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पहले सभी सम संख्याएँ गिनें और फिर बिना (3) वाली संख्याएँ घटाएँ। ऐसी शर्तों में पूरक विधि तेज रहती है। / First count all even numbers and subtract those without (3). The complement method is efficient for inclusion conditions.
पहले व्यंजनों को सजाकर बने खाली स्थानों में स्वरों को रखें। समान अक्षरों के कारण विभाजन करना न भूलें। / First arrange the consonants and place vowels in the gaps formed. Do not forget division due to repeated letters.
कुल \(\binom{15}{6}\) समितियों से (4,5,6) महिलाओं वाले मामले घटाएँ। अधिकतम वाली शर्त में पूरक गिनती आसान होती है। / Subtract the cases with (4,5,6) women from total \(\binom{15}{6}\). For at most conditions, complement counting is often simpler.
पहला स्थान (0) रखने के बाद शेष (9) स्थानों में (4) गैर-लगातार (1) रखने हैं। गैर-लगातार चयन के लिए खाली स्थान विधि प्रयोग करें। / After fixing the first position as (0), place (4) non-adjacent ones in the remaining (9) positions. Use the gap method for non-adjacent selections.
पहले ऐसे (5) अंकों के समूह चुनें जिनका योग (9) से विभाज्य हो, फिर (5!) क्रम लगाएँ। विभाज्यता के प्रश्न में अंकों के योग से शुरुआत करें। / First choose (5)-digit sets whose sum is divisible by (9), then arrange each set in (5!) ways. Start divisibility problems with the digit sum.
एक जाल में ((0,0)) से ((5,4)) तक केवल दाएँ और ऊपर चलते हुए जाना है। मार्ग ((2,2)) और ((4,3)) दोनों बिंदुओं से होकर नहीं जाना चाहिए। कुल कितने मार्ग होंगे?
कुल मार्गों से दोनों प्रतिबंधित बिंदुओं से गुजरने वाले मार्ग समावेशन-बहिष्करण से घटाएँ। जाल मार्गों में \(\binom{m+n}{m}\) का प्रयोग करें। / Use inclusion-exclusion to subtract paths passing through the forbidden points from total paths. For grid paths, use \(\binom{m+n}{m}\).
एक पासवर्ड में (6) स्थान हैं। (5) अक्षरों और (5) अंकों से ठीक (3) अक्षर और (3) अंक बिना पुनरावृत्ति लिए जाते हैं। पहला और अंतिम स्थान दोनों अंक नहीं हो सकते। कुल कितने पासवर्ड बनेंगे?
पहले सभी मिश्रित पासवर्ड गिनें और फिर पहले-अंतिम दोनों अंक वाले मामले घटाएँ। स्थान-चयन और वस्तु-व्यवस्था को अलग रखें। / First count all mixed passwords and subtract cases where both first and last positions are digits. Keep position selection and object arrangement separate.
कुल \(3^5\) वितरणों से खाली विद्यार्थी वाले वितरण घटाएँ। कम से कम एक पाने की शर्त में समावेशन-बहिष्करण उपयोगी है। / Subtract distributions with at least one empty student from total \(3^5\). Inclusion-exclusion is useful when each receiver must get at least one item.
लड़कियों को एक ब्लॉक मानकर वस्तुओं को सजाएँ और दो निश्चित लड़कों के साथ वाले मामले घटाएँ। ब्लॉक और पूरक विधि को साथ प्रयोग करें। / Treat the girls as one block and subtract arrangements where the two particular boys are together. Use the block method with complement counting.
एक डिब्बे में (6) लाल, (5) नीली और (4) हरी गेंदें हैं। (5) गेंदें चुननी हैं जिनमें तीनों रंग हों और लाल गेंदों की संख्या हरी गेंदों से अधिक हो। कुल कितने चयन होंगे?
वैध रंग-वितरण केवल ((2,2,1)) और ((3,1,1)) हैं जहाँ पहला स्थान लाल के लिए है। रंग-आधारित शर्तों में पहले संभव मामले बनाइए। / The valid colour distributions are only ((2,2,1)) and ((3,1,1)), where the first place is for red. For colour restrictions, list valid cases first.
(8) व्यक्तियों को वृत्ताकार बैठाना है। दो निश्चित व्यक्ति साथ बैठें, पर तीसरा निश्चित व्यक्ति उन दोनों में से किसी के पास न बैठे। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
दो साथ बैठने वालों को ब्लॉक मानें और फिर तीसरे व्यक्ति के पास बैठने वाले मामले घटाएँ। वृत्त में एक घुमाव को स्थिर मानना जरूरी है। / Treat the two adjacent persons as a block and subtract cases where the third person is adjacent to that block. In circular arrangements, fix one rotation.
\(x_1\) और \(x_2\) की शर्तों को बदलकर गैर-ऋणात्मक चर में लिखें और \(x_3\) के लिए मामले लें। सीमा वाली शर्त में मामलों का योग करें। / Convert the restrictions on \(x_1\) and \(x_2\) into non-negative variables and take cases for \(x_3\). For bounded variables, add case counts.
कुल \(\binom{12}{4}\) चयन से वे चयन घटाएँ जिनमें (5) एकरेखीय बिंदुओं में से (3) या (4) चुने जाते हैं। चतुर्भुज के लिए कोई (3) बिंदु एकरेखीय नहीं होने चाहिए। / Subtract selections containing (3) or (4) points from the set of (5) collinear points from total \(\binom{12}{4}\). A quadrilateral cannot have any (3) collinear points.
बीच के (6) स्थानों में (0) और (5) को क्रम सहित रखें और बाकी स्थान अन्य अंकों से भरें। सिरे की शर्त पहले लागू करें। / Place (0) and (5) in the middle (6) positions with order, then fill the remaining positions with other digits. Apply end-position restrictions first.
हर दो विषयों की जोड़ी से (6) पुस्तकें चुनें और तीनों जोड़ें। यहाँ किसी एक विषय से (6) पुस्तकें लेना संभव नहीं है। / Choose (6) books from each pair of subjects and add the three results. Here, selecting all (6) from one subject is impossible.
पहले (B,N,N) को सजाएँ और बने (4) खाली स्थानों में (3) समान (A) रखें। समान अक्षरों और खाली स्थानों को ध्यान से संभालें। / First arrange (B,N,N), then place the (3) identical (A)'s in the (4) gaps formed. Handle repeated letters and gaps carefully.
(7) खिलाड़ियों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य स्थानों के लिए क्रम चुनना है। इसके बाद बचे खिलाड़ियों में से (2) का एक बिना क्रम वाला अभ्यास-दल बनाना है। कुल कितने तरीके होंगे?
पहले \(^{7}P_3\) तरीकों से स्थान चुनें और बचे (4) में से (2) खिलाड़ी चुनें। क्रमबद्ध और अक्रमबद्ध चरण अलग पहचानें। / First choose the positions in \(^{7}P_3\) ways, then choose (2) players from the remaining (4). Identify ordered and unordered stages separately.
एक पंजीकरण संख्या में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (4) अंक हैं। अक्षर (6) उपलब्ध अक्षरों से लिए जाते हैं। अंकों में ठीक एक जोड़ा समान हो और बाकी दो अंक उससे तथा आपस में अलग हों। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
अक्षरों के लिए \(6 \times 5\) तरीके हैं। अंकों में दो समान स्थान चुनें, दोहराया अंक चुनें और बाकी दो अलग अंक क्रम सहित रखें। / The letters have \(6 \times 5\) ways. For digits, choose the positions of the equal pair, choose the repeated digit, and fill the other two positions with distinct digits in order.
(5) लड़कों और (4) लड़कियों को (9) स्थानों की पंक्ति में बैठाना है। लड़कियाँ केवल विषम क्रमांक वाले स्थानों पर बैठ सकती हैं। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
पहले (5) विषम स्थानों में (4) लड़कियों को क्रम सहित रखें, फिर बाकी (5) स्थानों में लड़कों को सजाएँ। स्थान-प्रतिबंध पहले लगाएँ। / First arrange (4) girls in (5) odd positions, then arrange the boys in the remaining (5) positions. Apply position restrictions first.
पहले गैर-लगातार (4) संख्याओं के चयन पर विचार करें और फिर सम योग वाले चयन अलग करें। सम-विषम वर्गीकरण ऐसे प्रश्नों में सहायक है। / First consider non-consecutive selections of (4) numbers and then separate those with even sum. Parity classification helps in such questions.
(9) अलग पुस्तकों को (3) चिह्नित अलमारियों में रखना है। हर अलमारी में कम से कम एक पुस्तक हो और हर अलमारी में पुस्तकों का क्रम महत्वपूर्ण हो। कुल कितने तरीके होंगे?
पहले (9!) तरीकों से पुस्तकों को एक पंक्ति में रखें और (8) खाली स्थानों में (2) विभाजक रखें। विभाजक विधि चिह्नित अलमारियों के लिए उपयोगी है। / First arrange the (9) books in a row and place (2) dividers in the (8) gaps. The divider method is useful for labeled shelves.
पहले (6) स्थानों में (2) गैर-लगातार स्वर-स्थान चुनें, फिर स्वर और व्यंजन भरें। पुनरावृत्ति हो तो हर चुने स्थान पर विकल्प समान रहते हैं। / First choose (2) non-adjacent vowel positions among (6), then fill vowels and consonants. With repetition allowed, each chosen position keeps the same number of choices.
