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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

एकैकी फलन में कौन सी बात सही होती है?

Which statement is true for a one-one function?

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Correct Answer

A. अलग आगतों के अलग निर्गत होते हैंDifferent inputs have different outputs

Step 1

Concept

एकैकी फलन में दो अलग आगत एक ही निर्गत नहीं दे सकते। / In a one-one function, two different inputs cannot have the same output.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए अलग आगतों के अलग निर्गत होना जरूरी है। / So different inputs must give different outputs.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में एकैकी जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) दिखाएँ। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)) and show (a=b).

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Question 2/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f(2)=5) और (f(3)=5) हो तो (f) के बारे में क्या कहा जा सकता है?

If (f(2)=5) and (f(3)=5), what can be said about (f)?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

यहाँ (2) और (3) अलग आगत हैं। / Here (2) and (3) are different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों का निर्गत (5) है इसलिए एकैकीपन टूट जाता है। / Both give the output (5), so the function is not one-one.

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलन में समान निर्गत मिलने पर आगत भी समान होना चाहिए। / In a one-one function, equal outputs must come from equal inputs.

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Question 3/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x+1) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x+1), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(2a+1=2b+1) से (a=b) मिलता है। / (2a+1=2b+1) gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function (ax+b) is one-one when \(a\neq0\).

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Question 4/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=7) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

यह स्थिर फलन है क्योंकि हर (x) पर मान (7) है। / This is a constant function because its value is (7) for every (x).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=7) और (f(2)=7) मिलते हैं जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), although \(1\neq2\).

Step 3

Exam Tip

स्थिर फलन बड़े प्रांत पर एकैकी नहीं होता। / A constant function on a larger domain is not one-one.

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Question 5/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) और (f(x)=|x|) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=|x|), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

मापांक में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In a modulus function, (x) and (-x) can give the same value.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=2) और (f(-2)=2) जबकि \(2\neq-2\)। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), although \(2\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

मापांक फलन में एकैकीपन जाँचते समय विपरीत चिन्ह वाले आगत देखें। / For modulus functions, check opposite-sign inputs.

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Question 6/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=e^x) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(e^x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(e^x\) is an increasing function.

Step 2

Why this answer is correct

(x) बढ़ाने पर \(e^x\) का मान भी बढ़ता है इसलिए दो अलग आगत समान निर्गत नहीं देते। / As (x) increases, \(e^x\) also increases, so two different inputs cannot give the same output.

Step 3

Exam Tip

बढ़ते फलन सामान्यतः एकैकी जाँच में सरल होते हैं। / Increasing functions are usually easy to test for one-one.

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Question 7/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\log x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log x), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(\log x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ने वाला फलन है। / \(\log x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).

Step 2

Why this answer is correct

अलग धनात्मक आगतों पर \(\log x\) के अलग मान मिलते हैं। / Different positive inputs give different logarithmic values.

Step 3

Exam Tip

लघुगणक फलन में प्रांत हमेशा धनात्मक संख्याओं का होता है। / For logarithmic functions, remember that the domain contains positive numbers only.

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Question 8/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=3x-5) हो तो (f(a)=f(b)) से क्या मिलेगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-5), what follows from (f(a)=f(b))?

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Correct Answer

A. (a=b)

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) रखने पर (3a-5=3b-5) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get (3a-5=3b-5).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर (3a=3b) और फिर (a=b)। / Simplifying gives (3a=3b), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) एकैकी फलन की मुख्य जाँच है। / The condition (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) is the main test for one-one.

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Question 9/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

किस उदाहरण से सिद्ध होता है कि (f(x)=x^-2+1) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है?

Which example proves that (f(x)=x^-2+1) is not one-one on real numbers?

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Correct Answer

A. (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

एकैकी नहीं दिखाने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएँ। / To show a function is not one-one, show equal outputs for different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=2) और (f(-1)=2) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

केवल एक मान निकालना काफी नहीं होता, दो अलग आगतों की तुलना करें। / Finding only one value is not enough; compare two different inputs.

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Question 10/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n+4) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+4), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

अलग प्राकृतिक संख्याओं में (4) जोड़ने पर अलग संख्याएँ मिलती हैं। / Adding (4) to different natural numbers gives different numbers.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(n_1+4=n_2+4\) तो \(n_1=n_2\)। / If \(n_1+4=n_2+4\), then \(n_1=n_2\).

Step 3

Exam Tip

समान संख्या जोड़ना एकैकीपन को नहीं तोड़ता। / Adding the same number does not destroy one-one property.

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Question 11/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=2n) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(2n) में अलग पूर्णांकों को दुगुना करने पर अलग परिणाम मिलते हैं। / Doubling different integers gives different results.

Step 2

Why this answer is correct

\(2n_1=2n_2\) से \(n_1=n_2\) मिलता है। / From \(2n_1=2n_2\), we get \(n_1=n_2\).

Step 3

Exam Tip

गुणांक शून्य न हो तो ऐसा रैखिक फलन एकैकी रहता है। / A linear rule with non-zero coefficient remains one-one.

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Question 12/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n^-2) हो तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n^-2), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों आते हैं। / The integers include both (1) and (-1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए अलग आगतों का समान निर्गत है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so different inputs have the same output.

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन पूरे पूर्णांक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता। / The square function is not one-one on all integers.

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Question 13/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) और \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) and \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

प्रांत के हर तत्व का एक ही प्रतिबिंब है। / Each element of the domain has exactly one image.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। / The images (4,5,6) are all distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की सूची देखकर एकैकीपन जल्दी जाँचा जा सकता है। / For finite sets, one-one can be checked quickly by listing the images.

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Question 14/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5}\) और \(f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}\) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:{1,2,3}\to{4,5}\) and \(f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

(1) और (2) अलग तत्व हैं। / (1) and (2) are different elements.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों का प्रतिबिंब (4) है इसलिए एकैकीपन नहीं है। / Both have image (4), so the function is not one-one.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में यदि कोई प्रतिबिंब दोहर जाए तो फलन एकैकी नहीं होता। / For finite sets, repeated images mean the function is not one-one.

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Question 15/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि प्रांत में (5) तत्व और सहप्रांत में (3) तत्व हों तो एकैकी फलन संभव है या नहीं?

If the domain has (5) elements and the codomain has (3) elements, is a one-one function possible?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व को अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs a distinct image for each domain element.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए लेकिन सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। / Here (5) distinct images are needed, but the codomain has only (3) elements.

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम प्रांत जितने तत्व होने चाहिए। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.

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Question 16/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि प्रांत में (3) तत्व और सहप्रांत में (5) तत्व हों तो एकैकी फलन संभव है या नहीं?

If the domain has (3) elements and the codomain has (5) elements, is a one-one function possible?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

एकैकी फलन के लिए (3) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (3) distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत में (5) तत्व हैं इसलिए (3) अलग प्रतिबिंब चुनना संभव है। / The codomain has (5) elements, so choosing (3) distinct images is possible.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में पहले तत्वों की संख्या की तुलना करें। / For finite sets, compare the number of elements first.

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Question 17/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=-4x+9) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=-4x+9), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(-4a+9=-4b+9) से (a=b) मिलता है। / (-4a+9=-4b+9) gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक गुणांक होने से एकैकीपन नहीं टूटता, गुणांक केवल शून्य नहीं होना चाहिए। / A negative coefficient does not destroy one-one property; the coefficient just must not be zero.

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Question 18/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=0x+6) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=0x+6), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

(0x+6) का मान हर (x) के लिए (6) है। / The value of (0x+6) is (6) for every (x).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=6) और (f(5)=6) जबकि \(1\neq5\)। / (f(1)=6) and (f(5)=6), although \(1\neq5\).

Step 3

Exam Tip

रैखिक रूप में (x) का गुणांक (0) हो तो फलन स्थिर हो जाता है। / In a linear expression, if the coefficient of (x) is (0), the function becomes constant.

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Question 19/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

फलन (f(x)=x^-3) वास्तविक संख्याओं पर कैसा है?

What type of function is (f(x)=x^-3) on real numbers?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3\) is an increasing function on real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

अगर \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होता है। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

विषम घात का सरल घन फलन एकैकी होता है। / The basic odd-power cubic function is one-one.

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Question 20/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

फलन (f(x)=x^-4) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी क्यों नहीं है?

Why is (f(x)=x^-4) not one-one on real numbers?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(1)=f(-1))Because (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

(1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। / (1) and (-1) are different real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों पर \(x^4\) का मान (1) आता है। / Both give the value (1) under \(x^4\).

Step 3

Exam Tip

सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Even-power functions are generally not one-one on the whole real domain.

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Question 21/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x+10) हो तो (f(4)) और (f(5)) की तुलना से क्या पता चलता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x+10), what does comparing (f(4)) and (f(5)) show?

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Correct Answer

A. अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैंDifferent inputs give different values

Step 1

Concept

(f(4)=14) और (f(5)=15) हैं। / (f(4)=14) and (f(5)=15).

Step 2

Why this answer is correct

अलग आगतों पर अलग मान मिल रहे हैं। / Different inputs give different values.

Step 3

Exam Tip

ऐसे रैखिक फलन में समान संख्या जोड़ने से क्रम और एकैकीपन बना रहता है। / In such a linear function, adding the same number preserves order and one-one property.

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Question 22/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और \(a_1\neq a_2\) हो तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:A\to B\) is one-one and \(a_1\neq a_2\), which statement is correct?

