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एक विद्यार्थी ने दावा किया कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। उसके तर्क में सही सुधार क्या है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है।
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(p=3k\)। तब \(9k^2=3q^2\), यानी \(q^2=3k^2\); इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड दिखाइए। / Since \(p^2\) is divisible by 3, \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both integers.
B. ताकि (p) और (q) सहभाज्य हों/So that (p) and (q) are coprime
Explanation
Simple Explanation
सरलतम परिमेय रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. Later both becoming divisible by (3) gives the contradiction.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले कथन के विपरीत मानते हैं। इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / In contradiction method, the opposite of the statement is assumed first. So \(\sqrt{2}\) is assumed rational to get a contradiction.
D. क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p) (3) से विभाज्य है/Because \(p^2\) is divisible by (3), so (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p) को (3k) लिखा जाता है। / If prime (3) divides the square, it also divides the number. Therefore (p) is written as (3k).
विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में मानने पर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है। यह सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘सबसे सरल रूप’ का अर्थ है \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then 3 also divides \(q\). This contradicts \(p/q\) being in lowest terms. Exam tip: lowest terms means \(p\) and \(q\) are coprime.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। इससे (p) और (q) दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) आता है। / \(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This gives common factor (3) in both (p) and (q).
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है, तो प्रमाण में अगला सही निष्कर्ष क्या होगा?
C. \(p\) 3 से विभाज्य है; \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है।/\(p\) is divisible by 3; on putting \(p=3k\), \(q\) is also proved divisible by 3, contradicting coprimality.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से \(p^2\) विभाज्य हो तो \(p\) भी विभाज्य होता है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\): then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides \(p^2\), it divides \(p\).
C. \(p\) और \(q\) दोनों \(3\) से विभाज्य हों तब भी वे सहभाज्य हैं/Even if both \(p\) and \(q\) are divisible by \(3\), they are coprime
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p\) और \(q\) दोनों \(3\) से विभाज्य हैं, तो उनका सामान्य गुणनखंड \(3\) है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं हो सकते। \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(p\) और \(q\) को सहभाज्य माना जाता है; दोनों का \(3\) से विभाज्य होना इसी मान्यता का विरोधाभास देता है। अतः विकल्प C गलत निष्कर्ष है। परीक्षा टिप: सहभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक हमेशा \(1\) होता है। / If both \(p\) and \(q\) are divisible by \(3\), then they have \(3\) as a common factor. Hence, they cannot be coprime. In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), \(p\) and \(q\) are assumed to be coprime; showing that both are divisible by \(3\) gives the required contradiction. Therefore, option C is the wrong conclusion. Exam tip: coprime numbers always have HCF \(1\).
50 पूर्ण वर्ग नहीं है और \(50=25\times2\) होने से \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) होता है। \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए \(\sqrt{50}\) भी अपरिमेय है। 16, 36 और 64 पूर्ण वर्ग हैं। परीक्षा टिप: पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / 50 is not a perfect square, and \(50=25\times2\), so \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(\sqrt{50}\) is also irrational. In contrast, 16, 36, and 64 are perfect squares. Exam tip: check for perfect squares first.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(q^2=3k^2\) से (q) भी (3) से विभाज्य है। (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / From \(q^2=3k^2\), (q) is also divisible by (3). Both (p) and (q) divisible by (3) contradicts the coprime condition.
A. \(m^2=2n^2\), (m) सम, (m=2r), (n) सम/\(m^2=2n^2\), (m) even, (m=2r), (n) even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) में (2) से समता की श्रृंखला चलती है। यही दोनों को सम बनाकर विरोधाभास देती है। / For \(\sqrt{2}\), the chain uses evenness by (2). This makes both even and gives contradiction.
C. \(p^2=3q^2\), (p) (3) से विभाज्य, (p=3k), (q) (3) से विभाज्य/\(p^2=3q^2\), (p) divisible by (3), (p=3k), (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला चलती है। यह दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) दिखाती है। / For \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows common factor (3) in both.
