा टिप: घात 1 दिखे तो रेखीय ग्राफ पहचानें। / In \(p(x)=ax+b\), the highest power of \(x\) is 1, so its graph is a straight line. A parabola comes from a quadratic polynomial. Exam tip: degree 1 indicates a linear graph.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(q(x)-2p(x)=(7x-4)-2(3x+2)=7x-4-6x-4=x-8\)। इसमें \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 1 है। डिग्री 0 केवल किसी अशून्य अचर बहुपद की होती; यहाँ \(x\) वाला पद मौजूद है। परीक्षा टिप: पहले सभी पदों को सरल करके उच्चतम घात पहचानें। / First simplify the expression: \(q(x)-2p(x)=(7x-4)-2(3x+2)=7x-4-6x-4=x-8\). The highest power of \(x\) is 1, so the degree of the polynomial is 1. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial; here the \(x\)-term remains. Exam tip: simplify fully before identifying the highest exponent.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिस पर उसका मान 0 हो जाता है। \(6x-13=0\) रखने पर \(6x=13\), अतः \(x=\frac{13}{6}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(6x-13\) है। \(13x-6\) का शून्यक \(\frac{6}{13}\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value of \(x\) for which the polynomial becomes 0. Setting \(6x-13=0\) gives \(6x=13\), so \(x=\frac{13}{6}\). Therefore, \(6x-13\) is the correct option. The zero of \(13x-6\) is \(\frac{6}{13}\), so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है, \(p(x)=5x-6\)। इसलिए \(p(x+1)=5(x+1)-6=5x-1\)। अतः \(p(x+1)-p(x)=(5x-1)-(5x-6)=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। \(5x\) लेने पर स्थिर पदों का अंतर नहीं निकलेगा। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(x+1)-p(x)=a\), अर्थात \(x\) का गुणांक होता है। / Given \(p(x)=5x-6\), we get \(p(x+1)=5(x+1)-6=5x-1\). Hence, \(p(x+1)-p(x)=(5x-1)-(5x-6)=5\). Therefore, 5 is the correct answer. Choosing \(5x\) ignores the cancellation of the variable terms and the difference between the constant terms. Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), \(p(x+1)-p(x)=a\), the coefficient of \(x\).
शून्यक \(-\frac{10}{\lambda}\) है। \(-\frac{10}{\lambda}<-2\) और \(\lambda>0\) से \(0<\lambda<5\) मिलता है। / The zero is \(-\frac{10}{\lambda}\). From \(-\frac{10}{\lambda}<-2\) and \(\lambda>0\), we get \(0<\lambda<5\).
x+5 एक रैखिक बहुपद है, क्योंकि x की उच्चतम घात 1 है। इसका शून्यक पाने के लिए x+5=0 रखने पर x=-5 मिलता है, जो ऋणात्मक है। x-2+5 रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में x की घात 1 जाँचें। / x+5 is linear because the highest power of x is 1. Setting x+5=0 gives x=-5, which is negative. x-2+5 is not linear. Exam tip: first check that the highest power of x is 1.
\(p(x)+q(x)=(x+s)+(x-2s)\) होगा। समान पदों को जोड़ने पर \(x+x=2x\) और \(s-2s=-s\) मिलता है। अतः योग \(2x-s\) है। \(2x+s\) चुनना गलत होगा, क्योंकि \(s-2s\) का मान \(-s\) होता है। परीक्षा टिप: बहुपद जोड़ते समय पहले कोष्ठक हटाकर समान चर वाले पदों के गुणांकों को जोड़ें। / \(p(x)+q(x)=(x+s)+(x-2s)\). Combining like terms gives \(x+x=2x\) and \(s-2s=-s\). Therefore, the sum is \(2x-s\). \(2x+s\) is incorrect because \(s-2s=-s\), not \(s\). Exam tip: Remove brackets first, then combine terms with the same variable or parameter.
