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While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, if assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) in lowest terms gives \(p^2=3q^2\), which conclusion creates the contradiction?विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में मानने पर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.\(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं
From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then 3 also divides \(q\). This contradicts \(p/q\) being in lowest terms. Exam tip: lowest terms means \(p\) and \(q\) are coprime.\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है। यह सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘सबसे सरल रूप’ का अर्थ है \(p,q\) सह-अभाज्य हैं।
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