पहले (A) के लिए (3) कार्य चुनें, फिर बचे (5) कार्यों को (B,C) में बाँटें जहाँ (B) को कम से कम (2) मिलें। निश्चित व्यक्ति की शर्त पहले लागू करें। / First choose (3) tasks for (A), then distribute the remaining (5) tasks between (B,C) with (B) getting at least (2). Apply the fixed person's condition first.
अंतिम दो अंकों के वैध रूप (25,50,75) हैं और प्रत्येक मामले में (7) की उपस्थिति देखें। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक पहले तय करें। / The valid last-two-digit endings are (25,50,75), and the presence of (7) is checked in each case. For divisibility by (25), fix the last two digits first.
जाल में ((0,0)) से ((5,5)) तक केवल दाएँ और ऊपर चलते हुए जाना है। मार्ग को ((2,3)) और ((4,4)) में से ठीक एक बिंदु से होकर जाना चाहिए। कुल कितने मार्ग होंगे?
दोनों बिंदुओं से होकर जाने वाले मार्गों को दो बार घटाएँ क्योंकि ठीक एक बिंदु चाहिए। जाल-मार्ग और समावेशन-बहिष्करण को साथ लगाएँ। / Subtract the paths passing through both points twice because exactly one point is required. Combine grid-path counting with inclusion-exclusion.
एक निश्चित व्यक्ति को स्थिर रखें, तब दूसरे व्यक्ति के लिए (2) वैध स्थान मिलते हैं। बाकी (6) व्यक्तियों को (6!) तरीकों से बैठाएँ। / Fix one particular person; then the other particular person has (2) valid positions. Arrange the remaining (6) persons in (6!) ways.
विषम स्थानों (1,3,5) में (4) विषम अंकों में से (3) क्रम सहित रखें। फिर बचे अंकों से सम स्थानों को भरें। / Place (3) of the (4) odd digits in positions (1,3,5) in order. Then fill the even positions from the remaining digits.
पहले (2) डॉक्टर चुनें, फिर बचे (5) सदस्य अभियंता और अध्यापकों से कम से कम (2) अभियंताओं सहित चुनें। ठीक और कम से कम शर्तों को अलग चरणों में रखें। / First choose (2) doctors, then choose the remaining (5) members from engineers and teachers with at least (2) engineers. Keep exact and at least conditions in separate stages.
स्वरों को एक ब्लॉक मानें और व्यंजनों के समान अक्षरों का ध्यान रखें। ब्लॉक के भीतर स्वरों की व्यवस्था भी अलग से गिनें। / Treat all vowels as one block and account for repeated consonants. Count the arrangements inside the vowel block separately.
कुल \(^{7}P_6\) क्रमों से (12) को ब्लॉक मानकर बने क्रम घटाएँ। केवल निश्चित क्रम (1) के बाद (2) को ही घटाना है। / Subtract arrangements containing the block (12) from total \(^{7}P_6\). Only the fixed order (1) immediately before (2) is forbidden.
पहले धनात्मक हलों की संख्या गिनें और फिर बड़े बच्चे को (5) या अधिक सिक्के मिलने वाले हल घटाएँ। सीमा वाली शर्त में पूरक विधि उपयोगी है। / First count positive solutions and subtract solutions where the eldest child gets (5) or more coins. Complement counting is useful for upper-bound restrictions.
पहले स्थान के लिए (3), अंतिम के लिए (4) और बीच के प्रत्येक स्थान के लिए (7) विकल्प हैं। स्वतंत्र स्थानों के विकल्पों को गुणा करें। / The first position has (3) choices, the last has (4), and each middle position has (7) choices. Multiply choices for independent positions.
कुल (10!) व्यवस्थाओं में तीन निश्चित प्रतिनिधियों के (3!) सापेक्ष क्रम समान रूप से संभव हैं। इसलिए केवल एक क्रम लिया जाएगा। / Among total (10!) arrangements, the (3!) relative orders of the three particular delegates are equally likely. Hence only one order is counted.
पहले (3) पंक्तियाँ और (3) स्तंभ चुनें, फिर उनके बीच एक-एक मेल (3!) तरीकों से करें। पंक्ति-स्तंभ प्रतिबंध में मेल विधि उपयोगी है। / First choose (3) rows and (3) columns, then match them in (3!) ways. Matching is useful for row-column restrictions.
कुल फलन \(5^4\) हैं और एकैकी फलन \(^{5}P_4\) हैं। जो एकैकी नहीं हैं, उन्हें घटाकर पाएँ। / There are \(5^4\) total functions and \(^{5}P_4\) one-one functions. Subtract one-one functions to get not one-one functions.
एक लाइसेंस कोड में (3) अक्षर और (3) अंक हैं। (7) अक्षरों में पुनरावृत्ति मान्य है, पर (0) से (9) तक के अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है। अंकों का योग विषम होना चाहिए। कुल कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(7^3\) तरीके हैं। तीन अलग अंकों का योग विषम होने के लिए विषम अंकों की संख्या (1) या (3) होनी चाहिए। / The letters have \(7^3\) choices. For the sum of three distinct digits to be odd, the number of odd digits must be (1) or (3).
(4) उपन्यास, (3) कविता और (5) नाटक पुस्तकों में से (5) पुस्तकें चुनकर पंक्ति में सजानी हैं। चयन में ठीक (2) कविता पुस्तकें और कम से कम (1) उपन्यास हो। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
पहले ठीक (2) कविता पुस्तकें चुनें, फिर बाकी (3) पुस्तकें उपन्यास-नाटक से कम से कम (1) उपन्यास सहित चुनें। चयन के बाद (5!) क्रम लगाएँ। / First choose exactly (2) poetry books, then choose the remaining (3) books from novels and dramas with at least (1) novel. After selection, arrange in (5!) ways.
पहले पुरुषों को वृत्त में ((6-1)!) तरीकों से बैठाएँ और उनके (6) खाली स्थानों में (4) महिलाओं को रखें। वृत्तीय अलगाव में खाली स्थान विधि प्रयोग करें। / First seat the men around the circle in ((6-1)!) ways and place the (4) women in the (6) gaps. Use the gap method for circular separation.
इकाई स्थान के सम अंकों के अलग-अलग मामले लें क्योंकि हजारों स्थान पर (5) से (9) की शर्त है। अग्रणी स्थान और अंतिम स्थान साथ में तय करें। / Take cases for the even units digit because the thousands digit must be from (5) to (9). Decide the leading and last positions together.
योग विषम और गुणनफल सम होने के लिए ठीक (1) विषम और (2) सम संख्याएँ चुनी जानी चाहिए। सम-विषम शर्तों को पहले वर्गीकृत करें। / For the sum to be odd and the product to be even, exactly (1) odd and (2) even numbers must be chosen. Classify parity conditions first.
(7) चिह्नों के कोड में (4) अक्षर और (3) अंक होते हैं। (6) अक्षरों और (5) अंकों से बिना पुनरावृत्ति कोड बनता है। सभी अंक लगातार स्थानों पर होने चाहिए। कुल कितने कोड बनेंगे?
तीन अंकों के ब्लॉक के लिए (5) स्थान संभव हैं, फिर अंक और अक्षर क्रम सहित रखें। लगातार वस्तुओं को ब्लॉक मानना मुख्य तरीका है। / There are (5) possible positions for the block of three digits, then arrange digits and letters in order. Treat consecutive objects as a block.
संभव आकार-वितरण केवल ((2,2,1,1)) और ((2,2,2,0)) हैं। प्रत्येक वितरण-रूप के लिए दलों और परियोजनाओं की व्यवस्था गिनें। / The only possible size distributions are ((2,2,1,1)) and ((2,2,2,0)). Count team choices and project assignments for each pattern.
दो संभावित ढाँचे हैं, लड़का-लड़की से शुरू या लड़की-लड़का से शुरू। प्रत्येक ढाँचे में लड़के और लड़कियाँ अलग-अलग (5!) तरीकों से सजते हैं। / There are two possible patterns, starting with a boy or starting with a girl. In each pattern, boys and girls are arranged separately in (5!) ways.
पहले (A,B,C) के सापेक्ष क्रम के लिए (8!) को (3!) से भाग दें, फिर (D) के सिरों पर आने वाले मामले घटाएँ। सापेक्ष क्रम बराबर रूप से बँटते हैं। / First divide (8!) by (3!) for the relative order of (A,B,C), then subtract cases where (D) is at an end. Relative orders are equally distributed.
पहले ऐसे (6) अंकों के समूहों को देखें जिन्हें बराबर योग वाले दो (3)-अंकीय भागों में बाँटा जा सके, फिर दोनों भागों के क्रम गिनें। योग-समानता में पहले समूह और विभाजन सोचें। / First consider (6)-digit sets that can be split into two (3)-digit parts with equal sums, then count arrangements inside both parts. For equal-sum conditions, think of sets and partitions first.
पहले सही बैठने वाले (2) बच्चे चुनें, फिर बाकी (3) बच्चों को पूर्ण अव्यवस्था में बैठाएँ। ठीक सही स्थान की शर्त में अव्यवस्था का प्रयोग करें। / First choose the (2) children who sit correctly, then derange the remaining (3) children. Exact fixed-position conditions use derangements.