√3 के अपरिमेय होने के प्रमाण में मान लें कि √3 = p/q, जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर p² = 3q² मिलता है और p = 3k रखने पर q² = 3k² प्राप्त होता है। प्रमाण में विरोधाभास पूरा करने के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
D. q, 3 से विभाज्य है; अतः p और q का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है/q is divisible by 3; therefore p and q have a common factor 3
Explanation
Simple Explanation
q² = 3k² से 3, q² को विभाजित करता है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए 3, q को भी विभाजित करेगा। p = 3k से p भी 3 से विभाज्य है, जो p और q के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य p यदि किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / From q² = 3k², 3 divides q². Since 3 is prime, it must divide q. Also, p = 3k shows that 3 divides p, contradicting that p and q are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the original number.
D. \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) को सरलतम रूप में मानकर विरोधाभास प्राप्त करना/Assuming \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) in lowest terms and deriving a contradiction
Explanation
Simple Explanation
3 का पूर्ण वर्ग न होना केवल बताता है कि \(\sqrt{3}\) पूर्णांक नहीं है। \(m^2=3n^2\) में 3 की घात बाईं ओर सम और दाईं ओर विषम होती है, जो विरोधाभास है। परीक्षा में भिन्न को सरलतम रूप में अवश्य लें। / Not being a perfect square only shows that \(\sqrt{3}\) is not an integer. In \(m^2=3n^2\), the power of 3 is even on the left but odd on the right, giving a contradiction. Exam tip: always assume lowest terms.
A. (m,n) सहभाज्य और \(n\neq0\)/(m,n) coprime and \(n\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। हर शून्य नहीं होता और अंश-हर सहभाज्य होते हैं। / A rational number is written in lowest fraction. The denominator is non-zero and numerator-denominator are coprime.
विरोधाभास विधि में अर्जुन मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। उसे \(m^2=2n^2\) मिलता है और वह कहता है, “\(m\) सम है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।” उसके तर्क में क्या कमी है?
A. यह भी सिद्ध करना होगा कि \(n\) सम है, जिससे \(m\) और \(n\) के सह-अभाज्य होने का विरोधाभास होगा।/He must also prove that \(n\) is even, contradicting that \(m\) and \(n\) are coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(m\) सम होने पर \(m=2k\) रखें। तब \(4k^2=2n^2\), अतः \(n^2=2k^2\) और \(n\) भी सम है। दोनों सम होने से सह-अभाज्य मान्यता गलत होती है। परीक्षा में विरोधाभास स्पष्ट लिखें। / If \(m=2k\), then \(4k^2=2n^2\), so \(n^2=2k^2\) and \(n\) is also even. Thus both numbers have a common factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: state this contradiction explicitly.
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग का अभाज्य गुणनखंड उसके मूल में भी होता है। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides its root.
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है। / Prime factor (3) appears in the square only if it appears in the number. Therefore (p) is divisible by (3).
A. परिमेय मान्यता से (m) और (n) दोनों सम निकलते हैं/Rational assumption makes both (m) and (n) even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Both being even contradicts the coprime condition of lowest fraction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता। / Both being divisible by (3) breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
B. यह अधूरा है क्योंकि पहले (m) सम सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (m) must be proved even first
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=2n^2\) से पहले \(m^2\) सम और फिर (m) सम मिलता है। (m=2r) रखने के बाद ही (n) सम सिद्ध होता है। / From \(m^2=2n^2\), first \(m^2\) and then (m) are even. Only after taking (m=2r), (n) is proved even.
A. यह अधूरा है क्योंकि पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (p) must be proved divisible by (3) first
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
A. दोनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न ली जाती है/In both, a lowest fraction is taken after assuming rationality
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि से शुरू होते हैं। परिमेय मानकर सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास मिलता है। / Both proofs start with contradiction method. A coprime fraction is assumed rational and leads to contradiction.
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता आती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) मुख्य है और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) मुख्य है। यही मूल अंतर है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is central and in the proof of \(\sqrt{3}\), (3) is central. This is the key difference.
A. किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग परिमेय हो सकता है, इसलिए यह तर्क गलत है।/The square of an irrational number can be rational, so this argument is invalid.
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या का वर्ग परिमेय होने से वह संख्या परिमेय नहीं हो जाती। उदाहरण के लिए, \((\sqrt{3})^2=3\), फिर भी \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। विकल्प B इसी गलत निष्कर्ष को मानता है। परीक्षा में वर्गमूल के लिए पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / A rational square does not guarantee that the original number is rational. For example, \((\sqrt{3})^2=3\), yet \(\sqrt{3}\) is irrational. Option B makes this incorrect inference. Exam tip: check whether the number under a square root is a perfect square.
A. यदि \(\sqrt{2}=p/q हो, जहाँ \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं, तो \(p\) और \(q\) दोनों सम सिद्ध होते हैं।
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सहभाज्य हों, मानते हैं। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम मिलता है, जो सहभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘दोनों सम’ वाला विरोधाभास पहचानें। / Using contradiction, assume \(\sqrt{2}=p/q\) with \(p\) and \(q\) coprime. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even, and then \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: identify the conclusion that both numerator and denominator share 2.
A. यदि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), तो \(m^2=2n^2\)/If \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), then \(m^2=2n^2\)
Explanation
Simple Explanation
मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) पूर्णांक हैं तथा \(n\ne0\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(2=\frac{m^2}{n^2}\) मिलता है। \(n^2\) से गुणा करने पर \(m^2=2n^2\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(3n^2\) का संबंध \(\sqrt{3}\) के प्रमाण से जुड़ा है, \(\sqrt{2}\) से नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले भिन्न संबंध को सिद्ध करने में पहले दोनों पक्षों का वर्ग करें, फिर हर हटाएँ। / Assume that \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), where \(m\) and \(n\) are integers and \(n\ne0\). Squaring both sides gives \(2=\frac{m^2}{n^2}\). Multiplying by \(n^2\) gives \(m^2=2n^2\), so option A is correct. Option B, with \(3n^2\), is the corresponding relation for \(\sqrt{3}\), not for \(\sqrt{2}\). Exam tip: for a square-root fraction relation, square both sides first and then clear the denominator.
A. अनंत दशमलव प्रसार होना अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता, क्योंकि दशमलव आवर्ती भी हो सकता है/A non-terminating decimal does not prove irrationality, because it may be recurring
Explanation
Simple Explanation
अनंत दशमलव प्रसार अपने-आप अपरिमेय नहीं होता। उदाहरण के लिए, \(1/3=0.333\ldots\) अनंत और आवर्ती है, फिर भी परिमेय है। \(\sqrt{3}\) का प्रसार अनंत और अनावर्ती है; परीक्षा में दोनों गुण जाँचें। / A non-terminating decimal is not automatically irrational. For example, \(1/3=0.333\ldots\) is non-terminating but recurring, so it is rational. The decimal expansion of \(\sqrt{3}\) is non-terminating and non-recurring; check both features in exams.
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास मान्यता को गलत सिद्ध करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं बल्कि अपरिमेय है। / A contradiction proves the assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is not rational but irrational.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त टूटना परिमेय मान्यता से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Breaking the coprime condition is a contradiction to the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता के विरुद्धाभास को सिद्ध करता है?
A. \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(m\) and \(n\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=3n^2\) से \(m^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(m\) भी 3 से विभाज्य होगा। मान रखने पर \(n\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सह-अभाज्य मान्यता पर ध्यान दें। / From \(m^2=3n^2\), \(m^2\) is divisible by 3, so \(m\) is divisible by 3. Substituting this shows that \(n\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: identify the common factor that causes the contradiction.
A. यह सुनिश्चित करना कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं/To ensure that \(p\) and \(q\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रूप का अर्थ है कि \(p\) और \(q\) का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम मिलता है, फिर \(q\) भी सम निकलता है; यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में इसी विरोधाभास को स्पष्ट लिखें। / Lowest terms means that \(p\) and \(q\) have no common factor. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even, and then \(q\) is also even; this contradicts coprimality. Exam tip: state this contradiction explicitly.
