बहुपद की डिग्री वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^9\) शून्य पद है, इसलिए \(x^9\) को नहीं गिना जाएगा। शेष पदों में \(6x^5\) की घात सबसे बड़ी है, अतः बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प 9 गलत है क्योंकि उसका गुणांक 0 है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, \(0x^9\) is a zero term, so \(x^9\) is not considered. Among the remaining terms, \(6x^5\) has the highest power; therefore, the degree is 5. Option 9 is incorrect because its coefficient is 0. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
C. कथन गलत है; \(5x^7-5x^7=0\) होने के बाद उच्चतम घात 3 बचती है, इसलिए डिग्री 3 है।/The statement is incorrect; after \(5x^7-5x^7=0\), the highest remaining exponent is 3, so the degree is 3.
Explanation
Simple Explanation
\(5x^7\) और \(-5x^7\) समान पद हैं तथा उनका योग 0 है। इसलिए \(p(x)=4x^3-1\) रह जाता है। सरल रूप में गैर-शून्य गुणांक वाली सबसे बड़ी घात 3 है, अतः डिग्री 3 है। केवल \(x^7\) वाले पदों का दिखना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि वे कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को मिलाकर बहुपद को सरल करें। / \(5x^7\) and \(-5x^7\) are like terms and add to 0. Thus, \(p(x)=4x^3-1\). In the simplified polynomial, the greatest exponent with a non-zero coefficient is 3, so its degree is 3. Merely seeing \(x^7\) terms is not enough because they cancel. Exam tip: always simplify like terms before determining the degree.
(k=5) रखने पर \(x^7\) का गुणांक (0) हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (k=5) makes the coefficient of \(x^7\) equal to (0). In the remaining polynomial, the highest power is (3).
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है। दिए गए व्यंजक में \(x^4\) का गुणांक \(m+6\) है। इसे रेखीय बनाने के लिए यह गुणांक 0 होना चाहिए: \(m+6=0\)। अतः \(m=-6\) होगा और बहुपद \(-2x+9\) बन जाएगा, जिसकी घात 1 है। \(m=0\) रखने पर \(6x^4\) पद बना रहता है, इसलिए वह रेखीय नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य हो सकता है या नहीं, जाँचें। / A linear polynomial has degree 1. In the given expression, the coefficient of \(x^4\) is \(m+6\). For the polynomial to become linear, this coefficient must be zero: \(m+6=0\). Hence, \(m=-6\), and the polynomial becomes \(-2x+9\), which has degree 1. If \(m=0\), the term \(6x^4\) remains, so it is not linear. Exam tip: Before deciding the degree of a polynomial, check whether the coefficient of the highest-power term can become zero.
C. क्योंकि (2x-1) मूल चिह्न के अंदर है/Because (2x-1) is inside a radical sign
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2x-1}\) बहुपद की मान्य घातों वाला पद नहीं है। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{2x-1}\) is not a term with valid polynomial powers. Therefore the whole expression is not a polynomial.
बहुपद में किसी पद का गुणांक उस चर-पद के साथ गुणा होने वाली संख्या होती है। यहाँ \(x^4\) का पद \(0x^4\) है, इसलिए उसका गुणांक 0 है। 5, \(x^5\) का गुणांक है और -3, (x) का गुणांक है; ये \(x^4\) के गुणांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: जिस घात का गुणांक पूछा हो, उसी घात वाले पद को खोजें; पद न दिखे तो उसका गुणांक 0 होता है। / In a polynomial, the coefficient is the number multiplying the specified variable term. Here, the term in \(x^4\) is \(0x^4\), so its coefficient is 0. The number 5 is the coefficient of \(x^5\), while -3 is the coefficient of (x), not of \(x^4\). Exam tip: Find the term with the requested exponent; if it is absent, its coefficient is 0.
पहले व्यंजक में सबसे बड़ी घात (2) है और सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह द्विघात बहुपद है। / In the first expression, the highest power is (2), and all powers are valid. So it is a quadratic polynomial.
A. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर में \(x^2\) है। बहुपद रूप के लिए सरल करते समय डोमेन शर्त भी ध्यान रखनी होती है। / In the original form, \(x^2\) is in the denominator. While simplifying to polynomial form, the domain condition must also be considered.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^5}{x^2}=x^3\) और \(\frac{3x^2}{x^2}=3\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+3\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^5}{x^2}=x^3\) and \(\frac{3x^2}{x^2}=3\). So the simplified form is \(x^3+3\).
