बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। व्यंजक में पदों की घातें 6, 3, 1 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 6 है। इसलिए सही उत्तर 6 है। 7 गुणांक है, घात नहीं, इसलिए 7 को डिग्री नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले चर की घात देखें, गुणांक की संख्या नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. The exponents of the terms are 6, 3, 1, and 0, and the greatest is 6. Therefore, the correct answer is 6. The number 7 is a coefficient, not an exponent, so it is not the degree. Exam tip: For degree, check the exponent of the variable, not the numerical coefficient.
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी उच्चतम घात निर्धारित नहीं की जा सकती और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(7\) की डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: पहले शून्य बहुपद पहचानें। / The zero polynomial has no non-zero term, so no highest power can be identified; hence its degree is undefined. The constant polynomial \(7\) has degree 0. Exam tip: check for the zero polynomial first.
\(k=2\) रखने पर \((k-2)=0\) हो जाता है, इसलिए \(x^5\) वाला पद शून्य हो जाता है। बहुपद \(3x^2-1\) बचता है, जिसकी सबसे बड़ी घात \(2\) है। अतः इसकी डिग्री \(2\) है। \(5\) मूल व्यंजक में दिख रहा था, लेकिन उसका गुणांक शून्य होने के कारण वह डिग्री में शामिल नहीं होगा। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान को रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Substituting \(k=2\) gives \((k-2)=0\), so the \(x^5\) term becomes zero. The polynomial left is \(3x^2-1\), whose highest exponent is \(2\). Therefore, its degree is \(2\). Although \(5\) appears in the original expression, that term has a zero coefficient and does not count. Exam tip: substitute the given value and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
\(x^2+1\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें \(x\) की घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसकी उच्चतम घात \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है और यह रेखीय बहुपद नहीं है। \(4x-9\) रेखीय बहुपद है, क्योंकि उसकी डिग्री 1 है। \(\frac{1}{x}+2\) और \(\sqrt{x}+1\) बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें क्रमशः \(x\) की घात \(-1\) और \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, 3 आदि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती है। / \(x^2+1\) is a polynomial because the powers of \(x\) are non-negative integers. Its highest power is 2, so its degree is 2 and it is not a linear polynomial. \(4x-9\) is linear because its degree is 1. \(\frac{1}{x}+2\) and \(\sqrt{x}+1\) are not polynomials because they contain powers \(-1\) and \(\frac{1}{2}\), respectively. Exam tip: in a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer.
पद \(0x^7\) का मान शून्य है, इसलिए यह बहुपद की डिग्री में योगदान नहीं देता। शेष व्यंजक \(4x^3-2x+6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है। अतः इसकी डिग्री \(3\) है। \(7\) चुनना गलत होगा, क्योंकि उसका गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The term \(0x^7\) is zero, so it does not contribute to the degree of the polynomial. In the remaining expression, \(4x^3-2x+6\), the highest power of \(x\) is \(3\). Therefore, its degree is \(3\). Choosing \(7\) would be incorrect because its coefficient is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
तीसरा व्यंजक बहुपद है क्योंकि घातें (3), (1) और (0) हैं। सबसे बड़ी घात (3) है। / The third expression is a polynomial because the powers are (3), (1), and (0). The highest power is (3).
\(5x^3-\sqrt{2}x+7\) में x की घातें 3, 1 और 0 हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{2}\) जैसा अपरिमेय गुणांक मान्य है। B में \(x^{-1}\) आता है। परीक्षा टिप: केवल चर की घातें जाँचें। / In \(5x^3-\sqrt{2}x+7\), the powers of x are 3, 1, and 0, all non-negative integers. An irrational coefficient such as \(\sqrt{2}\) is allowed. Option B has \(x^{-1}\). Exam tip: check exponents of the variable, not the type of coefficient.
\(x^3\) पद का गुणांक स्पष्ट रूप से (0) है। शून्य गुणांक वाला पद डिग्री नहीं बदलता। / The coefficient of the \(x^3\) term is clearly (0). A zero-coefficient term does not change the degree.