(3) एकों के आसपास बने (4) खाली स्थानों में (4) शून्य रखें और किसी स्थान पर (2) से अधिक शून्य न रखें। प्रतिबंधित लगातारपन को खाली स्थान सीमा से नियंत्रित करें। / Place the (4) zeros in the (4) gaps around the (3) ones, with no gap receiving more than (2) zeros. Control forbidden consecutiveness by gap limits.
(8) पुरुषों और (6) महिलाओं में से (6) सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें ठीक (3) महिलाएँ हों। समिति बनने के बाद अध्यक्ष और सचिव अलग-अलग चुने जाते हैं। कुल कितने तरीके होंगे?
पहले समिति \(\binom{8}{3}\binom{6}{3}\) तरीकों से बनती है, फिर (6) में से (2) पद क्रम सहित चुने जाते हैं। समिति चयन और पद चयन अलग चरण हैं। / First form the committee in \(\binom{8}{3}\binom{6}{3}\) ways, then choose (2) distinct posts from (6) members in order. Committee selection and post selection are separate stages.
(8) अलग पुस्तकों को पंक्ति में सजाना है। दो निश्चित पुस्तकें साथ-साथ हों और तीसरी निश्चित पुस्तक पंक्ति के किसी सिरे पर हो। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
तीसरी पुस्तक के लिए (2) सिरों का चुनाव है, और दो साथ वाली पुस्तकों को ब्लॉक मानकर बाकी वस्तुएँ सजती हैं। ब्लॉक के भीतर (2!) क्रम भी गिनें। / The third book has (2) end choices, and the two adjacent books are treated as a block with the remaining objects. Count the (2!) internal orders of the block too.
(9) विद्यार्थियों में से (4) विद्यार्थियों की बहस-टीम और उसी टीम में से (2) वक्ता क्रम सहित चुनने हैं। एक निश्चित विद्यार्थी टीम में अवश्य हो लेकिन वक्ता नहीं बने। कुल कितने तरीके होंगे?
निश्चित विद्यार्थी के साथ बाकी (3) सदस्य (8) में से चुनें और वक्ता उन्हीं (3) में से क्रम सहित चुनें। अनिवार्य लेकिन निषिद्ध पद वाली शर्त को पहले स्थिर करें। / Choose the other (3) team members from (8), then choose the ordered speakers from those (3) members. Fix the compulsory but ineligible member first.
(6) अंकों का एक कोड बनाना है जिसमें पहले (2) स्थानों पर केवल विषम अंक और बाकी (4) स्थानों पर केवल सम अंक आ सकते हैं। यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए तो कुल कितने कोड बनेंगे?
विषम अंकों के लिए (5) और (4) विकल्प हैं तथा सम अंकों के लिए (5,4,3,2) विकल्प हैं। स्थानों को क्रम से भरना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है। / There are (5) and (4) choices for odd digits and (5,4,3,2) choices for even digits. Filling places one by one is the safest exam method.
एक वेबसाइट पासवर्ड में (4) अक्षर और (3) अंक इसी क्रम में होने चाहिए। अक्षर अंग्रेजी वर्णमाला से बिना पुनरावृत्ति और अंक (0) से (9) तक पुनरावृत्ति सहित लिए जा सकते हैं। कुल कितने पासवर्ड बनेंगे?
B. \(26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 10^3\)
Explanation
Simple Explanation
अक्षरों में पुनरावृत्ति नहीं है इसलिए विकल्प घटते हैं और अंकों में पुनरावृत्ति है इसलिए \(10^3\) होगा। पहले नियमों को अलग-अलग पढ़ना चाहिए। / Letters cannot repeat so the choices decrease and digits can repeat so the factor is \(10^3\). Read each restriction separately first.
(5) अलग-अलग शहरों में से एक यात्रा में आरंभ शहर और अंतिम शहर चुनने हैं। दोनों शहर अलग होने चाहिए और बीच में (2) अलग-अलग ठहराव भी उन्हीं बचे शहरों में से चुनने हैं। क्रम महत्त्वपूर्ण है तो कुल कितनी यात्राएँ संभव हैं?
यात्रा के (4) क्रमबद्ध स्थानों के लिए विकल्प (5,4,3,2) हैं। जब क्रम महत्त्वपूर्ण हो तो गुणन सिद्धांत लगाएँ। / The (4) ordered positions have (5,4,3,2) choices. When order matters use the multiplication principle.
एक प्रश्नपत्र में (3) खंड हैं। पहले खंड से (2) में से (1) प्रश्न, दूसरे से (4) में से (2) प्रश्न क्रम सहित और तीसरे से (3) में से (1) प्रश्न चुनना है। कुल कितने उत्तर-क्रम बनेंगे?
दूसरे खंड में क्रम सहित (2) प्रश्नों के विकल्प (4) और (3) हैं। सभी स्वतंत्र चरणों को गुणा करें। / In the second section the ordered choices are (4) and (3). Multiply all independent stages.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा। दोनों मामलों को अलग करके जोड़ने से (60) मिलता है। / The last digit is (0) or (5). Separating the two cases and adding gives (60).
एक सुरक्षित लॉकर कोड (5) प्रतीकों का है। पहला प्रतीक (4) विशेष चिह्नों में से, अंतिम प्रतीक (3) रंगों में से और बीच के (3) प्रतीक (8) अंकों में से बिना पुनरावृत्ति चुने जाते हैं। कुल कितने कोड बनेंगे?
बीच के तीन अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है इसलिए (8,7,6) विकल्प हैं। सीमांत विकल्पों को भी गुणा करें। / The middle three digits cannot repeat so their choices are (8,7,6). Multiply the boundary choices as well.
एक मेनू में (4) सूप, (5) मुख्य व्यंजन और (3) मिठाइयाँ हैं। ग्राहक या तो सूप के साथ मुख्य व्यंजन या मुख्य व्यंजन के साथ मिठाई या तीनों ले सकता है। कुल कितने भोजन-विकल्प होंगे?
A. \(4 \times 5+5 \times 3+4 \times 5 \times 3=95\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ तीन अलग-अलग मामले हैं और उनके परिणाम जोड़े जाते हैं। हर मामले के अंदर विकल्प गुणा किए जाते हैं। / There are three separate cases and their results are added. Within each case the choices are multiplied.
एक मोबाइल पिन (4) अंकों का है। पहला अंक (0) नहीं हो सकता, अंतिम अंक सम होना चाहिए और बीच के दो अंक कोई भी हो सकते हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कितने पिन संभव हैं?
अंतिम सम अंक (0,2,4,6,8) में से (5) हो सकता है। पुनरावृत्ति मान्य हो तो बीच के स्थानों पर (10) विकल्प रहते हैं। / The last even digit has (5) choices from (0,2,4,6,8). With repetition allowed the middle places still have (10) choices each.
पद अलग-अलग हैं इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है और विकल्प (7,6,5) हैं। पदों वाले सवालों में गुणन सिद्धांत सीधे लगता है। / The posts are distinct so order matters and the choices are (7,6,5). For posts the multiplication principle applies directly.
एक वाहन संख्या में (2) अक्षर और (4) अंक हैं। अक्षर अलग होने चाहिए, अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है और पहला अंक (0) नहीं हो सकता। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
अक्षरों के लिए (26) और (25) विकल्प हैं तथा अंकों में पहला (9) और बाकी (10) विकल्प हैं। शून्य की शर्त को अलग पहचानें। / The letters have (26) and (25) choices while the first digit has (9) and the rest have (10) choices. Identify the zero restriction separately.
एक पुस्तकालय शेल्फ पर (3) गणित की पुस्तकों में से (1), (4) विज्ञान की पुस्तकों में से (1) और (5) इतिहास की पुस्तकों में से (2) पुस्तकों को क्रम सहित रखना है। इतिहास की दोनों पुस्तकें अलग होंगी। कुल कितने क्रम संभव हैं?
इतिहास की (2) पुस्तकों का क्रम है इसलिए (5) और (4) विकल्प होंगे। अलग-अलग चरणों को गुणा करें। / The two history books are ordered so the choices are (5) and (4). Multiply the choices for all stages.
पहले इकाई स्थान पर (5) विषम विकल्प रखें, फिर सैकड़ा और दहाई पर (8) और (7) विकल्प मिलते हैं। अंतिम अंक की शर्त पहले लगाएँ। / First place the unit digit with (5) odd choices, then the hundred and ten places have (8) and (7) choices. Handle the last-digit restriction first.
एक ईमेल आईडी का उपसर्ग (3) छोटे अक्षरों और (2) अंकों से बनता है। अक्षरों में पुनरावृत्ति नहीं और अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है। पहले स्थान पर अक्षर ही होगा और फिर क्रम (अक्षर,अक्षर,अंक,अंक) है। कुल कितने उपसर्ग बनेंगे?
तीन अक्षरों के विकल्प (26,25,24) और दो अंकों के विकल्प (10,9) हैं। अलग प्रकार की वस्तुओं को उनके स्थानों पर ही गिनें। / The three letters have (26,25,24) choices and the two digits have (10,9) choices. Count each type at its fixed positions.
