Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (4) choices हैं और बाकी स्थानों पर (5) choices हैं। परीक्षा में leading zero condition पहले देखें। / The first place cannot have (0), so it has (4) choices and the remaining places have (5) choices. In exams check the leading zero condition first.
हर स्थान पर (4) विकल्प फिर से मिलते हैं इसलिए \(4^3\) तरीके हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो options घटाएँ नहीं। / Each position again has (4) choices so the number of ways is \(4^3\). In exams do not decrease options when repetition is allowed.
एक डिलीवरी कोड में पहले (3) स्थानों पर (8) उपलब्ध अक्षरों में से अलग-अलग अक्षर और अंतिम (3) स्थानों पर अंक (0) से (9) तक लिखे जाते हैं। यदि अंतिम (3) अंकों में ठीक (1) बार (0) आना चाहिए, तो कुल कोड कितने होंगे?
अक्षरों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं और (0) का स्थान (3) तरीकों से चुनेगा। बाकी दो अंकों के लिए \(9^2\) विकल्प हैं। / The letters can be chosen in \(8\times7\times6\) ways and the position of (0) can be chosen in (3) ways. The remaining two digits have \(9^2\) choices.
एक खेल टूर्नामेंट में (6) खिलाड़ियों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक विजेता चुने जाने हैं। यदि खिलाड़ी (A) को कोई पदक नहीं मिलना चाहिए, तो कुल परिणाम कितने हैं?
खिलाड़ी (A) को हटाने पर (5) खिलाड़ी बचते हैं और पदक क्रम में अलग हैं। परिणाम \(5\times4\times3=60\) हैं। / After excluding player (A), (5) players remain and medals are ordered distinct positions. The outcomes are \(5\times4\times3=60\).
एक अंक दो बार आएगा और बाकी एक-एक बार आएंगे। दोहरने वाला अंक (4) तरीकों से और व्यवस्थाएं (5!/2!) तरीकों से हैं, कुल (240) है। / One digit appears twice and the others appear once each. The repeated digit has (4) choices and arrangements are (5!/2!), giving (240).
एक फोटो-फिल्टर ऐप में (5) फ्रेम, (6) प्रभाव और (4) टेक्स्ट-स्टाइल हैं। यदि (2) प्रीमियम प्रभाव केवल (2) टेक्स्ट-स्टाइल के साथ उपलब्ध हैं और बाकी प्रभाव सभी (4) टेक्स्ट-स्टाइल के साथ उपलब्ध हैं, तो कुल संयोजन कितने हैं?
प्रीमियम प्रभावों से \(5\times2\times2=20\) और बाकी प्रभावों से \(5\times4\times4=80\) संयोजन हैं। कुल (100) है। / Premium effects give \(5\times2\times2=20\) combinations and the remaining effects give \(5\times4\times4=80\). The total is (100).
एक पासवर्ड में (3) छोटे अक्षर और (1) विशेष चिन्ह इसी क्रम में है। छोटे अक्षर दोहराए जा सकते हैं, पर विशेष चिन्ह (4) विकल्पों में से चुना जाता है। यदि पहला अक्षर स्वर नहीं हो सकता, तो कुल पासवर्ड कितने हैं?
पहले अक्षर के लिए (21) व्यंजन विकल्प हैं, अगले दो अक्षरों के लिए \(26^2\) विकल्प और विशेष चिन्ह के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(21\cdot26^2\cdot4\) है। / The first letter has (21) consonant choices, the next two letters have \(26^2\) choices, and the special symbol has (4) choices. The total is \(21\cdot26^2\cdot4\).
हजार स्थान पर (1) या (2) के (2) विकल्प हैं। बाकी (3) स्थानों के लिए \(5\times4\times3\) तरीके हैं, इसलिए कुल (120) है। / The thousands place has (2) choices: (1) or (2). The remaining (3) places have \(5\times4\times3\) ways, so the total is (120).
एक ट्रेन टिकट में (1) कोच प्रकार, (1) सीट प्रकार और (1) भोजन विकल्प चुनना है। विकल्प क्रमशः (4,3,5) हैं। यदि स्लीपर कोच में भोजन विकल्प केवल (2) हैं और बाकी (3) कोचों में सभी (5) विकल्प हैं, तो कुल टिकट संयोजन कितने हैं?
स्लीपर के लिए \(1\times3\times2=6\) और बाकी कोचों के लिए \(3\times3\times5=45\) तरीके हैं। कुल (51) है। / Sleeper gives \(1\times3\times2=6\) ways and the other coaches give \(3\times3\times5=45\) ways. The total is (51).
एक नाम-पट्टिका पर (2) अलग प्रतीक और (3) अलग अक्षर लगाने हैं। (5) प्रतीक और (8) अक्षर उपलब्ध हैं। यदि पहले दोनों स्थान प्रतीकों के और अगले तीन अक्षरों के हैं, तो कुल नाम-पट्टिकाएं कितनी हैं?