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है। इसलिए \(x^3\) वाला पद समाप्त होना चाहिए, अर्थात उसका गुणांक शून्य होना चाहिए: \(m+1=0\)। अतः \(m=-1\) है। इस मान पर व्यंजक \(5x-6\) बनता है, जो रेखीय बहुपद है। \(m=0\) लेने पर \(x^3+5x-6\) मिलता है, जिसकी घात 3 है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद को रेखीय बनाने के लिए उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1. Therefore, the \(x^3\) term must vanish, so its coefficient must be zero: \(m+1=0\). Hence, \(m=-1\). For this value, the expression becomes \(5x-6\), which is a linear polynomial. If \(m=0\), the expression is \(x^3+5x-6\), which has degree 3. Exam tip: To make a polynomial linear, set the coefficient of its highest-degree term to zero.
B. नहीं, क्योंकि \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है/No, because \(\sqrt{x^2}=|x|\)
Explanation
Simple Explanation
नहीं। वास्तविक \(x\) के लिए \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, न कि हमेशा \(x\)। अतः दिया गया व्यंजक \(4x^2+|x|+1\) बनता है। \(|x|\) को \(x\) की गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह \(x\) में बहुपद नहीं है। विकल्प A केवल \(x\geq0\) के लिए सही है। परीक्षा टिप: वर्गमूल में \(x^2\) दिखे तो सीधे \(x\) न लिखें; पहले \(|x|\) लिखें। / No. For real \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always \(x\). Thus the expression becomes \(4x^2+|x|+1\). Since \(|x|\) cannot be written as a term having a non-negative integral power of \(x\), the expression is not a polynomial in \(x\). Option A is true only when \(x\geq0\). Exam tip: whenever you see \(\sqrt{x^2}\), write \(|x|\) first, not simply \(x\).
B. शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती और अशून्य नियतांक की डिग्री (0) होती है/The zero polynomial degree is not defined and a non-zero constant has degree (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
जब \(a=0\) रखते हैं, तो \(ax^4=0\) हो जाता है और बहुपद \(2x^3-x+1\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(x^4\) वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ, फिर शेष पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / On putting \(a=0\), \(ax^4=0\), so the polynomial becomes \(2x^3-x+1\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 3; therefore, its degree is 3. Option 4 is incorrect because the \(x^4\) term becomes zero. Exam tip: first remove terms with zero coefficients, then identify the highest remaining exponent.
\(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\) में चर \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है, भले ही इसमें केवल एक पद दिखाई देता है। इसके विपरीत, \(9x^2\), \(7x\) और \(11\) में \(x\) की घात क्रमशः 2, 1 और 0 है, अतः वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले चर को घात के रूप में लिखकर उसकी घात जाँचें। / In \(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers, so this is not a polynomial even though it appears to have just one term. In contrast, \(9x^2\), \(7x\), and \(11\) have exponents 2, 1, and 0 respectively, so they are polynomials. Exam tip: Rewrite a square root involving a variable as an exponent and check that exponent.
बहुपद के मानक रूप में पदों को चर की घातों के घटते क्रम में लिखा जाता है। विकल्प B में घातों का क्रम 5, 2, 1, 0 है: \(x^5+3x^2-2x+7\)। इसलिए यह मानक रूप है। विकल्प A में \(x^5\) बीच में है, इसलिए पद घटती घातों के क्रम में नहीं हैं। परीक्षा टिप: मानक रूप पहचानने के लिए सबसे बड़ी घात से स्थिर पद तक घातों का क्रम जाँचें। / In the standard form of a polynomial, terms are arranged in descending powers of the variable. In option B, the powers are 5, 2, 1, and 0: \(x^5+3x^2-2x+7\). Hence, it is in standard form. In option A, \(x^5\) appears after lower-degree terms, so the terms are not in descending order. Exam tip: Check that powers go from the highest power down to the constant term.
बहुपद में पदों को घात के अनुसार देखें: 2x-6, -5x-2 और 4। इसमें x-5 वाला कोई पद नहीं है, इसलिए x-5 का गुणांक 0 होता है। -5, x-2 का गुणांक है, x-5 का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद न दिया हो, उसका गुणांक हमेशा 0 लिखें। / The terms of the polynomial are 2x-6, -5x-2, and 4. There is no term containing x-5, so the coefficient of x-5 is 0. Note that -5 is the coefficient of x-2, not x-5. Exam tip: If a power is missing in a polynomial, its coefficient is always 0.
\(x^{-\frac{1}{3}}\) में घात ऋणात्मक और भिन्न दोनों है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{-\frac{1}{3}}\), the power is both negative and fractional. Such a power is not valid in a polynomial.
