डिग्री (5) के लिए \(x^8\) का गुणांक (0) और \(x^5\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=2) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (5), the coefficient of \(x^8\) must be (0) and the coefficient of \(x^5\) must be non-zero. This condition holds at (a=2).
पहले गुणा करने पर
\(x^3(x^4-2)=x^7-2x^3\) मिलता है। अतः पूरा व्यंजक \(x^7-2x^3-x^7+5x^2=-2x^3+5x^2\) है। इसमें सबसे अधिक घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(x^7\) और \(-x^7\) परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा व्यंजक को सरल करके समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^3(x^4-2)=x^7-2x^3\). Therefore, the expression becomes \(x^7-2x^3-x^7+5x^2=-2x^3+5x^2\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 3, so its degree is 3. Option 7 is incorrect because \(x^7\) and \(-x^7\) cancel. Exam tip: Always simplify and combine like terms before finding the degree.
जब \(k=3\) रखते हैं, तब \(k^2-9=9-9=0\) और \(k-3=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(x^6\) तथा \(x^4\) वाले पद समाप्त हो जाते हैं और \(q(x)=2x^2\) बचता है। इसकी सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की डिग्री 2 है। विकल्प 6 मूल व्यंजक को देखकर मिल सकता है, लेकिन उसका गुणांक \(k=3\) पर शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले पैरामीटर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ। / On substituting \(k=3\), we get \(k^2-9=9-9=0\) and \(k-3=0\). Thus, the \(x^6\) and \(x^4\) terms vanish, leaving \(q(x)=2x^2\). Its highest power of \(x\) is 2, so the degree is 2. Option 6 may seem tempting from the original expression, but its coefficient becomes zero when \(k=3\). Exam tip: substitute the parameter value and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
C. इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई भी अशून्य पद नहीं होता। डिग्री ज्ञात करने के लिए अशून्य पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखी जाती है; यहाँ ऐसा कोई पद नहीं है, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प A गैर-शून्य स्थिर बहुपद, जैसे 5, की डिग्री बताता है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद और गैर-शून्य स्थिर बहुपद में अंतर अवश्य याद रखें। / The zero polynomial has no non-zero term. Degree is determined by the greatest exponent among the non-zero terms, and there is no such term here; therefore, its degree is not defined. Option A applies to a non-zero constant polynomial such as 5, not to the zero polynomial. Exam tip: always distinguish the zero polynomial from a non-zero constant polynomial.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(x^5-3x^5+2x^5=(1-3+2)x^5=0\) मिलता है। अतः \(f(x)=4x-1\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 1 है। विकल्प 5 मूल व्यंजक को बिना सरलीकृत किए देखने पर लग सकता है, लेकिन उसके सभी \(x^5\) पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर बहुपद को सरल करें। / Combining the like terms gives \(x^5-3x^5+2x^5=(1-3+2)x^5=0\). Hence, \(f(x)=4x-1\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 1, so its degree is 1. Option 5 may seem tempting if the expression is not simplified, but all the \(x^5\) terms cancel out. Exam tip: always simplify by combining like terms before finding the degree of a polynomial.
बहुचरों वाले बहुपद में किसी पद की कुल घात उसके सभी चरों की घातों का योग होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 2+5=7, 4+2=6, 1+1=2 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी कुल घात 7 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 7 है। 6 दूसरे पद की कुल घात है, लेकिन वह अधिकतम नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / In a polynomial of several variables, the total degree of a term is the sum of the exponents of all its variables. Here, the total degrees of the terms are 2+5=7, 4+2=6, 1+1=2, and 0 respectively. The greatest total degree is 7, so the polynomial has total degree 7. Although 6 is the degree of the second term, it is not the highest. Exam tip: Add the exponents in each term and choose the greatest sum.
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 3, 5, 0 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 7, पद 6x-3y-7 में y की घात है, x की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 3, 5, 0, and 0. The greatest power is 5, so the answer is 5. The number 7 is the power of y in 6x-3y-7, not the power of x. Exam tip: compare powers only of the variable with respect to which the degree is asked.
y के सापेक्ष बहुपद की डिग्री, y की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए व्यंजक में पदों में y की घातें 7, 2, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए सही उत्तर 7 है। x की घातें यहाँ गुणांकों का भाग मानी जाती हैं; इसलिए x-5 होने पर भी डिग्री 5 नहीं होगी। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, तो केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / The degree of a polynomial with respect to y is the greatest exponent of y. In the given expression, the powers of y in the terms are 7, 2, 1, and 0. The greatest power is 7, so the answer is 7. The powers of x are treated as part of the coefficients when considering y; hence 5 is not the degree. Exam tip: When degree is asked with respect to one variable, compare powers of that variable only.
