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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 17

एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानता है, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(a^2=2b^2\) से वह केवल \(a\) के सम होने पर निष्कर्ष रोक देता है। उसके प्रमाण को पूरा करने के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?

A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime integers. From \(a^2=2b^2\), the student stops after concluding that \(a\) is even. Which conclusion is necessary to complete the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं; यह उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध हैBoth \(a\) and \(b\) are even; this contradicts their being coprime.

Explanation

Simple Explanation

\(a^2=2b^2\) से \(a\) सम है, अतः \(a=2k\) लिखें। रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(b\) भी सम है। दोनों में 2 उभयनिष्ठ होने से सह-अभाज्य मान्यता टूटती है। परीक्षा में ‘न्यूनतम रूप’ वाला विरोधाभास अवश्य लिखें। / From \(a^2=2b^2\), \(a\) is even; write \(a=2k\). Substitution gives \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: state the lowest-terms contradiction clearly.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानता है, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(a^2=2b^2\) से वह केवल \(a\) के सम होने पर निष्कर्ष रोक देता है। उसके प्रमाण को पूरा करने के लिए कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है? / A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime integers. From \(a^2=2b^2\), the student stops after concluding that \(a\) is even. Which conclusion is necessary to complete the proof?

Correct Answer: A. \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं; यह उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है / Both \(a\) and \(b\) are even; this contradicts their being coprime.. Explanation: \(a^2=2b^2\) से \(a\) सम है, अतः \(a=2k\) लिखें। रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(b\) भी सम है। दोनों में 2 उभयनिष्ठ होने से सह-अभाज्य मान्यता टूटती है। परीक्षा में ‘न्यूनतम रूप’ वाला विरोधाभास अवश्य लिखें। / From \(a^2=2b^2\), \(a\) is even; write \(a=2k\). Substitution gives \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: state the lowest-terms contradiction clearly.