यहाँ \(0x^4\) और \(0x^3\) के गुणांक शून्य हैं, इसलिए ये पद बहुपद के मानक रूप में नहीं गिने जाते। अतः \(p(x)=5x-2\) है, जिसकी उच्चतम घात 1 है; इसलिए यह रेखीय बहुपद है। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक शून्य होता है, जबकि यहाँ \(5x\) और \(-2\) शून्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें। / The coefficients of \(0x^4\) and \(0x^3\) are zero, so these terms do not count in the standard form of the polynomial. Thus, \(p(x)=5x-2\), whose highest power of \(x\) is 1; therefore, it is a linear polynomial. It is not a zero polynomial because the coefficients of \(5x\) and \(-2\) are non-zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree of a polynomial.
A. सरल करने पर इसमें \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) पद आता है, जिसमें \(x\) की घात ऋणात्मक है/On simplifying, it contains the term \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), in which the exponent of \(x\) is negative.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^3+1}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x}=x^2+x^{-1}\)। बहुपद में चर की प्रत्येक घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(x^{-1}\) की घात \(-1\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(x^3\), द्विपद अंश या अचर पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को पहले सरल करें और फिर चर की घातों की जाँच करें। / \(\frac{x^3+1}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x}=x^2+x^{-1}\). In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(x^{-1}\) has exponent \(-1\), so the expression is not a polynomial. Having \(x^3\), a binomial numerator, or a constant term does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: simplify the expression first, then check the exponents of the variable.
C. बहुपद \(5\) की डिग्री \(5\) है।/The degree of the polynomial \(5\) is \(5\).
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C में कथन गलत है। \(5\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है, \(5\) नहीं। किसी बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है; नियतांक पद में \(x\) नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) मानी जाती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय गुणांक नहीं, केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Option C is incorrect. \(5\) is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\), not \(5\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable; a constant has no variable term, so its degree is \(0\). Exam tip: while finding degree, look at the highest power of the variable, not at the coefficient.
A. इसका ठीक एक शून्यक होता है/It has exactly one zero.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य रेखीय बहुपद का रूप \(ax+b\) होता है, जहाँ \(a\ne0\)। \(ax+b=0\) से \(x=-b/a\) मिलता है, इसलिए केवल एक शून्यक होता है। परीक्षा में \(a\) का अशून्य होना अवश्य जाँचें। / A non-zero linear polynomial has the form \(ax+b\), where \(a\ne0\). From \(ax+b=0\), we get \(x=-b/a\), so there is exactly one zero. Exam tip: first check that the coefficient of \(x\) is non-zero.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(c\neq0\) होने के कारण \(cx^5\) अशून्य पद है। अतः \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है और बहुपद की डिग्री \(5\) होगी। \(2\) केवल पद \(2x^2\) की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: सबसे अधिक घात वाले पद के गुणांक का शून्य या अशून्य होना अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(c\neq0\), the term \(cx^5\) is non-zero. Thus, the highest power of \(x\) is \(5\), so the polynomial has degree \(5\). The value \(2\) is only the degree of the term \(2x^2\), not of the entire polynomial. Exam tip: Always check whether the coefficient of the highest-degree term is zero.
A. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(x\) का एक घातांक \(-1\) है।/It is not a polynomial because one exponent of \(x\) is \(-1\).
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घातांक केवल ऋणेतर पूर्णांक होते हैं, जैसे \(0,1,2,\ldots\)। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(-5x^{-1}\) बहुपद का पद नहीं हो सकता। वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है; घातांकों का ऋणेतर पूर्णांक होना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले प्रत्येक चर का घातांक जाँचें। / In a polynomial, the exponents of a variable must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(-5x^{-1}\) cannot be a polynomial term. Having real coefficients is not sufficient; the exponents must also be non-negative integers. Exam tip: before identifying an expression as a polynomial, check every exponent of the variable.
B. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
बहुपद का अग्रणी पद वह पद होता है जिसकी चर की घात सबसे अधिक होती है। दिए गए बहुपद में \(3x^4\), \(-2x^2\), \(x\) और \(-5\) की घातें क्रमशः 4, 2, 1 और 0 हैं। इसलिए सबसे अधिक घात वाला अग्रणी पद \(3x^4\) है। \(-2x^2\) अगला उच्च-घात वाला पद है, पर उसकी घात 2 है। परीक्षा टिप: अग्रणी पद पहचानने के लिए सबसे बड़ी घात वाला पद देखें। / The leading term of a polynomial is the term with the greatest exponent of the variable. In the given polynomial, the exponents of \(3x^4\), \(-2x^2\), \(x\), and \(-5\) are 4, 2, 1, and 0 respectively. Hence, \(3x^4\) is the leading term. Although \(-2x^2\) has the next highest power, its exponent is only 2. Exam tip: identify the term with the greatest exponent to find the leading term.