जब (n>7) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=8) ही शर्त पूरी करता है। / When (n>7), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, only (n=8) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(4x^6\) के कारण डिग्री 6 है। शर्त \(m<6\) के अनुसार \(m=4\) संभव है और तब \(3x^4\) की घात 6 से कम रहती है। \(m=6\) सबसे अधिक घात को नहीं बदलता, पर वह दी गई शर्त \(m<6\) को पूरा नहीं करता; \(m=7\) और \(m=8\) पर डिग्री 7 या 8 हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री वाले प्रश्नों में पहले सबसे बड़ी घात और फिर दी गई शर्त जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable. The term \(4x^6\) makes the degree 6. Since \(m<6\), \(m=4\) is possible, and the exponent in \(3x^4\) remains less than 6. Although \(m=6\) would not change the highest exponent, it does not satisfy \(m<6\); \(m=7\) and \(m=8\) would make the degree 7 or 8. Exam tip: In degree questions, first identify the highest exponent and then check every given condition.
A. बहुपद की डिग्री शून्येतर गुणांक वाले पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है।/The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) in a term with a non-zero coefficient.
Explanation
Simple Explanation
\(0x^6\) शून्य पद है, इसलिए यह बहुपद की डिग्री में नहीं गिना जाता। शून्येतर पदों में सबसे बड़ी घात \(x^4\) की है, अतः डिग्री 4 है। परीक्षा में पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ। / Since \(0x^6\) is a zero term, it does not affect the degree. The highest power among the non-zero terms is \(x^4\), so the degree is 4. Exam tip: ignore all terms with coefficient zero first.
\(7\) में चर \(x\) नहीं है, इसलिए यह स्थिर बहुपद है और इसकी घात 0 होती है। \(7x\) तथा \(x+7\) में चर है, जबकि \(\frac{7}{x}=7x^{-1}\) बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / Since \(7\) has no variable, it is a constant polynomial with degree 0. \(7x\) and \(x+7\) contain the variable, while \(\frac{7}{x}=7x^{-1}\) is not a polynomial. Exam tip: powers of a variable in a polynomial cannot be negative.
\(a\neq1\) होने पर \(x^{10}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (10) रहेगी। / When \(a\neq1\), the coefficient of \(x^{10}\) is not zero. Therefore the highest power remains (10).
a=1 रखने पर a-1=0 होता है, इसलिए 0x^{10} पद समाप्त हो जाता है। बहुपद 7x-4-8 बचता है, जिसमें x की सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए इसकी डिग्री 4 है। विकल्प 0 केवल तब होता जब बहुपद में कोई चर वाला पद न बचता। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद ही बहुपद की सबसे बड़ी शून्येतर घात देखें। / Substituting a=1 gives a-1=0, so the term 0x^{10} vanishes. The polynomial becomes 7x-4-8, whose highest power of x is 4. Hence, its degree is 4. Option 0 would apply only if no variable term remained. Exam tip: first substitute the parameter value, then identify the highest non-zero power of the variable.
शून्य बहुपद में प्रत्येक घात का गुणांक 0 होता है, इसलिए इसमें उच्चतम घात वाला कोई अशून्य पद नहीं होता। अतः कक्षा 9 के मानक परिभाषा के अनुसार इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। विकल्प 0 अशून्य स्थिर बहुपद की डिग्री है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल अशून्य गुणांक वाले पदों को देखें। / In the zero polynomial, the coefficient of every power is 0, so there is no non-zero term with a highest power. Therefore, under the standard Class 9 definition, its degree is not defined. Option 0 is the degree of a non-zero constant polynomial, not of the zero polynomial. Exam tip: while finding degree, consider only terms with non-zero coefficients.