घटाने पर, \(p(x)-q(x)=(x+s)-(x-2s)=3s\)। इसमें \(x\) का कोई पद नहीं है, इसलिए \(x\) के सापेक्ष यह नियतांक बहुपद है। रेखीय बहुपद में \(x\) का गैर-शून्य गुणांक होना चाहिए, जो यहाँ कट जाता है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने से पहले समान पदों को सरल करके \(x\) की सबसे बड़ी घात देखें। यदि \(s=0\) लिया जाए, तो परिणाम शून्य बहुपद होगा; प्रश्न का अपेक्षित उत्तर सामान्यतः \(s\) को शून्येतर मानकर नियतांक बहुपद है। / On subtraction, \(p(x)-q(x)=(x+s)-(x-2s)=3s\). There is no term containing \(x\), so with respect to \(x\), it is a constant polynomial. A linear polynomial must have a non-zero coefficient of \(x\), but the \(x\)-terms cancel here. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest power of \(x\). If \(s=0\), the result is the zero polynomial; the intended answer generally treats \(s\) as non-zero and is therefore a constant polynomial.
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें: p(3)=3×3−7=2। अब इस मान को फिर p में रखें: p(2)=3×2−7=−1। इसलिए p(p(3))=−1 है। विकल्प 2 केवल p(3) का मान है, अंतिम मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले व्यंजक को पहले हल करें। / First evaluate the inner function: p(3)=3×3−7=2. Now substitute this value into p again: p(2)=3×2−7=−1. Therefore, p(p(3))=−1. Option 2 is only the value of p(3), not the final value. Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost expression first.
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें: \(p(1)=4(1)+1=5\)। अब \(p(5)=4(5)+1=21\)। अतः \(p(p(1))=21\) है। विकल्प 20 में केवल \(4\times 5\) लिया गया है और स्थिर पद \(+1\) छूट गया है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा सबसे अंदर वाले इनपुट से गणना शुरू करें। / First evaluate the inner function: \(p(1)=4(1)+1=5\). Then \(p(5)=4(5)+1=21\). Therefore, \(p(p(1))=21\). Option 20 results from taking only \(4\times5\) and missing the constant term \(+1\). Exam tip: In a composite function, always evaluate the innermost input first.
शून्यक 1 होने का अर्थ है कि \(x=1\) रखने पर बहुपद का मान 0 हो। अतः \((n+2)(1)+3n-1=0\), यानी \(4n+1=0\)। इसलिए \(n=-\frac{1}{4}\) प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, \(n=-1\) रखने पर बहुपद का मान \(-4\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिया हो तो पहले उसी मान को \(x\) के स्थान पर रखकर व्यंजक को 0 के बराबर करें। / A zero equal to 1 means that the polynomial must have value 0 when \(x=1\). Thus, \((n+2)(1)+3n-1=0\), which gives \(4n+1=0\). Hence, \(n=-\frac{1}{4}\). For instance, with \(n=-1\), the value of the polynomial is \(-4\), so it is not correct. Exam tip: When a zero is given, substitute that value for \(x\) and set the expression equal to 0.
दिया है \(p(x)=\frac{x}{4}+a\)। \(x=8\) रखने पर \(p(8)=\frac{8}{4}+a=2+a\) होगा। क्योंकि \(p(8)=7\), इसलिए \(2+a=7\), अतः \(a=5\)। विकल्प 7, \(p(8)\) का दिया गया मान है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद के किसी दिए गए मान में पहले \(x\) का मान प्रतिस्थापित करें, फिर समीकरण हल करें। / Given \(p(x)=\frac{x}{4}+a\). Substituting \(x=8\) gives \(p(8)=\frac{8}{4}+a=2+a\). Since \(p(8)=7\), we get \(2+a=7\), so \(a=5\). Option 7 is the given value of \(p(8)\), not the value of \(a\). Exam tip: First substitute the given value of \(x\) into the polynomial, then solve the resulting equation.
\(p(x)+q(x)=(3x+a)+(2x-5)=5x+a-5\)। दिया है कि इसका शून्यक \(1\) है, इसलिए \(x=1\) रखने पर \(5(1)+a-5=0\) मिलता है। अतः \(a=0\)। विकल्प \(1\) लेने पर बहुपद का मान \(1\) होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक \(r\) हो तो उसमें \(x=r\) रखने पर उसका मान \(0\) होता है। / \(p(x)+q(x)=(3x+a)+(2x-5)=5x+a-5\). Since its zero is \(1\), put \(x=1\): \(5(1)+a-5=0\). Hence, \(a=0\). If \(a=1\), the polynomial has value \(1\), not zero, at \(x=1\). Exam tip: if \(r\) is a zero of a polynomial, substituting \(x=r\) must make the polynomial equal to \(0\).
