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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 17

यदि \(\sqrt{3}\) को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाए, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से क्या निष्कर्ष निकलता है?

If \(\sqrt{3}\) is assumed to be \(\frac{p}{q}\) in lowest terms, where \(p\) and \(q\) are coprime integers, what follows from \(p^2=3q^2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग का अभाज्य गुणनखंड उसके मूल में भी होता है। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides its root.

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Correct Answer: B. Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग का अभाज्य गुणनखंड उसके मूल में भी होता है। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides its root.