एक क्विज में (5) बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। पहले (2) प्रश्नों में (4) विकल्प और बाकी (3) प्रश्नों में (5) विकल्प हैं। यदि हर प्रश्न का उत्तर देना अनिवार्य है तो कुल उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
हर प्रश्न स्वतंत्र चरण है, इसलिए \(4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5\) होगा। अनिवार्य उत्तरों में जोड़ नहीं गुणा करें। / Each question is an independent stage, so the count is \(4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5\). For mandatory answers multiply, do not add.
(4) अंकों की ऐसी संख्या बनानी है जिसके सभी अंक अलग हों और अंक (2,4,6,8) में से ठीक (2) अंक आएँ। शेष अंक (1,3,5,7,9) में से हों। कुल कितनी संख्याएँ संभव हैं?
पहले (2) सम स्थानों की जगह (6) तरीकों से चुनें, फिर क्रम में (4,3,5,4) विकल्प हैं। स्थान चुनने और अंक भरने को अलग रखें। / First choose the (2) positions for even digits in (6) ways, then fill them with (4,3,5,4) choices. Keep position selection and digit filling separate.
एक (3) चरण वाली प्रक्रिया में पहले चरण के (4) विकल्प हैं। दूसरे चरण में चुने गए पहले विकल्प पर (5) विकल्प मिलते हैं और बाकी (3) पहले विकल्पों पर (2) विकल्प मिलते हैं। तीसरे चरण में हमेशा (6) विकल्प हैं। कुल कितने परिणाम होंगे?
दूसरे चरण के विकल्प पहले चयन पर निर्भर हैं, इसलिए मामलों को अलग करना होगा। निर्भर चरणों में सीधा समान गुणन नहीं करें। / The second-stage choices depend on the first choice, so cases must be separated. Do not use one uniform product for dependent stages.
(8) दरवाजों वाले भवन में प्रवेश और निकास के लिए अलग-अलग दरवाजे चुनने हैं। बीच में आपात निकास के लिए एक तीसरा दरवाजा भी चुना जाता है जो पहले दोनों से अलग हो। क्रम महत्त्वपूर्ण है। कुल कितने तरीके हैं?
तीनों भूमिकाएँ अलग हैं, इसलिए विकल्प (8,7,6) होंगे। भूमिकाओं के नाम बदलने पर क्रम महत्त्वपूर्ण हो जाता है। / The three roles are different, so the choices are (8,7,6). When roles have different names, order matters.
एक (5)-अक्षरी संकेत में केवल (A,B,C,D,E,F) का उपयोग होना है। पहला और अंतिम अक्षर अलग होने चाहिए, पर बीच के (3) अक्षरों में पुनरावृत्ति हो सकती है। कुल कितने संकेत बनेंगे?
पहले अक्षर के (6) और अंतिम के (5) विकल्प हैं, बीच के प्रत्येक स्थान पर (6) विकल्प हैं। केवल दी गई शर्तों पर ही विकल्प घटाएँ। / The first letter has (6) choices and the last has (5), while each middle place has (6) choices. Reduce choices only where the condition applies.
एक परीक्षा रोल नंबर (2) अक्षरों और (3) अंकों का है। पहला अक्षर स्वर होना चाहिए, दूसरा अक्षर व्यंजन होना चाहिए और (3) अंकों में कोई पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। अंग्रेजी वर्णमाला में (5) स्वर मानें। कुल कितने रोल नंबर बनेंगे?
अक्षरों के विकल्प (5) और (21) हैं तथा अंकों के विकल्प (10,9,8) हैं। भाषा वाली शर्त को संख्या वाली शर्त से अलग रखें। / The letter choices are (5) and (21), and the digit choices are (10,9,8). Keep letter restrictions separate from digit restrictions.
एक ऑनलाइन फॉर्म में (4) हाँ-ना प्रश्न और (2) ऐसे प्रश्न हैं जिनके (3) विकल्प हैं। यदि सभी प्रश्नों का उत्तर देना अनिवार्य है, तो कुल कितने उत्तर संयोजन होंगे?
चार द्विविकल्पी प्रश्न \(2^4\) और दो त्रिविकल्पी प्रश्न \(3^2\) देते हैं। सभी स्वतंत्र उत्तरों के लिए गुणन सिद्धांत लगाएँ। / The four binary questions give \(2^4\) and the two three-option questions give \(3^2\). Use multiplication for all independent responses.
हजारों स्थान (3,4,5,6,7) में से होगा, फिर (6,5,4) विकल्प बचते हैं। असमानता की शर्त पहले स्थान पर लगाएँ। / The thousands digit is one of (3,4,5,6,7), then (6,5,4) choices remain. Apply the inequality condition at the first place.
पहले रंग के (3) और अंतिम के (2) विकल्प हैं, बीच के (4) खाने स्वतंत्र हैं। केवल पहले और अंतिम पर असमानता लागू है। / The first color has (3) choices and the last has (2), while the (4) middle boxes are independent. The inequality applies only to the ends.
एक कंप्यूटर फोल्डर नाम (2) अक्षरों और (2) अंकों से बनता है। ठीक (1) अक्षर बड़ा और (1) अक्षर छोटा होना चाहिए, स्थान कोई भी हो सकते हैं, और दोनों अंक अलग हों। कुल कितने नाम बनेंगे?
पहले (4) स्थानों में (2) अक्षर-स्थान (6) तरीकों से चुनें और उनमें बड़ा-छोटा क्रम (2) तरीकों से पहले से \(26 \times 26\) में शामिल नहीं है, इसलिए सही रूप \(6 \times 2 \times 26^2 \times 10 \times 9\) होना चाहिए। दिए विकल्पों में \(6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9\) अधूरा है। / First choose the (2) letter positions in (6) ways and arrange uppercase-lowercase in (2) ways; thus the correct count should be \(6 \times 2 \times 26^2 \times 10 \times 9\). Among the options \(6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9\) is incomplete.
(5) अक्षरों का एक संकेत बनाना है जिसमें ठीक (2) स्वर और (3) व्यंजन हों। स्वर (5) और व्यंजन (21) माने जाएँ तथा किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति न हो। कुल कितने संकेत बनेंगे?
पहले (2) स्वर-स्थान (10) तरीकों से चुनें, फिर स्वर और व्यंजन क्रम से भरें। स्थान चुनना और अक्षर भरना अलग-अलग करें। / First choose the (2) vowel positions in (10) ways, then fill vowels and consonants in order. Separate position selection from letter filling.
अंतिम अंक (0) होने और (2,4,6) होने के मामले अलग गिनें। शून्य की शर्त वाले सवालों में केस बनाना सुरक्षित रहता है। / Count separately the cases when the last digit is (0) and when it is (2,4,6). For zero restrictions, casework is safer.
एक प्रतियोगिता में (6) टीमों में से प्रथम, द्वितीय और तृतीय स्थान दिए जाने हैं। पिछली विजेता टीम को प्रथम स्थान नहीं दिया जा सकता। कोई टीम एक से अधिक स्थान नहीं ले सकती। कुल कितने परिणाम संभव हैं?
प्रथम स्थान के लिए (5) विकल्प हैं, फिर बचे हुए (5) और (4) विकल्प मिलते हैं। निषिद्ध विकल्प हटाकर क्रमबद्ध पद भरें। / There are (5) choices for first place, then (5) and (4) choices remain. Remove the forbidden choice and fill ordered positions.
एक (6)-कुंजी पासवर्ड में पहली (3) कुंजियाँ (7) अक्षरों में से बिना पुनरावृत्ति और अंतिम (3) कुंजियाँ (4) प्रतीकों में से पुनरावृत्ति सहित चुनी जाती हैं। कुल कितने पासवर्ड बनेंगे?
अक्षरों में विकल्प घटते हैं और प्रतीकों में पुनरावृत्ति के कारण \(4^3\) रहता है। हर ब्लॉक की पुनरावृत्ति-शर्त अलग पढ़ें। / Letter choices decrease, while symbols give \(4^3\) because repetition is allowed. Read the repetition rule for each block separately.
एक मार्ग में (4) बस मार्ग और (3) रेल मार्ग उपलब्ध हैं। यात्री या तो बस से जाकर रेल से लौटता है या रेल से जाकर बस से लौटता है। जाने और लौटने का मार्ग अलग माध्यमों से है। कुल कितने यात्रा-विकल्प हैं?
दो अलग-अलग मामले हैं और दोनों में (12) विकल्प हैं। या वाले मामलों को जोड़ें और प्रत्येक मामले में गुणा करें। / There are two separate cases and each has (12) options. Add the cases for or, and multiply within each case.
(5) खाली स्थानों में (2) अलग-अलग लाल गेंदें, (1) नीली गेंद और (2) खाली चिह्न रखने हैं। लाल गेंदों के स्थान क्रम सहित गिने जाते हैं और नीली गेंद अलग है। कुल कितने पैटर्न बनेंगे?
पहले दोनों अलग लाल गेंदों और फिर नीली गेंद के स्थान चुनें, विकल्प (5,4,3) हैं। खाली चिह्न बचे स्थानों में अपने आप आ जाते हैं। / Choose positions for the two distinct red balls and then the blue ball, giving (5,4,3) choices. Blank marks occupy the remaining positions automatically.