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Correct Answer

A. (f\(a_1\)\neq f\(a_2\))

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होते हैं। / In a one-one function, different inputs have different images.

Step 2

Why this answer is correct

\(a_1\neq a_2\) दिया है इसलिए (f\(a_1\)\neq f\(a_2\)) होगा। / Since \(a_1\neq a_2\), we must have (f\(a_1\)\neq f\(a_2\)).

Step 3

Exam Tip

यह एकैकी फलन की सीधी पहचान है। / This is the direct meaning of one-one.

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Question 23/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (f\(a_1\)=f\(a_2\)) हो तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If \(f:A\to B\) is one-one and (f\(a_1\)=f\(a_2\)), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. \(a_1=a_2\)

Step 1

Concept

एकैकी फलन की शर्त समान निर्गत से समान आगत तक जाती है। / The condition for one-one connects equal outputs to equal inputs.

Step 2

Why this answer is correct

(f\(a_1\)=f\(a_2\)) होने पर \(a_1=a_2\) होना चाहिए। / If (f\(a_1\)=f\(a_2\)), then \(a_1=a_2\).

Step 3

Exam Tip

यह प्रमाण लिखने में सबसे अधिक उपयोग होने वाला रूप है। / This is the most commonly used form in proofs.

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Question 24/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\) में प्रतिबिंब (a,b,c,d) अलग-अलग हैं तो (f) कैसा है?

If \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\) has distinct images (a,b,c,d), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

एकैकीपन के लिए सभी प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / For one-one, all images must be distinct.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ चारों प्रतिबिंब अलग दिए गए हैं। / Here all four images are given as distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित फलनों में दोहराव न हो तो फलन एकैकी होता है। / In finite functions, no repetition of images means the function is one-one.

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Question 25/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि किसी फलन में दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिल जाए तो वह फलन कैसा होगा?

If a function has the same image for two different inputs, what type of function will it be?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

एकैकी फलन में ऐसा दोहराव नहीं होना चाहिए। / Such repetition is not allowed in a one-one function.

Step 2

Why this answer is correct

दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिलने पर शर्त टूट जाती है। / If two different inputs have the same image, the condition fails.

Step 3

Exam Tip

एक विरोधी उदाहरण एकैकीपन नकारने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove one-one.

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Question 26/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5x) हो तो (f) एकैकी क्यों है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5x), why is (f) one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (5a=5b) से (a=b) मिलता हैBecause (5a=5b) gives (a=b)

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानने पर (5a=5b) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)) gives (5a=5b).

Step 2

Why this answer is correct

दोनों ओर (5) से भाग देने पर (a=b) है। / Dividing both sides by (5) gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

शून्य से अलग गुणन एकैकीपन बनाए रखता है। / Multiplication by a non-zero number preserves one-one property.

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Question 27/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x-3|) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-3|), which pair breaks one-one property?

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Correct Answer

A. (2) और (4)(2) and (4)

Step 1

Concept

(f(2)=|2-3|=1) है। / (f(2)=|2-3|=1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(4)=|4-3|=1) है जबकि \(2\neq4\)। / (f(4)=|4-3|=1), although \(2\neq4\).

Step 3

Exam Tip

मापांक में केंद्र से बराबर दूरी वाले दो बिंदु समान मान दे सकते हैं। / In modulus functions, points equally far from the center can give the same value.

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Question 28/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=|x-3|) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x-3|), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x\geq3\) पर (|x-3|=x-3) हो जाता है। / For \(x\geq3\), (|x-3|=x-3).

Step 2

Why this answer is correct

(x-3) बढ़ने वाला रैखिक फलन है। / (x-3) is an increasing linear function.

Step 3

Exam Tip

प्रांत सीमित करने पर मापांक फलन एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain can make a modulus function one-one.

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Question 29/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2-2x) हो तो एकैकीपन तोड़ने वाला सरल युग्म कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-2x), which simple pair breaks one-one property?

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Correct Answer

A. (0) और (2)(0) and (2)

Step 1

Concept

(f(0)=0) है। / (f(0)=0).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=4-4=0) है जबकि \(0\neq2\)। / (f(2)=4-4=0), while \(0\neq2\).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन में धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / In a quadratic function, equal values can occur on both sides of the axis.

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Question 30/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^-2-2x) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2-2x), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(x^-2-2x=(x-1)²-1) है। / (x^-2-2x=(x-1)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

\(x\geq1\) पर ((x-1)²) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / For \(x\geq1\), ((x-1)²) increases, so different (x) values give different outputs.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one on one side of its axis.

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Question 31/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

एकैकी फलन को पहचानने का सबसे अच्छा बीजगणितीय तरीका कौन सा है?

What is the best algebraic method to identify a one-one function?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) सिद्ध करनाAssume (f(a)=f(b)) and prove (a=b)

Step 1

Concept

एकैकीपन आगतों और निर्गतों की तुलना से जुड़ा है। / One-one property is about comparing inputs and outputs.

Step 2

Why this answer is correct

(f(a)=f(b)) से (a=b) निकलता है तो फलन एकैकी है। / If (f(a)=f(b)) leads to (a=b), the function is one-one.

Step 3

Exam Tip

केवल एक मान निकालना एकैकीपन का प्रमाण नहीं होता। / Finding only one function value is not a proof of one-one.

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Question 32/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3+2) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3+2), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x^3\) एक बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.

Step 2

Why this answer is correct

उसमें (2) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। / Adding (2) keeps different input values different.

Step 3

Exam Tip

किसी एकैकी फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to a one-one function does not change one-one property.

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Question 33/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x^-3-1) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x^-3-1), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x^3\) अलग वास्तविक आगतों पर अलग मान देता है। / \(x^3\) gives different values for different real inputs.

Step 2

Why this answer is correct

(2) से गुणा और (1) घटाने पर समानता की प्रकृति नहीं बदलती। / Multiplying by (2) and subtracting (1) does not change the equality pattern.

Step 3

Exam Tip

सरल घन फलन के रैखिक रूपांतरण भी एकैकी रहते हैं। / Linear transformations of a basic cubic function remain one-one.

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Question 34/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+4x+4) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+4x+4), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

(x^-2+4x+4=(x+2)²) है। / (x^-2+4x+4=(x+2)²).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-1)=1) और (f(-3)=1) जबकि \(-1\neq-3\)। / (f(-1)=1) and (f(-3)=1), although \(-1\neq-3\).

Step 3

Exam Tip

पूर्ण वर्ग रूप देखकर समान मान देने वाले दो आगत आसानी से मिलते हैं। / The perfect square form helps find two inputs with the same output.

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Question 35/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), is (f) one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

\(\sin x\) आवर्ती फलन है। / \(\sin x\) is a periodic function.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).

Step 3

Exam Tip

पूरे वास्तविक प्रांत पर आवर्ती फलन अक्सर एकैकी नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.

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Question 36/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) और (f(x)=\sin x) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इस अंतराल में दो अलग (x) समान ज्या मान नहीं देते। / In this interval, two different (x) values do not give the same sine value.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलन उचित अंतराल पर एकैकी हो सकते हैं। / Trigonometric functions can be one-one on suitable restricted intervals.

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Question 37/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) हो तो एकैकीपन के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which statement about one-one property is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).

Step 3

Exam Tip

समान मान वाले अलग कोण मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं होता। / If different angles give the same value, the function is not one-one.

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Question 38/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) और (f(x)=\cos x) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is decreasing.

Step 2

Why this answer is correct

घटने वाला फलन अलग आगतों पर अलग मान देता है। / A decreasing function gives different outputs for different inputs.

Step 3

Exam Tip

घटता हुआ होना भी एकैकीपन की मजबूत पहचान है। / Being strictly decreasing is also a strong sign of one-one property.

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Question 39/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

एकैकी फलन की गिनती में (A) के प्रत्येक तत्व के लिए प्रतिबिंब कैसे चुने जाते हैं?

In counting one-one functions, how are images chosen for each element of (A)?

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Correct Answer

A. बिना दोहराव केWithout repetition

Step 1

Concept

एकैकी फलन में दो अलग तत्वों को एक ही प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। / In a one-one function, two different elements cannot have the same image.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए चुने गए प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / Therefore selected images are not repeated.

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलनों की गिनती में क्रमचय का विचार आता है। / Counting one-one functions uses the idea of permutations.

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Question 40/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (|A|=2) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?

If (|A|=2) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (12)

Step 1

Concept

पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices.

Step 2

Why this answer is correct

दूसरे तत्व के लिए दोहराव न होने से (3) चुनाव बचते हैं। / The second element has (3) remaining choices because repetition is not allowed.

Step 3

Exam Tip

कुल एकैकी फलन \(4\cdot3=12\) होंगे। / Total one-one functions are \(4\cdot3=12\).

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Question 41/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (|A|=3) और (|B|=3) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?

If (|A|=3) and (|B|=3), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (6)

Step 1

Concept

पहले तत्व के लिए (3) चुनाव हैं। / The first element has (3) choices.

Step 2

Why this answer is correct

फिर (2) और फिर (1) चुनाव बचता है। / Then (2) choices and then (1) choice remain.

Step 3

Exam Tip

कुल संख्या \(3\cdot2\cdot1=6\) है। / The total number is \(3\cdot2\cdot1=6\).

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Question 42/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (|A|=4) और (|B|=2) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?

If (|A|=4) and (|B|=2), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

एकैकी फलन के लिए (4) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (4) distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत में केवल (2) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / The codomain has only (2) elements, so this is impossible.