प्रतीकों के लिए \(5\times4\) और अक्षरों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं। कुल \(5\times4\times8\times7\times6=6720\) है। / Symbols can be arranged in \(5\times4\) ways and letters in \(8\times7\times6\) ways. The total is \(5\times4\times8\times7\times6=6720\).
एक (5)-स्टेप ऑनलाइन प्रक्रिया में प्रत्येक स्टेप पर (3) विकल्प हैं। लगातार कोई भी दो स्टेप समान विकल्प नहीं ले सकते और पहला विकल्प (1) तय है। कुल प्रक्रियाएं कितनी हैं?
पहला स्टेप तय है और अगले (4) स्टेपों में हर बार (2) विकल्प हैं। कुल \(2^4=16\) प्रक्रियाएं हैं। / The first step is fixed, and each of the next (4) steps has (2) choices. The total number of processes is \(2^4=16\).
पहला उत्तर असत्य तय है, इसलिए बाकी (5) में से (4) सत्य चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{4}=5\) है। / The first answer is fixed as false, so (4) true answers must be chosen from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{4}=5\).
अंतिम अंक (3,5,7) में से (3) तरीकों से चुनेगा। बाकी स्थानों के लिए \(5\times4\times3\) तरीके हैं, कुल (180) है। / The last digit can be chosen from (3,5,7) in (3) ways. The remaining places have \(5\times4\times3\) ways, giving (180).
एक डिजिटल घड़ी ऐप में उपयोगकर्ता (7) फॉन्ट और (6) रंगों में से चुनता है। यदि (2) विशेष फॉन्ट केवल (3) रंगों के साथ उपलब्ध हैं और बाकी फॉन्ट सभी रंगों के साथ उपलब्ध हैं, तो कुल संयोजन कितने हैं?
विशेष फॉन्ट से \(2\times3=6\) और बाकी फॉन्ट से \(5\times6=30\) संयोजन हैं। कुल (36) है। / Special fonts give \(2\times3=6\) combinations and the remaining fonts give \(5\times6=30\). The total is (36).
कुल \(5^5\) संकेतों से (P) या (Q) न आने वाले संकेत हटाएं। संख्या \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\) है। / Subtract signals missing (P) or missing (Q) from all \(5^5\) signals. The count is \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\).
एक प्रश्नपत्र में (3) खंड हैं। विद्यार्थी को पहले खंड से (2) प्रश्न क्रम सहित, दूसरे से (1) प्रश्न और तीसरे से (1) प्रश्न चुनना है। खंडों में प्रश्नों की संख्या (5,6,4) है। कुल तरीके कितने हैं?
पहले खंड से क्रम सहित \(5\times4\) तरीके हैं। कुल \(5\times4\times6\times4=480\) है। / The first section gives \(5\times4\) ordered choices. The total is \(5\times4\times6\times4=480\).
पहले समान जोड़े के लिए (9) विकल्प हैं और अंतिम (4) अलग अंकों के लिए \(10\times9\times8\times7\) तरीके हैं। कुल \(9\times10\times9\times8\times7=45360\) है। / The first equal pair has (9) choices, and the last (4) distinct digits have \(10\times9\times8\times7\) ways. The total is \(9\times10\times9\times8\times7=45360\).
एक कोर्स पंजीकरण में छात्र (3) मुख्य विषयों में से (1), (4) वैकल्पिक विषयों में से (2) क्रम सहित और (2) क्लबों में से (1) चुनता है। कुल पंजीकरण कितने हैं?
मुख्य विषय के (3), क्रम सहित वैकल्पिक विषयों के \(4\times3\), और क्लब के (2) विकल्प हैं। कुल \(3\times4\times3\times2=72\) है। / There are (3) choices for the core subject, \(4\times3\) ordered choices for electives, and (2) choices for the club. The total is \(3\times4\times3\times2=72\).
पहली पट्टी के लिए (8) विकल्प और अगली दोनों पट्टियों के लिए (7) विकल्प हैं। कुल \(8\times7\times7=392\) नहीं, क्योंकि तीसरी पट्टी दूसरी से अलग होकर पहली जैसी हो सकती है, इसलिए सही (392) है। / The first strip has (8) choices and each of the next two strips has (7) choices. The third may match the first but not the second, so the correct count is \(8\times7\times7=392\).
(6) के स्थान \(\binom{4}{2}\) तरीकों से चुनें और बाकी (2) स्थानों पर \(5^2\) विकल्प हैं। कुल \(\binom{4}{2}5^2=150\) है। / Choose the positions of (6) in \(\binom{4}{2}\) ways, and the remaining (2) positions have \(5^2\) choices. The total is \(\binom{4}{2}5^2=150\).