एक (5)-अंकीय गुप्त संख्या में पहला अंक (1) से (9) तक, दूसरा अंक पहले से बड़ा और बाकी (3) अंक कोई भी हो सकते हैं। पुनरावृत्ति की अनुमति है। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
पहले दो अंकों के लिए बढ़ते क्रम वाली जोड़ी (36) तरीकों से बनती है। बाकी (3) स्थानों पर स्वतंत्र रूप से \(10^3\) विकल्प हैं। / The first two digits form an increasing pair in (36) ways. The remaining (3) positions independently give \(10^3\) choices.
एक छात्र को (3) अलग-अलग विषयों में से प्रत्येक के लिए एक-एक नोटबुक चुननी है। पहले विषय के लिए (5), दूसरे के लिए (4) और तीसरे के लिए (6) विकल्प हैं। साथ ही उसे (2) पेन में से (1) चुनना है। कुल कितने अध्ययन-किट बनेंगे?
हर वस्तु चुनना अनिवार्य और स्वतंत्र है, इसलिए सभी विकल्प गुणा होंगे। पूर्ण किट वाले सवालों में जोड़ नहीं करते। / Every item is compulsory and independent, so all choices are multiplied. For complete kits, do not add choices.
एक (4)-अक्षरी शब्द-संकेत में (8) अक्षरों में से अक्षर चुने जाते हैं। पहला और दूसरा अक्षर अलग हों, तीसरा पहले जैसा हो और चौथा दूसरे जैसा न हो। कुल कितने संकेत बनेंगे?
तीसरे स्थान पर पहले अक्षर की बाध्यता से (1) विकल्प है और चौथे पर दूसरे अक्षर को छोड़कर (7) विकल्प हैं। बाध्य स्थानों को अलग से गिनें। / The third position is forced by the first letter, so it has (1) choice, and the fourth has (7) choices excluding the second letter. Count forced positions separately.
सैकड़ा स्थान केवल (2) या (3) हो सकता है, बाकी दोनों स्थानों पर (6) विकल्प हैं। सीमा की शर्त सबसे बड़े स्थान पर लगाएँ। / The hundred place can only be (2) or (3), and each remaining place has (6) choices. Apply the bound condition to the highest place.
एक क्लब में सदस्यता कार्ड (2) रंगों, (5) आकारों और (4) चिह्नों से बनता है। यदि लाल रंग के साथ केवल (2) चिह्न मान्य हैं और दूसरे रंग के साथ सभी (4) चिह्न मान्य हैं, तो कुल कितने कार्ड बनेंगे?
रंग के अनुसार चिह्नों की संख्या बदलती है, इसलिए दो मामले बनेंगे। निर्भर विकल्पों में समान गुणन नहीं लगाया जाता। / The number of symbols changes with the color, so there are two cases. Uniform multiplication is not used when choices depend on earlier choices.
(9) खिलाड़ियों में से कप्तान, उपकप्तान और विकेटकीपर चुनने हैं। (2) विशेष खिलाड़ी विकेटकीपर नहीं बन सकते और कोई खिलाड़ी दो पद नहीं ले सकता। कुल कितने चयन संभव हैं?
पहले विकेटकीपर चुनें, उसके (7) विकल्प हैं, फिर कप्तान और उपकप्तान के (8) और (7) विकल्प हैं। सबसे सीमित पद पहले भरें। / Choose the wicketkeeper first with (7) choices, then captain and vice-captain have (8) and (7) choices. Fill the most restricted post first.
एक (5)-स्थान वाली सीटिंग कोड में हर स्थान पर (A,B,C) में से एक अक्षर लिखा जाता है। लगातार (A) न आएँ, यह शर्त केवल पहले दो स्थानों पर लागू है। कुल कितने कोड बनेंगे?
कुल \(3^5\) कोडों में से पहले दो स्थानों पर (AA) वाले \(3^3\) कोड हटेंगे। केवल जिस भाग पर रोक है, उसी को घटाएँ। / From all \(3^5\) codes, subtract the \(3^3\) codes having (AA) in the first two positions. Subtract only the forbidden part.
एक बैज में (1) आकार, (1) रंग और (1) अक्षर चुना जाता है। आकार (4) हैं, रंग (3) हैं, अक्षर (5) हैं। यदि गोल आकार के साथ केवल (2) रंग मान्य हैं और बाकी (3) आकारों के साथ सभी रंग मान्य हैं, तो कुल कितने बैज बनेंगे?
गोल आकार और अन्य आकारों के लिए रंग-विकल्प अलग हैं। ऐसे सवाल में केस बनाकर जोड़ना चाहिए। / Color choices differ for the circular shape and the other shapes. In such questions, make cases and add them.
एक (6)-अंकीय संख्या के पहले (2) अंक समान होने चाहिए और अंतिम (4) अंक (0) से (9) तक कोई भी हो सकते हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
पहला अंक (9) तरीकों से चुना जाएगा और दूसरा उसी से निश्चित है। निश्चित स्थान का विकल्प (1) माना जाता है। / The first digit is chosen in (9) ways and the second is fixed by it. A forced position has (1) choice.
(4) अलग-अलग पत्र (5) अलग-अलग लिफाफों में डालने हैं। प्रत्येक पत्र के लिए कोई भी लिफाफा चुना जा सकता है और लिफाफे खाली भी रह सकते हैं। कुल कितने तरीके हैं?
हर अलग पत्र के लिए (5) स्वतंत्र विकल्प हैं। खाली लिफाफे मान्य हों तो विकल्प कम नहीं होते। / Each distinct letter has (5) independent choices. If empty envelopes are allowed, choices are not reduced.
एक (4)-चरणीय मशीन सेटिंग में पहले चरण के (3) विकल्प हैं। यदि पहले चरण में तीसरा विकल्प चुना जाए तो दूसरे चरण में (2) विकल्प हैं, अन्यथा (5) विकल्प हैं। तीसरे और चौथे चरण में क्रमशः (4) और (6) विकल्प हैं। कुल कितनी सेटिंग्स होंगी?
दूसरे चरण के विकल्प पहले चयन पर निर्भर हैं, इसलिए (1) और (2) पहले-चरण मामलों को अलग करें। निर्भरता दिखे तो केस विधि लगाएँ। / The second-stage choices depend on the first selection, so separate the (1) and (2) first-stage cases. When dependence appears, use cases.
शेल्फ अलग-अलग हैं, इसलिए पहली, दूसरी और तीसरी शेल्फ के लिए (10,9,8) विकल्प हैं। अलग स्थानों पर क्रम का ध्यान रखें। / The shelves are different, so the first, second, and third shelves have (10,9,8) choices. For distinct positions, order matters.
एक (5)-अंकीय संख्या में ठीक (2) अंक (7) होने चाहिए और बाकी (3) स्थानों पर (0) से (9) तक (7) को छोड़कर कोई भी अंक आ सकता है। पहला अंक (0) नहीं हो सकता। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
पहला स्थान (7) हो या न हो, दोनों मामले अलग गिनें। ठीक (2) बार आने वाली शर्त में स्थान-चयन ध्यान से करें। / Count separately whether the first digit is (7) or not. For exactly (2) occurrences, choose positions carefully.
एक सुरक्षा कार्ड में (3) प्रतीकों की पंक्ति है। प्रत्येक स्थान पर (6) प्रतीकों में से एक आ सकता है, लेकिन तीनों प्रतीक एक जैसे नहीं होने चाहिए। कुल कितने कार्ड बनेंगे?
कुल \(6^3\) पंक्तियों में से तीनों समान वाली (6) पंक्तियाँ हटाएँ। जब केवल एक निषेध हो तो पूरक विधि तेज होती है। / From all \(6^3\) rows, subtract the (6) rows where all three are identical. With a single prohibition, the complement method is quick.
एक ट्रेन टिकट कोड में (1) क्षेत्र, (1) श्रेणी और (2) अंक होते हैं। क्षेत्रों के (4) विकल्प हैं। यदि क्षेत्र उत्तर हो तो श्रेणी के (3) विकल्प हैं, अन्य (3) क्षेत्रों में श्रेणी के (5) विकल्प हैं। अंकों में पुनरावृत्ति हो सकती है। कुल कितने कोड होंगे?
B. \(1 \times 3 \times 10^2+3 \times 5 \times 10^2=1800\)
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श्रेणी के विकल्प क्षेत्र पर निर्भर हैं, इसलिए उत्तर और अन्य क्षेत्र अलग गिनें। पुनरावृत्ति वाले अंकों के लिए \(10^2\) रहेगा। / Class choices depend on the zone, so count North and other zones separately. For digits with repetition, the factor remains \(10^2\).
चार अलग छात्रों के लिए क्रम से कुर्सियाँ चुनें, विकल्प (6,5,4,3) हैं। कुर्सियाँ अलग हों तो क्रमबद्ध चयन होता है। / Choose chairs for the four distinct students in order, giving (6,5,4,3) choices. Distinct chairs create an ordered selection.
एक (4)-स्थान कोड में पहले स्थान पर (3) विकल्प हैं। दूसरे स्थान पर पहला विकल्प दोहराया नहीं जा सकता। तीसरे और चौथे स्थान पर (5) विकल्पों में से कोई भी विकल्प आ सकता है। कुल कितने कोड बनेंगे?