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। \(x^3+3\) में \(x^3\) की घात 3 है, जबकि स्थिरांक 3 की घात 0 मानी जाती है। इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 0 केवल स्थिर बहुपद के लिए होता है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करें, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. In \(x^3+3\), the term \(x^3\) has exponent 3, while the constant term 3 has degree 0. Therefore, the degree of the polynomial is 3. Option 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify first, then identify the highest power of the variable.
C. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद की तरह नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / (|x|) is not written as a term with non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
\(b=0\) होने पर \(bx^6=0\) हो जाता है, इसलिए दिया गया बहुपद \(ax^8-5x+2\) बनता है। चूँकि \(a\neq0\), इसलिए \(x^8\) का गुणांक शून्य नहीं है। बहुपद की डिग्री चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो; अतः डिग्री 8 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि \(x^6\) वाला पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / When \(b=0\), the term \(bx^6\) becomes zero, so the polynomial is \(ax^8-5x+2\). Since \(a\neq0\), the coefficient of \(x^8\) is non-zero. The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient; therefore, the degree is 8. Option 6 is incorrect because the \(x^6\) term vanishes. Exam tip: First remove all terms whose coefficients are zero.
\(a=0\) रखने पर \(ax^8=0\) हो जाता है, इसलिए \(x^8\) वाला पद हट जाता है। चूँकि \(b\neq0\) है, \(bx^6\) एक अशून्य पद बना रहता है। शेष पदों की घातें \(1\) और \(0\) हैं, इसलिए बहुपद की सबसे बड़ी घात \(6\) है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(a=0\), \(ax^8=0\), so the \(x^8\) term disappears. Since \(b\neq0\), \(bx^6\) remains a non-zero term. The remaining terms have powers \(1\) and \(0\), so the highest power is \(6\). Option 8 is incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
\(\sqrt{2}x-\frac{3}{5}\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है और \(x\) का गुणांक \(\sqrt{2}\), एक वास्तविक संख्या है। अतः यह \(x\) में रेखीय बहुपद है। \(x^2-1\) द्विघात बहुपद है, जबकि \(\frac{1}{x}+2\) में \(x\) की घात \(-1\) तथा \(\sqrt{x}+1\) में घात \(\frac{1}{2}\) होती है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल 0, 1, 2, ... जैसी गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ होती हैं। / In \(\sqrt{2}x-\frac{3}{5}\), the highest power of the variable \(x\) is 1, and \(\sqrt{2}\) is a real coefficient. Hence, it is a linear polynomial in \(x\). \(x^2-1\) is quadratic, while \(\frac{1}{x}+2\) has power \(-1\) of \(x\) and \(\sqrt{x}+1\) has power \(\frac{1}{2}\); therefore, these are not polynomials. Exam tip: powers of a variable in a polynomial must be non-negative integers such as 0, 1, 2, ... .
नियतांक बनने के लिए (r+4=0) और (r-1=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (r+4=0) and (r-1=0) are required. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
\(x\) के सापेक्ष \(y\) को गुणांक माना जाता है। विकल्प A में \(x\) की घातें \(3,1\) और \(0\) हैं, जो सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए \(y^2x^3-2yx+5\), \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(x\) हर में है, इसलिए उसकी घात \(-1\) है; विकल्प C में \(x\) की घात \(\frac12\) है; और विकल्प D में घात \(-2\) है। अतः ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: जिस चर में बहुपद पूछा हो, केवल उसी चर की घातों को जाँचें; वे \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए। / With respect to \(x\), \(y\) is treated as a coefficient. In option A, the powers of \(x\) are \(3,1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, \(y^2x^3-2yx+5\) is a polynomial in \(x\). In option B, \(x\) is in the denominator, so its exponent is \(-1\); in C, the exponent of \(x\) is \(\frac12\); and in D, it is \(-2\). Hence, these are not polynomials in \(x\). Exam tip: check exponents only of the variable in question; they must be \(0,1,2,\ldots\).
