(f^{-1}(8)) means the value of (x) for which (f(x)=8).
Step 2
Why this answer is correct
From (3x-4=8), we get (3x=12), so (x=4).
Step 3
Exam Tip
To find an inverse value, first equate the original function to the given value. चरण 1: (f^{-1}(8)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए (f(x)=8)। चरण 2: (3x-4=8) से (3x=12), इसलिए (x=4)। चरण 3: प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखें।
Simplifying gives \(x^2+4x+3\), and (f(x)=x-2+2x).
Step 3
Exam Tip
Subtracting gives (2x+3). चरण 1: (f(x+1)=(x+1)2+2(x+1)) लिखें। चरण 2: इसे सरल करने पर \(x^2+4x+3\) मिलता है और (f(x)=x-2+2x)। चरण 3: अंतर लेने पर (2x+3) मिलता है।
For the function to be defined, \(x+2\ne0\), so \(x\ne-2\).
Step 3
Exam Tip
The value that makes the denominator zero is removed from the domain. चरण 1: भिन्न में हर (x+2) है। चरण 2: फलन परिभाषित रहने के लिए \(x+2\ne0\), इसलिए \(x\ne-2\)। चरण 3: हर को शून्य बनाने वाला मान प्रान्त से हटाया जाता है।
The minimum value is (2), so the range is \([2,\infty\)). चरण 1: (x-2-2x+3=(x-1)2+2) लिखें। चरण 2: ((x-1)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge2)। चरण 3: न्यूनतम मान (2) है, इसलिए परास \([2,\infty\)) है।
A. दोनों हमेशा समान नहीं हैं/They are not always equal
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2+1).
Step 3
Exam Tip
These expressions are generally not equal, so order matters. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2)। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2+1)। चरण 3: दोनों व्यंजक सामान्यतः समान नहीं हैं, इसलिए क्रम का ध्यान रखें।
(5x-7) gives different values for different (x), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any real (y), choosing \(x=\frac{y+7}{5}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Therefore it is onto as well. चरण 1: (5x-7) अलग-अलग (x) पर अलग-अलग मान देता है, इसलिए एक-एकी है। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y+7}{5}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: इसलिए यह आच्छादक भी है।
A. यह न एक-एकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=f(-1)=2), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^2+1\ge1\), a real number like (0) cannot be an image.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is not onto either. चरण 1: (f(1)=f(-1)=2), इसलिए यह एक-एकी नहीं है। चरण 2: \(x^2+1\ge1\), इसलिए (0) जैसी वास्तविक संख्या छवि नहीं बन सकती। चरण 3: इसलिए यह आच्छादक भी नहीं है।
On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
Hence the function is both one-one and onto. चरण 1: \([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग छवि देते हैं। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) इसी प्रान्त में है। चरण 3: इसलिए फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों है।
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) or \(x=-\sqrt{y}\) gives an input, so the range equals the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain can change onto status. चरण 1: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) या \(x=-\sqrt{y}\) मिलता है, इसलिए परास पूरा सहप्रान्त है। चरण 2: (f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक-एकी नहीं है। चरण 3: सहप्रान्त बदलने से आच्छादकता बदल सकती है।
The expression inside the square root, (x-2), must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-2\ge0\) gives \(x\ge2\).
Step 3
Exam Tip
At (x=2), the value is (0), so (2) is included. चरण 1: वर्गमूल के अंदर (x-2) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(x-2\ge0\) से \(x\ge2\) मिलता है। चरण 3: (x=2) पर मान (0) है, इसलिए (2) शामिल होगा।
But \(\sqrt{x-1}\) is in the denominator, so it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Thus (x-1>0), so the domain is (\(1,\infty\)). चरण 1: वर्गमूल के लिए \(x-1\ge0\) चाहिए। चरण 2: लेकिन हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए यह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (x-1>0), यानी प्रान्त (\(1,\infty\)) है।
The denominator must not be zero, so \(x\ne3\) and \(x\ne-3\).