दूसरे स्थान पर पहले का विकल्प हटता है, इसलिए (2) विकल्प बचते हैं। बाकी स्थान स्वतंत्र हैं। / The first choice is removed for the second position, leaving (2) choices. The remaining positions are independent.
एक (3)-विषय परीक्षा में छात्र हर विषय में (2) में से एक कठिनाई स्तर चुनता है और हर विषय के लिए (4) सेटों में से एक सेट चुनता है। कुल कितने परीक्षा-प्रोफाइल बनेंगे?
हर विषय में \(2 \times 4\) विकल्प हैं और ऐसे (3) विषय हैं। समान स्वतंत्र चरणों में घात का उपयोग करें। / Each subject has \(2 \times 4\) choices and there are (3) subjects. Use powers for repeated independent stages.
(1,2,3,4,5,6,7,8) से (4) अंकों की संख्या बनानी है। संख्या में ठीक (1) अंक (1,2,3) में से हो और बाकी (3) अंक (4,5,6,7,8) में से हों। पुनरावृत्ति नहीं है। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
पहले विशेष समूह वाले अंक का स्थान (4) तरीकों से चुनें, फिर (3) और (5,4,3) विकल्प भरें। ठीक एक जैसी शर्त में स्थान चुनना जरूरी है। / First choose the position of the digit from the special group in (4) ways, then fill (3) and (5,4,3) choices. For exactly-one conditions, position choice is essential.
कम से कम एक (4) के लिए कुल \(4^5\) में से बिना (4) वाले \(3^5\) घटाएँ। कम से कम वाले सवालों में पूरक विधि आसान होती है। / For at least one (4), subtract the \(3^5\) arrangements with no (4) from all \(4^5\). The complement method is easy for at-least questions.
एक (6)-अक्षरी कोड में पहले (2) स्थानों पर (M,N,O) में से अक्षर और अंतिम (4) स्थानों पर (P,Q,R,S) में से अक्षर आते हैं। पहले (2) स्थानों में पुनरावृत्ति नहीं और अंतिम (4) स्थानों में पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कितने कोड बनेंगे?
पहले भाग में (3) और (2) विकल्प हैं, अंतिम भाग में हर स्थान पर (4) विकल्प हैं। अलग-अलग ब्लॉक की शर्तों को अलग रखें। / The first block has (3) and (2) choices, and each position in the last block has (4) choices. Keep the conditions of different blocks separate.
स्वरों के लिए \(5\times4\) और अंकों के लिए \(10\times9\times8\) तरीके हैं। परीक्षा में हर स्वतंत्र चरण को गुणा करें। / Vowels can be chosen in \(5\times4\) ways and digits in \(10\times9\times8\) ways. In exams, multiply the choices of independent stages.
अक्षरों के लिए \(26^4\) तरीके हैं और अंकों के लिए \(9\times9\) तरीके हैं। प्रतिबंध पहले अंक पर है, इसलिए उसे अलग से गिनें। / There are \(26^4\) ways for the letters and \(9\times9\) ways for the digits. Count the restricted first digit separately.
पहला स्थान सम या विषम होने के अनुसार मामले बनते हैं: \(4\binom{4}{1}5\cdot5^3+5\binom{4}{2}5^2\cdot5^2=34000\)। ऐसी शर्तों में केस बनाना सबसे सुरक्षित है। / Split cases according to whether the first position is even or odd: \(4\binom{4}{1}5\cdot5^3+5\binom{4}{2}5^2\cdot5^2=34000\). Case division is safest for such restrictions.
एक रेस्टोरेंट में (3) प्रकार की रोटी, (5) सब्जियां और (4) मिठाइयां हैं। ग्राहक या तो एक पूरी थाली चुनता है या केवल एक मिठाई चुनता है। कुल विकल्प कितने हैं?
पूरी थाली के लिए \(3\times5\times4=60\) तरीके हैं और केवल मिठाई के लिए (4) तरीके हैं। जब विकल्प या से जुड़े हों, तो जोड़ नियम लगाएं। / A full plate can be chosen in \(3\times5\times4=60\) ways and only dessert in (4) ways. When choices are connected by either-or, use the addition rule.
एक परीक्षा कोड में (2) बड़े अक्षर, (1) छोटा अक्षर और (2) अंक इसी क्रम में हैं। बड़े अक्षर अलग होने चाहिए, छोटे अक्षर पर कोई रोक नहीं है और अंक दोहराए जा सकते हैं। कुल कोड कितने होंगे?
बड़े अक्षरों के लिए \(26\times25\), छोटे अक्षर के लिए (26), और अंकों के लिए \(10^2\) तरीके हैं। क्रम तय हो तो प्रत्येक स्थान की स्वतंत्र पसंद गुणा होती है। / There are \(26\times25\) ways for uppercase letters, (26) for the lowercase letter, and \(10^2\) for digits. When positions are fixed, multiply independent choices.
एक छात्र (6) दिनों की पढ़ाई योजना बनाता है। हर दिन गणित, भौतिकी या रसायन में से एक विषय पढ़ता है, पर लगातार दो दिन वही विषय नहीं पढ़ता। योजनाओं की संख्या कितनी है?
पहले दिन (3) विकल्प हैं और अगले प्रत्येक दिन पिछले से अलग (2) विकल्प हैं। लगातार शर्त में पहले स्थान के बाद विकल्प घट जाते हैं। / The first day has (3) choices and each later day has (2) choices different from the previous day. With consecutive restrictions, choices reduce after the first position.
अंतिम अंक (0) हो तो \(9\times8\times7\) तरीके और अंतिम अंक (2,4,6,8) हो तो \(4\times8\times8\times7\) तरीके हैं। कुल (504+1792=2296) है। / If the last digit is (0), there are \(9\times8\times7\) ways; if it is (2,4,6,8), there are \(4\times8\times8\times7\) ways. The total is (504+1792=2296).
किसी प्रतियोगिता में प्रतिभागी को (5) प्रश्नों में से प्रत्येक पर सही या गलत लिखना है। कम से कम (1) उत्तर सही होना चाहिए। संभावित उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
कुल पैटर्न \(2^5\) हैं और सभी गलत वाला (1) पैटर्न हटेगा। कम से कम के लिए अक्सर पूरक विधि तेज होती है। / Total patterns are \(2^5\), and the one pattern with all false is removed. For at least conditions, the complement method is often faster.
एक पुस्तक कोड में (3) अलग-अलग व्यंजन और (2) अलग-अलग अंक हैं। कोड का पहला चिन्ह व्यंजन और अंतिम चिन्ह अंक है। अंग्रेजी में (21) व्यंजन माने जाएं। कुल कोड कितने बनेंगे?
क्रम पहले से तय है, इसलिए (21,20,19,10,9) विकल्प क्रमशः मिलते हैं। अलग-अलग की शर्त में हर चयन के बाद विकल्प घटते हैं। / The order is fixed, so the choices are (21,20,19,10,9) respectively. With distinctness, choices decrease after each selection.
कक्षा प्रतिनिधि चुनते समय (4) लड़के और (5) लड़कियां उपलब्ध हैं। एक अध्यक्ष और एक सचिव चुना जाना है, और दोनों पद अलग व्यक्तियों को मिलने चाहिए। यदि अध्यक्ष लड़की होनी चाहिए, तो कितने तरीके हैं?
अध्यक्ष के लिए (5) विकल्प हैं और सचिव के लिए शेष (8) विकल्प हैं। पद अलग हों तो क्रम महत्वपूर्ण होता है। / There are (5) choices for president and (8) remaining choices for secretary. When posts are different, order matters.
एक ऑनलाइन फॉर्म में उपयोगकर्ता (2) वैकल्पिक भाषाओं में से कोई (1), (4) थीमों में से कोई (1) और (3) सुरक्षा प्रश्नों में से कोई (2) प्रश्न क्रम सहित चुनता है। कुल चयन कितने हैं?
भाषा और थीम के लिए \(2\times4\), और क्रम सहित सुरक्षा प्रश्नों के लिए \(3\times2\) तरीके हैं। कुल \(2\times4\times3\times2=48\) है। / Languages and themes give \(2\times4\), and ordered security questions give \(3\times2\) ways. The total is \(2\times4\times3\times2=48\).
पहले तीन अंकों के लिए \(9\times9\times8\) तरीके हैं और अंतिम तीन के लिए \(10^3\) तरीके हैं। कुल \(9\times9\times8\times1000=648000\) है। / The first three digits can be chosen in \(9\times9\times8\) ways and the last three in \(10^3\) ways. The total is \(9\times9\times8\times1000=648000\).
एक तिजोरी कोड में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और अंकों का योग सम होना चाहिए। अक्षरों के लिए (26) विकल्प हैं। ऐसे कोड कितने हैं?
(3) अंकों में सम योग के लिए (500) क्रमित त्रय होते हैं क्योंकि कुल (1000) में आधे सम योग देते हैं। अक्षरों के लिए \(26\times25\) से गुणा करें। / For (3) digits, (500) ordered triples have even sum because half of all (1000) triples give even sum. Multiply by \(26\times25\) for letters.