C. \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\) मानना/Assuming \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए विरोधाभास विधि में पहले इसे परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) लिखा जाता है, जहाँ \(m,n\) सहभाज्य हों और \(n\ne0\) हो। \(\frac{m}{0}\) अपरिभाषित है, इसलिए विकल्प C गलत शुरुआत है। विकल्प A में हर शून्य नहीं है, इसलिए वह सही मान्यता है। परीक्षा टिप: किसी भी परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखते समय \(q\ne0\) अवश्य जाँचें। / To prove that \(\sqrt{2}\) is irrational by contradiction, we first assume it is rational and write \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), where \(m,n\) are coprime and \(n\ne0\). The expression \(\frac{m}{0}\) is undefined, so option C is an invalid start. In option A, the denominator is non-zero, so it is a valid assumption. Exam tip: whenever a rational number is written as \(\frac{p}{q}\), check that \(q\ne0\).
यदि
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है, जहाँ
\(p\) और
\(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास किस कारण उत्पन्न होता है?
A. It shows that both \(p\) and \(q\) are even, so they cannot be coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम है, अतः \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 का गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास सह-अभाज्यता से मिलता है। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common factor 2.
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि 3 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए इसे \(p/q\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / \(\sqrt{3}\) is irrational because 3 is not a perfect square, so it cannot be expressed as \(p/q\). In contrast, \(\sqrt{36}=6\) is rational. Exam tip: the square root of a perfect square is an integer.
A. अनंत आवर्ती दशमलव भी परिमेय हो सकता है/An infinite recurring decimal can also be rational.
Explanation
Simple Explanation
केवल अनंत दशमलव होना अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता, क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) परिमेय है। अपरिमेय दशमलव अनंत और अनावर्ती होता है। परीक्षा में आवर्ती तथा अनावर्ती दशमलव का अंतर याद रखें। / An infinite decimal alone does not prove irrationality: \(1/3=0.333\ldots\) is rational. An irrational number has a non-terminating, non-recurring decimal. Exam tip: distinguish recurring decimals from non-recurring ones.
B. महत्तम समापवर्तक कम से कम \(2\) होगा/The highest common factor will be at least \(2\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं, तो \(m=2p\) और \(n=2q\) किसी पूर्णांकों \(p,q\) के लिए लिखे जा सकते हैं। अतः \(2\), \(m\) और \(n\) दोनों का एक सामान्य गुणनखंड है, इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम \(2\) होगा। \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में यह इस बात का विरोधाभास देता है कि \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य थे। परीक्षा टिप: दोनों संख्याएँ सम हों तो उनका HCF कभी \(1\) नहीं हो सकता। / If both \(m\) and \(n\) are even, then we can write \(m=2p\) and \(n=2q\) for some integers \(p,q\). Thus, \(2\) is a common factor of both \(m\) and \(n\), so their highest common factor is at least \(2\). In the irrationality proof of \(\sqrt{2}\), this contradicts the assumption that \(m\) and \(n\) are coprime. Exam tip: if two integers are both even, their HCF cannot be \(1\).
किसी पूर्ण वर्ग में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घात सम होता है। विषम घात होने पर संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। परीक्षा में पहले अभाज्य घातों की सम-विषमता जाँचें। / In a perfect square, every prime factor has an even exponent. An odd exponent means the number is not a perfect square, so its square root is irrational. Exam tip: check whether all prime exponents are even.
A. \(m^2\) विषम होना चाहिए लेकिन समीकरण से सम मिलता है/\(m^2\) should be odd but the equation gives even
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(m^2=2n^2\) से \(m^2\) सम है, इसलिए (m) विषम नहीं हो सकता। / The square of an odd number is odd. But \(m^2=2n^2\) makes \(m^2\) even, so (m) cannot be odd.
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए लेकिन समीकरण से विभाज्य है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(p^2=3q^2\) उसे (3) से विभाज्य दिखाता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible by (3).
B. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore our rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत होती है। इसलिए अंतिम निष्कर्ष अपरिमेयता है। / When contradiction is found, the initial rational assumption is false. So the final conclusion is irrationality.
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। यह विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3). This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
A. विरोधाभास विधि क्योंकि परिमेय मान्यता से असंभव स्थिति मिलती है/Contradiction method because rational assumption gives an impossible situation
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में उल्टा मानकर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास निकाला जाता है। इसलिए विरोधाभास विधि सही है। / In both proofs, the opposite is assumed and contradiction with coprime condition is derived. Hence contradiction method is correct.
A. \(1.732\), \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है, उसका ठीक मान नहीं/\(1.732\) is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value
Explanation
Simple Explanation
\(1.732\) एक समाप्त दशमलव है, इसलिए वह परिमेय है; पर यह \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है। जाँचें: \(1.732^2=2.999824\), जो \(3\) नहीं है। परीक्षा में “=” और “लगभग” के अंतर पर ध्यान दें। / \(1.732\) is a terminating decimal and hence rational, but it is only an approximation to \(\sqrt{3}\). Check: \(1.732^2=2.999824\), not \(3\). In exams, carefully distinguish an exact equality from an approximation.
B. परिमेय संख्या का वर्ग परिमेय होता है, पर किसी संख्या का वर्ग परिमेय होने से वह संख्या परिमेय होना आवश्यक नहीं है/The square of a rational number is rational, but a number need not be rational merely because its square is rational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) का वर्ग \(2\) परिमेय है, पर इसका प्रतिलोम निष्कर्ष सही नहीं है। यदि \(\sqrt{2}=p/q\) सरल रूप में मानें, तो \(p^2=2q^2\) से \(p\) और \(q\) दोनों सम मिलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा में प्रतिलोम तर्क से बचें। / Although \((\sqrt{2})^2=2\) is rational, the converse statement is invalid. Assuming \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms gives \(p^2=2q^2\), making both \(p\) and \(q\) even—a contradiction. Exam tip: check whether a converse is justified.
(m=2r) रखने से \(n^2=2r^2\) मिलता है। इससे (n) भी सम होता है और दोनों सम का विरोधाभास बनता है। / Putting (m=2r) gives \(n^2=2r^2\). This makes (n) even too and creates the contradiction of both even.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानता है, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(a^2=2b^2\) से वह केवल \(a\) के सम होने पर निष्कर्ष रोक देता है। उसके प्रमाण को पूरा करने के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
A. \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं; यह उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है/Both \(a\) and \(b\) are even; this contradicts their being coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से \(a\) सम है, अतः \(a=2k\) लिखें। रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(b\) भी सम है। दोनों में 2 उभयनिष्ठ होने से सह-अभाज्य मान्यता टूटती है। परीक्षा में ‘न्यूनतम रूप’ वाला विरोधाभास अवश्य लिखें। / From \(a^2=2b^2\), \(a\) is even; write \(a=2k\). Substitution gives \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: state the lowest-terms contradiction clearly.
A. अंश और हर दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं, जबकि उन्हें सह-अभाज्य माना गया था।
Explanation
Simple Explanation
मानते हैं \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\), फिर \(q\) भी 3 से विभाज्य होता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘दोनों में समान गुणनखंड’ ही विरोधाभास पहचानें। / Assume \(\sqrt{3}=p/q\) with coprime integers \(p,q\). From \(p^2=3q^2\), first \(p\), and then \(q\), is divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common factor obtained in both numerator and denominator.
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है/3 divides both \(p\) and \(q\)
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\(3q^2=p^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / From \(3q^2=p^2\), 3 divides \(p^2\), so it divides \(p\). Putting \(p=3k\) then shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: always assume the fraction is in lowest terms first.
A. दोनों को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है इसलिए दोनों अपरिमेय हैं/Assuming either rational gives contradiction, so both are irrational
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दोनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। / In both proofs, the rational assumption clashes with the coprime condition. Therefore both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