यदि पहला अंक (7) है तो \(9^4\) तरीके हैं और यदि (7) बाकी (4) स्थानों में है तो \(4\times8\times9^3\) तरीके हैं। कुल (6561+23328=29889) नहीं, सही कुल \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\) है। / If the first digit is (7), there are \(9^4\) ways; if (7) is in one of the other (4) places, there are \(4\times8\times9^3\) ways. The total is \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\).
एक परीक्षा पोर्टल में (4) खंड हैं। पहले (3) खंडों में क्रमशः (5,4,6) प्रश्न हैं और चौथे खंड में (3) कठिन तथा (2) आसान प्रश्न हैं। यदि हर खंड से (1) प्रश्न चुनना है और चौथे से आसान प्रश्न ही चुनना है, तो कुल चयन कितने हैं?
चौथे खंड से केवल (2) विकल्प हैं। कुल चयन \(5\times4\times6\times2=240\) होंगे। / Only (2) choices are available from the fourth section. The total selections are \(5\times4\times6\times2=240\).
कुल \(3^6\) शब्द हैं, दो अक्षरों तक सीमित शब्द \(3\cdot2^6\) हैं और एक अक्षर वाले शब्द (3) बार वापस जोड़ते हैं। कुल (729-192+3=540) नहीं, सही गणना \(729-3\cdot2^6+3=540\) है। / Total words are \(3^6\), words missing at least one letter are handled by inclusion-exclusion. The correct count is \(729-3\cdot2^6+3=540\).
एक ऐप में उपयोगकर्ता को (3) सुरक्षा स्तरों में पास करना है। स्तरों में क्रमशः (2,4,5) विकल्प हैं। यदि दूसरे स्तर पर विशेष विकल्प चुनने पर तीसरे स्तर में (2) विकल्प कम हो जाते हैं, तो कुल मार्ग कितने हैं?
दूसरे स्तर का विशेष विकल्प \(2\times1\times3=6\) मार्ग देता है और बाकी (3) विकल्प \(2\times3\times5=30\) मार्ग देते हैं। कुल (36) है। / The special option at level two gives \(2\times1\times3=6\) paths and the other (3) choices give \(2\times3\times5=30\) paths. The total is (36).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और बाकी तीन स्थानों के लिए \(5^3\) विकल्प हैं। कुल \(4\times125=500\) है। / The first place has (4) choices and the remaining three places have \(5^3\) choices. The total is \(4\times125=500\).
एक डिब्बे पर (2) प्रतीक और (2) रंग क्रम सहित छापे जाते हैं। (6) प्रतीक और (5) रंग उपलब्ध हैं। दोनों प्रतीक अलग और दोनों रंग अलग होने चाहिए। कुल छपाई डिज़ाइन कितने हैं?
प्रतीकों के लिए \(6\times5\) और रंगों के लिए \(5\times4\) तरीके हैं। दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल (600) है। / Symbols can be chosen in \(6\times5\) ways and colors in \(5\times4\) ways. The choices are independent, so the total is (600).
सैकड़े के स्थान पर (4,5,6,7) के (4) विकल्प हैं। बाकी दोनों स्थानों के लिए \(7\times7\) तरीके हैं, कुल (196) है। / The hundreds place has (4) choices: (4,5,6,7). The remaining two places have \(7\times7\) ways, giving (196).
एक (5)-विकल्प वाले (6) प्रश्नों की परीक्षा में विद्यार्थी हर प्रश्न का उत्तर देता है। किसी भी लगातार दो प्रश्नों में वही विकल्प नहीं चुना जा सकता। उत्तर-पैटर्न कितने होंगे?
पहले प्रश्न के लिए (5) विकल्प और हर अगले प्रश्न के लिए पिछले से अलग (4) विकल्प हैं। लगातार प्रतिबंध में स्थान-दर-स्थान गिनती करें। / The first question has (5) choices and each next question has (4) choices different from the previous one. For consecutive restrictions, count position by position.
एक यात्रा योजना में (3) शहरों (A,B,C) की यात्रा करनी है। प्रत्येक शहर के लिए (2) होटल और (3) स्थानीय साधन उपलब्ध हैं। यदि शहरों का क्रम तय है, तो कुल योजनाएं कितनी हैं?
हर शहर के लिए \(2\times3=6\) विकल्प हैं। (3) स्वतंत्र शहरों के लिए \(6^3\) योजनाएं मिलती हैं। / Each city gives \(2\times3=6\) choices. For (3) independent cities, the number of plans is \(6^3\).
एक लाइब्रेरी शेल्फ में (5) गणित और (4) विज्ञान पुस्तकों में से एक-एक पुस्तक क्रम में रखनी है। यदि पहले स्थान पर गणित और दूसरे पर विज्ञान पुस्तक रखनी है, तो कितने क्रम बनेंगे?
पहले स्थान के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। निश्चित प्रकार के स्थानों में सीधा गुणन नियम लागू होता है। / There are (5) choices for the first place and (4) for the second. For fixed-type positions, apply the multiplication rule directly.