एक छात्र को (4) अध्यायों में से हर अध्याय से (1) प्रश्न चुनना है। अध्यायों में प्रश्नों की संख्या क्रमशः (5,6,7,8) है। यदि दूसरे अध्याय का चुना प्रश्न कठिन नहीं होना चाहिए और उसमें (2) कठिन प्रश्न हैं, तो कुल चयन कितने हैं?
दूसरे अध्याय से (6-2=4) विकल्प मिलते हैं। कुल चयन \(5\times4\times7\times8=1120\) हैं। / The second chapter gives (6-2=4) choices. The total selections are \(5\times4\times7\times8=1120\).
पहले दो अंकों में कम से कम एक (5) के लिए \(10^2-9^2=19\) तरीके हैं और बाकी दो अंकों के लिए (100) तरीके हैं। अक्षरों के साथ कुल \(26\times25\times19\times100\) है। / For at least one (5) in the first two digits, there are \(10^2-9^2=19\) ways and (100) ways for the remaining two digits. With letters, the total is \(26\times25\times19\times100\).
एक (3)-स्तरीय सुरक्षा प्रणाली में पहली अवस्था में (4) विकल्प, दूसरी में (5) विकल्प और तीसरी में (6) विकल्प हैं। पर यदि पहली अवस्था का विकल्प (A) चुना जाता है, तो तीसरी अवस्था में केवल (2) विकल्प रहते हैं। कुल सुरक्षित मार्ग कितने हैं?
पहला विकल्प (A) होने पर \(1\times5\times2=10\) और बाकी (3) विकल्पों पर \(3\times5\times6=90\) मार्ग हैं। कुल (100) मार्ग हैं। / If the first option is (A), paths are \(1\times5\times2=10\); for the other (3) options, paths are \(3\times5\times6=90\). The total is (100).
किसी एक अक्षर की पुनरावृत्ति होगी, इसलिए दोहराए जाने वाला अक्षर (4) तरीकों से चुनेगा और स्थान (5!/2!) तरीकों से। कुल \(4\times60=240\) है। / One letter must repeat, so the repeated letter can be chosen in (4) ways and the positions arranged in (5!/2!) ways. The total is \(4\times60=240\).
एक कार्ड पर (1) से (9) तक के अंकों से (4)-अंकीय संख्या बनानी है। अंक दोहराए नहीं जा सकते और संख्या (5) से बड़ी शुरुआत वाली होनी चाहिए। कितनी संख्याएं बनेंगी?
पहले अंक के लिए (6,7,8,9) यानी (4) विकल्प हैं। शेष स्थानों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं, इसलिए कुल (1344) है। / The first digit has (4) choices: (6,7,8,9). The remaining places have \(8\times7\times6\) ways, so the total is (1344).
एक टीम जर्सी पर (2) रंगों की धारियां और (1) लोगो रंग चुनना है। (7) रंग उपलब्ध हैं। दोनों धारियों के रंग अलग हों और लोगो का रंग दोनों धारियों से अलग हो, तो कुल डिज़ाइन कितने हैं?
धारियां क्रम में मानी गई हैं, इसलिए \(7\times6\) तरीके हैं और लोगो के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(7\times6\times5=210\) है। / Stripes are considered ordered, so there are \(7\times6\) ways and (5) choices for the logo. The total is \(7\times6\times5=210\).
एक क्विज में (8) बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक में (4) विकल्प हैं। विद्यार्थी को ठीक (3) प्रश्नों में विकल्प (A) चुनना है। उत्तर-पत्र कितने प्रकार से भर सकता है?
पहले (A) वाले (3) प्रश्न \(\binom{8}{3}\) तरीकों से चुनें, फिर बाकी (5) प्रश्नों में (3) गैर-(A) विकल्प हैं। कुल \(\binom{8}{3}3^5\) है। / Choose the (3) questions with (A) in \(\binom{8}{3}\) ways, then each of the remaining (5) questions has (3) non-(A) choices. The total is \(\binom{8}{3}3^5\).
पहले और अंतिम अक्षर के लिए (4) विकल्प हैं। दूसरे और तीसरे के लिए क्रमशः (3) और (3) विकल्प हैं, इसलिए \(4\times3\times3=36\) है। / There are (4) choices for the first and last letter. The second and third positions have (3) and (3) choices respectively, so the total is (36).
पहले अंक के लिए (9), बीच के (4) स्थानों के लिए \(10^4\), और अंतिम समान जोड़ी के लिए (10) तरीके हैं। कुल \(9\times10^4\times10=900000\) है। / There are (9) choices for the first digit, \(10^4\) for the middle (4) positions, and (10) for the equal last pair. The total is \(9\times10^4\times10=900000\).
एक लाइब्रेरी शेल्फ में (5) गणित और (4) विज्ञान पुस्तकों में से एक-एक पुस्तक क्रम में रखनी है। यदि पहले स्थान पर गणित और दूसरे पर विज्ञान पुस्तक रखनी है, तो कितने क्रम बनेंगे?
पहले स्थान के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। निश्चित प्रकार के स्थानों में सीधा गुणन नियम लागू होता है। / There are (5) choices for the first place and (4) for the second. For fixed-type positions, apply the multiplication rule directly.
एक यात्रा योजना में (3) शहरों (A,B,C) की यात्रा करनी है। प्रत्येक शहर के लिए (2) होटल और (3) स्थानीय साधन उपलब्ध हैं। यदि शहरों का क्रम तय है, तो कुल योजनाएं कितनी हैं?
हर शहर के लिए \(2\times3=6\) विकल्प हैं। (3) स्वतंत्र शहरों के लिए \(6^3\) योजनाएं मिलती हैं। / Each city gives \(2\times3=6\) choices. For (3) independent cities, the number of plans is \(6^3\).
एक (5)-विकल्प वाले (6) प्रश्नों की परीक्षा में विद्यार्थी हर प्रश्न का उत्तर देता है। किसी भी लगातार दो प्रश्नों में वही विकल्प नहीं चुना जा सकता। उत्तर-पैटर्न कितने होंगे?
पहले प्रश्न के लिए (5) विकल्प और हर अगले प्रश्न के लिए पिछले से अलग (4) विकल्प हैं। लगातार प्रतिबंध में स्थान-दर-स्थान गिनती करें। / The first question has (5) choices and each next question has (4) choices different from the previous one. For consecutive restrictions, count position by position.
सैकड़े के स्थान पर (4,5,6,7) के (4) विकल्प हैं। बाकी दोनों स्थानों के लिए \(7\times7\) तरीके हैं, कुल (196) है। / The hundreds place has (4) choices: (4,5,6,7). The remaining two places have \(7\times7\) ways, giving (196).
एक डिब्बे पर (2) प्रतीक और (2) रंग क्रम सहित छापे जाते हैं। (6) प्रतीक और (5) रंग उपलब्ध हैं। दोनों प्रतीक अलग और दोनों रंग अलग होने चाहिए। कुल छपाई डिज़ाइन कितने हैं?
प्रतीकों के लिए \(6\times5\) और रंगों के लिए \(5\times4\) तरीके हैं। दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल (600) है। / Symbols can be chosen in \(6\times5\) ways and colors in \(5\times4\) ways. The choices are independent, so the total is (600).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और बाकी तीन स्थानों के लिए \(5^3\) विकल्प हैं। कुल \(4\times125=500\) है। / The first place has (4) choices and the remaining three places have \(5^3\) choices. The total is \(4\times125=500\).
एक ऐप में उपयोगकर्ता को (3) सुरक्षा स्तरों में पास करना है। स्तरों में क्रमशः (2,4,5) विकल्प हैं। यदि दूसरे स्तर पर विशेष विकल्प चुनने पर तीसरे स्तर में (2) विकल्प कम हो जाते हैं, तो कुल मार्ग कितने हैं?
दूसरे स्तर का विशेष विकल्प \(2\times1\times3=6\) मार्ग देता है और बाकी (3) विकल्प \(2\times3\times5=30\) मार्ग देते हैं। कुल (36) है। / The special option at level two gives \(2\times1\times3=6\) paths and the other (3) choices give \(2\times3\times5=30\) paths. The total is (36).
कुल \(3^6\) शब्द हैं, दो अक्षरों तक सीमित शब्द \(3\cdot2^6\) हैं और एक अक्षर वाले शब्द (3) बार वापस जोड़ते हैं। कुल (729-192+3=540) नहीं, सही गणना \(729-3\cdot2^6+3=540\) है। / Total words are \(3^6\), words missing at least one letter are handled by inclusion-exclusion. The correct count is \(729-3\cdot2^6+3=540\).
एक परीक्षा पोर्टल में (4) खंड हैं। पहले (3) खंडों में क्रमशः (5,4,6) प्रश्न हैं और चौथे खंड में (3) कठिन तथा (2) आसान प्रश्न हैं। यदि हर खंड से (1) प्रश्न चुनना है और चौथे से आसान प्रश्न ही चुनना है, तो कुल चयन कितने हैं?
चौथे खंड से केवल (2) विकल्प हैं। कुल चयन \(5\times4\times6\times2=240\) होंगे। / Only (2) choices are available from the fourth section. The total selections are \(5\times4\times6\times2=240\).
