Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि (0) last में valid है पर first में invalid है/Because (0) is valid at the last place but invalid at the first place
Explanation
Simple Explanation
Even number में (0) unit place पर आ सकता है लेकिन leading digit नहीं बन सकता। परीक्षा में digit problems में zero cases अलग रखें। / In an even number, (0) may be the unit digit but cannot be the leading digit. In exams keep zero cases separate in digit problems.
(0) और (8) के साथ बाकी (4) अंक \(\binom{7}{4}\) तरीकों से चुनें; प्रत्येक चयन में कुल (6!) से first zero वाले (5!) घटाएं। परीक्षा में leading zero का correction अनिवार्य है। / Choose the other (4) digits with (0) and (8) in \(\binom{7}{4}\) ways; for each selection subtract (5!) leading-zero cases from (6!). Exam tip: leading zero correction is mandatory.
अंतिम स्थान पर (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं और पहला स्थान (0) नहीं हो सकता। कुल \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the last place, and the first place cannot be (0). The total is \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\).
इकाई स्थान (0) हो तो \(6\cdot5\cdot4\) और इकाई स्थान (2,4,6) हो तो \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (120+300=420) है। / If the unit digit is (0), there are \(6\cdot5\cdot4\) ways, and if it is (2,4,6), there are \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) ways. The total is (120+300=420).
अंतिम अंक (0,4,6,8) हो सकता है। cases जोड़ने पर \(20+3\cdot16=68\) संख्याएं बनती हैं। / The last digit can be (0,4,6,8). Adding the cases gives \(20+3\cdot16=68\) numbers.
इकाई स्थान के लिए (2) विषम विकल्प हैं और हजार स्थान पर (0) नहीं आएगा। कुल \(2\cdot4\cdot4\cdot3=96\) है। / There are (2) odd choices for the unit place and the thousands place cannot be (0). The total is \(2\cdot4\cdot4\cdot3=96\).
पहला अंक (0) नहीं हो सकता, इसलिए \(7\cdot7\cdot6\cdot5=1470\)। परीक्षा में leading zero की शर्त पहले लगाएं। / The first digit cannot be (0), so \(7\cdot7\cdot6\cdot5=1470\). In exams, apply the leading-zero condition first.
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं। इसलिए कुल (25) कोड बनेंगे। / There are (5) choices for the first place and (5) choices for the second. Hence (25) codes are formed.
इकाई स्थान पर (3) विषम विकल्प हैं, फिर हजार के स्थान पर (0) छोड़कर (4) विकल्प बचते हैं। कुल \(3\cdot4\cdot4\cdot3=144\) होता है। / There are (3) odd choices for the units place, then (4) valid choices for the thousands place after excluding (0). The total is \(3\cdot4\cdot4\cdot3=144\).
सैकड़े के स्थान पर (0) नहीं आएगा, इसलिए \(6\cdot6\cdot5=180\)। परीक्षा में पहले अंक की शून्य-शर्त हमेशा जांचें। / The hundreds place cannot be (0), so \(6\cdot6\cdot5=180\). In exams, always check the zero restriction on the first digit.
इकाई स्थान पर (5) विषम विकल्प हैं, लेकिन शेष में शुरुआत (0) न हो इसका ध्यान चाहिए। कुल \(5\cdot4\cdot4\cdot3=240\) है। / There are (5) odd choices for the unit place, but the first digit must not be (0). The total is \(5\cdot4\cdot4\cdot3=240\).
हजार के स्थान पर (0) नहीं आएगा, इसलिए \(5\cdot5\cdot4\cdot3=300\)। परीक्षा में पहले non-zero leading digit चुनें। / The thousands place cannot be (0), so \(5\cdot5\cdot4\cdot3=300\). In exams, first choose the non-zero leading digit.
सभी उपलब्ध अंतिम अंक सम हैं, पर सैकड़े में (0) नहीं हो सकता। कुल \(4\cdot4\cdot3=48\) संख्याएं बनेंगी। / All possible last digits are even, but the hundreds place cannot be (0). Total numbers are \(4\cdot4\cdot3=48\).
सैकड़े के स्थान पर (0) नहीं आ सकता, इसलिए \(4\cdot4\cdot3=48\)। परीक्षा में प्रथम अंक पर शून्य की शर्त जरूर जांचें। / The hundreds place cannot be (0), so \(4\cdot4\cdot3=48\). In exams, always check the zero restriction on the first digit.
अंतिम अंक (0) होने और (2,4,6) होने के मामले अलग गिनें। शून्य की शर्त वाले सवालों में केस बनाना सुरक्षित रहता है। / Count separately the cases when the last digit is (0) and when it is (2,4,6). For zero restrictions, casework is safer.
एक (5) अंकों का कूट (0,1,2,3,4,5) से बनता है। पुनरावृत्ति नहीं है और पहला अंक (0) नहीं हो सकता। यदि कूट में (1) और (2) दोनों होने चाहिए, तो कुल कितने कूट बनेंगे?
पहले (1,2) के साथ अन्य (3) अंक चुनें और शून्य शामिल होने पर अग्रणी शून्य वाले क्रम घटाएँ। शून्य की स्थिति अलग से जाँचें। / Choose the other (3) digits along with (1,2), then subtract arrangements with leading zero when zero is included. Check the zero-position restriction separately.