पहले विस्तार करें: \(2x^4(x^3-1)=2x^7-2x^4\)। इसलिए दिया गया व्यंजक \(2x^7-2x^4-2x^7+9x^5=9x^5-2x^4\) बनता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात \(5\) है, अतः बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(2x^7\) और \(-2x^7\) परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को अवश्य मिलाएँ। / First expand: \(2x^4(x^3-1)=2x^7-2x^4\). Thus, the expression becomes \(2x^7-2x^4-2x^7+9x^5=9x^5-2x^4\). The highest power with a non-zero coefficient is \(5\), so the degree of the polynomial is 5. Option 7 is incorrect because \(2x^7\) and \(-2x^7\) cancel each other. Exam tip: Expand brackets and combine like terms before finding the degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-17) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-17) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (7) है और \(x^6\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^6\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (7), and the \(x^6\) term is absent. So the coefficient of \(x^6\) is (0).
यह शून्य बहुपद है, क्योंकि इसके सभी गुणांक 0 हैं। बहुपद की डिग्री सबसे अधिक घात वाले उस पद से तय होती है जिसका गुणांक शून्येतर हो। शून्य बहुपद में ऐसा कोई पद नहीं होता, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। 0 एक अचर शून्येतर बहुपद की डिग्री हो सकती है, लेकिन शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद और अचर बहुपद में अंतर अवश्य याद रखें। / This is the zero polynomial because all its coefficients are 0. The degree of a polynomial is determined by the highest power having a non-zero coefficient. The zero polynomial has no such term, so its degree is not defined. Degree 0 applies to a non-zero constant polynomial, not to the zero polynomial. Exam tip: Always distinguish the zero polynomial from a non-zero constant polynomial.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\)। अतः \(p(x)=x^4-x^2-x^4+x^2+5=5\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 4 केवल विस्तार से पहले दिखने वाली उच्चतम घात पर आधारित है; समान पदों के निरसन के बाद वह पद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने से पहले उसे पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Therefore, \(p(x)=x^4-x^2-x^4+x^2+5=5\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 4 results from noticing the highest power before simplification, but those terms cancel out. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
\((x^2+2x)(x^3-x)=x^5+2x^4-x^3-2x^2\)। इसमें से \(x^5\) घटाने पर \(x^5\) पद निरस्त हो जाता है और बहुपद \(2x^4-x^3-2x^2\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(4\) है, इसलिए डिग्री \(4\) है। \(5\) सही नहीं है क्योंकि \(x^5\) पद कट चुका है। परीक्षा टिप: गुणन के बाद समान घात वाले पदों को मिलाने के बाद ही डिग्री निर्धारित करें। / Expanding, \((x^2+2x)(x^3-x)=x^5+2x^4-x^3-2x^2\). On subtracting \(x^5\), the \(x^5\) terms cancel, leaving \(2x^4-x^3-2x^2\). Its highest exponent is \(4\), so the degree is \(4\). Option \(5\) is not correct because the \(x^5\) term has been cancelled. Exam tip: determine the degree only after simplifying and combining like terms.
डिग्री (0) के लिए \(x^5\) और \(x^3\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-2) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^5\) and \(x^3\) terms must vanish. At (c=-2), both coefficients become (0).
डिग्री (2) के लिए \(x^4\) पद हटना चाहिए और \(x^2\) पद बचना चाहिए। (d=1) पर यह सही होता है। / For degree (2), the \(x^4\) term must vanish and the \(x^2\) term must remain. This is true at (d=1).
बहुचर बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी एक पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। पद \(x^2y^3z^4\) की कुल घात \(2+3+4=9\) है। दूसरे पद \(3xy^2z\) की कुल घात \(1+2+1=4\) और अचर \(-5\) की घात 0 है। इसलिए अधिकतम कुल घात 9 है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग निकालकर सबसे बड़ा योग चुनें; घातों को गुणा नहीं करना है। / For a polynomial in several variables, the total degree is the greatest sum of exponents in any one term. The term \(x^2y^3z^4\) has total degree \(2+3+4=9\). The term \(3xy^2z\) has total degree \(1+2+1=4\), while the constant \(-5\) has degree 0. Hence, the greatest total degree is 9. Exam tip: add the exponents within each term and choose the largest sum; do not multiply the exponents.
(z) की सबसे बड़ी घात (5) है। बाकी चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (5). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
\((x^2+x)^2=x^4+2x^3+x^2\) होता है। अतः \(h(x)=x^4+2x^3+x^2-x^4-2x^3=x^2\)। शून्येतर बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी डिग्री होती है, इसलिए डिग्री \(2\) है। \(4\) या \(3\) लेने की गलती पदों के निरस्तीकरण को न देखने पर होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को अवश्य काटें। / We have \((x^2+x)^2=x^4+2x^3+x^2\). Therefore, \(h(x)=x^4+2x^3+x^2-x^4-2x^3=x^2\). The degree of a non-zero polynomial is its highest power of the variable, so the degree is \(2\). Choosing \(4\) or \(3\) would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: always simplify a polynomial fully before finding its degree.