Step 3

Exam Tip

प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलनों की संख्या शून्य हो सकती है। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions may be zero.

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Question 43/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है तो (f) के परास में तत्वों की संख्या कैसी होगी?

If \(f:A\to B\) is one-one, what can be said about the number of elements in the range of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रांत के तत्वों जितनीEqual to the number of elements in the domain

Step 1

Concept

एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व का अलग प्रतिबिंब होता है। / In a one-one function, each domain element has a distinct image.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए परास में उतने ही तत्व होंगे जितने प्रांत में हैं। / Therefore the range has as many elements as the domain.

Step 3

Exam Tip

यह बात सीमित समुच्चयों की गिनती में बहुत उपयोगी है। / This fact is very useful in counting problems on finite sets.

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Question 44/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f(x)=\frac{x+1}{2}) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If (f(x)=\frac{x+1}{2}), is (f) one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1) और (a=b) मिलता है। / \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) gives (a+1=b+1), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

हर में स्थिर संख्या होने से एकैकीपन नहीं टूटता। / A fixed denominator does not break one-one property.

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Question 45/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) और (f(x)=\frac{1}{x}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने से (a=b) निष्कर्ष मिलता है। / Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), this gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

व्युत्क्रम फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / The reciprocal function is one-one on its proper domain.

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Question 46/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+2x+5) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+2x+5), is (f) one-one?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

(x^-2+2x+5=(x+1)²+4) है। / (x^-2+2x+5=(x+1)²+4).

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=5) और (f(-2)=5) जबकि \(0\neq-2\)। / (f(0)=5) and (f(-2)=5), while \(0\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A quadratic function is generally not one-one on the whole real domain.

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Question 47/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^-2+2x+5) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2+2x+5), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(x)=(x+1)²+4) है। / (f(x)=(x+1)²+4).

Step 2

Why this answer is correct

\(x\geq-1\) पर ((x+1)²) बढ़ता है। / For \(x\geq-1\), ((x+1)²) increases.

Step 3

Exam Tip

धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो सकता है। / On one side of its axis, a quadratic function can be one-one.

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Question 48/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

कौन सा फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी है?

Which function is one-one on real numbers?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(x)=x+1)

Step 1

Concept

(f(x)=x+1) रैखिक है और (x) का गुणांक \(1\neq0\) है। / (f(x)=x+1) is linear and the coefficient of (x) is \(1\neq0\).

Step 2

Why this answer is correct

बाकी विकल्पों में अलग आगत समान मान दे सकते हैं या फलन स्थिर है। / The other options can give equal outputs for different inputs or are constant.

Step 3

Exam Tip

आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें। / In easy questions, identify linear and constant functions first.

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Question 49/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=6-2x) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=6-2x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानने पर (6-2a=6-2b) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get (6-2a=6-2b).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर (-2a=-2b) इसलिए (a=b)। / Simplifying gives (-2a=-2b), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function is one-one when the coefficient of (x) is not zero.

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Question 50/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) और \(f=\{(1,5),(2,7),(3,6),(4,7)\}\) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) and \(f=\{(1,5),(2,7),(3,6),(4,7)\}\), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। / Each element of the domain has exactly one image, so it is a function.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (2) और (4) दोनों का प्रतिबिंब (7) है। / But both (2) and (4) have image (7).

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में कोई प्रतिबिंब दोहर जाए तो फलन एकैकी नहीं होता। / In a finite set, repeated images mean the function is not one-one.

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Question 51/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x+5), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

एकैकी जाँचने के लिए मान लें (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

तब (2a+5=2b+5), इसलिए (a=b)। / Then (2a+5=2b+5), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq0\) is one-one.

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Question 52/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो यह एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-2), why is it not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (f(1)=f(-1))Because (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों पर समान निर्गत मिलना चाहिए। / A function is not one-one if two different inputs give the same output.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ \(1\neq-1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq-1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन को पूरे वास्तविक समुच्चय पर लेते समय संकेतों की जोड़ी जरूर देखें। / For square functions on all real numbers, always check opposite inputs.

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Question 53/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (f(a)=f(b)), तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

If \(f:A\to B\) is one-one and (f(a)=f(b)), what conclusion follows?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (a=b)

Step 1

Concept

एकैकी फलन की मूल पहचान यही है कि समान निर्गत तभी मिले जब निवेश समान हों। / The main property of a one-one function is that equal outputs come only from equal inputs.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(a)=f(b)) से सीधे (a=b) मिलता है। / Therefore (f(a)=f(b)) directly gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

परिभाषा आधारित प्रश्नों में इसी विचार को तुरंत लागू करें। / In definition-based questions, apply this property first.

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Question 54/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7) के लिए सही कथन चुनिए।

Choose the correct statement for the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

स्थिर फलन हर निवेश को एक ही निर्गत देता है। / A constant function gives the same output for every input.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में स्थिर फलन को सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता, जब तक प्रांत में केवल एक तत्व न हो। / In exams, a constant function is not one-one unless its domain has only one element.

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Question 55/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), तो (f) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), what type is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

निर्गतों की सूची (2,3,1) है। / The outputs are (2,3,1).

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी निर्गत दो बार नहीं आया, इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / No output is repeated, so different inputs have different outputs.

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय वाले प्रश्नों में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जाँचें। / For finite sets, check repetition in the output list.

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Question 56/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), which option is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

एकैकी के लिए अलग निवेशों के निर्गत अलग होने चाहिए। / For one-one, different inputs must have different outputs.

Step 2

Why this answer is correct

\(1\neq2\), लेकिन (f(1)=f(2)=1)। / \(1\neq2\), but (f(1)=f(2)=1).

Step 3

Exam Tip

जब दो तीर एक ही निर्गत पर जाएँ, फलन एकैकी नहीं होता। / If two arrows go to the same output, the function is not one-one.

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Question 57/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+1) के लिए यदि (f(a)=f(b)), तो अगला सही चरण क्या होगा?

For \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+1), if (f(a)=f(b)), what is the next correct step?

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Correct Answer

A. (a+1=b+1)

Step 1

Concept

(f(a)) का अर्थ (a+1) और (f(b)) का अर्थ (b+1) है। / (f(a)) means (a+1) and (f(b)) means (b+1).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(a)=f(b)) से (a+1=b+1) लिखा जाएगा। / So (f(a)=f(b)) becomes (a+1=b+1).

Step 3

Exam Tip

एकैकी सिद्ध करते समय पहले सही प्रतिस्थापन करें। / While proving one-one, first substitute correctly.

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Question 58/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में एकैकी है?

Which function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(x)=3x-4)

Step 1

Concept

(f(x)=3x-4) रैखिक है और उसका गुणांक \(3\neq0\) है। / (f(x)=3x-4) is linear with coefficient \(3\neq0\).

Step 2

Why this answer is correct

बाकी विकल्पों में दो अलग निवेश समान निर्गत दे सकते हैं, जैसे (x) और (-x)। / The other options can give the same output for two different inputs, such as (x) and (-x).

Step 3

Exam Tip

आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें। / In easy questions, first identify linear and constant functions.

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Question 59/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|) एकैकी क्यों नहीं है?

Why is the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(2)=f(-2))Because (f(2)=f(-2))

Step 1

Concept

निरपेक्ष मान धन और ऋण दोनों संख्याओं को समान धन मान दे सकता है। / Absolute value can give the same positive value for positive and negative inputs.

Step 2

Why this answer is correct

\(2\neq-2\), पर (f(2)=2) और (f(-2)=2)। / \(2\neq-2\), but (f(2)=2) and (f(-2)=2).

Step 3

Exam Tip

( |x| ) वाले फलन में विपरीत चिह्नों की जाँच जल्दी करें। / For ( |x| ) functions, quickly check opposite signs.

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Question 60/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(x)=x+2) से परिभाषित किया गया है, तो क्या (f) एकैकी है?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is defined by (f(x)=x+2), is (f) one-one?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(a+2=b+2) से (a=b) मिलता है। / From (a+2=b+2), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर भी (x+c) प्रकार का फलन एकैकी रहता है। / On natural numbers also, a function of the form (x+c) is one-one.

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Question 61/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=2x) से दिया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is given by (f(x)=2x), what type is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानने पर (2a=2b) होगा। / If (f(a)=f(b)), then (2a=2b).

Step 2

Why this answer is correct

दोनों ओर (2) से भाग देने पर (a=b) मिलता है। / Dividing both sides by (2), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

गैर-शून्य गुणन वाला फलन अलग निवेशों को अलग निर्गत देता है। / Multiplication by a non-zero number gives different outputs for different inputs.

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Question 62/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=0x+4), what is the correct statement about (f)?

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Correct Answer

B. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(0x+4) का मान हर (x) के लिए (4) है। / (0x+4) equals (4) for every (x).

Step 2

Why this answer is correct

अलग-अलग निवेश, जैसे (1) और (3), एक ही निर्गत (4) देते हैं। / Different inputs, such as (1) and (3), give the same output (4).

Step 3

Exam Tip

रैखिक रूप में गुणांक (0) हो तो फलन स्थिर बन जाता है। / In a linear form, coefficient (0) makes the function constant.

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Question 63/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

एकैकी फलन की सही परिभाषा कौन-सी है?

Which is the correct definition of a one-one function?

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Correct Answer

A. अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैंDifferent inputs have different outputs

Step 1

Concept

एकैकी का अर्थ है कि कोई दो अलग निवेश एक ही निर्गत न दें। / One-one means no two different inputs give the same output.

