एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है, तो प्रमाण में अगला सही निष्कर्ष क्या होगा?
A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. If \(p^2=3q^2\) is obtained, what is the correct next conclusion in the proof?
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C. \(p\) 3 से विभाज्य है; \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है।\(p\) is divisible by 3; on putting \(p=3k\), \(q\) is also proved divisible by 3, contradicting coprimality.
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से \(p^2\) विभाज्य हो तो \(p\) भी विभाज्य होता है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\): then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides \(p^2\), it divides \(p\).
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