डिग्री 5 होने के लिए \(x^7\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। अतः \(a-5=0\), इसलिए \(a=5\)। तब सबसे बड़ी शून्येतर घात \(x^5\) है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / For degree 5, the coefficient of \(x^7\) must become zero. Thus, \(a-5=0\), so \(a=5\). The highest remaining non-zero power is then \(x^5\). Exam tip: always check whether the leading coefficient can vanish.
डिग्री (5) के लिए \(n+2\le5\) होना चाहिए। इसलिए \(n\le3\) सही शर्त है। / For degree (5), \(n+2\le5\) must hold. Therefore \(n\le3\) is the correct condition.
दिए गए व्यंजक को सरल करने पर
\(p(x)=x^4-2x^2+1-x^4+x^2=-x^2+1\) प्राप्त होता है। इसमें \(x^4\) के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(x^4\) का पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / Simplifying the expression gives
\(p(x)=x^4-2x^2+1-x^4+x^2=-x^2+1\). The \(x^4\) terms cancel, and the highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 2. Therefore, its degree is 2. Option 4 is incorrect because the \(x^4\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
व्यंजक को फैलाने पर \(x^4(x^2+1)-x^2(x^4-3)=x^6+x^4-x^6+3x^2=x^4+3x^2\) मिलता है। \(x^6\) वाले पद आपस में कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे अधिक घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। \(6\) चुनना विस्तार से पहले की घात देखकर की गई गलती होगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / On expanding, \(x^4(x^2+1)-x^2(x^4-3)=x^6+x^4-x^6+3x^2=x^4+3x^2\). The \(x^6\) terms cancel each other. The highest power in the remaining polynomial is \(4\), so its degree is 4. Choosing \(6\) would be an error caused by looking at the powers before simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
(e=0) पर \(x^9\) पद हटता है लेकिन \(x^7\) का गुणांक (-2) रहता है। इसलिए डिग्री (7) है। / At (e=0), the \(x^9\) term vanishes but the coefficient of \(x^7\) remains (-2). Therefore the degree is (7).
दिया गया व्यंजक \(0x^5+0x^3+0x+0\) सरल करने पर \(0\) बनता है, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, अतः उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(5\) चुनना गलत है, क्योंकि \(x^5\) का गुणांक \(0\) है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले जिन पदों के गुणांक \(0\) हों, उन्हें हटा दें। / The expression \(0x^5+0x^3+0x+0\) simplifies to \(0\), so it is the zero polynomial. The zero polynomial has no non-zero term with a highest power; therefore, its degree is not defined. Choosing \(5\) is incorrect because the coefficient of \(x^5\) is \(0\). Exam tip: Before finding degree, remove all terms whose coefficients are \(0\).
उच्चतम घात \(x\cdot x^2\cdot x^3=x^6\) से आती है। इसलिए डिग्री (6) है। / The highest power comes from \(x\cdot x^2\cdot x^3=x^6\). Therefore the degree is (6).
बहुपद \(x^3y^3+2x\) में पद \(x^3y^3\) की कुल घात \(3+3=6\) है। किसी बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद की सबसे अधिक कुल घात होती है, इसलिए इसकी कुल डिग्री 6 है। विकल्प A में अधिकतम कुल घात 4 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / In \(x^3y^3+2x\), the term \(x^3y^3\) has total degree \(3+3=6\). The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms, so this polynomial has total degree 6. In option A, the greatest total degree is only 4, so it is not correct. Exam tip: Add the exponents of all variables in each term and select the greatest sum.
\(0x^{12}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{11}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (11) है। / \(0x^{12}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{11}\) term. Therefore the degree is (11).