Step 2

Why this answer is correct

यही बात विकल्प में अलग निवेशों के अलग निर्गत के रूप में दी गई है। / This is exactly stated as different inputs having different outputs.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा याद रखने के लिए सोचें कि एक निर्गत पर दो तीर नहीं आने चाहिए। / Remember it as no two arrows should land on the same output.

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Question 64/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{2,4,6}\to{1,3,5,7}\) में (f(2)=1), (f(4)=3), (f(6)=5), तो (f) क्या है?

If \(f:{2,4,6}\to{1,3,5,7}\) has (f(2)=1), (f(4)=3), (f(6)=5), what is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

तीनों निवेशों के निर्गत (1,3,5) हैं। / The outputs for the three inputs are (1,3,5).

Step 2

Why this answer is correct

ये सभी अलग-अलग हैं, इसलिए कोई पुनरावृत्ति नहीं है। / All are different, so there is no repetition.

Step 3

Exam Tip

परिमित समुच्चय में एकैकी जाँच का सबसे सरल तरीका निर्गतों को गिनना है। / For finite sets, the easiest one-one test is to check repeated outputs.

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Question 65/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c}\) एकैकी हो, तो यह संभव है या नहीं?

If \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c}\) is one-one, is it possible?

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Correct Answer

B. संभव नहीं हैNot possible

Step 1

Concept

प्रांत में (4) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। / The domain has (4) elements and the codomain has only (3) elements.

Step 2

Why this answer is correct

एकैकी के लिए हर निवेश को अलग निर्गत चाहिए, जो यहाँ पर्याप्त नहीं हैं। / A one-one function needs a different output for every input, which is not enough here.

Step 3

Exam Tip

परिमित समुच्चय में यदि प्रांत के तत्व अधिक हों, तो एकैकी फलन संभव नहीं होता। / For finite sets, if the domain has more elements, a one-one function is not possible.

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Question 66/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{1,2}\to{3,4,5}\) में (f(1)=3) और (f(2)=4), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

If \(f:{1,2}\to{3,4,5}\) has (f(1)=3) and (f(2)=4), choose the correct statement for (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

प्रांत के दोनों तत्वों के निर्गत (3) और (4) हैं। / The two domain elements have outputs (3) and (4).

Step 2

Why this answer is correct

ये निर्गत अलग हैं, इसलिए फलन एकैकी है। / These outputs are different, so the function is one-one.

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होना जरूरी नहीं है; एकैकी के लिए केवल पुनरावृत्ति न होना जरूरी है। / Every codomain element need not be used; for one-one, only no repetition is needed.

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Question 67/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3) के बारे में सही कथन क्या है?

What is the correct statement about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ व्यवहार रखता है। / \(x^3\) has increasing behavior on real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^3=b^3\), तो (a=b) होता है। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

\(x^3\) और \(x^2\) में अंतर याद रखें; घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। / Remember the difference between \(x^3\) and \(x^2\); the cube function is one-one on \(\mathbb{R}\).

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Question 68/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=1-x), तो (f) की एकैकीता के लिए सही निष्कर्ष क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=1-x), what is the correct conclusion about one-one property?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(1-a=1-b) से (a=b) मिलता है। / From (1-a=1-b), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

घटते हुए रैखिक फलन भी एकैकी हो सकते हैं, क्योंकि अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / A decreasing linear function can also be one-one because different inputs give different outputs.

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Question 69/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+1), तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+1), is (f) one-one?

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Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि (f(2)=f(-2))No, because (f(2)=f(-2))

Step 1

Concept

\(x^2\) में विपरीत संख्याएँ समान वर्ग देती हैं। / In \(x^2\), opposite numbers give the same square.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=5) और (f(-2)=5), जबकि \(2\neq-2\)। / (f(2)=5) and (f(-2)=5), while \(2\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

किसी स्थिर संख्या को जोड़ने से वर्ग फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं बनता। / Adding a constant does not make the square function one-one on all \(\mathbb{R}\).

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Question 70/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\), (f(x)=x^-2), जहाँ \(\mathbb{R}^{+}\) धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\), (f(x)=x^-2), where \(\mathbb{R}^{+}\) is the set of positive real numbers, what type is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

धन वास्तविक संख्याओं में विपरीत ऋणात्मक साथी शामिल नहीं होता। / In positive real numbers, the opposite negative partner is not included.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a,b>0) और \(a^2=b^2\), तो (a=b)। / If (a,b>0) and \(a^2=b^2\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

प्रांत बदलने से एकैकीता बदल सकती है, इसलिए प्रांत ध्यान से पढ़ें। / Changing the domain can change one-one property, so read the domain carefully.

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Question 71/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) एकैकी है, तो (f(1)), (f(2)), (f(3)) के बारे में क्या सही होगा?

If \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) is one-one, what is true about (f(1)), (f(2)), (f(3))?

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Correct Answer

A. तीनों अलग होंगेAll three will be different

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं। / In a one-one function, different inputs have different outputs.

Step 2

Why this answer is correct

(1,2,3) तीन अलग निवेश हैं, इसलिए (f(1)), (f(2)), (f(3)) अलग होंगे। / (1,2,3) are three different inputs, so (f(1)), (f(2)), (f(3)) will be different.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करना सबसे सुरक्षित तरीका है। / In such questions, directly applying the definition is the safest method.

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Question 72/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

निम्न में से कौन-सा कथन एकैकी फलन के लिए हमेशा सही है?

Which of the following statements is always true for a one-one function?

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Correct Answer

A. यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b))

Step 1

Concept

एकैकीता का अर्थ है कि अलग निवेश समान निर्गत नहीं दे सकते। / One-one means different inputs cannot give the same output.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(a\neq b\) होने पर (f(a)\neq f(b)) होना चाहिए। / Therefore, if \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b)).

Step 3

Exam Tip

परिभाषा के दोनों रूप याद रखें: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) और (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b))। / Remember both forms: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) and (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)).

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Question 73/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+2), तो (f) की प्रकृति क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+2), what is the nature of (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-3) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (-3).

Step 2

Why this answer is correct

\(-3\neq0\), इसलिए (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलेगा। / Since \(-3\neq0\), (f(a)=f(b)) gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक गुणांक होने पर भी फलन एकैकी हो सकता है। / Even with a negative coefficient, a function can be one-one.

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Question 74/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-4x+4), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-4x+4), why is (f) not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(1)=f(3))Because (f(1)=f(3))

Step 1

Concept

(x^-2-4x+4=(x-2)²) है। / (x^-2-4x+4=(x-2)²).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq3\).

Step 3

Exam Tip

पूर्ण वर्ग वाले द्विघात फलनों में केंद्र के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / In perfect-square quadratic functions, equal values may occur on both sides of the vertex.

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Question 75/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x), तो (f(a)=f(b)) से क्या मिलेगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x), what follows from (f(a)=f(b))?

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Correct Answer

A. (a=b)

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) लिखने पर (5a=5b) मिलता है। / Writing (f(a)=f(b)) gives (5a=5b).

Step 2

Why this answer is correct

दोनों ओर (5) से भाग देने पर (a=b) आता है। / Dividing both sides by (5), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

यही परिणाम दिखाता है कि (f(x)=5x) एकैकी है। / This result shows that (f(x)=5x) is one-one.

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Question 76/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि किसी फलन में दो अलग-अलग निवेशों के लिए समान निर्गत मिल जाए, तो वह फलन कैसा होगा?

If a function gives the same output for two different inputs, what type of function is it?

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Correct Answer

B. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग निवेश समान निर्गत नहीं दे सकते। / In a one-one function, different inputs cannot give the same output.

Step 2

Why this answer is correct

यदि ऐसा मिल जाए, तो एकैकीता टूट जाती है। / If this happens, one-one property fails.

Step 3

Exam Tip

एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही उदाहरण पर्याप्त होता है। / To prove not one-one, one counterexample is enough.

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Question 77/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

निम्न में से कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है?

Which of the following functions is not one-one on \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)?

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Correct Answer

C. (f(x)=x^-2)

Step 1

Concept

\(x^2\) में (x) और (-x) समान निर्गत देते हैं। / In \(x^2\), (x) and (-x) give the same output.

Step 2

Why this answer is correct

उदाहरण के लिए (f(3)=9) और (f(-3)=9)। / For example, (f(3)=9) and (f(-3)=9).

Step 3

Exam Tip

बाकी रैखिक फलन हैं जिनमें (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए वे एकैकी हैं। / The other functions are linear with non-zero coefficient of (x), so they are one-one.

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Question 78/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{1,2,3}\to{p,q,r}\) में (f(1)=p), (f(2)=q), (f(3)=q), तो कौन-सा कथन सही है?

If \(f:{1,2,3}\to{p,q,r}\) has (f(1)=p), (f(2)=q), (f(3)=q), which statement is correct?

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Correct Answer

B. (f) एकैकी नहीं है(f) is not one-one

Step 1

Concept

यहाँ (2) और (3) दो अलग निवेश हैं। / Here (2) and (3) are two different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों का निर्गत (q) है, इसलिए निर्गत दोहराया गया। / Both have output (q), so an output is repeated.

Step 3

Exam Tip

दोहराया हुआ निर्गत एकैकीता को तुरंत समाप्त कर देता है। / A repeated output immediately breaks one-one property.

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Question 79/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

पहचान फलन \(I_A:A\to A\), (I_A(x)=x), कैसा होता है?