बहुपद \(9x^7-2x^5+4\) में केवल \(x^7\), \(x^5\) और स्थिर पद \(4\) हैं। इसमें \(x^6\), \(x^4\) तथा \(x\) वाले पद नहीं हैं, इसलिए इन तीनों के गुणांक क्रमशः \(0, 0, 0\) हैं। \(-2\), \(x^5\) का गुणांक है, \(x^4\) का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद बहुपद में न दिखे, उसका गुणांक हमेशा \(0\) होता है। / The polynomial \(9x^7-2x^5+4\) contains only an \(x^7\) term, an \(x^5\) term, and the constant term \(4\). It has no \(x^6\), \(x^4\), or \(x\) term, so their coefficients are \(0, 0, 0\), respectively. The number \(-2\) is the coefficient of \(x^5\), not of \(x^4\). Exam tip: if a power of the variable is missing from a polynomial, its coefficient is \(0\).
(n=-2) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (3) है। / Putting (n=-2), the coefficient of \(x^6\) is (0) and the coefficient of \(x^3\) is (3). Therefore the degree is (3).
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है और उस पद का गुणांक अग्रणी गुणांक कहलाता है। \(-7x^5+x^2-4\) में सबसे बड़ी घात 5 है तथा \(x^5\) का गुणांक \(-7\) है, जो ऋणात्मक है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C का अग्रणी गुणांक ऋणात्मक है, लेकिन उसकी डिग्री केवल 4 है। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात पहचानें, फिर उसी पद का गुणांक देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable, and the coefficient of that term is the leading coefficient. In \(-7x^5+x^2-4\), the highest power is 5 and the coefficient of \(x^5\) is \(-7\), which is negative. Hence, option B is correct. Option C has a negative leading coefficient, but its degree is only 4. Exam tip: identify the highest-power term first, then check its coefficient.
पहले \(x^2\) को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें: \(x^2(x^3-4)=x^5-4x^2\)। अतः पूरा व्यंजक \(x^5-4x^2-x^5+7x^2\) होगा। समान पद \(x^5-x^5=0\) कट जाते हैं और \(-4x^2+7x^2=3x^2\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(3x^2\) है। \(x^5+3x^2\) तब मिलता यदि \(-x^5\) पद को न मिलाया जाए। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद केवल समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First distribute \(x^2\) to each term inside the bracket: \(x^2(x^3-4)=x^5-4x^2\). The expression becomes \(x^5-4x^2-x^5+7x^2\). The like terms \(x^5-x^5=0\) cancel, and \(-4x^2+7x^2=3x^2\). Hence, the simplified expression is \(3x^2\). \(x^5+3x^2\) would result if the \(-x^5\) term were not combined. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms with the same variable and exponent.
बहुपद 3x-2 में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपद है। चर x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद कहलाता है। इसलिए सही उत्तर द्विघात एकपद है। रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है, जबकि अचर बहुपद की घात 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The expression 3x-2 has only one term, so it is a monomial. The highest power of x is 2; therefore, its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. Hence, it is a quadratic monomial. A linear polynomial has degree 1, while a constant polynomial has degree 0. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the highest exponent of the variable.
B. यह बहुपद है और डिग्री (4) है/It is a polynomial and degree is (4)
Explanation
Simple Explanation
\(-\sqrt{5}\) और \(\frac{3}{8}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (4), और (1) हैं। / \(-\sqrt{5}\) and \(\frac{3}{8}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (4), and (1).
(c=0) पर \(x^8\) पद हट जाता है और \(x^5\) का गुणांक (2) रहता है। इसलिए डिग्री (5) है। / For (c=0), the \(x^8\) term disappears and the coefficient of \(x^5\) remains (2). Therefore the degree is (5).
\(x^2-9\) दो वर्गों का अंतर है: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)। चूँकि \(x\neq3\), इसलिए \(x-3\) को काटने पर \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) मिलता है। अतः दिया गया व्यंजक \(x^3+x+3\) है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में \(x+3\) के स्थान पर गलत रूप से \(x-3\) लिया गया है। परीक्षा टिप: पदों को काटने से पहले अंश का गुणनखंडन करें और हर के शून्य न होने की शर्त बनाए रखें। / \(x^2-9\) is a difference of squares: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Since \(x\neq3\), the factor \(x-3\) cancels, giving \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\). Thus the expression becomes \(x^3+x+3\), so option B is correct. Option A incorrectly gives \(x-3\) after simplification. Exam tip: factorise the numerator before cancelling factors, and retain the condition that the denominator is non-zero.