दिए गए व्यंजक में \(x^4\) और \(x^2\) वाले पद घटाने पर कट जाते हैं: \((x^4+x^2+1)-(x^4+x^2)=1\)। \(1\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। \(4\) या \(2\) डिग्री सरल करने से पहले के पदों से जुड़ी है, अंतिम बहुपद से नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / In the given expression, the \(x^4\) and \(x^2\) terms cancel: \((x^4+x^2+1)-(x^4+x^2)=1\). Since \(1\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degrees \(4\) and \(2\) relate to terms before simplification, not to the final polynomial. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^8\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-1) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^8\) and \(x^6\) terms must vanish. At (s=-1), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^6+2x^3+1)-(x^6+2x^3)=1\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 6 मूल बहुपदों की डिग्री है, लेकिन घटाने के बाद \(x^6\) का पद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के घटाव में पहले समान घात वाले पदों को मिलाकर सरल रूप अवश्य लिखें। / On subtracting, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^6+2x^3+1)-(x^6+2x^3)=1\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 6 is the degree of the original polynomials, but the \(x^6\) terms do not remain after subtraction. Exam tip: simplify a polynomial difference fully before identifying its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^5+4)+(-x^5+3x^2)=3x^2+4\)। यहाँ \(x^5\) और \(-x^5\) पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। \(5\) लेना गलत होगा, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^5\) पद बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही सबसे बड़े शून्येतर घातांक से डिग्री निर्धारित करें। / \(A(x)+B(x)=(x^5+4)+(-x^5+3x^2)=3x^2+4\). The terms \(x^5\) and \(-x^5\) cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is \(2\), so its degree is \(2\). Choosing \(5\) would be incorrect because no \(x^5\) term remains after addition. Exam tip: find the degree only after simplifying the resulting polynomial.
सर्वसमिका \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करने पर \((x^2-3)(x^2+3)=x^4-9\) मिलता है। अतः \(P(x)=x^4-9-x^4=-9\) है। \(-9\) एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। \(4\) तब होता यदि \(x^4\) वाले पद कटते नहीं। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करके उसका उच्चतम घात वाला अशून्य पद पहचानें। / Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \((x^2-3)(x^2+3)=x^4-9\). Therefore, \(P(x)=x^4-9-x^4=-9\). Since \(-9\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). The degree would be \(4\) only if the \(x^4\) terms did not cancel. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
a=4 और b=9 रखने पर बहुपद 2x-4+3x-9+1 बनता है। बहुपद की डिग्री उसमें x की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए डिग्री 9 है। 13 गलत है क्योंकि बहुपद की डिग्री अलग-अलग पदों की घातों को जोड़कर नहीं निकाली जाती। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात पहचानें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting a=4 and b=9 gives the polynomial 2x-4+3x-9+1. The degree of a polynomial is the greatest exponent of x with a non-zero coefficient. Here, the greatest exponent is 9, so the degree is 9. Option 13 is incorrect because exponents of different terms are not added to find the degree. Exam tip: identify the exponent in each term and select the greatest one.
विकल्प D में \(x^4-x^4=0\), इसलिए व्यंजक सरल होकर \(7x\) बनता है। \(7x\) में घातांक 1 है, अतः इसकी डिग्री 1 है, 4 नहीं। विकल्प B में \(0x^5\) का कोई योगदान नहीं होता, लेकिन \(3x^4\) के कारण उसकी डिग्री 4 रहती है। परीक्षा में डिग्री ज्ञात करने से पहले पदों को सरल करके समान पदों का निरसन अवश्य जाँचें। / In option D, \(x^4-x^4=0\), so the expression simplifies to \(7x\). The highest exponent in \(7x\) is 1; hence its degree is 1, not 4. In option B, \(0x^5\) contributes nothing, but \(3x^4\) still makes the degree 4. Exam tip: simplify an expression and check for cancellation of like terms before finding its degree.
पहले विस्तार करें: \(x^2(x^3+x)=x^5+x^3\)। अतः \(p(x)=x^5+x^3-x^5-x^3+6=6\)। शून्येतर अचर बहुपद \(6\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर 0 है। विकल्प 5 विस्तार से पहले दिखने वाले उच्चतम घात के कारण भ्रामक है; वे पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^2(x^3+x)=x^5+x^3\). Therefore, \(p(x)=x^5+x^3-x^5-x^3+6=6\). A non-zero constant polynomial such as \(6\) has degree \(0\), so the correct answer is 0. Option 5 is tempting because it appears before simplification, but the highest-degree terms cancel. Exam tip: simplify a polynomial and combine like terms before finding its degree.
x² - 3x + 5 में x की सबसे बड़ी घात 2 है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। B की डिग्री 3 है। परीक्षा में भिन्न या मूल वाली x-घात को बहुपद न मानें। / In x² - 3x + 5, the highest power of x is 2 and every exponent is a non-negative integer, so it is quadratic. Option B has degree 3. Exam tip: expressions with x in a denominator or under a root are not polynomials.