बहुपद की डिग्री 2 होने के लिए उच्चतम घात वाले पद \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। अतः \(2d-6=0\), जिससे \(2d=6\) और \(d=3\) मिलता है। \(d=2\) या \(d=4\) रखने पर \(x^4\) का गुणांक शून्य नहीं होगा, इसलिए डिग्री 4 रहेगी। परीक्षा टिप: डिग्री कम करने वाले प्रश्नों में सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले शून्य कीजिए। / For the polynomial to have degree 2, the coefficient of the highest-power term \(x^4\) must be zero. Thus, \(2d-6=0\), so \(2d=6\) and \(d=3\). If \(d=2\) or \(d=4\), the coefficient of \(x^4\) is not zero, so the degree remains 4. Exam tip: In questions where the degree is reduced, first set the coefficient of the highest power equal to zero.
चूँकि \(x\neq0\) है, इसलिए \(\frac{x}{x}=1\) होगा। अतः \(x^2+\frac{x}{x}=x^2+1\)। विकल्प \(x^2+x\) गलत है, क्योंकि \(\frac{x}{x}\) का मान \(x\) नहीं, बल्कि 1 होता है। परीक्षा टिप: भिन्न में पदों को काटने से पहले सुनिश्चित करें कि हर शून्य नहीं है। / Because \(x\neq0\), \(\frac{x}{x}=1\). Therefore, \(x^2+\frac{x}{x}=x^2+1\). Option \(x^2+x\) is incorrect because \(\frac{x}{x}\) equals 1, not \(x\). Exam tip: before cancelling terms in a fraction, ensure that the denominator is non-zero.
B. यह \(x\neq0\) पर \(x^2+1\) के बराबर है पर मूल रूप में चर हर में है/It equals \(x^2+1\) for \(x\neq0\) but originally has variable in denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल व्यंजक में \(\frac{x}{x}\) में चर हर में है। सरल रूप डोमेन को ध्यान में रखकर लिया जाता है। / In the original expression, \(\frac{x}{x}\) has a variable in the denominator. The simplified form is taken with domain in mind.
अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A non-zero constant polynomial has degree (0). The degree of the zero polynomial is not defined.
यहाँ \(x^0=1\) है, इसलिए व्यंजक \(x^4+x^2+1\) बनता है। बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जो \(4\) है। अतः सही उत्तर \(4\) है। \(2\) केवल एक पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को सरल करके सबसे बड़ी घात पहचानें। / Since \(x^0=1\), the expression becomes \(x^4+x^2+1\). The degree of a polynomial is the highest exponent of \(x\) in any term, which is \(4\). Therefore, the correct answer is \(4\). \(2\) is the exponent of one term, not the highest exponent. Exam tip: Simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the greatest exponent.
\(\sqrt{x+1}\) में चर मूल चिह्न के अंदर है। इसे बहुपद की मान्य घातों में नहीं लिखा जाता। / In \(\sqrt{x+1}\), the variable is inside a radical sign. It is not written using valid polynomial powers.
(b=0) होने से \(x^6\) पद हट जाता है और \(a\neq0\) से \(x^4\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (4) है। / Since (b=0), the \(x^6\) term disappears, and since \(a\neq0\), the \(x^4\) term remains. So the degree is (4).
बहुपद के पद जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होते हैं: \(2x^3\), \(-4x^2\), \(6x\) और \(-8\)। इन चारों पदों के गुणांक क्रमशः \(2,-4,6,-8\) हैं, जो सभी अशून्य हैं। इसलिए अशून्य पदों की संख्या \(4\) है। \(6\) गुणांक \(6x\) का मान है, पदों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक धनात्मक या ऋणात्मक पद को अलग गिनें। / The terms of the polynomial are separated by plus or minus signs: \(2x^3\), \(-4x^2\), \(6x\), and \(-8\). Their coefficients are \(2,-4,6,-8\), all of which are non-zero. Hence, there are \(4\) non-zero terms. The number \(6\) is the coefficient of \(6x\), not the number of terms. Exam tip: Count every positive or negative expression separated by signs as one term.