बहुपद की कोटि उसके चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(x^3+x+3\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने से पहले उसे सरल करके सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is determined by the highest power of the variable having a non-zero coefficient. In \(x^3+x+3\), the highest power of x is 3, so it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2. Exam tip: simplify the expression first and then identify its highest power.
यह व्यंजक एक बहुपद है क्योंकि इसकी सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं। यहाँ \(x^0=1\) होता है, इसलिए व्यंजक \(x^6+x^4+1\) बनता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 6 है, अतः इसकी डिग्री 6 है। 4 केवल एक पद की घात है, बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे स्थिर पदों को सरल करें, फिर सबसे बड़ी घात पहचानें। / This is a polynomial because all powers of \(x\) are non-negative integers. Since \(x^0=1\), the expression becomes \(x^6+x^4+1\). The highest power of \(x\) is 6, so its degree is 6. The number 4 is the degree of only one term, not of the whole polynomial. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the highest exponent.
(a=0) होने से \(x^6\) पद हटता है और \(b\neq0\) होने से \(x^4\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (4) है। / Since (a=0), the \(x^6\) term disappears, and since \(b\neq0\), the \(x^4\) term remains. So the degree is (4).
दिए गए व्यंजक में पद हैं: \(8x^5\), \(0x^4\), \(-3x^2\), \(0x\) और \(6\)। जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे शून्य पद होते हैं; इसलिए \(0x^4\) और \(0x\) नहीं गिने जाते। केवल \(8x^5\), \(-3x^2\) और \(6\) अशून्य पद हैं, अतः उत्तर 3 है। 4 चुनना गलत होगा क्योंकि उसमें एक शून्य गुणांक वाला पद भी गिन लिया जाएगा। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करते समय पहले 0 गुणांक वाले पद हटा दें। / The terms in the expression are \(8x^5\), \(0x^4\), \(-3x^2\), \(0x\), and \(6\). Any term with coefficient 0 is a zero term, so \(0x^4\) and \(0x\) are not counted. Only \(8x^5\), \(-3x^2\), and \(6\) are non-zero terms; therefore, the answer is 3. Choosing 4 would incorrectly include a term with zero coefficient. Exam tip: First remove all terms with coefficient 0 before counting polynomial terms.
B. यह एक बहुपद है जिसकी डिग्री \(4\) है/It is a polynomial of degree \(4\)
Explanation
Simple Explanation
दिया गया व्यंजक \(\frac{1}{3}x^4-\sqrt{10}x^2+7\) है। बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। इसके गुणांक भिन्न या अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी हो सकते हैं। यहाँ \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए यह \(4\) डिग्री का बहुपद है। \(\frac{1}{3}\) और \(-\sqrt{10}\) गुणांक हैं, इसलिए विकल्प A और D गलत हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक का प्रकार नहीं। / The expression is \(\frac{1}{3}x^4-\sqrt{10}x^2+7\). In a polynomial, the powers of the variable must be non-negative integers. Its coefficients may be fractional or irrational real numbers. The highest power of \(x\) is \(4\), so it is a polynomial of degree \(4\). Both \(\frac{1}{3}\) and \(-\sqrt{10}\) are coefficients, so options A and D are incorrect. Exam tip: find the degree from the highest exponent of the variable, not from the type of coefficient.
C. क्योंकि \(x^{\frac{3}{2}}\) की घात भिन्न है/Because \(x^{\frac{3}{2}}\) has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है। बहुपद में भिन्न घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the variable has a fractional power. Fractional powers are not valid in a polynomial.
नियतांक बनने के लिए \(x^4\) और (x) दोनों के गुणांक (0) चाहिए। (u+2=0) से दोनों पद हट जाते हैं। / To become constant, the coefficients of both \(x^4\) and (x) must be (0). From (u+2=0), both terms disappear.
\(x^6-2x^2+9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(6\) है, जो \(3\) से अधिक है। \(2x^3+1\) की डिग्री \(3\) है, जबकि \(5x-4\) की डिग्री \(1\) है। \(\frac{1}{x}+6=x^{-1}+6\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x\) की ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी अऋणात्मक पूर्णांक घात देखें। / In \(x^6-2x^2+9\), the highest power of \(x\) is \(6\), so its degree is \(6\), which is greater than \(3\). \(2x^3+1\) has degree \(3\), and \(5x-4\) has degree \(1\). \(\frac{1}{x}+6=x^{-1}+6\) is not a polynomial because it contains a negative power of \(x\). Exam tip: Find a polynomial's degree by identifying the greatest non-negative integer power of its variable.