(-3(c-2)+3c=0) से (6=0) नहीं बल्कि कोई हल नहीं मिलता। इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं होना चाहिए। / From (-3(c-2)+3c=0), we get (6=0), so there is no solution. Therefore none of the listed values should be correct.
चूँकि \(-2\), बहुपद का शून्यक है, इसलिए \(p(-2)=0\) होगा। अतः \((c-2)(-2)+3c=0\)। सरल करने पर \(-2c+4+3c=0\), अर्थात \(c+4=0\) मिलता है। इसलिए \(c=-4\) है। \(c=2\) लेने पर \(x\) का गुणांक शून्य हो जाता और दिया गया व्यंजक रैखिक बहुपद नहीं रहता। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान शून्य करें। / Since \(-2\) is a zero of the polynomial, \(p(-2)=0\). Thus, \((c-2)(-2)+3c=0\). Simplifying gives \(-2c+4+3c=0\), or \(c+4=0\). Therefore, \(c=-4\). If \(c=2\), the coefficient of \(x\) becomes zero, so the given expression would not remain a linear polynomial. Exam tip: Substitute the given zero in the polynomial and equate the result to zero.
दिया है कि \(p(x)=rx-4\) तथा \(p(3)=14\)। अतः \(3r-4=14\), जिससे \(3r=18\) और \(r=6\) प्राप्त होता है। अब \(p(-1)=6(-1)-4=-6-4=-10\)। इसलिए सही उत्तर \(-10\) है। \(-8\) जैसा उत्तर प्रायः \(-1\) रखने या ऋण चिह्न की गणना में त्रुटि से मिलता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई शर्त से अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया मान प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=rx-4\) and \(p(3)=14\), we get \(3r-4=14\). Thus, \(3r=18\) and \(r=6\). Now, \(p(-1)=6(-1)-4=-6-4=-10\). Therefore, \(-10\) is the correct answer. An answer such as \(-8\) can result from an error while substituting \(-1\) or handling the negative sign. Exam tip: first find the unknown coefficient using the given condition, then substitute the required value of \(x\).
दिया है: \(p(x)=ax+8\)। अतः \(p(1)=a+8\) तथा \(p(4)=4a+8\)। शर्त \(p(1)=p(4)-12\) रखने पर \(a+8=(4a+8)-12\), अर्थात \(a+8=4a-4\)। इसलिए \(12=3a\), जिससे \(a=4\) प्राप्त होता है। विकल्प 3 लेने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मानों के लिए बहुपद का मान निकालकर शर्त में प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=ax+8\), we have \(p(1)=a+8\) and \(p(4)=4a+8\). Using \(p(1)=p(4)-12\), we get \(a+8=(4a+8)-12\), or \(a+8=4a-4\). Hence \(12=3a\), so \(a=4\). For example, \(a=3\) does not satisfy the given condition. Exam tip: first evaluate the polynomial at the specified values, then substitute them into the given relation.
दिया है कि \(p(x)=3x-10\)। इसलिए \(p(a)=3a-10\) होगा। शर्त \(p(a)=a\) लगाने पर \(3a-10=a\) मिलता है। अतः \(2a=10\), इसलिए \(a=5\)। विकल्प 10 लेने पर \(p(10)=20\) आता है, जो 10 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(p(a)=a\) में पहले \(x\) के स्थान पर \(a\) रखकर फिर दोनों व्यंजकों को बराबर करें। / Given \(p(x)=3x-10\), we have \(p(a)=3a-10\). Using the condition \(p(a)=a\), we get \(3a-10=a\). Hence, \(2a=10\), so \(a=5\). If 10 is chosen, then \(p(10)=20\), which is not equal to 10. Exam tip: In \(p(a)=a\), first substitute \(a\) for \(x\), then equate the two expressions.