What type is the identity function \(I_A:A\to A\), (I_A(x)=x)?

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Correct Answer

A. हमेशा एकैकीAlways one-one

Step 1

Concept

पहचान फलन हर तत्व को उसी तत्व पर भेजता है। / The identity function sends every element to itself.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (I_A(a)=I_A(b)), तो (a=b) सीधे मिलता है। / If (I_A(a)=I_A(b)), then (a=b) directly.

Step 3

Exam Tip

पहचान फलन एकैकीता का सबसे सरल और महत्वपूर्ण उदाहरण है। / The identity function is the simplest and most important example of a one-one function.

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Question 80/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+10), तो (f(4)) और (f(5)) की तुलना से क्या पता चलता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+10), what does comparing (f(4)) and (f(5)) show?

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Correct Answer

B. दोनों निर्गत अलग हैंBoth outputs are different

Step 1

Concept

(f(4)=14) और (f(5)=15) हैं। / (f(4)=14) and (f(5)=15).

Step 2

Why this answer is correct

अलग निवेशों पर अलग निर्गत मिल रहे हैं। / Different inputs are giving different outputs.

Step 3

Exam Tip

एक उदाहरण से एकैकी सिद्ध नहीं होता, पर रैखिक रूप (x+10) पूरी तरह एकैकी है। / One example alone does not prove one-one, but the linear form (x+10) is fully one-one.

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Question 81/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि:

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), then (f) is not one-one because:

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Correct Answer

A. (f(0)=f(2))

Step 1

Concept

(f(0)=|-1|=1) है। / (f(0)=|-1|=1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=|1|=1), जबकि \(0\neq2\)। / (f(2)=|1|=1), while \(0\neq2\).

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से समान दूरी वाले निवेश समान निर्गत दे सकते हैं। / In absolute value functions, inputs at equal distance from the center can give the same output.

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Question 82/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि (A) में (5) तत्व और (B) में (7) तत्व हैं, तो (A) से (B) में एकैकी फलन के लिए क्या कहा जा सकता है?

If (A) has (5) elements and (B) has (7) elements, what can be said about a one-one function from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. संभव हो सकता हैIt may be possible

Step 1

Concept

एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम-से-कम उतने अलग तत्व चाहिए जितने प्रांत में हैं। / A one-one function needs at least as many different codomain elements as domain elements.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ \(7\ge5\), इसलिए अलग निर्गत देना संभव हो सकता है। / Here \(7\ge5\), so assigning different outputs may be possible.

Step 3

Exam Tip

संख्या आधारित प्रश्नों में पहले प्रांत और सहप्रांत के तत्व गिनें। / In counting questions, first count elements of domain and codomain.

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Question 83/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि (A) में (6) तत्व और (B) में (4) तत्व हैं, तो \(A\to B\) एकैकी फलन के लिए सही कथन कौन-सा है?

If (A) has (6) elements and (B) has (4) elements, which statement is correct for a one-one function \(A\to B\)?

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Correct Answer

B. एकैकी फलन संभव नहीं हैOne-one function is not possible

Step 1

Concept

प्रांत में (6) तत्व हैं पर सहप्रांत में (4) ही तत्व हैं। / The domain has (6) elements, but the codomain has only (4).

Step 2

Why this answer is correct

(6) अलग निवेशों को (4) अलग निर्गतों में बिना दोहराव भेजना संभव नहीं है। / It is impossible to send (6) different inputs to (4) different outputs without repetition.

Step 3

Exam Tip

यदि प्रांत बड़ा हो, तो परिमित समुच्चयों में एकैकीता असंभव होती है। / If the domain is larger, one-one is impossible for finite sets.

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Question 84/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), what is the correct statement about (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

भिन्न रूप वाला रैखिक फलन भी एकैकी हो सकता है। / A fractional-looking linear function can also be one-one.

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Question 85/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x^-2), तो यह एकैकी नहीं है क्योंकि:

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x^-2), it is not one-one because:

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Correct Answer

A. (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

वर्ग के कारण (1) और (-1) का वर्ग समान होता है। / Because of the square, (1) and (-1) have the same square.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन को किसी धन स्थिर से गुणा करने पर भी पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीता नहीं आती। / Multiplying a square function by a positive constant still does not make it one-one on all \(\mathbb{R}\).

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Question 86/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

किस स्थिति में फलन \(f:A\to B\) निश्चित रूप से एकैकी नहीं होगा?

In which situation will a function \(f:A\to B\) definitely not be one-one?

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Correct Answer

A. जब \(a\neq b\) और (f(a)=f(b))When \(a\neq b\) and (f(a)=f(b))

Step 1

Concept

एकैकीता अलग निवेशों पर समान निर्गत को अनुमति नहीं देती। / One-one property does not allow the same output for different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\neq b\) और (f(a)=f(b)) मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहेगा। / Once \(a\neq b\) and (f(a)=f(b)) occur, the function is not one-one.

Step 3

Exam Tip

एक गलत जोड़ी पूरी एकैकीता को खारिज कर देती है। / One violating pair rejects the whole one-one property.

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Question 87/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3), तो (f(2)) और (f(4)) के मान क्या दिखाते हैं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3), what do the values (f(2)) and (f(4)) show?

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Correct Answer

A. दो अलग निवेशों पर अलग निर्गतDifferent outputs for two different inputs

Step 1

Concept

(f(2)=-1) और (f(4)=1) हैं। / (f(2)=-1) and (f(4)=1).

Step 2

Why this answer is correct

ये अलग निर्गत हैं, जो रैखिक एकैकी व्यवहार से मेल खाते हैं। / These are different outputs, matching linear one-one behavior.

Step 3

Exam Tip

पूर्ण सिद्धि के लिए (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) दिखाएँ। / For a full proof, assume (f(a)=f(b)) and show (a=b).

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Question 88/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=3x+1), तो (f) एकैकी है क्योंकि:

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=3x+1), then (f) is one-one because:

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Correct Answer

A. \(3a+1=3b+1\Rightarrow a=b\)

Step 1

Concept

एकैकी सिद्ध करने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To prove one-one, assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(3a+1=3b+1) से (3a=3b), अतः (a=b)। / From (3a+1=3b+1), we get (3a=3b), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

(mx+c) में \(m\neq0\) होने पर यह तरीका तेजी से काम करता है। / For (mx+c) with \(m\neq0\), this method works quickly.

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Question 89/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{0,1,2}\to{0,1,4}\) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(f:{0,1,2}\to{0,1,4}\) is defined by (f(x)=x^-2), what type is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में केवल (0,1,2) हैं। / The given domain contains only (0,1,2).

Step 2

Why this answer is correct

इनके निर्गत (0,1,4) हैं और कोई दोहराव नहीं है। / Their outputs are (0,1,4), with no repetition.

Step 3

Exam Tip

\(x^2\) हर प्रांत पर एकैकी नहीं होता, इसलिए दिए गए प्रांत को जरूर देखें। / \(x^2\) is not one-one on every domain, so always check the given domain.

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Question 90/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{-2,-1,0,1,2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2), तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:{-2,-1,0,1,2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2), is (f) one-one?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

इस प्रांत में (1) और (-1) दोनों हैं। / This domain contains both (1) and (-1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(-1)=1), पर \(1\neq-1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), but \(1\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

जब प्रांत में विपरीत संख्याएँ हों, \(x^2\) एकैकी नहीं रहेगा। / If the domain contains opposite numbers, \(x^2\) will not be one-one.

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Question 91/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है, तो (B) के किसी एक तत्व पर (A) के कितने तत्व जा सकते हैं?

If \(f:A\to B\) is one-one, how many elements of (A) can map to one element of (B)?

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Correct Answer

A. अधिकतम एकAt most one

Step 1

Concept

एकैकी फलन में एक निर्गत पर दो अलग निवेश नहीं जा सकते। / In a one-one function, two different inputs cannot map to the same output.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (B) के किसी एक तत्व पर (A) का अधिकतम एक ही तत्व जा सकता है। / So at most one element of (A) can map to one element of (B).

Step 3

Exam Tip

तीर आरेख में एकैकीता जाँचते समय हर निर्गत पर आने वाले तीर गिनें। / In arrow diagrams, count incoming arrows at each output to test one-one.

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Question 92/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

तीर आरेख में यदि सहप्रांत के एक ही तत्व पर दो तीर आ रहे हैं, तो फलन कैसा होगा?

In an arrow diagram, if two arrows arrive at the same element of the codomain, what type is the function?

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Correct Answer

B. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

दो तीरों का एक ही तत्व पर आना बताता है कि दो अलग निवेशों का निर्गत समान है। / Two arrows arriving at the same element means two different inputs have the same output.

Step 2

Why this answer is correct

यह एकैकीता की परिभाषा के विरुद्ध है। / This goes against the definition of one-one.

Step 3

Exam Tip

आरेख वाले प्रश्नों में निर्गत पर आने वाले तीरों को देखकर तुरंत निर्णय लें। / In diagram-based questions, decide quickly by checking incoming arrows at outputs.

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Question 93/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), which option is correct for (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर हर मान के लिए अलग निर्गत देता है। / The cube-root function gives different outputs for different real inputs.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), तो दोनों ओर घन करने पर (a=b)। / If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), cubing both sides gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

घनमूल और वर्गमूल की परिभाषा में अंतर ध्यान रखें। / Keep the difference between cube root and square root in mind.

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Question 94/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3+2), तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3+2), what type is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x^3\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। / \(x^3\) is one-one on all \(\mathbb{R}\).