दिया गया बहुपद \(6x^8-5x^6+3\) है। इसमें \(x^7\), \(x^5\) और \(x\) वाले कोई पद नहीं हैं, इसलिए इन तीनों का गुणांक \(0\) है। \(6\) और \(-5\) क्रमशः \(x^8\) तथा \(x^6\) के गुणांक हैं, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: जिस घात का पद बहुपद में न दिखे, उसका गुणांक हमेशा \(0\) मानें। / The polynomial is \(6x^8-5x^6+3\). It has no terms containing \(x^7\), \(x^5\), or \(x\), so the coefficient of each of these powers is \(0\). The numbers \(6\) and \(-5\) are coefficients of \(x^8\) and \(x^6\), respectively, so option A is not correct. Exam tip: If a power of a variable is absent from a polynomial, its coefficient is \(0\).
(r=3) पर \(x^7\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (2) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / For (r=3), the coefficient of \(x^7\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (2). Therefore the degree is (4).
पहले वितरित करें: \(x^3(x^2-5)=x^5-5x^3\)। इसलिए पूरा व्यंजक \(x^5-5x^3-x^5+9x^3\) बनता है। \(x^5-x^5=0\) और \(-5x^3+9x^3=4x^3\), अतः सही उत्तर \(4x^3\) है। \(x^5+4x^3\) गलत है क्योंकि \(x^5\) वाले पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First distribute: \(x^3(x^2-5)=x^5-5x^3\). Thus, the expression becomes \(x^5-5x^3-x^5+9x^3\). Here \(x^5-x^5=0\) and \(-5x^3+9x^3=4x^3\), so the correct answer is \(4x^3\). \(x^5+4x^3\) is incorrect because the \(x^5\) terms cancel each other. Exam tip: after opening brackets, combine only like terms with the same power of the variable.
बहुपद 4x-3 में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदी है। इसमें चर x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः इसकी घात 3 है और यह त्रिघात बहुपद कहलाता है। द्विघात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या से एकपदी/द्विपदी आदि और चर की उच्चतम घात से बहुपद का प्रकार पहचानें। / The expression 4x-3 has only one term, so it is a monomial. The highest power of x is 3; therefore, its degree is 3 and it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, so option B is not correct. Exam tip: use the number of terms to identify monomial/binomial, and the highest exponent to identify the degree.
B. यह बहुपद है और डिग्री (5) है/It is a polynomial and degree is (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(-\frac{4}{9}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (5), और (2) हैं। / \(\sqrt{2}\) and \(-\frac{4}{9}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (5), and (2).
(d=-1) रखने पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (d=-1) makes the coefficient of \(x^5\) equal to (0) and the coefficient of \(x^2\) equal to (1). So the highest power is (2).
डिग्री (3) के लिए \(x^6\) का गुणांक (0) होना चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (2a-8=0) से (a=4) मिलता है। / For degree (3), the coefficient of \(x^6\) must be (0) and the coefficient of \(x^3\) must remain non-zero. From (2a-8=0), (a=4).
C. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर (x-2) है, इसलिए यह सीधे बहुपद नहीं कहलाता। सरल करने पर भी \(x\neq2\) की शर्त रहती है। / In the original form, the denominator is (x-2), so it is not directly called a polynomial. Even after simplifying, the condition \(x\neq2\) remains.
\(x^2-4\) वर्गों का अंतर है: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)। अतः \(x\neq2\) के लिए \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\)। विकल्प \(x-2\) केवल अंश का एक गुणनखंड है, सरलीकृत मान नहीं। परीक्षा टिप: बीजीय भिन्न को सरल करने से पहले अंश का गुणनखंडन करें और हर के शून्य करने वाले मान को ध्यान में रखें। / \(x^2-4\) is a difference of squares: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Thus, for \(x\neq2\), \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\). The option \(x-2\) is only a factor of the numerator, not the simplified expression. Exam tip: factorise the numerator before cancelling, and note values that make the denominator zero.