डिग्री 0 वाला बहुपद एक अचर, गैर-शून्य बहुपद होता है। इसलिए \(x^7\) और \(x^3\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। यहाँ दोनों का गुणांक \(r-2\) है, अतः \(r-2=0\), जिससे \(r=2\) मिलता है। \(r=-2\) रखने पर चर वाले पद समाप्त नहीं होते। परीक्षा टिप: डिग्री घटाने वाले प्रश्नों में उच्च घात वाले पदों के गुणांक पहले शून्य करें। / A polynomial of degree 0 is a non-zero constant polynomial. Therefore, the coefficients of both \(x^7\) and \(x^3\) must be zero. Since each coefficient is \(r-2\), we get \(r-2=0\), so \(r=2\). If \(r=-2\), the variable terms do not vanish. Exam tip: In degree-reduction questions, first make the coefficients of the highest-power terms zero.
A. \(x^4\) का गुणांक शून्येतर है और \(x^5\) या उससे अधिक घात का कोई पद नहीं है।/The coefficient of \(x^4\) is non-zero, and there is no term with \(x^5\) or a higher power.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य बहुपद की घात, \(x\) की सबसे बड़ी घात है जिसका गुणांक शून्येतर हो। इसलिए \(x^4\) का गुणांक शून्येतर होगा और \(x^5\) या उच्चतर पद नहीं होगा। गुणांक 1 होना आवश्यक नहीं। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी शून्येतर घात पहचानें। / The degree is the highest power of \(x\) having a non-zero coefficient. Thus, the \(x^4\) coefficient must be non-zero and no \(x^5\) or higher term can occur. Its coefficient need not be 1. Exam tip: identify the highest non-zero power.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद की चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ x-3y-2 की कुल घात 3+2=5, x-2y-4 की 2+4=6 और xy की 1+1=2 है। अतः सबसे बड़ी कुल घात 6 है। 5 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घात जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of x-3y-2, x-2y-4, and xy are 3+2=5, 2+4=6, and 1+1=2 respectively. Therefore, the highest total degree is 6. Option 5 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents in each term and select the greatest sum.
बहुपद की डिग्री 0 होने के लिए यह केवल अचर पद 3 रह जाना चाहिए। इसलिए \(x^9\) और \(x^4\) के गुणांक दोनों शून्य होने चाहिए। \(u=5\) रखने पर \(u^2-25=25-25=0\) तथा \(u-5=0\) मिलता है, अतः व्यंजक 3 बन जाता है। \(u=-5\) पर \(x^9\) का गुणांक तो शून्य है, लेकिन \(x^4\) का गुणांक \(-10\) रहता है; इसलिए उसकी डिग्री 4 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री घटाने वाले प्रश्नों में सबसे बड़े घात वाले सभी पदों के गुणांक जाँचें। / For the polynomial to have degree 0, only the constant term 3 must remain. Hence, the coefficients of both \(x^9\) and \(x^4\) must be zero. On substituting \(u=5\), \(u^2-25=25-25=0\) and \(u-5=0\), so the expression becomes 3. For \(u=-5\), the coefficient of \(x^9\) is zero, but the coefficient of \(x^4\) is \(-10\); therefore, its degree is 4. Exam tip: In degree-reduction questions, check the coefficients of every highest-power term that must vanish.
दिए गए व्यंजक में \(2x^8-2x^8=0\) और \(5x^4-5x^4=0\) हो जाते हैं। अतः \(F(x)=9x-1\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(1\) है। \(0\) डिग्री केवल अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को हमेशा सरल करें। / In the given expression, \(2x^8-2x^8=0\) and \(5x^4-5x^4=0\). Thus, \(F(x)=9x-1\). The highest power of \(x\) is \(1\), so the degree of the polynomial is \(1\). Degree \(0\) applies only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: always simplify like terms before finding the degree.
(\(x^3-2\)2=x-6-4x-3+4) होता है और घटाने पर चर के बड़े पद कट जाते हैं। बचा \(7x^2+4\) है जिसकी डिग्री (2) है। / (\(x^3-2\)2=x-6-4x-3+4), and after subtraction the higher variable terms cancel. The remaining \(7x^2+4\) has degree (2).