Step 3
Exam Tip
Even if (x+3) cancels algebraically, (x=-3) is not allowed in the original function. चरण 1: हर (x-2-9=(x-3)(x+3)) है। चरण 2: हर शून्य न हो, इसलिए \(x\ne3\) और \(x\ne-3\)। चरण 3: ऊपर (x+3) कट सकता है, फिर भी मूल फलन में (x=-3) मान्य नहीं होगा।
Hence (x=5) or (x=-1), so the preimage is ({-1,5}). चरण 1: (f^{-1}({3})) के लिए (|x-2|=3) हल करें। चरण 2: इससे (x-2=3) या (x-2=-3) मिलता है। चरण 3: इसलिए (x=5) या (x=-1), अतः पूर्वछवि ({-1,5}) है।
The images of (1,2,3) are distinct, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(d) is in the codomain but is not an image of any element.
Step 3
Exam Tip
Therefore the function is not onto. चरण 1: (1,2,3) की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (d) सहप्रान्त में है पर किसी की छवि नहीं है। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
Non-onto functions are those sending all elements only to (a) or only to (b), so there are (2).
Step 3
Exam Tip
Hence onto functions are (8-2=6). चरण 1: कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। चरण 2: आच्छादक न होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी अवयव केवल (a) पर जाएँ या केवल (b) पर जाएँ, ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (8-2=6) होंगे।
In a one-one function, the three inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).
Step 3
Exam Tip
Total functions are \(5\cdot4\cdot3=60\). चरण 1: एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। चरण 2: पहले आगत के लिए (5), दूसरे के लिए (4), तीसरे के लिए (3) विकल्प हैं। चरण 3: कुल \(5\cdot4\cdot3=60\) फलन होंगे।
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has only (2) elements, while the codomain has (3).
Step 3
Exam Tip
Two inputs cannot cover three distinct codomain elements, so no onto function exists. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रान्त में केवल (2) अवयव हैं, जबकि सहप्रान्त में (3) अवयव हैं। चरण 3: दो आगत तीन अलग छवियों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(7)) के लिए \(x^3-1=7\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{3x-1}{2}). चरण 1: \(y=\frac{2x+1}{3}\) लिखें। चरण 2: (3y=2x+1), इसलिए \(x=\frac{3y-1}{2}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{3x-1}{2})।
A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं है/Because it is not one-one
Step 1
Concept
For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Here (f(1)=f(-1)=1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function. चरण 1: प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। चरण 2: यहाँ (f(1)=f(-1)=1), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: एक ही छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता।
Therefore (f^{-1}({2})={-2,2}). चरण 1: पूर्वछवि निकालने के लिए (|x|=2) हल करें। चरण 2: इससे (x=2) या (x=-2) मिलता है। चरण 3: इसलिए (f^{-1}({2})={-2,2}) है।
The minimum value is (1), attained at (x=2). चरण 1: (x-2-4x+5=(x-2)2+1) लिखें। चरण 2: ((x-2)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge1)। चरण 3: न्यूनतम मान (1) होगा, जो (x=2) पर मिलता है।
Therefore the least value is (1), and the range is \([1,\infty\)). चरण 1: फलन को ((x-2)2+1) के रूप में लिखें। चरण 2: वर्ग का मान शून्य या धनात्मक होता है। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है।
A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं है/No, it has no real solution
Step 1
Concept
Assume \(\frac{x}{x+1}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (x=x+1), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore (1) is not in the range of this function. चरण 1: \(\frac{x}{x+1}=1\) मानें। चरण 2: इससे (x=x+1) मिलता है, जो असंभव है। चरण 3: इसलिए (1) इस फलन के परास में नहीं आता।
From (y(x+1)=x), we get \(x=\frac{y}{1-y}\), if \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
Hence every real (y) is possible except (1). चरण 1: \(y=\frac{x}{x+1}\) लिखें। चरण 2: (y(x+1)=x) से \(x=\frac{y}{1-y}\) मिलता है, यदि \(y\ne1\)। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (1) नहीं।
Since (g) is onto, every element of (C) is the image of some element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
Since (f) is onto, it can reach every needed element of (B).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(g\circ f\) is onto from (A) to (C). चरण 1: (g) आच्छादक है, इसलिए (C) का हर अवयव (B) के किसी अवयव की छवि है। चरण 2: (f) आच्छादक है, इसलिए वह (B) के हर जरूरी अवयव तक पहुँच सकता है। चरण 3: इसलिए \(g\circ f\) भी (A) से (C) पर आच्छादक होगा।
Since (f) is one-one, \(a_1=a_2\), so the composite is one-one. चरण 1: मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। चरण 2: (g) एक-एकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\))। चरण 3: (f) एक-एकी है, इसलिए \(a_1=a_2\), अतः संयुक्त फलन एक-एकी है।
The composition of inverse functions gives the identity function.