बहुपद की कोटि उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। (x+2) में x की घात 1 है, इसलिए इसकी कोटि 1 है और यह रेखीय बहुपद है। द्विघात बहुपद में x की घात 2 वाला पद, जैसे x², होना चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए पहले उसे सरल करके चर की उच्चतम घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. In (x+2), the highest power of x is 1, so its degree is 1 and it is a linear polynomial. A quadratic polynomial must contain a term with x raised to the power 2, such as x². Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest power of the variable.
विकल्प B में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए x का घातांक \(-1\) हो जाता है। x में बहुपद के प्रत्येक पद में x का घातांक 0 या धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए। विकल्प A, C और D में x के सभी घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: जिस व्यंजक में चर हर में हो या उसका घातांक ऋणात्मक हो, वह बहुपद नहीं होता। / Option B contains \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so x has exponent \(-1\). In a polynomial in x, every exponent of x must be a non-negative integer. Options A, C, and D have only non-negative integer exponents, so they are polynomials. Exam tip: if a variable appears in the denominator or has a negative exponent, the expression is not a polynomial.
\(3x^4-2x^2+9\) में चर वाले अशून्य पदों की घातें (4) और (2) हैं। दोनों सम और मान्य घातें हैं। / In \(3x^4-2x^2+9\), the non-zero variable term powers are (4) and (2). Both are even and valid powers.
नियतांक बनने के लिए \(w^2-1=0\) और (w-1=0) दोनों चाहिए। दोनों शर्तें साथ में (w=1) पर पूरी होती हैं। / To become constant, both \(w^2-1=0\) and (w-1=0) are needed. Both conditions are satisfied together at (w=1).
(z=-2) पर \(x^5\) और \(x^3\) दोनों के गुणांक (0) हो जाते हैं। बची हुई सबसे बड़ी घात (1) है। / For (z=-2), the coefficients of both \(x^5\) and \(x^3\) become (0). The remaining highest power is (1).
\(2^x\) में चर घात के स्थान पर है। बहुपद में चर आधार में होता है और उसकी घात अऋणात्मक पूर्णांक होती है। / In \(2^x\), the variable is in the exponent. In a polynomial, the variable is the base with a non-negative integer power.
(x) के संदर्भ में (6y-4) अशून्य नियतांक है। इसलिए यह (x) में डिग्री (0) का बहुपद है। / With respect to (x), (6y-4) is a non-zero constant. Therefore it is a polynomial in (x) of degree (0).
व्यंजक x-4-4x-2+4 में केवल x-4, x-2 और अचर पद 4 हैं। इसमें न तो x-3 पद है और न ही x पद; अनुपस्थित किसी भी घात के पद का गुणांक 0 माना जाता है। इसलिए x-3 और x के गुणांक क्रमशः 0 और 0 हैं। -4, x-2 का गुणांक है, x या x-3 का नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद को x की घातों के घटते क्रम में लिखकर अनुपस्थित पदों के लिए 0 गुणांक पहचानें। / The expression x-4-4x-2+4 contains only the x-4 term, the x-2 term, and the constant term 4. It has neither an x-3 term nor an x term, so the coefficient of each missing power is taken as 0. Hence, the coefficients of x-3 and x are 0 and 0 respectively. The number -4 is the coefficient of x-2, not of x or x-3. Exam tip: Write a polynomial in descending powers of x and assign coefficient 0 to every missing power.
A. \(x^5+x^2+1\) में \(x^4\) और \(x^3\) के गुणांक 0 हैं/In \(x^5+x^2+1\), the coefficients of \(x^4\) and \(x^3\) are 0.
Explanation
Simple Explanation
\(x^5+x^2+1\) एक बहुपद है, क्योंकि इसके सभी घातांक 0 या धनात्मक पूर्णांक हैं। इसमें \(x^4\) और \(x^3\) के पद लिखे नहीं हैं, इसलिए उनके गुणांक 0 माने जाते हैं। अतः यह लुप्त घातों वाला (अपूर्ण) बहुपद है। विकल्प D गलत है क्योंकि बहुपद की उच्चतम घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। परीक्षा टिप: किसी अनुपस्थित घात वाले पद का गुणांक हमेशा 0 लिखें। / \(x^5+x^2+1\) is a polynomial because all its exponents are non-negative integers. The \(x^4\) and \(x^3\) terms are absent, so their coefficients are taken as 0. Hence, it is a polynomial with missing powers. Option D is incorrect because the highest power is 5, so its degree is 5. Exam tip: Write 0 as the coefficient of every missing power.