दिया है \(p(x)=mx+n\)। \(x=0\) रखने पर \(p(0)=n=-2\) मिलता है। अब \(p(4)=10\) से \(4m+n=10\)। \(n=-2\) रखने पर \(4m-2=10\), अतः \(m=3\)। इसलिए \(m+n=3+(-2)=1\)। विकल्प 2 केवल \(m\) और \(n\) के चिह्नों को सही ढंग से जोड़ने में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में \(p(0)\) हमेशा स्थिर पद \(n\) के बराबर होता है। / Given \(p(x)=mx+n\). Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=n=-2\). Also, \(p(4)=10\) gives \(4m+n=10\). Using \(n=-2\), we get \(4m-2=10\), so \(m=3\). Therefore, \(m+n=3+(-2)=1\). Option 2 can result from incorrectly handling the sign of \(n\). Exam tip: for a linear polynomial, \(p(0)\) is always its constant term \(n\).
दिया है कि \(p(x)=mx+n\)। अतः \(p(2)=2m+n=9\) और \(p(5)=5m+n=21\)। दूसरी समीकरण में से पहली समीकरण घटाने पर \(3m=12\) मिलता है, इसलिए \(m=4\)। \(n\) दोनों समीकरणों में समान होने के कारण घटाने पर हट जाता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद के दो मान दिए हों, तो समीकरणों को घटाकर पहले \(m\) ज्ञात करें। / Given \(p(x)=mx+n\), we have \(p(2)=2m+n=9\) and \(p(5)=5m+n=21\). Subtracting the first equation from the second gives \(3m=12\), so \(m=4\). The constant term \(n\) cancels because it is the same in both equations. Exam tip: When two values of a linear polynomial are given, subtract the equations to find \(m\) first.
\(p(x)=x+3\) में \(x=-3\) रखने पर \(p(-3)=-3+3=0\) मिलता है। इसकी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। विकल्प D में \(p(-3)=0\) तो है, लेकिन उसकी घात 2 है; अतः वह रेखीय नहीं बल्कि द्विघात बहुपद है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद की घात हमेशा 1 होती है। / For \(p(x)=x+3\), substituting \(x=-3\) gives \(p(-3)=-3+3=0\). Its degree is 1, so it is a linear polynomial. In option D, \(p(-3)=0\), but its degree is 2; therefore, it is quadratic, not linear. Exam tip: A linear polynomial always has degree 1.
दिया है \(p(x)=4x+9\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=4(-x)+9=-4x+9\) मिलता है। अतः \(p(x)+p(-x)=(4x+9)+(-4x+9)=18\)। \(8x+18\) तब मिलता यदि दोनों व्यंजकों में \(x\) का चिह्न न बदला जाता। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद का चिह्न ध्यान से बदलें। / Given \(p(x)=4x+9\), substitute \(-x\) for \(x\): \(p(-x)=4(-x)+9=-4x+9\). Therefore, \(p(x)+p(-x)=(4x+9)+(-4x+9)=18\). The expression \(8x+18\) would result only if the sign of \(x\) were not changed in \(p(-x)\). Exam tip: while finding \(p(-x)\), replace every occurrence of \(x\) with \(-x\) before simplifying.
दिया है \(p(x)=4x+9\)। \(x\) के स्थान पर \(-x\) रखने पर \(p(-x)=-4x+9\) प्राप्त होता है। इसलिए \(p(x)-p(-x)=(4x+9)-(-4x+9)=4x+9+4x-9=8x\)। \(18\) नहीं आएगा, क्योंकि स्थिर पद \(+9\) और \(-9\) परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: \(p(-x)\) निकालते समय \(x\) वाले प्रत्येक पद में \(x\) के स्थान पर \(-x\) अवश्य रखें। / Given \(p(x)=4x+9\), substitute \(-x\) for \(x\) to get \(p(-x)=-4x+9\). Hence, \(p(x)-p(-x)=(4x+9)-(-4x+9)=4x+9+4x-9=8x\). It is not \(18\), because the constant terms \(+9\) and \(-9\) cancel. Exam tip: while finding \(p(-x)\), replace every occurrence of \(x\) with \(-x\).
शून्यक (0) होने के लिए नियतांक पद (2s=0) होना चाहिए। (s=0) पर (x) का गुणांक (4) है इसलिए बहुपद रेखीय है। / For the zero to be (0), the constant term (2s=0). At (s=0), the coefficient of (x) is (4), so the polynomial is linear.