Step 2
Why this answer is correct
This means applying (g) first and then (f) returns the original value.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(f\circ g\)(x)=x). चरण 1: प्रतिलोम फलनों का संयुक्त फलन पहचान फलन देता है। चरण 2: इसका अर्थ है कि पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। चरण 3: इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)।
If (k=0), then (f(x)=1) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
A constant function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Therefore, for the linear function to be one-one, \(k\ne0\). चरण 1: यदि (k=0), तो (f(x)=1) स्थिर फलन बन जाएगा। चरण 2: स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। चरण 3: इसलिए \(k\ne0\) होने पर रैखिक फलन एक-एकी रहेगा।
Therefore, onto requires \(k\ne0\). चरण 1: यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (3) रहेगा। चरण 2: तब परास केवल ({3}) होगा, पूरा (R) नहीं। चरण 3: इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए।
Putting (y=1) leads to an impossible statement, so (1) is not in the range. चरण 1: \(y=\frac{x-2}{x+2}\) लिखें। चरण 2: (y(x+2)=x-2) से (x(y-1)=-2-2y) मिलता है। चरण 3: (y=1) रखने पर असंभव स्थिति बनती है, इसलिए (1) परास में नहीं है।
Solving gives (x=\frac{-2(1+y)}{y-1}), which is possible when \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
Hence all real values except (1) are in the range. चरण 1: \(y=\frac{x-2}{x+2}\) मानें। चरण 2: हल करने पर (x=\frac{-2(1+y)}{y-1}) मिलता है, जो \(y\ne1\) पर संभव है। चरण 3: इसलिए (1) को छोड़कर सभी वास्तविक मान परास में आते हैं।
The squares of the given elements are (9,4,1,0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
Repeated values are written only once in the range.
Step 3
Exam Tip
The range is ({0,1,4,9}), so it has (4) elements. चरण 1: दिए गए अवयवों के वर्ग (9,4,1,0,1,4,9) हैं। चरण 2: परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। चरण 3: परास ({0,1,4,9}) है, इसलिए (4) अवयव हैं।
Both (a) and (b) appear as images, so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Onto and one-one should be checked separately. चरण 1: (a) और (b) दोनों छवि के रूप में मिलते हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। चरण 2: (1) और (2) दोनों (a) पर जाते हैं, इसलिए एक-एकी नहीं है। चरण 3: आच्छादक और एक-एकी को अलग-अलग जाँचना चाहिए।
(g(f(x))=\sqrt{\(x^2+1\)-1}=\sqrt{x-2}). चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) है। चरण 2: (g) में (x) के स्थान पर \(x^2+1\) रखें। चरण 3: (g(f(x))=\sqrt{\(x^2+1\)-1}=\sqrt{x-2})।
Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid. चरण 1: (f^{-1}(9)) के लिए \(x^2=9\) हल करें। चरण 2: वास्तविक हल (x=3) और (x=-3) होते हैं। चरण 3: प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है।
At (x=0), (f(0)=2), so it is not zero. चरण 1: (f(x)=x-2-3x+2=(x-1)(x-2))। चरण 2: (x=1) और (x=2) पर गुणनफल शून्य होगा। चरण 3: (x=0) पर (f(0)=2), इसलिए वह शून्य नहीं है।
At (x=0), the minimum value (2) is obtained, so the range is \([2,\infty\)). चरण 1: \(|x|\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए। चरण 2: इसलिए \(|x|+2\ge2\)। चरण 3: (x=0) पर न्यूनतम मान (2) मिलता है, अतः परास \([2,\infty\)) है।
A. क्योंकि (1) इसकी छवि नहीं हो सकता/Because (1) cannot be its image
Step 1
Concept
The value of (|x|+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (R) contains (1), but it cannot be the image of any (x).
Step 3
Exam Tip
Therefore the function is not onto. चरण 1: (|x|+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रान्त (R) में (1) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
In a bijective function, elements are matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Since (A) has (5) elements, (B) also has (5). चरण 1: उभयैक फलन में हर अवयव का मिलान ठीक एक-एक तरीके से होता है। चरण 2: इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। चरण 3: (A) में (5) अवयव हैं, अतः (B) में भी (5) होंगे।
Therefore \(g=f^{-1}\). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को उलटते हैं। चरण 3: इसलिए \(g=f^{-1}\) होगा।