Step 2

Why this answer is correct

(2) जोड़ने से सभी निर्गत समान मात्रा से बदलते हैं, पर दो अलग निवेश समान नहीं बनते। / Adding (2) shifts all outputs equally, but it does not make two different inputs equal.

Step 3

Exam Tip

घन फलन में स्थिर जोड़ने से एकैकीता बनी रहती है। / Adding a constant to a cube function keeps it one-one.

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Question 95/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x+1)²), तो एकैकीता जाँचने के लिए कौन-सी जोड़ी सही प्रतिउदाहरण है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x+1)²), which pair is a correct counterexample for one-one testing?

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Correct Answer

A. (0) और (-2)

Step 1

Concept

(f(0)=(1)²=1) है। / (f(0)=(1)²=1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-2)=(-1)²=1), जबकि \(0\neq-2\)। / (f(-2)=(-1)²=1), while \(0\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिउदाहरण में दो अलग निवेश और समान निर्गत साफ दिखाना चाहिए। / A counterexample should clearly show two different inputs with the same output.

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Question 96/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-2x), तो (f) के लिए सही परिणाम क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-2x), what is the correct result for (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(9-2a=9-2b) से (-2a=-2b), अतः (a=b)। / From (9-2a=9-2b), we get (-2a=-2b), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

घटते हुए रैखिक फलन को भी एकैकी समझें जब (x) का गुणांक शून्य न हो। / Treat decreasing linear functions as one-one when the coefficient of (x) is non-zero.

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Question 97/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) में निर्गत क्रमशः (8,7,6,5) हैं, तो (f) कैसा है?

If \(f:{1,2,3,4}\to{5,6,7,8}\) has outputs respectively (8,7,6,5), what type is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

चार निवेशों के निर्गत (8,7,6,5) हैं। / The outputs of the four inputs are (8,7,6,5).

Step 2

Why this answer is correct

कोई निर्गत दोहराया नहीं गया है। / No output is repeated.

Step 3

Exam Tip

क्रम उल्टा होने से फर्क नहीं पड़ता; निर्गत अलग हों तो फलन एकैकी है। / Reverse order does not matter; if outputs are different, the function is one-one.

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Question 98/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:{a,b,c}\to{1,2,3,4}\) में (f(a)=2), (f(b)=2), (f(c)=4), तो (f) क्यों एकैकी नहीं है?

If \(f:{a,b,c}\to{1,2,3,4}\) has (f(a)=2), (f(b)=2), (f(c)=4), why is (f) not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(a\neq b\) पर (f(a)=f(b))Because \(a\neq b\) but (f(a)=f(b))

Step 1

Concept

(a) और (b) अलग-अलग तत्व हैं। / (a) and (b) are different elements.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों का निर्गत (2) है, इसलिए समान निर्गत दो बार आया। / Both have output (2), so the same output is repeated.

Step 3

Exam Tip

एकैकीता में ऐसा दोहराव स्वीकार नहीं होता। / Such repetition is not allowed in one-one property.

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Question 99/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{3}x-4), तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{3}x-4), what type is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

यह (mx+c) रूप का रैखिक फलन है। / This is a linear function of the form (mx+c).

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ \(m=\frac{1}{3}\neq0\), इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। / Here \(m=\frac{1}{3}\neq0\), so different inputs give different outputs.

Step 3

Exam Tip

भिन्न गुणांक देखकर भ्रमित न हों; शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / Do not be confused by a fractional coefficient; if it is non-zero, the linear function is one-one.

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Question 100/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

कक्षा परीक्षा में एक छात्र ने लिखा कि (f(x)=x^-2) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। कौन-सा उदाहरण उसकी गलती सुधारता है?

In a class test, a student wrote that (f(x)=x^-2) is one-one on all \(\mathbb{R}\). Which example corrects the mistake?

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Correct Answer

A. (f(2)=f(-2)) और \(2\neq-2\)

Step 1

Concept

गलती सुधारने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें दो अलग निवेश समान निर्गत दें। / To correct the mistake, we need an example where two different inputs give the same output.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=4) और (f(-2)=4), पर \(2\neq-2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), but \(2\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है। / One clear counterexample disproves the whole claim.

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Question 101/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=4x+7) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=4x+7), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानने पर (4a+7=4b+7) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get (4a+7=4b+7).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर (4a=4b) इसलिए (a=b)। / Simplifying gives (4a=4b), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function with a non-zero coefficient of (x) is one-one.

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Question 102/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=-3x+8) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=-3x+8), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) से (-3a+8=-3b+8) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get (-3a+8=-3b+8).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (-3a=-3b) और फिर (a=b) मिलता है। / This gives (-3a=-3b), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक ढाल भी एकैकीपन को नहीं रोकती। / A negative slope does not stop a function from being one-one.

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Question 103/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=9) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=9), is (f) one-one?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

यह स्थिर फलन है क्योंकि हर (x) पर मान (9) है। / This is a constant function because its value is (9) for every (x).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=9) और (f(6)=9) जबकि \(2\neq6\)। / (f(2)=9) and (f(6)=9), while \(2\neq6\).

Step 3

Exam Tip

बड़े प्रांत पर स्थिर फलन एकैकी नहीं होता। / A constant function on a larger domain is not one-one.

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Question 104/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2-6x+9) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-6x+9), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

(x^-2-6x+9=(x-3)²) है। / (x^-2-6x+9=(x-3)²).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=1) और (f(4)=1) जबकि \(2\neq4\)। / (f(2)=1) and (f(4)=1), while \(2\neq4\).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A quadratic function is generally not one-one on the whole real domain.

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Question 105/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=(x-3)²) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[3,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=(x-3)²), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में \(x-3\geq0\) है। / In the given domain, \(x-3\geq0\).

Step 2

Why this answer is correct

\([3,\infty\)) पर ((x-3)²) बढ़ता है इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On \([3,\infty\)), ((x-3)²) increases, so different (x) values give different outputs.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one on one side of its axis.

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Question 106/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x+1|) हो तो कौन सा युग्म बताता है कि (f) एकैकी नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|), which pair shows that (f) is not one-one?

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Correct Answer

A. (0) और (-2)(0) and (-2)

Step 1

Concept

(f(0)=|1|=1) है। / (f(0)=|1|=1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-2)=|-1|=1) है जबकि \(0\neq-2\)। / (f(-2)=|-1|=1), while \(0\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

मापांक फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं। / In a modulus function, inputs equally distant from the center can give the same output.

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Question 107/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=|x+1|) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x+1|), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x\geq-1\) होने पर \(x+1\geq0\) है। / For \(x\geq-1\), \(x+1\geq0\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (|x+1|=x+1) बन जाता है जो रैखिक और बढ़ता हुआ है। / Hence (|x+1|=x+1), which is linear and increasing.

Step 3

Exam Tip

प्रांत को सही तरह सीमित करने से मापांक फलन एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain properly can make a modulus function one-one.

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Question 108/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=3n+2) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=3n+2), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f\(n_1\)=f\(n_2\)) से \(3n_1+2=3n_2+2\) मिलता है। / From (f\(n_1\)=f\(n_2\)), we get \(3n_1+2=3n_2+2\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(n_1=n_2\) निष्कर्ष निकलता है। / This gives \(n_1=n_2\).

Step 3

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर ऐसा रैखिक नियम अलग आगतों को अलग मान देता है। / Such a linear rule on natural numbers gives different outputs for different inputs.

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Question 109/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n^-2+1) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n^-2+1), is (f) one-one?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

(1) और (-1) अलग पूर्णांक हैं। / (1) and (-1) are different integers.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=2) और (f(-1)=2) इसलिए समान प्रतिबिंब मिलते हैं। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so equal images occur.

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाले नियम पूर्णांकों पर अक्सर एकैकी नहीं होते। / Square-based rules are often not one-one on integers.

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Question 110/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n^-3+5) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n^-3+5), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। / Cubes of different integers are different.

Step 2

Why this answer is correct

उनमें (5) जोड़ने से अलगपन बना रहता है। / Adding (5) preserves that difference.

Step 3

Exam Tip

सरल घन फलन और उसका स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखते हैं। / A basic cubic function and its translation keep the one-one property.

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Question 111/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:{1,2,3}\to{a,b,c,d}\) और \(f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\}\) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:{1,2,3}\to{a,b,c,d}\) and \(f=\{(1,a),(2,c),(3,d)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Each element of the domain has exactly one image.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (a,c,d) अलग-अलग हैं। / The images (a,c,d) are distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में प्रतिबिंब दोहराए न जाएँ तो फलन एकैकी होता है। / In a finite set, if images are not repeated, the function is one-one.

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Question 112/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:{1,2,3,4}\to{p,q,r}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,p)\}\) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:{1,2,3,4}\to{p,q,r}\) and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,p)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

यहाँ (1) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। / Here (1) and (4) are different domain elements.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों का प्रतिबिंब (p) है इसलिए दोहराव हो गया। / Both have image (p), so repetition occurs.

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलन में प्रतिबिंब का दोहराव स्वीकार नहीं होता। / Repetition of an image is not allowed in a one-one function.

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Question 113/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (|A|=2) और (|B|=5) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?

If (|A|=2) and (|B|=5), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (20)

Step 1

Concept

पहले तत्व के लिए (5) चुनाव हैं। / The first element has (5) choices.

Step 2

Why this answer is correct

दूसरे तत्व के लिए दोहराव नहीं कर सकते इसलिए (4) चुनाव बचते हैं। / The second element has (4) choices because repetition is not allowed.