दिए गए बहुपदों को जोड़ने पर, (p(x)+q(x))=(3x+a)+(5x-a)=8x प्राप्त होता है। यहाँ (a) के पद कट जाते हैं, इसलिए योग बहुपद (a) पर निर्भर नहीं करता। (8x) का शून्यक केवल (0) है, क्योंकि (8x=0) होने पर (x=0) मिलता है। अतः किसी भी (a) के लिए इसका शून्यक (2) नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: शून्यक की शर्त लगाने से पहले पदों को सरल करके देखें कि अचर पद कट तो नहीं रहे हैं। / Adding the polynomials gives (p(x)+q(x))=(3x+a)+(5x-a)=8x. The terms containing (a) cancel, so the sum does not depend on (a). The only zero of (8x) is (0), since (8x=0) gives (x=0). Hence, no value of (a) can make (2) a zero. Exam tip: Simplify the polynomial first and check whether variable parameters cancel before applying the zero condition.
\(q(x)-p(x)=(5x-a)-(3x+a)\) है। दूसरे कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न होने पर उसके भीतर के दोनों पदों के चिह्न बदलेंगे: \(5x-a-3x-a=2x-2a\)। इसलिए सही उत्तर \(2x-2a\) है। केवल \(2x\) लिखना गलत है, क्योंकि स्थिर पद \(-a-a=-2a\) भी शामिल होगा। परीक्षा टिप: बहुपद घटाते समय दूसरे बहुपद को कोष्ठक में रखकर प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \(q(x)-p(x)=(5x-a)-(3x+a)\). Since there is a minus sign before the second bracket, the signs of both its terms change: \(5x-a-3x-a=2x-2a\). Hence, the correct answer is \(2x-2a\). Writing only \(2x\) is incorrect because the constant terms also give \(-a-a=-2a\). Exam tip: while subtracting polynomials, keep the second polynomial in brackets and change every sign inside it.
((2x+3)(x-4)) में उच्चतम पद \(2x^2\) है। इसलिए गुणनफल की डिग्री (2) है और यह रेखीय नहीं है। / In ((2x+3)(x-4)), the highest term is \(2x^2\). So the product has degree (2) and is not linear.
दिया है, \(p(x)=ax-2\)। इसलिए \(p(0)=-2\)। अब \(p(p(0))=p(-2)=-2a-2\) होगा। प्रश्नानुसार \(-2a-2=10\), अतः \(-2a=12\) और \(a=-6\)। इसलिए सही विकल्प D है। \(a=6\) रखने पर \(p(p(0))=-14\) आएगा, 10 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले अंदर वाले फलन का मान निकालकर उसे बाहरी फलन में रखें। / Given \(p(x)=ax-2\), we get \(p(0)=-2\). Therefore, \(p(p(0))=p(-2)=-2a-2\). Using \(-2a-2=10\), we obtain \(-2a=12\), so \(a=-6\). Hence, option D is correct. If \(a=6\), then \(p(p(0))=-14\), not 10. Exam tip: In a composite-function question, evaluate the inner function first and substitute its value into the outer function.
दिया है कि \(p(x)=x+a\)। पहले \(p(1)=1+a\) होगा। अब \(p(p(1))=p(1+a)=(1+a)+a=1+2a\)। अतः \(1+2a=7\), इसलिए \(2a=6\) और \(a=3\)। विकल्प 4 लेने पर \(p(p(1))=1+2(4)=9\) आता है, जो 7 नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के अंदर बहुपद होने पर पहले अंदर वाले मान को निकालकर उसे बाहरी बहुपद में रखें। / Given \(p(x)=x+a\), first \(p(1)=1+a\). Therefore, \(p(p(1))=p(1+a)=(1+a)+a=1+2a\). Hence \(1+2a=7\), so \(2a=6\) and \(a=3\). If \(a=4\), then \(p(p(1))=1+2(4)=9\), not 7. Exam tip: In a composite function, evaluate the inner function first and substitute its result into the outer function.
रैखिक बहुपद की घात ठीक 1 होती है, इसलिए \(x\) का गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए। यदि \(a=0\), तो \(p(x)=b\) एक स्थिर बहुपद है। परीक्षा टिप: सबसे पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / A linear polynomial has degree exactly 1, so the coefficient \(a\) of \(x\) must be non-zero. If \(a=0\), then \(p(x)=b\) is a constant polynomial. Exam tip: first check the coefficient of the highest-power term.