\(5\), \(x\) का एक नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसे \(5x^0\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें \(x\) की घात \(0\) है, जो एक पूर्ण संख्या है। \(7y^2+3\) में \(y\) चर है, इसलिए इसे \(x\) का बहुपद नहीं माना जाता। \(\frac{1}{x}\) में \(x\) की घात \(-1\) और \(\sqrt{x}\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) होती है; अतः ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / \(5\) is a constant polynomial in \(x\), because it can be written as \(5x^0\). The exponent of \(x\) is \(0\), which is a whole number. \(7y^2+3\) has \(y\) as its variable, so it is not treated as a polynomial in \(x\). In \(\frac{1}{x}\), the exponent of \(x\) is \(-1\), and in \(\sqrt{x}\), it is \(\frac{1}{2}\); therefore, neither is a polynomial in \(x\). Exam tip: exponents of the variable in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / Fractional coefficients are real numbers. The variable powers are (2), (1), and (0), so the degree is (2).
\(2x^2-\pi x+\sqrt{11}\) एक बहुपद है क्योंकि इसके गुणांक \(2\), \(-\pi\) और \(\sqrt{11}\) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं। \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) में भिन्न घात होती है, जबकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) और \(x^{-\pi}\) में ऋणात्मक घातें हैं; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है; गुणांक वास्तविक हो सकते हैं, जैसे \(\pi\) और \(\sqrt{11}\)। / \(2x^2-\pi x+\sqrt{11}\) is a polynomial because its coefficients \(2\), \(-\pi\), and \(\sqrt{11}\) are real numbers, and the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all non-negative integers. \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) has a fractional exponent, while \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) and \(x^{-\pi}\) have negative exponents, so they are not polynomials. Exam tip: variable exponents in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\); coefficients may be any real numbers, including \(\pi\) and \(\sqrt{11}\).
B. क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) में \(x\) की घात भिन्नात्मक है/Because \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) has a fractional exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल अऋणात्मक पूर्णांक—जैसे 0, 1, 2, 3—हो सकती हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है, अतः \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है, जो पूर्णांक नहीं है। इसलिए \(q(x)\) बहुपद नहीं है। \(x^2\) की घात 2 मान्य है और अचर पद 1 भी बहुपद में मान्य होता है; पदों की संख्या से बहुपद होना तय नहीं होता। परीक्षा टिप: चर के मूल चिह्न या भिन्नात्मक घात को देखकर व्यंजक को बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponents of the variable must be non-negative integers, such as 0, 1, 2, or 3. Here, \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), so the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), which is not an integer. Therefore, \(q(x)\) is not a polynomial. The exponent 2 in \(x^2\) is valid, and the constant term 1 is also allowed; the number of terms does not decide whether an expression is a polynomial. Exam tip: a root of a variable or a fractional exponent signals a non-polynomial.
नियतांक बनने के लिए (n-4=0) और (n+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (n) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (n-4=0) and (n+1=0) are needed. One value of (n) cannot satisfy both conditions.
\(x^4+2x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए यह 4 डिग्री का बहुपद है। अतः इसकी डिग्री न तो 1 है और न 0। \(7x-3\) की डिग्री 1 है और \(12\) एक अशून्य स्थिर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है। \(\frac{1}{x}+1\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x^{-1}\) आता है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी अशून्य घात देखें। / In \(x^4+2x\), the highest power of \(x\) is 4, so it is a polynomial of degree 4. Therefore, its degree is neither 1 nor 0. \(7x-3\) has degree 1, and \(12\) is a non-zero constant polynomial of degree 0. \(\frac{1}{x}+1\) is not a polynomial because it contains \(x^{-1}\). Exam tip: To find a polynomial's degree, identify the highest non-zero exponent of its variable.
बहुपद 3x-4-2x-2+5 में x-3 का कोई पद तथा x का कोई पद नहीं है। किसी घात का पद अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक 0 माना जाता है। अतः x-3 और x के गुणांक क्रमशः 0 और 0 हैं। विकल्प A में 3 और -2 वास्तव में x-4 तथा x-2 के गुणांक हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में छूटे हुए घातों के गुणांक हमेशा 0 लिखें। / In the polynomial 3x-4-2x-2+5, there is no x-3 term and no x term. The coefficient of a missing power is taken as 0. Hence, the coefficients of x-3 and x are 0 and 0 respectively. In option A, 3 and -2 are actually the coefficients of x-4 and x-2. Exam tip: Always assign coefficient 0 to any missing power in a polynomial.