Step 3

Exam Tip

कुल एकैकी फलन \(5\cdot4=20\) होंगे। / Total one-one functions are \(5\cdot4=20\).

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Question 114/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (|A|=3) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या होगी?

If (|A|=3) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (24)

Step 1

Concept

पहले तत्व के लिए (4) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices.

Step 2

Why this answer is correct

अगले दो तत्वों के लिए क्रमशः (3) और (2) चुनाव बचते हैं। / The next two elements have (3) and (2) choices respectively.

Step 3

Exam Tip

कुल संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। / The total number is \(4\cdot3\cdot2=24\).

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Question 115/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (|A|=5) और (|B|=4) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?

If (|A|=5) and (|B|=4), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

एकैकी फलन के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (5) distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / The codomain has only (4) elements, so this is impossible.

Step 3

Exam Tip

प्रांत के तत्व अधिक हों तो एकैकी फलन बन ही नहीं सकता। / If the domain has more elements than the codomain, no one-one function can exist.

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Question 116/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि कोई फलन एकैकी है तो दो अलग आगतों के प्रतिबिंब कैसे होंगे?

If a function is one-one, how will the images of two different inputs be?

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Correct Answer

A. अलग-अलगDifferent

Step 1

Concept

एकैकी फलन की मूल पहचान अलग आगतों पर अलग प्रतिबिंब है। / The basic identity of a one-one function is distinct images for distinct inputs.

Step 2

Why this answer is correct

यदि प्रतिबिंब समान हो जाएँ तो एकैकीपन टूट जाएगा। / If the images become equal, one-one property fails.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा याद रखें: समान प्रतिबिंब तभी जब आगत समान हों। / Remember the definition: equal images only come from equal inputs.

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Question 117/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) हर (a,b) के लिए सत्य है तो (f) कैसा है?

If (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) is true for all (a,b), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

यह एकैकी फलन की मानक बीजगणितीय शर्त है। / This is the standard algebraic condition for a one-one function.

Step 2

Why this answer is correct

समान प्रतिबिंब मिलने पर आगत समान होना चाहिए। / Equal images must imply equal inputs.

Step 3

Exam Tip

प्रमाण में इसी रूप का सबसे अधिक प्रयोग होता है। / This form is most commonly used in proofs.

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Question 118/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)) सत्य है तो (f) के लिए सही शब्द कौन सा है?

If (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)) is true, what is the correct term for (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

यह शर्त बताती है कि अलग आगत अलग प्रतिबिंब देते हैं। / This condition says different inputs give different images.

Step 2

Why this answer is correct

यही एकैकी फलन की सीधी परिभाषा है। / That is the direct definition of a one-one function.

Step 3

Exam Tip

इस कथन और (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) दोनों को समान अर्थ में याद रखें। / Remember that this statement and (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) have the same meaning.

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Question 119/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि किसी फलन में (f(5)=f(9)) और \(5\neq9\) हो तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If a function has (f(5)=f(9)) and \(5\neq9\), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. फलन एकैकी नहीं हैThe function is not one-one

Step 1

Concept

(5) और (9) दो अलग आगत हैं। / (5) and (9) are two different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों के प्रतिबिंब समान हैं इसलिए एकैकीपन की शर्त टूटती है। / Their images are equal, so the one-one condition fails.

Step 3

Exam Tip

एक ही विरोधी उदाहरण एकैकीपन नकारने के लिए पर्याप्त है। / A single counterexample is enough to disprove one-one.

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Question 120/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

कौन सा फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है?

Which function is not one-one on real numbers?

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Correct Answer

A. (f(x)=x^-2+2)

Step 1

Concept

\(x^2+2\) में (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। / In \(x^2+2\), (x) and (-x) can give the same value.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=3) और (f(-1)=3) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

विकल्पों में वर्ग वाले फलन को खास ध्यान से जाँचें। / In options, check square-based functions carefully.

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Question 121/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt[3]{x}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x}), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। / The cube-root function increases on real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

अलग वास्तविक आगतों के घनमूल अलग होते हैं। / Different real inputs have different cube roots.

Step 3

Exam Tip

घन और घनमूल दोनों एकैकीपन की दृष्टि से सरल उदाहरण हैं। / Cubic and cube-root functions are simple examples of one-one behavior.

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Question 122/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(\sqrt{x}\) अपने प्रांत \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) increases on its domain \([0,\infty\)).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) हो तो (a=b) होता है। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / The square-root function is one-one on its proper domain.

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Question 123/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+x) हो तो (f) एकैकी नहीं है यह कौन सा युग्म दिखाता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+x), which pair shows that (f) is not one-one?

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Correct Answer

A. (0) और (-1)(0) and (-1)

Step 1

Concept

(f(0)=0) है। / (f(0)=0).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-1)=1-1=0) है जबकि \(0\neq-1\)। / (f(-1)=1-1=0), while \(0\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन में समान मान देने वाले दो आगत ढूँढकर एकैकीपन नकारें। / For a quadratic function, find two inputs with the same value to disprove one-one.

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Question 124/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^-2+x) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2+x), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(x^-2+x=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)²-\frac{1}{4}) है। / (x^-2+x=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)²-\frac{1}{4}).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\) है इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। / In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन अपनी धुरी के एक ओर एकैकी हो जाता है। / A quadratic function becomes one-one on one side of its axis.

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Question 125/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2|x|) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2|x|), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

मापांक के कारण (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। / Because of modulus, (x) and (-x) can give the same value.

Step 2

Why this answer is correct

(f(3)=6) और (f(-3)=6) जबकि \(3\neq-3\)। / (f(3)=6) and (f(-3)=6), while \(3\neq-3\).

Step 3

Exam Tip

मापांक के साथ धनात्मक गुणन एकैकीपन नहीं बचाता। / Multiplying a modulus function by a positive constant does not make it one-one.

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Question 126/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=2|x|) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=2|x|), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x\geq0\) होने पर (|x|=x) हो जाता है। / For \(x\geq0\), (|x|=x).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(x)=2x) है जो अलग आगतों पर अलग मान देता है। / Thus (f(x)=2x), which gives different values for different inputs.

Step 3

Exam Tip

प्रांत बदलने से मापांक फलन का एकैकीपन बदल सकता है। / Changing the domain can change the one-one nature of a modulus function.

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Question 127/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3-x) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3-x), which pair breaks one-one property?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0) और (1)(0) and (1)

Step 1

Concept

(f(0)=0) है। / (f(0)=0).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1-1=0) है जबकि \(0\neq1\)। / (f(1)=1-1=0), while \(0\neq1\).

Step 3

Exam Tip

हर घन फलन एकैकी हो यह जरूरी नहीं है, नियम को जाँचें। / Not every cubic-looking function is one-one; check the rule.

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Question 128/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3+4x) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3+4x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

यह फलन (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। / This function increases continuously as (x) increases.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a>b) हो तो \(a^3+4a\) भी \(b^3+4b\) से बड़ा होता है। / If (a>b), then \(a^3+4a\) is greater than \(b^3+4b\).

Step 3

Exam Tip

लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.

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Question 129/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5-x^-3) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-x^-3), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x^3\) बढ़ता है इसलिए \(-x^3\) घटता है। / \(x^3\) increases, so \(-x^3\) decreases.

Step 2

Why this answer is correct

\(5-x^3\) भी घटता हुआ फलन है और अलग आगतों पर अलग मान देता है। / \(5-x^3\) is decreasing and gives different outputs for different inputs.

Step 3

Exam Tip

लगातार घटता फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.

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Question 130/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\frac{2}{x}) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\frac{2}{x}), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) से \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\).

Step 2

Why this answer is correct

(a,b>0) होने से (a=b) निष्कर्ष निकलता है। / Since (a,b>0), this gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

व्युत्क्रम जैसा नियम अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / A reciprocal-type rule is one-one on its proper domain.

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Question 131/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{1}{x-2}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x-2}), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(a\neq2\) और \(b\neq2\) होने से (a-2=b-2) इसलिए (a=b)। / Since \(a\neq2\) and \(b\neq2\), we get (a-2=b-2), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाना जरूरी है। / The value making the denominator zero must be removed from the domain.

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Question 132/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) हो तो कौन सा युग्म दिखाता है कि (f) एकैकी नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), which pair shows that (f) is not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0) और \(\pi\)(0) and \(\pi\)

Step 1

Concept

\(\sin 0=0\) है। / \(\sin 0=0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).

Step 3

Exam Tip

आवर्ती फलनों में अलग कोण समान मान दे सकते हैं। / In periodic functions, different angles can give the same value.

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Question 133/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) हो तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\) जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).

Step 3

Exam Tip

दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एकैकीपन समाप्त हो जाता है। / Equal values at different inputs destroy one-one property.

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Question 134/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2^x) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2^x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(2^x\) बढ़ने वाला घातीय फलन है। / \(2^x\) is an increasing exponential function.

Step 2

Why this answer is correct

अलग वास्तविक (x) पर \(2^x\) के अलग मान मिलते हैं। / Different real (x) values give different values of \(2^x\).

Step 3

Exam Tip

आधार (1) से बड़ा होने पर घातीय फलन एकैकी होता है। / An exponential function with base greater than (1) is one-one.

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Question 135/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\left\(\frac{1}{3}\right\)^x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) घटने वाला घातीय फलन है। / (\left\(\frac{1}{3}\right\)^x) is a decreasing exponential function.