यदि पहला अंक (7) है तो \(9^4\) तरीके हैं और यदि (7) बाकी (4) स्थानों में है तो \(4\times8\times9^3\) तरीके हैं। कुल (6561+23328=29889) नहीं, सही कुल \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\) है। / If the first digit is (7), there are \(9^4\) ways; if (7) is in one of the other (4) places, there are \(4\times8\times9^3\) ways. The total is \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\).
(6) के स्थान \(\binom{4}{2}\) तरीकों से चुनें और बाकी (2) स्थानों पर \(5^2\) विकल्प हैं। कुल \(\binom{4}{2}5^2=150\) है। / Choose the positions of (6) in \(\binom{4}{2}\) ways, and the remaining (2) positions have \(5^2\) choices. The total is \(\binom{4}{2}5^2=150\).
पहली पट्टी के लिए (8) विकल्प और अगली दोनों पट्टियों के लिए (7) विकल्प हैं। कुल \(8\times7\times7=392\) नहीं, क्योंकि तीसरी पट्टी दूसरी से अलग होकर पहली जैसी हो सकती है, इसलिए सही (392) है। / The first strip has (8) choices and each of the next two strips has (7) choices. The third may match the first but not the second, so the correct count is \(8\times7\times7=392\).
एक कोर्स पंजीकरण में छात्र (3) मुख्य विषयों में से (1), (4) वैकल्पिक विषयों में से (2) क्रम सहित और (2) क्लबों में से (1) चुनता है। कुल पंजीकरण कितने हैं?
मुख्य विषय के (3), क्रम सहित वैकल्पिक विषयों के \(4\times3\), और क्लब के (2) विकल्प हैं। कुल \(3\times4\times3\times2=72\) है। / There are (3) choices for the core subject, \(4\times3\) ordered choices for electives, and (2) choices for the club. The total is \(3\times4\times3\times2=72\).
पहले समान जोड़े के लिए (9) विकल्प हैं और अंतिम (4) अलग अंकों के लिए \(10\times9\times8\times7\) तरीके हैं। कुल \(9\times10\times9\times8\times7=45360\) है। / The first equal pair has (9) choices, and the last (4) distinct digits have \(10\times9\times8\times7\) ways. The total is \(9\times10\times9\times8\times7=45360\).
एक प्रश्नपत्र में (3) खंड हैं। विद्यार्थी को पहले खंड से (2) प्रश्न क्रम सहित, दूसरे से (1) प्रश्न और तीसरे से (1) प्रश्न चुनना है। खंडों में प्रश्नों की संख्या (5,6,4) है। कुल तरीके कितने हैं?
पहले खंड से क्रम सहित \(5\times4\) तरीके हैं। कुल \(5\times4\times6\times4=480\) है। / The first section gives \(5\times4\) ordered choices. The total is \(5\times4\times6\times4=480\).
कुल \(5^5\) संकेतों से (P) या (Q) न आने वाले संकेत हटाएं। संख्या \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\) है। / Subtract signals missing (P) or missing (Q) from all \(5^5\) signals. The count is \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\).
एक डिजिटल घड़ी ऐप में उपयोगकर्ता (7) फॉन्ट और (6) रंगों में से चुनता है। यदि (2) विशेष फॉन्ट केवल (3) रंगों के साथ उपलब्ध हैं और बाकी फॉन्ट सभी रंगों के साथ उपलब्ध हैं, तो कुल संयोजन कितने हैं?
विशेष फॉन्ट से \(2\times3=6\) और बाकी फॉन्ट से \(5\times6=30\) संयोजन हैं। कुल (36) है। / Special fonts give \(2\times3=6\) combinations and the remaining fonts give \(5\times6=30\). The total is (36).
अंतिम अंक (3,5,7) में से (3) तरीकों से चुनेगा। बाकी स्थानों के लिए \(5\times4\times3\) तरीके हैं, कुल (180) है। / The last digit can be chosen from (3,5,7) in (3) ways. The remaining places have \(5\times4\times3\) ways, giving (180).
पहला उत्तर असत्य तय है, इसलिए बाकी (5) में से (4) सत्य चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{4}=5\) है। / The first answer is fixed as false, so (4) true answers must be chosen from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{4}=5\).
एक (5)-स्टेप ऑनलाइन प्रक्रिया में प्रत्येक स्टेप पर (3) विकल्प हैं। लगातार कोई भी दो स्टेप समान विकल्प नहीं ले सकते और पहला विकल्प (1) तय है। कुल प्रक्रियाएं कितनी हैं?
पहला स्टेप तय है और अगले (4) स्टेपों में हर बार (2) विकल्प हैं। कुल \(2^4=16\) प्रक्रियाएं हैं। / The first step is fixed, and each of the next (4) steps has (2) choices. The total number of processes is \(2^4=16\).
एक नाम-पट्टिका पर (2) अलग प्रतीक और (3) अलग अक्षर लगाने हैं। (5) प्रतीक और (8) अक्षर उपलब्ध हैं। यदि पहले दोनों स्थान प्रतीकों के और अगले तीन अक्षरों के हैं, तो कुल नाम-पट्टिकाएं कितनी हैं?
प्रतीकों के लिए \(5\times4\) और अक्षरों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं। कुल \(5\times4\times8\times7\times6=6720\) है। / Symbols can be arranged in \(5\times4\) ways and letters in \(8\times7\times6\) ways. The total is \(5\times4\times8\times7\times6=6720\).
एक ट्रेन टिकट में (1) कोच प्रकार, (1) सीट प्रकार और (1) भोजन विकल्प चुनना है। विकल्प क्रमशः (4,3,5) हैं। यदि स्लीपर कोच में भोजन विकल्प केवल (2) हैं और बाकी (3) कोचों में सभी (5) विकल्प हैं, तो कुल टिकट संयोजन कितने हैं?
स्लीपर के लिए \(1\times3\times2=6\) और बाकी कोचों के लिए \(3\times3\times5=45\) तरीके हैं। कुल (51) है। / Sleeper gives \(1\times3\times2=6\) ways and the other coaches give \(3\times3\times5=45\) ways. The total is (51).
हजार स्थान पर (1) या (2) के (2) विकल्प हैं। बाकी (3) स्थानों के लिए \(5\times4\times3\) तरीके हैं, इसलिए कुल (120) है। / The thousands place has (2) choices: (1) or (2). The remaining (3) places have \(5\times4\times3\) ways, so the total is (120).
एक पासवर्ड में (3) छोटे अक्षर और (1) विशेष चिन्ह इसी क्रम में है। छोटे अक्षर दोहराए जा सकते हैं, पर विशेष चिन्ह (4) विकल्पों में से चुना जाता है। यदि पहला अक्षर स्वर नहीं हो सकता, तो कुल पासवर्ड कितने हैं?
पहले अक्षर के लिए (21) व्यंजन विकल्प हैं, अगले दो अक्षरों के लिए \(26^2\) विकल्प और विशेष चिन्ह के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(21\cdot26^2\cdot4\) है। / The first letter has (21) consonant choices, the next two letters have \(26^2\) choices, and the special symbol has (4) choices. The total is \(21\cdot26^2\cdot4\).
एक फोटो-फिल्टर ऐप में (5) फ्रेम, (6) प्रभाव और (4) टेक्स्ट-स्टाइल हैं। यदि (2) प्रीमियम प्रभाव केवल (2) टेक्स्ट-स्टाइल के साथ उपलब्ध हैं और बाकी प्रभाव सभी (4) टेक्स्ट-स्टाइल के साथ उपलब्ध हैं, तो कुल संयोजन कितने हैं?
प्रीमियम प्रभावों से \(5\times2\times2=20\) और बाकी प्रभावों से \(5\times4\times4=80\) संयोजन हैं। कुल (100) है। / Premium effects give \(5\times2\times2=20\) combinations and the remaining effects give \(5\times4\times4=80\). The total is (100).
एक अंक दो बार आएगा और बाकी एक-एक बार आएंगे। दोहरने वाला अंक (4) तरीकों से और व्यवस्थाएं (5!/2!) तरीकों से हैं, कुल (240) है। / One digit appears twice and the others appear once each. The repeated digit has (4) choices and arrangements are (5!/2!), giving (240).
एक खेल टूर्नामेंट में (6) खिलाड़ियों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक विजेता चुने जाने हैं। यदि खिलाड़ी (A) को कोई पदक नहीं मिलना चाहिए, तो कुल परिणाम कितने हैं?
खिलाड़ी (A) को हटाने पर (5) खिलाड़ी बचते हैं और पदक क्रम में अलग हैं। परिणाम \(5\times4\times3=60\) हैं। / After excluding player (A), (5) players remain and medals are ordered distinct positions. The outcomes are \(5\times4\times3=60\).
एक डिलीवरी कोड में पहले (3) स्थानों पर (8) उपलब्ध अक्षरों में से अलग-अलग अक्षर और अंतिम (3) स्थानों पर अंक (0) से (9) तक लिखे जाते हैं। यदि अंतिम (3) अंकों में ठीक (1) बार (0) आना चाहिए, तो कुल कोड कितने होंगे?
अक्षरों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं और (0) का स्थान (3) तरीकों से चुनेगा। बाकी दो अंकों के लिए \(9^2\) विकल्प हैं। / The letters can be chosen in \(8\times7\times6\) ways and the position of (0) can be chosen in (3) ways. The remaining two digits have \(9^2\) choices.