\(\frac{5}{x+2}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{5}{x+2}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(r=0) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (2) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (r=0), the coefficient of \(x^3\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (2). Therefore the degree is (2).
\(0x^5+0x^2+0\) में \(x\) की प्रत्येक घात का गुणांक 0 है और स्थिर पद भी 0 है। इसलिए यह सभी \(x\) के लिए 0 के बराबर शून्य बहुपद है। \(0x^5+x=x\) शून्य बहुपद नहीं है, क्योंकि \(x\) का गुणांक 1 है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को शून्य बहुपद मानने से पहले उसके सभी गुणांकों और स्थिर पद को 0 जाँचें। / In \(0x^5+0x^2+0\), the coefficient of every power of \(x\) is 0, and the constant term is also 0. Hence, it equals 0 for every value of \(x\) and is the zero polynomial. \(0x^5+x=x\) is not a zero polynomial because the coefficient of \(x\) is 1. Exam tip: to identify a zero polynomial, check that every coefficient, including the constant term, is 0.
\(-4x^2+7x-2\) की डिग्री (2) है और अग्रणी गुणांक (-4) है। दोनों शर्तें इसी में पूरी होती हैं। / \(-4x^2+7x-2\) has degree (2) and leading coefficient (-4). Both conditions are satisfied here.
पहले \(x^2\) को \((x+1)\) से गुणा करने पर \(x^3+x^2\) मिलता है। अतः व्यंजक \(x^3+x^2-x^3+4\) बनता है। यहाँ \(x^3-x^3=0\), इसलिए शेष बहुपद \(x^2+4\) है। विकल्प A में \(-x^3\) को नहीं हटाया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First, multiplying \(x^2\) by \((x+1)\) gives \(x^3+x^2\). Thus, the expression becomes \(x^3+x^2-x^3+4\). Since \(x^3-x^3=0\), the remaining polynomial is \(x^2+4\). Option A fails to cancel the \(-x^3\) term. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms having the same power of the variable.
बहुपद \(x^2+4\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है। अचर पद \(4\) की घात 0 मानी जाती है, इसलिए यह डिग्री को नहीं बढ़ाता। अतः बहुपद की डिग्री 2 है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए उसके सरल रूप में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In the polynomial \(x^2+4\), the highest power of \(x\) is 2. The constant term \(4\) has degree 0, so it does not increase the degree. Therefore, the degree of the polynomial is 2. Exam tip: Find the degree by identifying the highest exponent of the variable in the simplified polynomial.
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) और \(-\frac{1}{5}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (2) और (1) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / \(\sqrt{3}\) and \(-\frac{1}{5}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (2), and (1), so the degree is (2).
(s=2) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (3) हो जाता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (s=2) makes the coefficient of \(x^4\) equal to (0) and the coefficient of \(x^3\) equal to (3). So the highest power is (3).
क्योंकि \(x\neq0\), इसलिए \(\frac{2x^2}{x}=2x^{2-1}=2x\) होगा। अतः व्यंजक \(x^3+2x\) बनता है। विकल्प \(x^2+2x\) में \(x^3\) को बिना कारण \(x^2\) में बदल दिया गया है। परीक्षा टिप: समान आधार वाली घातों के भाग में केवल विभाजित हो रहे पद की घातें घटाई जाती हैं। / As \(x\neq0\), \(\frac{2x^2}{x}=2x^{2-1}=2x\). Therefore, the expression becomes \(x^3+2x\). The option \(x^2+2x\) incorrectly changes \(x^3\) to \(x^2\). Exam tip: subtract exponents only within the term where powers of the same base are being divided.
\(2x^3+5x-1\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) है। / In \(2x^3+5x-1\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. So the coefficient of \(x^2\) is (0).
\(x^2\) से भाग देने पर \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) और \(\frac{x^2}{x^2}=1\) मिलता है। इसलिए सरल रूप \(x^2-1\) है। / Dividing by \(x^2\) gives \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) and \(\frac{x^2}{x^2}=1\). Therefore the simplified form is \(x^2-1\).