Step 2

Why this answer is correct

घटते हुए फलन में अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं। / A decreasing function gives different values for different inputs.

Step 3

Exam Tip

(0) और (1) के बीच आधार वाला घातीय फलन भी एकैकी होता है। / An exponential function with base between (0) and (1) is also one-one.

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Question 136/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\log_2 x) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log_2 x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(\log_2 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। / \(\log_2 x\) increases on the positive domain.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\log_2 a=\log_2 b\) हो तो (a=b) होता है। / If \(\log_2 a=\log_2 b\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

लघुगणक फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.

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Question 137/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:A\to B\) स्थिर फलन है और (A) में एक से अधिक तत्व हैं तो (f) कैसा होगा?

If \(f:A\to B\) is a constant function and (A) has more than one element, what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

स्थिर फलन सभी आगतों को एक ही प्रतिबिंब देता है। / A constant function sends all inputs to the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(A) में एक से अधिक तत्व हैं इसलिए अलग आगत समान प्रतिबिंब देंगे। / Since (A) has more than one element, different inputs will have the same image.

Step 3

Exam Tip

स्थिर फलन को एकैकी समझने की गलती न करें। / Do not mistake a constant function for a one-one function.

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Question 138/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\) हों तो एकैकी फलन के लिए (A) के तत्वों को कैसे भेजना होगा?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), how must elements of (A) be mapped for a one-one function?

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Correct Answer

A. तीनों को अलग-अलग तत्वों परAll three to distinct elements

Step 1

Concept

एकैकी फलन में प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / In a one-one function, images are not repeated.

Step 2

Why this answer is correct

(A) के तीन तत्वों के लिए (B) के तीन अलग तत्व चुनने होंगे। / For the three elements of (A), three distinct elements of (B) must be chosen.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में अलग प्रतिबिंब ही एकैकीपन की कुंजी है। / In finite sets, distinct images are the key to one-one property.

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Question 139/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि किसी फलन का आलेख किसी क्षैतिज रेखा को दो स्थानों पर काटता है तो फलन के बारे में क्या कहा जा सकता है?

If the graph of a function cuts a horizontal line at two points, what can be said about the function?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

क्षैतिज रेखा का समान (y)-मान होता है। / A horizontal line represents the same (y)-value.

Step 2

Why this answer is correct

दो कटान का अर्थ है दो अलग (x) पर समान (y)-मान। / Two intersections mean two different (x)-values have the same (y)-value.

Step 3

Exam Tip

आलेख से एकैकीपन जाँचने में क्षैतिज रेखा परीक्षण उपयोगी है। / The horizontal line test is useful for checking one-one property from a graph.

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Question 140/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि किसी फलन का आलेख हर क्षैतिज रेखा को अधिकतम एक बार काटता है तो फलन कैसा है?

If the graph of a function intersects every horizontal line at most once, what type of function is it?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

हर क्षैतिज रेखा एक निश्चित निर्गत को दर्शाती है। / Each horizontal line represents a fixed output.

Step 2

Why this answer is correct

अधिकतम एक कटान का अर्थ है वह निर्गत केवल एक आगत से आता है। / At most one intersection means that output comes from only one input.

Step 3

Exam Tip

यही क्षैतिज रेखा परीक्षण का एकैकी परिणाम है। / This is the one-one conclusion of the horizontal line test.

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Question 141/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f(x)=3x^-2) वास्तविक संख्याओं पर हो तो कौन सा युग्म समान प्रतिबिंब देता है?

If (f(x)=3x^-2) on real numbers, which pair gives the same image?

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Correct Answer

A. (2) और (-2)(2) and (-2)

Step 1

Concept

(f(2)=3\cdot4=12) है। / (f(2)=3\cdot4=12).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-2)=3\cdot4=12) है जबकि \(2\neq-2\)। / (f(-2)=3\cdot4=12), while \(2\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग के साथ गुणांक लगने पर भी (x) और (-x) का मान समान रह सकता है। / Even with a coefficient, a square can give the same value for (x) and (-x).

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Question 142/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=3x^-2) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=3x^-2), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में (x) ऋणात्मक नहीं है। / In the given domain, (x) is not negative.

Step 2

Why this answer is correct

\(x\geq0\) पर \(3x^2\) बढ़ता है। / For \(x\geq0\), \(3x^2\) increases.

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन को अशून्य धनात्मक दिशा तक सीमित करने पर वह एकैकी हो जाता है। / Restricting a square function to the non-negative side makes it one-one.

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Question 143/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2-4) हो तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-4), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(f(2)=0) है। / (f(2)=0).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-2)=0) है जबकि \(2\neq-2\)। / (f(-2)=0), while \(2\neq-2\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग से जुड़े फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं रहते। / Square-based functions are not one-one on the whole real domain.

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Question 144/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x}{2}+6) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{2}+6), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) रखने पर \(\frac{a}{2}+6=\frac{b}{2}+6\) मिलता है। / Putting (f(a)=f(b)) gives \(\frac{a}{2}+6=\frac{b}{2}+6\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(\frac{a}{2}=\frac{b}{2}\) और (a=b) मिलता है। / This gives \(\frac{a}{2}=\frac{b}{2}\), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

भिन्न गुणांक भी शून्य न हो तो फलन एकैकी रहता है। / A fractional coefficient still gives one-one property if it is non-zero.

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Question 145/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=0x-4) हो तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=0x-4), which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(0x-4=-4) हर (x) के लिए समान है। / (0x-4=-4) is the same for every (x).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=-4) और (f(2)=-4) जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=-4) and (f(2)=-4), while \(1\neq2\).

Step 3

Exam Tip

(x) का गुणांक शून्य हो तो फलन स्थिर हो जाता है। / If the coefficient of (x) is zero, the function becomes constant.

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Question 146/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:{2,4,6}\to{1,3,5}\) और \(f=\{(2,1),(4,3),(6,5)\}\) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:{2,4,6}\to{1,3,5}\) and \(f=\{(2,1),(4,3),(6,5)\}\), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Each element of the domain has exactly one image.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (1,3,5) सभी अलग हैं। / The images (1,3,5) are all distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में अलग-अलग प्रतिबिंब एकैकीपन को स्पष्ट करते हैं। / In finite sets, distinct images clearly show one-one property.

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Question 147/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}-{-1}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x}{x+1}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}-{-1}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{x+1}), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\).

Step 2

Why this answer is correct

गुणा करने पर (a(b+1)=b(a+1)) यानी (ab+a=ab+b), इसलिए (a=b)। / Cross-multiplication gives (a(b+1)=b(a+1)), so (ab+a=ab+b), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

भिन्न वाले फलन में हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाकर जाँच करें। / In rational functions, remove the denominator-zero value from the domain before checking one-one.

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Question 148/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\lfloor x\rfloor) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), is (f) one-one?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

\(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1) जबकि \(1.2\neq1.8\)। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq1.8\).

Step 3

Exam Tip

सीढ़ी जैसे फलनों में एक ही मान कई आगतों पर आ सकता है। / Step-like functions can give the same value for many inputs.

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Question 149/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\tan x) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\tan x\) is strictly increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए दो अलग (x) समान स्पर्शज्या मान नहीं दे सकते। / Therefore two different (x) values cannot give the same tangent value.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों को सही अंतराल पर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it one-one.

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Question 150/150 Easy Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{5,6,7,8,9\}\) और \(f=\{(1,5),(2,8),(3,6),(4,9)\}\) हो तो (f) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{5,6,7,8,9\}\), and \(f=\{(1,5),(2,8),(3,6),(4,9)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब दिया गया है। / Every element of (A) has exactly one image.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (5,8,6,9) सभी अलग-अलग हैं। / The images (5,8,6,9) are all distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में यदि कोई प्रतिबिंब दोहराया नहीं गया है तो फलन एकैकी होता है। / For finite sets, if no image is repeated, the function is one-one.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - One-one function Easy Quiz

एकैकी फलन में कौन सी बात सही होती है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f(2)=5) और (f(3)=5) हो तो (f) के बारे में क्या कहा जा सकता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x+1) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=7) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) और (f(x)=|x|) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=e^x) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\log x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=3x-5) हो तो (f(a)=f(b)) से क्या मिलेगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस उदाहरण से सिद्ध होता है कि (f(x)=x-2+1) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n+4) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=2n) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n-2) हो तो कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\) और \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:{1,2,3}\to{4,5}\) और \(f=\{(1,4),(2,4),(3,5)\}\) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि प्रांत में (5) तत्व और सहप्रांत में (3) तत्व हों तो एकैकी फलन संभव है या नहीं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि प्रांत में (3) तत्व और सहप्रांत में (5) तत्व हों तो एकैकी फलन संभव है या नहीं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=-4x+9) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=0x+6) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

फलन (f(x)=x-3) वास्तविक संख्याओं पर कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

फलन (f(x)=x-4) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

किस उदाहरण से सिद्ध होता है कि (f(x)=x^-2+1) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है?

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n^-2) हो तो कौन सा कथन सही है?

फलन (f(x)=x^-3) वास्तविक संख्याओं पर कैसा है?

फलन (f(x)=x^-4) वास्तविक संख्याओं पर एकैकी क्यों नहीं है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2-2x) हो तो एकैकीपन तोड़ने वाला सरल युग्म कौन सा है?

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^-2-2x) हो तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3+2) हो तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x^-3-1) हो तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+4x+4) हो तो (f) कैसा है?