दिया है, \(p(x)=6x-1\)। अतः \(p(x+3)=6(x+3)-1=6x+17\) और \(p(x-2)=6(x-2)-1=6x-13\)। इसलिए \(p(x+3)-p(x-2)=(6x+17)-(6x-13)=30\)। विकल्प 18 केवल \(x\) में 3 की वृद्धि से होने वाला परिवर्तन है; यहाँ इनपुटों का अंतर \((x+3)-(x-2)=5\) है, इसलिए परिवर्तन \(6\times5=30\) होगा। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) के लिए \(p(u)-p(v)=a(u-v)\) का उपयोग करें। / Given \(p(x)=6x-1\), we get \(p(x+3)=6(x+3)-1=6x+17\) and \(p(x-2)=6(x-2)-1=6x-13\). Therefore, \(p(x+3)-p(x-2)=(6x+17)-(6x-13)=30\). Option 18 is only the change for an input increase of 3; here the inputs differ by \((x+3)-(x-2)=5\), so the change is \(6\times5=30\). Exam tip: for a linear polynomial \(ax+b\), use \(p(u)-p(v)=a(u-v)\).
पहले अंदर वाले फलन का मान निकालें: \(p(3)=4\times3-9=3\)। अब \(p(p(3))=p(3)=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। 9 एक संभावित भ्रमकारी विकल्प है, क्योंकि वह केवल स्थिर पद है, फलन का मान नहीं। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन में हमेशा अंदर वाले फलन का मान पहले ज्ञात करें। / First evaluate the inner function: \(p(3)=4\times3-9=3\). Therefore, \(p(p(3))=p(3)=3\). Hence, the correct answer is 3. The value 9 is only the constant term and is not the value of the function here. Exam tip: In a composite function, always evaluate the inner function first.
दिया है \(p(x)=5x+2\)। अतः \(p(x+1)=5(x+1)+2=5x+7\) और \(p(x-1)=5(x-1)+2=5x-3\)। इसलिए \(p(x+1)+p(x-1)=(5x+7)+(5x-3)=10x+4\)। विकल्प \(10x\) केवल तभी मिलता यदि स्थिर पदों का योग शून्य होता, पर यहाँ उनका योग \(7+(-3)=4\) है। परीक्षा टिप: \(x\) के स्थान पर \(x+1\) या \(x-1\) रखने के बाद पूरे व्यंजक को सरल करके ही जोड़ें। / Given \(p(x)=5x+2\), \(p(x+1)=5(x+1)+2=5x+7\) and \(p(x-1)=5(x-1)+2=5x-3\). Therefore, \(p(x+1)+p(x-1)=(5x+7)+(5x-3)=10x+4\). The option \(10x\) would result only if the constant terms added to zero, but here \(7+(-3)=4\). Exam tip: substitute \(x+1\) and \(x-1\) carefully in the complete polynomial before adding.
रेखीय न रहने के लिए (x) का गुणांक (0) होना चाहिए। (r-2-2r=r(r-2)=0) से (r=0) या (r=2) मिलता है। / For it not to be linear, the coefficient of (x) must be (0). (r-2-2r=r(r-2)=0) gives (r=0) or (r=2).
दिया है, \(p(x)=ax+3\)। पहले \(p(0)=a(0)+3=3\) होगा। अतः \(p(p(0))=p(3)=3a+3\)। प्रश्नानुसार \(3a+3=18\), इसलिए \(3a=15\) और \(a=5\)। विकल्प 6 लेने पर \(p(p(0))=21\) आता, जो 18 नहीं है। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन \(p(p(0))\) में पहले अंदर वाले फलन \(p(0)\) का मान निकालें। / Given \(p(x)=ax+3\), first find \(p(0)=a(0)+3=3\). Therefore, \(p(p(0))=p(3)=3a+3\). Using \(3a+3=18\), we get \(3a=15\), so \(a=5\). If \(a=6\), then \(p(p(0))=21\), not 18. Exam tip: In a composite expression such as \(p(p(0))\), evaluate the inner function first.
दोनों समीकरणों से (4m=12) इसलिए (m=3) है। (2m+n=13) से (n=7) और (m-n=-4) मिलता है, जो विकल्पों में नहीं है। / From the two equations, (4m=12), so (m=3). From (2m+n=13), (n=7) and (m-n=-4), which is not in the options.
